1-    مقدمه[1]

الف- تخمین گشتاور بار سروموتورها کاربردهای فراوانی در صنعت و سیستم‌های مختلف کنترلی دارند، ازقبیل: راه‌انداز چاپگرها، بازوی ربات‌ها، ربات‌های متحرک و ضبط صوت‌ها. در سال‌های اخیر روش‌های کنترل میدان[i] در سروموتورهای القایی و در کاربردهای با عملکرد دقیق بسیار استفاده شده‌اند [2،1]. با کمک این روش‌های کنترلی، رفتار دینامیکی موتورهای القایی، مشابه یک موتور DC با تحریک مستقل خواهد بود. ازطرف‌دیگر، در کاربردهای عملی، عملکرد موتورهای القایی تحت تأثیر نامعینی‌های مکانیکی (ساختاری و یا غیرساختاری) و یا گشتاور یک بار خارجی قرار می‌گیرد. در بیشتر موارد، رفتار گشتاور بار ناشناخته و بسیار پیچیده است؛ زیرا بار از خارج به موتور تحمیل می‌شود [3]. این عامل ناشناخته، طراحی یک کنترل‌کننده با عملکرد بالا را بسیار دشوار می کند [4]. خصوصیت تغییرناپذیری کنترل حالت لغزشی[ii]، عامل اصلی انتخاب ما برای کنترل موقعیت موتورهای القایی است. هدف ما استفاده از کنترل حالت لغزشی دینامیکی[iii] برای تخمین گشتاور بار[iv] و کنترل موتور القایی است. گفتنی است، استفاده از کنترل حالت لغزشی، تاکنون برای تخمین گشتاور بار استفاده نشده است و رویکردی جدید محسوب می‌شود. در همه روش‌های کنترل میدان[v] و کنترل مستقیم گشتاور[vi]، به هیچ عنوان گشتاور موتور تخمین زده نمی‌شود [5] و فقط گشتاور موتور برای راه‌اندازی باریِ مشخص کنترل می‌شود [5]. یعنی در این روش‌ها فرض بر این است که با بار، گشتاور تولیدی مشخص می‌شود و هدف این است که موتور، این گشتاور مشخص را تولید کند؛ ولی در روش ارائه‌شده در این مقاله، گشتاور بار نامشخص بوده است و ولتاژ ورودی موتور به‌طور خودکار به نحوی تغییر می‌کند که موتور این گشتاور نامشخص را تولید کند.

ب- کنترل حالت لغزشی دینامیکی

یکی از مزایای مهم کنترل حالت لغزشی، تغییرناپذیری[vii] است [6،7]. به دلیل وجود همین مزیت، کنترل حالت لغزشی ابزار قدرتمندی برای مقابله با نامعینی‌های ساختاری[viii] یا بدون ساختار[ix]، اغتشاش و نویز است که این عوامل، پیاده‌سازی کنترل‌کننده‌های طراحی‌شده را با مشکل مواجه می‌کنند. گفتنی است، تغییرناپذیری، خاصیتی قوی‌تر از مقاوم‌بودن[x] است [6،7]. مقاوم‌بودن، یعنی رسیدن به نتیجه مطلوب در بدترین شرایط و تغییرناپذیری، یعنی به‌دست‌آمدن نتیجه مطلوب بدون اینکه سیستم تحت تأثیر نویز، اغتشاش و نامعینی قرار گیرد. سیستم مقاوم ممکن است با اثرپذیری از نویز، اغتشاش و نامعینی، عملکرد[xi] مناسبی نداشته باشد؛ درحالی‌که تغییرناپذیری، یعنی مقاوم‌بودن به همراه عملکرد مطلوب [6،7]. همین خصوصیت تغییرناپذیریِ کنترل حالت لغزشی، دلیلی برای استفاده از این روش در کاربرهای مختلف [8-10] و دقیق عملی [11] است.

پ- کنترل حالت لغزشی دینامیکی

یکی از مهم‌ترین مشکلات کنترل حالت لغزشی، چترینگ[xii] است [6-18]. پنج روش برای حذف و یا کاهش آن پیشنهاد شده است: لایه مرزی [12]، لایه مرزی تطبیقی [13]، مرتبه بالا [14-16]، دینامیکی [6،17] و روش‌های هوشمند [18]. در روش‌های لایه مرزی و لایه مرزی تطبیقی، تغییرناپذیری سیستم از بین می‌رود [12،13]. در روش مرتبه بالا، چترینگ با انتقال سوییچینگ به مشتقات بالاتر سطح لغزشی حذف می‌شود. روش‌های زیادی برای پیاده‌سازی کنترل حالت لغزشی مرتبه دو و یا مرتبه‌های بالاتر پیشنهاد شده است [14-16]. مشکل این روش، نیاز به دانستن مشتقات مدل سیستم است؛ برای مثال، در حالت مرتبه دو، مشتقِ مدل سیستم باید تخمین زده شود [19]. در روش دینامیکی، یک انتگرال‌گیر (به‌عنوان یک فیلتر پایین‌گذر) قبل از سیستم قرار داده می‌شود تا نوسانات فرکانس بالا و چترینگ ناشی از تابع علامت، حذف شود و در ورودیِ سیستم افزوده[xiii] ظاهر نشود (سیستم به همراه انتگرال‌گیر) [6،17]. اگرچه به دلیل وجود انتگرال‌گیر، مرتبه سیستم افزوده، یک واحد بیشتر از مرتبه سیستم اصلی است برای اعمال کنترل حالت لغزشی به سیستم افزوده و تعریف سطح لغزشی، دینامیک و مدل سیستم باید مشخص و معلوم باشد [6،17]. درنهایت در روش دینامیکی به مدل سیستم نیاز است؛ اما در روش مرتبه بالا به مشتقِ مدل سیستم که بیانگر برتری روش دینامیکی نسبت به روش مرتبه بالا است.

در این مقاله، کنترل حالت لغزشی دینامیکی برای تخمین گشتاور بار در موتور القایی و هم‌زمان، کنترل آن استفاده شده است. همچنین براساس مطالعات نویسنده، تاکنون کارهای معدودی برای تخمین گشتاور بار به خصوص با کنترل حالت لغزشی دینامیکی انجام شده است که مهم‌ترین آن‌ها [3] است.

ت- رویتگر تطبیقی فازی

در این مقاله برای حل مشکل ذکرشده در کنترل حالت لغزشی دینامیکی و تخمین سطح لغزشی، از یک رویتگر تطبیقی فازی[xiv] استفاده شده است. با استفاده از رویتگر فازی پیشنهادشده، قسمت نامشخص سطح لغزشی (دینامیک و مدل سیستم) شناسایی و تخمین زده شده است. همچنین براساس مطالعات نویسنده، تاکنون کنترل حالت لغزشی دینامیکی برای تخمین گشتاور بار استفاده نشده است.

ث- ساختار مقاله

ابتدا در بخش 2، شرح مسئله و مقدمات مورد نیاز بیان می‌شود. در بخش 3، برای حل مشکل کنترل حالت لغزشی دینامیکی، یک رویتگر تطبیقی فازی پیشنهاد شده است. در بخش 4 با استفاده از سطح لغزشی تعریف‌شده، سیگنال ورودی به دست می‌آید. درنهایت در بخش 5، شبیه‌سازی روش پیشنهادی ارائه شده است و در بخش 6، نتیجه‌گیری شده است.

2- شرح صورت مسئله

روش پیشنهاد‌شده برای تخمین گشتاور بار در شکل (1) نشان داده شده است. به عبارتی، این شکل خلاصه تصویری[xv] مقاله است. در ادامه این مقاله، همه قسمت‌های این شکل توضیح داده شده است. اکنون مدل تک ورودی موتور القایی توصیف‌شده با معادله زیر را در نظر بگیرید.

در این معادله  بردار حالت دسترس‌پذیر و  سیگنال ورودی سیستم است. همچنین  نامعینی کراندار[xvi] با کران نامشخص  اعمال‌شده به سیستم است. () و  گشتاور بار کراندار تحمیل‌شده به موتور است. همچنین:

فرض کنید که زوج ، کنترل‌پذیر و ماتریس  پایدار باشد. به عبارت دیگر، برای هر ماتریس متقارن مثبت معین  یک ماتریس متقارن مثبت معین  وجود داشته باشد که در معادلة لیاپانوف[xvii] زیر صدق کند:

حال با توجه به معادلات (1) و (2) و نوشتن سطر آخر معادله دینامیکی ماتریسی (1)، رابطه زیر نتیجه می‌شود (دقت کنید که با توجه به معادله (1)  است).

هدف استفاده از کنترل حالت لغزشی دینامیکی این است که سیگنال ورودی بدون چترینگ  طوری محاسبه شود که بردار حالت  و سیگنال  به صفر همگرا شوند. در این حالت با توجه به معادله (4)،  به  همگرا می‌شود و یا به عبارت دیگر، با افزایش زمان و میل‌کردن  به بی‌نهایت خواهیم داشت . برای رسیدن به این هدف، سطح لغزشی مناسبی به‌صورت زیر تعریف می‌شود.

تذکر 1: اگر سطح  صفر شده و ضرایب  طوری انتخاب شوند که چند جمله‌ای  هرویتز[xviii] باشد، بردار حالت  و سیگنال  به صفر همگرا می‌شوند.

اما مشکل اساسی در محاسبه سطح لغزشی است. متغیر  به دلیل نامعینی  و گشتاور بار نامشخص  در دسترس نیست (به معادله (4) مراجعه کنید). برای حل این مشکل از یک ساختار جدید رویتگر تطبیقی فازی استفاده می‌شود که در قسمت بعد توضیح داده شده است.

شکل (1): روش پیشنهادشده برای تخمین گشتاور بار با استفاده از کنترل حالت لغزشی دینامیکی

3- طراحی رویتگر تطبیقی فازی

همانطور که گفته شد به دلیل اینکه متغیر  در دسترس نیست، از یک رویتگر تطبیقی فازی برای تخمین آن استفاده می‌شود. و همچنین می‌دانیم که توابع فازی گوسی به‌عنوان توابع پایه[xix] می‌توانند هر تابع حقیقی پیوسته را با هر دقت دلخواه تخمین بزنند [20]. اکنون برای تخمین تابع حقیقی پیوسته  رویتگر فازی زیر پیشنهاد می‌شود.

که  تخمین بردار وزن قوانین فازی بوده و  توابع عضویت گوسی[xx] است. به دلیل قابلیت توابع فازی گوسی در تخمین توابع حقیقی پیوسته، بردار وزن  با ابعاد  و با  به اندازه کافی بزرگ وجود دارد؛ به‌طوری‌که سیستم (1) را می‌توان به‌صورت زیر نوشت.

که  برای جبران خطا استفاده شده است. گفتنی است، این خطا را می‌توان به هر مقدار دلخواه کاهش داد. به بیان دیگر  کراندار است. فرض کنید کران آن  باشد؛ یعنی . اکنون رویتگر زیر پیشنهاد می‌شود.

و با استفاده از تفریق معادلات (7) و (8):

که  و  به ترتیب بردار خطای حالت و بردار خطای وزن‌های سیستم فازی هستند.

قضیه 1: قانون تطبیق روی خط[xxi] زیر را برای اصلاح بردار وزن‌های سیستم فازی در نظر بگیرید:

آنگاه خطای تخمین  به صفر همگرا می‌شود اگر ، که  و  اعداد مثبت دلخواه هستند.

اثبات: تابع لیاپانوف زیر را در نظر بگیرید.

مشتق این تابع به‌صورت زیر است.

با استفاده از معادلات (3) و (9) و جای‌گذاری در معادله بالا:

و با استفاده از معادله  و قانون تطبیقی (10):

حال با توجه به تساوی  و اینکه ماتریس‌های  و  مثبت معین هستند، نامساوی زیر حاصل می‌شود.

که در آن از نامساوی  استفاده شده است. این نامساوی درحقیقت فرض منطقی کرانداربودن وزن‌های سیستم فازی در معادله (7) است. اکنون  به‌صورت زیر تعریف می‌شود.

بنابراین:

و یا:

متغیر  را تعریف کرده و فرض می‌کنیم  باشد، بنابراین . درنهایت انتگرال دو طرف این نامساوی بین صفر و  محاسبه می‌شود.

این رابطه در حالت حدی، یعنی هنگامی که  نیز برقرار بوده و همواره کوچک‌تر و یا مساوی  است؛ اما  مثبت و محدود است و بر مبنای لم باربالات[xxii] [21] داریم:

اما چون  و  بزرگ‌تر از صفر هستند، معادله (20) فقط در صورتی می‌تواند برقرار باشد که  با افزایش زمان آن‌قدر کاهش یابد تا کوچک‌تر از  شود؛ یعنی  و به عبارت دیگر،  کران بالای  خواهد بود. از طرف دیگر، واضح است که ؛ بنابراین اگر ،  یا  به صفر همگرا خواهد شد.

تذکر 2: نتیجه نهایی این قضیه را می توان به‌صورت زیر بیان کرد:

4- طراحی سیگنال ورودی

اکنون با استفاده از معادله (8) رابطه زیر وجود دارد.

براین‌اساس، تخمین سطح لغزشی (5) به‌صورت زیر خواهد بود.

تذکر 3: اگر سطح  صفر شده و ضرایب  طوری انتخاب شوند که چندجمله‌ای  هرویتز باشد، بردار حالت  و سیگنال  به صفر همگرا می‌شوند.

قضیه 2: چنانچه ورودی سیستم از معادله دینامیکی زیر محاسبه شود، سطح لغزشی  به صفر همگرا خواهد شد.

که  در معادله (8) تعریف شده است و همچنین  کران  است.

اثبات: تابع لیاپانوف  که مشتق آن به‌صورت  است را در نظر بگیرید، بنابراین:

با جای‌گذاری  از معادله (24) در معادله (26):

بنابراین:

اکنون  را از معادله (24) در معادله بالا قرار می‌دهیم.

فرض کنید  زمان رسیدن[xxiii] به سطح لغزشی  باشد یعنی  و بنابراین به راحتی می‌توان نشان داد که .

لم 1: اگر ، سطح لغزشی  به صفر همگرا می‌شود.

اثبات: با توجه به معادله (21) ، ازطرفی:

بنابراین  و یا  و با توجه به تساوی :

تذکر 4: متغیر  به‌عنوان نامعینی در نظر گرفته شده است؛ زیرا به مقدار نامشخص  وابسته است.

تذکر 5: با توجه به اینکه در عمل ممکن است کران  در معادله (24) به ناچار بزرگ باشد، برای کاهش ضریب تابع علامت و یا همان بهره سوییچینگ[xxiv] یعنی  در این معادله، ضریب  را می‌توان کوچک انتخاب کرد.

5- ارائه نتایج شبیه‌سازی

اکنون، روش پیشنهاد‌شده برای تخمین گشتاور بار در موتورهای القایی مدل‌شده به‌صورت معادله (1)، استفاده می‌شود. یک سروموتور القایی سه فاز دو قطبی با اتصالات به‌صورت Y (ستاره)، 800 وات، 60 هرتز، 120 ولت و 5.4 آمپر توصیف‌شده با معادله زیر را در نظر بگیرید [4].

که  ممان اینرسی[xxv]،  ضریب میرایی[xxvi]،  موقعیت روتور[xxvii]،  گشتاور بار خارجی[xxviii]و  گشتاور الکتریکی[xxix] هستند. همچنین  و  نامعینی‌های کراندار سیستم بوده‌اند که ناشی از خطای اندازه‌گیری در پارامترهای سیستم هستند. برای مثال،  خطای اندازه‌گیری ضریب میرایی موتور است. با کمک روش‌های کنترل میدان [2] و تعریف متغیرهای حالت به‌صورت  و  معادله (32) را می‌توان به‌صورت زیر نوشت.

ورودی این سیستم  بوده است و ، ،  و  است. همچنین  به‌عنوان ثابت گشتاور[xxx] شناخته می‌شود و  تعداد جفت قطب‌ها و  اندوکتانس مغناطیس‌کننده[xxxi] در هر فاز است.  اندوکتانس روتور[xxxii] در هر فاز بوده است و  جریان شار[xxxiii] است، همچنین  است. برای شبیه‌سازی از پارامترهای زیر استفاده شده است [4،6].

همچنین ضرایب سطح لغزشی پایدار به‌صورت  انتخاب شده‌اند. دقت کنید که همه ضرایب  که در تذکر 1 و یا 3 صادق باشند را می‌توان انتخاب کرد؛ ولی براساس تجربه، اگر شیب سطح و سرعت همگرایی و صفرشدن حالت‌های خطا زیاد افزایش یابد، دامنه اولیه سیگنال ورودی بیش از حد بزرگ می‌شود و در عمل پیاده‌سازی و تحقق کنترل‌کننده طراحی‌شده را غیرممکن می‌سازد. در انتخاب این پارامترها به تذکر 5 نیز باید توجه کرد. همچنین  انتخاب شده است که در انتخاب آن نیز یک مصالحه بین سرعت همگرایی و دامنه اولیه سیگنال ورودی در نظر گرفته شده است. پارامتر دیگر طراحی که در انتخاب آن باید دقت کرد  است که اگر خیلی کوچک انتخاب شود، براساس رابطه  زمان رسیدن به سطح لغزشی طولانی می‌شود و درنتیجه ممکن است فاز لغزش و تغییرناپذیری از دست برود. همچنین اگر  بزرگ انتخاب شود، براساس معادله (24) و رابطه ، ضریب تابع علامت و سوییچینگ افزایش خواهد یافت. پارامتر  نیز براساس دانش طراح نسبت به مدل سیستم انتخاب می‌شود. این پارامترها نیز به این صورت انتخاب شده‌اند . همچنین  هستند.. در انتخاب  به لم 1 ارجاع شده است. پارامترهای  و  نیز به‌صورت سعی و خطا تعیین شده­اند؛ همچنین:

(35)

شرایط اولیه نیز به‌صورت  انتخاب شده‌اند که دلخواه بوده است و نتایج به‌دست‌آمده به این شرایط وابسته نیست. همچنین مقدار  که ناشی از خطای اندازه‌گیری در پارامتر  است، نسبت به این پارامتر و در مقایسه با آن برابر  انتخاب شده است. همچنین با توجه به معادله (32)،  خطای اندازه‌گیری در موقعیت روتور بوده است که به‌طور معمول با انکودر[xxxiv] اندازه‌گیری می‌شود. این مقدار نیز برابر  انتخاب شده است. به عبارتی اغتشاشی به‌صورت  در نظر گرفته شده است. گشتاور بار نیز به‌صورت  در نظر گرفته شده و بعد از  به موتور اعمال شده است. توجه به این نکته ضرورت دارد که در این حالت با توجه به معادله (33) و اینکه حالت‌های ،  و  صفر می‌شوند، داریم:

یعنی اگر گشتاور بزرگی به سیستم اعمال شود دامنه سیگنال ورودی بزرگ خواهد بود که در عمل، ممکن است پیاده‌سازی نشود. همچنین به‌طور معمول، گشتاور بارهای اعمالی به موتور ریتم خاصی دارد؛ یعنی در حالت واقعی، حوادث خاصی به‌صورت متناوب تکرار می‌شوند، مانند حرکت ربات‌های صنعتی در کارخانه‌ها.

شبیه‌سازی با نرم‌افزار متلب[xxxv] و با گام ثابت 0.01 انجام شده است. با انتخاب گام شبیه‌سازی بزرگ، دید عملی نسبت به سیستم از بین خواهد رفت؛ زیرا رفتار سیستم به سمت رفتار یک سیستم گسسته میل خواهد کرد. همچنین کوچک‌کردن بیش از حد گام شبیه‌سازی، فقط مدت زمان شبیه‌سازی را افزایش می‌دهد و تأثیری بر نتایج نخواهد داشت. ننتایج شبیه‌سازی در شکل‌های (2)، (3)، (4) و (5) نشان داده شده است. با توجه به شکل (2) دیده می‌شود که ورودی موتور، یعنی  صاف و بدون چترینگ بوده است و دامنه و مقدار اولیه آن بزرگ نیست. شکل (3) حالت‌های سیستم را نشان می‌دهد که حتی در حضور گشتاور نامعین بار به سمت صفر همگرا هستند و شکل (4) نشان‌دهنده سطح لغزشی است. درنهایت با توجه به شکل (5) روشن است که  بوده است و تخمین گشتاور بار و هم‌زمان کنترل سیستم به درستی انجام شده است.

شکل (2): سیگنال کنترل ورودی موتور

شکل (3): همگرایی حالت‌های موتور به سمت صفر

شکل (4): سطح لغزشی و تخمین آن

شکل (5): مقایسه سیگنال ورودی سیستم و گشتاور بار

6- نتیجه‌گیری

در این مقاله، روشی جدید برای تخمین گشتاور بار در موتورهای القایی با استفاده از کنترل حالت لغزشی دینامیکی پیشنهاد شده است. برای حل مشکل کنترل حالت لغزشی دینامیکی یک رویتگر تطبیقی فازی پیشنهاد شده است. به علت استفاده از کنترل حالت لغزشی دینامیکی و قراردادن یک انتگرال‌گیر قبل از ورودی موتور به‌عنوان یک فیلتر پایین‌گذر و حذف‌کننده نوسانات فرکانس بالا، چترینگ به‌طور کامل حذف می‌شود. روش پیشنهادی همه خواص کنترل حالت لغزشی ازقبیل تغییر‌ناپذیری و سادگی در طراحی و پیاده‌سازی را دارا است. نتایج شبیه‌سازی نشان‌دهنده مزایای این روش است.