طراحی ‌‌‌کنترل‌کنندۀ TS فازی برای پایدارسازی هم‌زمان سیستم‌‌‌‌های غیرخطی

نوع مقاله : مقاله پژوهشی فارسی

نویسندگان

1 مربی، گروه مهندسی برق، دانشگاه فنی و حرفه‌ای، تهران، ایران

2 فارغ التحصیل دکتری، دانشکده مهندسی برق و کامپیوتر، دانشگاه شیراز، شیراز، ایران

3 استاد، دانشکده مهندسی برق و کامپیوتر، دانشگاه شیراز، شیراز، ایران

4 دانشیار، دانشکده مهندسی برق و کامپیوتر، دانشگاه شیراز، شیراز، ایران

چکیده

در این مقاله، مسئلۀ پایدارسازی هم‌زمان مجموعه‌‌ای از سیستم‌‌‌‌های غیرخطی با استفاده از روش مدلسازی و طراحی ‌‌‌کنترل‌کنندۀ فازی Takagi-Sugeno (TS) ارائه شده است. در عمل، به دلیل وجود عدم قطعیت در مدل سیستم و حالت‌‌‌‌های خرابی یا نقاط کاری مختلف، غالباً مسئلۀ پایدارسازی هم‌زمان به وجود می‌آید. به دلیل ارائۀ مفهومی ساده و مؤثر، به مدل فازی TS برای طراحی ‌‌‌کنترل‌کنندۀ سیستم‌‌‌‌های ‌‌‌غیرخطی پیچیده، توجه شده و ‌‌‌پایدارسازی سیستم‌‌‌‌های غیرخطی با استفاده از تنها یک ‌‌‌کنترل‌کنندۀ غیرخطی فازی TS بررسی شده است. دو نوع ‌‌‌کنترل‌کنندۀ بازخورد حالت و بازخورد خروجی براساس مفهوم PDC (جبران‌سازی توزیع‌شده موازی) و با حل تعدادی نامساوی‌‌‌‌های ماتریسی خطی (LMI) طراحی شده‌اند. علاوه بر این، برای کاهش ‌‌‌محافظه‌کاری‌‌‌‌های مربوط به استفاده از تابع لیاپانوف مشترک از قضیۀ فینسلر استفاده شده است. در پایان، سه مثال عددی برای نشان‌دادن اینکه ‌‌‌کنترل‌کننده‌های پیشنهادی به‌خوبی سیستم‌‌‌‌های ‌‌‌غیرخطی در نظر گرفته شده را پایدار می‌کنند، ارائه شده است.

کلیدواژه‌ها


عنوان مقاله [English]

Design of fuzzy TS controller for simultaneous stabilization of nonlinear systems

نویسندگان [English]

  • Navid Behmanesh Fard 1
  • Peyman Kohansedgh 2
  • Alireza Khayatian 3
  • Mohammad Hassan Asemani 4
1 Faculty member, Department of Electrical Engineering, Technical and Vocational University (TVU), Tehran, Iran.
2 Ph.D. graduate, School of Electrical and Computer Engineering, Shiraz University, Shiraz, Iran
3 Ph.D. graduate, School of Electrical and Computer Engineering, Shiraz University, Shiraz, Iran
4 Ph.D. graduate, School of Electrical and Computer Engineering, Shiraz University, Shiraz, Iran
چکیده [English]

In this paper, the problem of simultaneous stabilization of a collection of nonlinear systems is proposed by using the Takagi-Sugeno (TS) fuzzy modeling and synthesis approach. In practice, due to the uncertainty in the system model, failure modes, or different operating points, we often encounter the problem of simultaneous stabilization. The TS fuzzy model has been considered for the controller design of complex nonlinear systems as it provides a simple and effective concept. This problem refers to the stabilization of some nonlinear systems by utilizing a single nonlinear controller. Both state feedback and output feedback controllers are designed based on the PDC concept and by solving some linear matrix inequalities (LMIs). Moreover, to reduce the conservatisms related to using the common Lyapunov function and restrictive equality conditions in the design method, Finsler’s lemma has been employed. Finally, three numerical examples are provided to show that the proposed controllers stabilize well-considered nonlinear systems.

کلیدواژه‌ها [English]

  • TS fuzzy system
  • Simultaneous stabilization
  • Output feedback
  • Finsler’s Lemma
  • Nonlinear control
  • مقدمه[1]

منطق فازی به‌‌طور گسترده در سامانه‌‌‌‌‌های کنترلی استفاده می‌شود. اصطلاح «فازی» یا مبهم به این واقعیت اشاره دارد که منطق حاکم بر سامانه می‌تواند با مفاهیمی برخورد کند که نمی‌توانند به‌عنوان «درست» یا «نادرست» بیان شوند؛ بلکه به‌عنوان «تا حدی درست» بیان می‌شوند. اگرچه رویکرد‌‌‌‌های دیگری مانند الگوریتم ژنتیک و شبکه‌‌‌‌های عصبی در بسیاری از موارد، مانند منطق فازی عمل می‌کنند، منطق فازی این مزیت را دارد که راه‌حل مسئله را می‌توان به‌ گونه‌ای ارائه و پیاده‌سازی کرد که اپراتورهای انسانی آن را درک کرده‌اند. این خصوصیت باعث می‌شود مکانیزه‌کردن کارهایی که قبلاً انسان با موفقیت انجام داده است، آسان‌تر شود. در [1] با استفاده از منطق فازی از یک ‌‌‌کنترل‌کنندۀ فازی برای کنترل بار - فرکانس در یک سیستم قدرت تأخیردار - غیرخطی استفاده شده است. کنترل‌کنندۀ طراحی‌شده دارای ساختاری غیرخطی بوده و از تابع لیاپانوف - کراسوسکی[1] برای بررسی پایداری حلقه بسته استفاده شده است. در [2] از یک ‌‌‌کنترل‌کنندۀ فازی با بهینه‌سازی پارامتر‌های توابع عضویت[2] گوسی پایگاه قواعد در سیستم فازی، به‌منظور کنترل دو سیستم غیرِخطی استفاده شده است.

پایدارسازی هم‌زمان، مسئلۀ تعیین یک ‌‌‌کنترل‌کنندۀ واحد است که به‌طور هم‌زمان یک مجموعه محدود از سیستم‌ها ‌را پایدار می‌کند. در عمل، به دلیل عدم قطعیت سیستم، تغییر در سیستم یا سیستم‌ها ‌با حالت‌‌‌‌های عملکرد مختلف، غالباً با مسئلۀ پایدارسازی هم‌زمان مواجه می‌شویم. این مسئله، زیرمجموعه‌‌ای از کنترل مقاوم است و یک مسئلۀ مرتبط نزدیک با آن، پایدارسازی مقاوم سیستم با عدم قطعیت چندوجهی است. راه‌حل‌‌‌‌های پایدارسازی هم‌زمان به‌راحتی به عدم قطعیت‌‌‌‌های چندوجهی گسترش داده می‌شوند و برعکس.

از زمان آغاز ارائۀ مقاله [3]، پایدارسازی هم‌زمان مورد توجه زیادی قرار گرفته است. در [4]، پیچیدگی پایدارسازی هم‌زمان مورد بحث قرار گرفته و ثابت شده است مسئلۀ پایدارسازی هم‌زمان سه سیستم خطی ازنظر منطقی غیرقابل حل قطعی است؛ به این معنا که شرط لازم و کافی برای پایدارسازی هم‌زمان وجود ندارد؛ درنتیجه، یافتن پایدارساز هم‌زمان خطی، بیشتر در شرایط کافی است و یافتن روش‌هایی برای کاهش ‌‌‌محافظه‌کاری اهمیت زیادی دارد. بررسی‌‌‌‌های مناسب دربارۀ پایدارسازی هم‌زمان و افزایش محدودۀ امکان‌پذیری برای سیستم‌‌‌‌های خطی در [5]، [6] و منابع موجود در آن یافت می‌شوند.

برای سیستم‌‌‌‌های غیرخطی، مسئلۀ پایدارسازی هم‌زمان پیچیده‌تر است و تنها معدودی مقالات، این مسئله را به دلیل وجود پیچیدگی در طراحی پایدارساز غیرخطی حل کرده‌اند. در  [7]ثابت شده است برای هر مجموعه‌‌ای از سیستم‌‌‌‌های غیرخطی پایدارپذیر، یک ‌‌‌کنترل‌کنندۀ بازخورد حالت که هم‌زمان مجموعه را پایدار می‌کند (غیر مجانبی)، همیشه وجود دارد. علاوه بر این، یک شرط کافی برای یافتن ‌‌‌کنترل‌کننده‌‌‌‌های پایدارساز هم‌زمان برای مجموعه‌‌ای از سیستم‌‌‌‌های غیرخطی فراهم شده است. در [8] روشی برای طراحی پایدارساز هم‌زمان مجموعه‌‌ای از سیستم‌‌‌‌های ‌‌‌غیرخطی تک ورودی براساس تابع کنترل لیاپانوف[3] (CLF) ارائه شده است؛ با این حال، هر دو روش ذکرشده در بالا دشوارند؛ زیرا آنها در مرحله اول وابسته به یافتن یک ‌‌‌کنترل‌کنندۀ بازخورد حالت پایدارساز مجانبی یا یک تابع کنترل لیاپانوف برای هر سیستم‌اند و پس از آن نیز باید برخی شرایط را برقرار سازند. علاوه بر این، ‌‌‌کنترل‌کننده‌‌‌‌های به‌دست‌آمده نیز به سادگی قابل پیاده‌سازی نیستند. در [9] مسئلۀ یافتن یک ‌‌‌کنترل‌کنندۀ هم‌زمان برای سیستم‌‌‌‌های غیرخطی چند جمله‌‌ای براساس توابع لیاپانوف چندجمله‌‌ای، بررسی و روش‌هایی برای آن ارائه شده‌اند. از مزایای این روش‌ها ‌استفاده از بهینه‌سازی محدب است؛ با این حال، به‌منظور محدب‌کردن مسئله، تابع لیاپانوف باید به متغیرهای حالتی محدود شود که دینامیک آنها به‌طور مستقیم تحت تأثیر ورودی‌‌‌‌های سیستم نباشند. این شرایط بسیار محدود‌کننده هستند و به دلیل افزایش بیش از حد ‌‌‌محافظه‌کاری، معمولاً به یک مسئلۀ حل‌نشدنی منجر خواهد شد. در [10] به پایدارسازی هم‌زمان مجموعه‌‌ای از سیستم‌‌‌‌های ‌‌‌غیرخطی چندجمله‌‌ای با نظریۀ پایداری تقریبی[4] می‌پردازد. این نظریه از دو معیار تابع چگالی یا لیاپانوف استفاده می‌کند که مزایای چشمگیری نسبت به پایدارسازی هم‌زمان مبتنی بر لیاپانوف دارد. در [11] به پایدارسازی هم‌زمان مجموعه‌‌ای از سیستم‌‌‌‌های ‌‌‌غیرخطی می‌پردازد که شامل ‌‌‌غیرخطی‌‌‌‌های نامعلوم همراه با تأخیرهای متغیر با زمان متعددند؛ بدین گونه که حد بالای تأخیرها را مشخص فرض می‌کند و یک ‌‌‌کنترل‌کنندۀ بازخورد حالت هم‌زمان بدون حافظه با پیشنهاد روش کنترلی لیاپانوف - کراسوسکی ارائه می‌دهد.

درخور ذکر است تئوری منطق فازی یک رویکرد قدرتمند برای مقابله با مسائل تجزیه‌وتحلیل و طراحی سیستم‌‌‌‌های غیرخطی پیچیده ارائه می‌دهد؛ به‌ویژه، مدل فازی TS به دلیل ارائۀ مفهومی ساده و مؤثر برای طراحی ‌‌‌کنترل‌کنندۀ بسیاری از سیستم‌‌‌‌های ‌‌‌غیرخطی، توجه بسیاری از طراحان را به خود جلب کرده است[12-15] . ایده اصلی مدل‌‌‌‌های فازی TS استفاده از گروهی از قوانین فازی است که به همراه خانواده‌‌ای از مدل‌‌‌‌های خطی مجالی برای توصیف یک سیستم غیرخطی پیچیده را فراهم می‌آورد. روش طراحی فازیTS  به کمک تحلیل پایداری لیاپانوف به تشکیل یک مسئلۀ محدب براساس نامساوی‌‌‌‌های ماتریسی خطی منجر می‌شود که طراحی سیستم‌‌‌‌های غیرخطی را آسان می‌کند. در طی سال‌‌‌‌های گذشته، مدل‌‌‌‌های فازی TS با موفقیت برای تقریب زدن و کنترل سیستم‌‌‌‌های غیرخطی استفاده شده‌اند و پایداری سیستم‌‌‌‌های حلقه بسته با یک ‌‌‌کنترل‌کنندۀ فازی برای چندین دوره مطالعه شده است [16]. مدل‌‌‌‌های طراحی فازی TS از قوانینی با استفاده از نمایش فضای حالت تشکیل شده‌اند؛ درنتیجه، آنها امکان استفاده از پتانسیل تئوری خطی را فراهم می‌کنند. نتایج پایداری معمولاً مبتنی بر قضیه لیاپانوف است و برای پایدارسازی از جبران‌سازی توزیع‌شدۀ موازی[5] (PDC) استفاده می‌شود [17-19]. طراحی PDC اغلب با استفاده از روش لیاپانوف، انجام و به تشکیل یک مسئلۀ نامساوی‌‌‌‌های ماتریسی خطی منجر می‌شود که ابزارهای قدرتمندی برای حل آن دردسترس است.

در این مقاله، یک روش جدید برای طراحی یک ‌‌‌کنترل‌کنندۀ پایدارساز هم‌زمان سیستم‌‌‌‌های غیرخطی با مدل‌‌‌‌های فازی TS ارائه شده است. با استفاده از این ویژگی، ساختارهای جدیدی برای ‌‌‌کنترل‌کنندۀ بازخورد حالت و بازخورد خروجی براساس مدل فازی TS ارائه و شرایط جدیدی دربارۀ پایداری هم‌زمان مجموعه‌‌ای از سیستم‌‌‌‌های غیرخطی حاصل شده‌اند. سپس، برخی روش‌ها ‌برای دستیابی به یک مسئلۀ محدب و براساس نامساوی‌‌‌‌های ماتریسی خطی معرفی شده‌اند. سرانجام، شرایط طراحی پیشنهادی در سه مثال عددی اعتبارسنجی شده است.

این مقاله به شرح زیر ترتیب داده شده است. در بخش 2 مطالب پیش‌نیاز دربارۀ مدل‌‌‌‌های TS ارائه و عمده‌ترین شرایط پایداری به‌دست‌آمده بررسی شده‌اند. پایدارسازی هم‌زمان با استفاده از مدل فازی TS در بخش 3 و 4 تدوین شده است. علاوه بر این، شرایط LMI[6] برای ساخت پایدارساز هم‌زمان توسط بازخورد حالت و خروجی پیشنهاد شده است. بخش‌‌‌‌های 5 و 6 برای کاهش ‌‌‌محافظه‌کاری در پایدارسازهای هم‌زمان اختصاص داده شده‌اند. منابع اصلی ‌‌‌محافظه‌کاری، مطالعه و راه‌حل‌هایی برای کاهش آنها پیشنهاد شده‌اند. در بخش 7 سه مثال عددی برای نشان‌دادن اثربخشی روش‌‌‌‌های پیشنهادی ارائه شده است. سرانجام، مقاله در بخش 8 نتیجه‌گیری شده است.

2- مدل‌‌‌‌های فازی TS

Takagi-Sugeno یک روش مؤثر برای مدلسازی سیستم‌‌‌‌های دینامیکی پیشنهاد می‌کند و دینامیک مدل سیستم را با مجموعه‌‌ای محدب از دینامیک‌‌‌‌های زیرسیستم‌‌‌‌های خطی مدلسازی می‌کند [16] بنابراین، تعداد r زیرسیستم خطی  در اینجا به دست می‌آیند.

در این رویکرد، هر زیرسیستم، مدل خطی‌سازی‌شدۀ سیستم اطراف نقطه کار  ( )  از فضای حالت است و زیرسیستم  نمایانگر کل سیستم است، هنگامی که بردار حالت  نزدیک نقطه   باشد. در این حالت، از مدل TS برای تقریب‌زدن سیستم با عدم قطعیت استفاده می‌شود.

 تابع وزنی  و  برداری است که به‌صورت خطی یا ‌‌‌غیرخطی به بردار حالت وابسته است.

 

2-1-سیستم فازی TS زمان پیوسته

مدل فازی TS با r قانون سیستم نشان داده می‌شود. قانونi  ام سیستم عبارت است از:

 

 

(1)

که ،  و بردارهای سیگنال حالت و کنترل به ترتیب به‌صورت  و  نشان داده می‌شوند. درضمن ها توابع تعلق فازی‌اند.

با استفاده از استنباط فازی استاندارد، حالت نهایی مدل فازی به‌صورت زیر استنتاج می‌شود:

.

(2)

که:

 

 

(3)

 

تابع  ویژگی مجموع محدب[7]

 را برآورده می‌کند. سیستم حلقه باز به‌صورت زیر نمایش داده می‌شود: 

.

(4)

برای سیستم حلقه بسته، امکان بررسی استراتژی‌‌‌‌های مختلف کنترل وجود دارد. در ادامه فرض می‌شود بردار حالت، قابل دسترسی برای اندازه‌گیری است. با استفاده از بازخورد حالت خطی ساده:

 

(5)

که ، مدل فازی سیستم به‌صورت زیر می‌شود:

.

(6)

تجزیه ‌وتحلیل پایداری (6)به همان روش (4) انجام داده می‌شود. همچنین، طراحی یک بردار کنترل براساس جبران‌سازی توزیع‌شدۀ موازی امکان‌پذیر است:

 

(7)

که  است.

در اینجا با هدف پایدارسازی کل سیستم، هر زیرسیستم  با بازخورد حالت خطی  ‌‌‌پایدارسازی می‌شود. نیاز اصلی ‌‌‌کنترل‌کنندۀ PDC این است که جفت‌‌‌‌های  پایدارپذیر باشند. دینامیک این سیستم به‌صورت زیر نشان داده می‌شود:

 

(8)

 

در صورتی که  و ،  باشد، قانون کنترل زیر استفاده می‌شود [7] :

.

(9)

درنتیجه، مدل حلقه بسته عبارت است از:

.

(10)

3- نتایج پایداری

در این قسمت، برخی از ابزارهای اصلی تجزیه‌و‌تحلیل پایداری سیستم‌‌‌‌های فازی TS بررسی می‌شوند.

قضیه1 [20]: سیستم (4) را در نظر بگیرید. اگر ماتریس مثبت معین متقارن  وجود داشته باشد که در رابطه زیر صدق کند:

.

(11)

بنابراین، مدل فازی TS پایدار مجانبی است.

 

قضیه 2  [21] :سیستم 8 را در نظر بگیرید. اگر دو ماتریس مثبت معین متقارن  وجود داشته باشند که در روابط زیر صدق ‌کنند:

 

(12)

 

که  است؛ سپس مدل فازی TS پایدار مجانبی است.

توجه کنید برای ، شرایط ارائه‌شده توسط قضیه 2  به شرایط کلاسیک پایداری مجانبی تبدیل می‌شود.

نکته مهم این است که شرایط پایداری در قالب LMI در نظر گرفته شد و از ابزارهای قدرتمند بهینه‌سازی محدب بهره برد [3,5,6]. علاوه بر این، در صورت نیاز می‌توانند برخی از ویژگی‌‌‌‌های عملکردی مانند محدودکردن سیگنال کنترل و خروجی‌‌‌‌ یا پایداری نمایی را نیز به مسئلۀ اولیه اضافه کرد  [22].

 

4- پایدارسازی هم‌زمان براساس مدل‌‌‌‌های فازی TS

در این قسمت، شرایط جدیدی را برای پایداری هم‌زمان سیستم‌‌‌‌های غیرخطی با استفاده از نمایش مدل فازی TS آنها پیشنهاد می‌شود.  سیستم غیرخطی را در نظر بگیرید:

.

(13)

که  بردار حالت،  ورودی و  خروجی مربوط به l امین سیستم غیرخطی است. فرض کنید مدل TS این سیستم‌ها به‌صورت

 

(14)

 

 ماتریس حالت مربوط به زیرسیستم i ام سیستم فازی TS برای l امین سیستم غیرخطی است. توابع  و  ویژگی مجموع محدب  و  را برآورده می‌کنند.

هدف اصلی این تحقیق، ‌‌‌پایدارسازی هم‌زمان مجموعه‌‌ای از سیستم‌‌‌‌های غیرخطی با پایدارساز بازخورد حالت و خروجی است.

 

4-1-پایدارسازی هم‌زمان با بازخورد حالت

در این قسمت، ‌‌‌کنترل‌کنندۀ بازخورد حالت زیر پیشنهاد می‌شود:

 

 

(15)

 

به‌منظور پایدارسازی هم‌زمان  سیستم غیرخطی، با توجه به 14 با جایگزینی 15 در 14 سیستم‌‌‌‌های حلقه بسته به‌صورت زیر به دست می‌آیند:

 

(16)

 

مشخص است ؛ بنابراین، رابطه زیر به دست می‌آید:

.

(17)

 

با جایگزینی17 در 16، دینامیک حلقه بسته به شرح زیر خواهد بود:

 

(18)

 

توابع لیاپانوف زیر برای مطالعۀ پایداری مدل‌‌‌‌های فازی تعریف شده‌اند:

.

(19)

با ماتریس‌‌‌‌های مثبت معین متقارن  از  که با استفاده از روش LMI محاسبه می‌شوند، مشتق  در امتداد مسیرهای سیستم[8] محاسبه می‌شود:

.

(20)

با جایگزینی رابطه 18 در رابطه بالا رابطه زیر به دست می‌آید:

.

(21)

 

که برابر است با:

(22)

 

 

با در نظر گرفتن ویژگی مجموع محدب

 سیستم‌‌‌‌های 14 با بازخورد حالت 15 به‌صورت مجانبی پایدارند، اگر:

.

(23)

 

معادله 23 محدب نیست؛ زیرا حاوی ضرب متغیرهای نامعلوم است. برای رسیدن به تحدب، ماتریس لیاپانوف مشترک در نظر گرفته می‌شود:

 

(24)

با در نظر گرفتن تابع لیاپانوف مشترک با تبدیل همنهشتی با  در 23 روابط زیر به دست می‌آیند:

 

(25)

 

با تعریف ، عبارت زیر به دست می‌آید:

 

(26)

 

شرایط با توجه به متغیرهای نا مشخص ،  محدب هستند و بنابراین، قضیه زیر استنتاج می‌شود.

قضیه 3 :  سیستم غیرخطی 14 را در نظر بگیرید. در صورت وجود ماتریس‌‌‌‌های مثبت معین  و  برای برآورد شرایط LMI رابطه 26، سیستم‌ها ‌با بازخورد حالت 15 قابل ‌‌‌پایدارسازی هم‌زمان‌اند.

اگر شرایط 15 برآورده شوند، پایدارساز هم‌زمان از معادله زیر و26 ایجاد می‌شود:

.

(27)

‌‌

4-2-پایدارسازی هم‌زمان با بازخورد خروجی

هدف اصلی، طراحی یک ‌‌‌کنترل‌کنندۀ بازخورد خروجی به شکل زیر است:

 

(28)

 

به‌منظور پایدارسازی هم‌زمان مجموعه‌‌ای از سیستم غیرخطی شرح داده شده در مدل فازی TS در 14 ، با جایگزینی  از14 در 28، روابط زیر به دست می‌آیند:

 

(29)

 

با جایگزینی29 در14، سیستم حلقه بسته به‌صورت زیر خواهد بود:

(30)

 

 

با در نظر گرفتن  رابطه بالا به‌صورت زیر نوشته می‌شود:

(31)

 

با  ماتریس مثبت معین متقارن در ، مشتق  در مسیرهای سیستم محاسبه می‌شود:

 

(32)

 

طبق همان روش استفاده‌شده برای پایدارساز بازخورد حالت، روابط زیر به دست می‌آیند:

(33)

 

 

با در نظر گرفتن ویژگی مجموع محدب ، سیستم‌‌‌‌های 14با ‌‌‌کنترل‌کنندۀ بازخورد خروجی28 به‌صورت مجانبی پایدارند، اگر:

 

(34)

 

معادله 34 محدب نیست؛ زیرا شامل ضرب متغیرهای نامعلوم است. برای رسیدن به تحدب، ماتریس لیاپانوف مشترک در نظر گرفته می‌شود:

 

(35)

با در نظر گرفتن تابع لیاپانوف مشترک با تبدیل همنهشتی  در34 ، روابط زیر به دست می‌آیند:

 

(36)

 

با تعریف  خواهیم داشت:

 

(37)

 

با تعریف  یک مسئلۀ محدب با شرط کافی به دست می‌آید. قضیۀ زیر از روابط بالا استنتاج می‌‌شود.

قضیه 4 :  سیستم غیرخطی14 را در نظر بگیرید. اگر ماتریس‌‌‌‌های معلوم ،  و  وجود داشته باشند که شرایط LMI زیر را برآورده کنند،‌ بازخورد خروجی 28، پایدارساز هم‌زمان 14 خواهد بود:

 

(38)

 

اگر شرایط فوق برآورده شود، خواهیم داشت:

 

(39)

شرایط بالا محدب‌اند و با الگوریتم بهینه‌سازی محدب به‌طور مؤثر حل می‌شوند.

 

5- کاهش ‌‌‌محافظه‌کاری در مسائل طراحی

قضیه 3 و قضیه 4 بر اساس شرایط کافی هستند. اگر شرایط این قضیا برآورده شوند، می‏توانیم پایدارساز همزمان را طراحی کنیم. اما سوال این است که این قضایا تا چه حد محافظه کارانه هستند؟ برای پاسخ به این سوال، ابتدا باید منابع این ‏‏‏محافظه‏کاری را بیابیم. با بررسی روش دستیابی به پایدارساز همزمان در قضیه 3 و قضیه 4 ، منابع ‏‏‏محافظه‏کاری زیر مشخص هستند:

  1. ‏‏‏محافظه‏کاری ذاتی مدل فازی TS با تابع درجه دوم لیاپانوف، یعنی رسیدن به رابطۀ پایداری 23 از 24 در طراحی بازخورد حالت یا رسیدن به رابطۀ پایداری 34 از 33 در طراحی بازخورد خروجی.
  2. در نظر گرفتن تابع مشترک لیاپانوف برای همه سیستم ها.
  3. محدودیت‏‏‏‏های معادله (37) در قضیه 4.

 

در ادامه، سعی خواهیم کرد با حذف یا حداقل بهبود این شرایط، ‏‏‏محافظه‏کاری قضیه طراحی را کاهش دهیم.

 

5-1- پایدارساز با بازخورد حالت

همانطور که در بالا بحث شد، نتیجه قضیه 3 بسیار محافظه کارانه است. ‏‏‏محافظه‏کاری، نتیجه استفاده از قضیه1و همچنین استفاده از تابع لیاپانوف مشترک است. در این قسمت سعی خواهیم کرد اولین منبع ‏‏‏محافظه‏کاری که در بالا توضیح داده شد را با استفاده از قضیه 2 به جای قضیه 1 کاهش دهیم که در نتیجه، منجر به قضیه زیر می‏شود:

قضیه 5:  سیستم غیرخطی 14 را در نظر بگیرید. در صورت وجود ماتریس‌‌‌‌های مثبت معین  و  که شرایط LMI رابطۀ زیر را برآورده کنند، سیستم‌ها ‌با بازخورد حالت 15 به‌طور هم‌زمان قابل پایدارسازی‌اند.

(40)

 

 

 

 

در صورت تحقق شرایط فوق، بازخورد حالت 15 با به دست آمدن ضرایب زیر طراحی می‌شود:

.

(41)

اثبات:

با مقایسۀ قضیه3 و قضیه 2 می‏توان نتیجه گرفت که، اگر دو ماتریس مثبت معین متقارن  وجود داشته باشند که شرایط زیر را برآورده کنند، سیستم 14 به‌صورت مجانبی با بازخورد حالت 15 پایدار می‌شود.

 

(42)

 

که ؛ بنابراین، مدل فازی TS به‌طور مجانبی پایدار است.

توجه داشته باشید ما از تابع لیاپانوف مشترک استفاده کرده‌ایم. برای محدب‌کردن 42 ، روش زیر را در نظر بگیرید:

(43)

 

 

با تعریف ،  و ، شرایط LMI زیر به دست می‌آیند:

(44)

 

 

در صورت تحقق شرایط فوق، بازخورد حالت 15 با به دست آمدن ضرایب زیر طراحی می‌شود:

.

(45)

درنتیجه، قضیه 5 اثبات شد.

نکته: با توجه به استفاده از روش کاهش محافظه کاری که در رابطه (44) استفاده شد، واضح است که شرایط ارائه شده در قضیه 5 در مقایسه با قضیه 3 (همتای خود) ‏‏‏محافظه‏کاری کمتری دارند. در واقع در این روش، شرایط پایداری بجای اینکه توسط رابطه (26) و به ازای  بررسی شوند، توسط رابطه (44) و به ازای   بررسی می شوند که کاهش تعداد LMI ها را در پی خواهد داشت.

 

6- کاهش ‌‌‌محافظه‌کاری براساس لم فینسلر

در این قسمت، از لم فینسلر[9] برای طراحی پایدارساز هم‌زمان با بازخورد خروجی با ‌‌‌محافظه‌کاری نسبتاً کمتر استفاده خواهد شد. لم فینسلر برای راحتی تکرار می‌شود:

(لم فینسلر) [23]: اگر فرض کنید  ،  و ، به طوری که ، جملات زیر معادل‌اند.

 

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

 

که در آن  پایه‌‌ای برای فضای پوچی B است.

با استفاده از لم فینسلر، ما نسبتاً منابع ‌‌‌محافظه‌کاری 2 و 3 پایداری هم‌زمان، یعنی توابع لیاپانوف مشترک و محدودیت‌‌‌‌های معادله را کاهش خواهیم داد. اثبات خواهیم کرد استفاده از لم فینسلر، به قضیۀ زیر منجر می‌شود:

قضیه 6 :  سیستم غیرخطی 14 را در نظر بگیرید. در صورت وجود ماتریس‌‌‌‌های مثبت معین  و ،  که شرایط LMI رابطۀ زیر را برآورده کنند، سیستم‌ها ‌با بازخورد خروجی 28 به‌طور هم‌زمان قابل پایدارسازی‌اند.

 

(46)

 

در صورت تحقق شرایط فوق، کنترل‌کنندۀ بازخورد خروجی 28 با به دست آمدن ضرایب زیر طراحی می‌شود:

 

(47)

اثبات:

33 را دوباره در نظر بگیرید. با در نظر گرفتن ویژگی مجموع محدب ، سیستم‌‌‌‌های 14 با ‌‌‌کنترل‌کنندۀ بازخورد خروجی 28 به‌صورت مجانبی پایدارند، اگر:

 

(48)

 

 

     

 

با تعریف  داریم:

 

(49)

 

دومین نامعادله به‌صورت زیر بازنویسی می‌شود:

 

(50)

 

هم‌اکنون با اعمال لم فینسلر خواهیم داشت:

 

(51)

 

یا معادل آن:

 

(52)

 

بنابراین، خواهیم داشت:

 

(53)

 

برای رسیدن به یک مسئلۀ محدب فقط تغییر متغیر زیر لازم است.

 

(54)

درنتیجه:

.

(55)

درنتیجه، قضیه 6 اثبات شد.

 

7- نتایج عددی

در این بخش، سه مثال عددی برای نشان‌دادن اثربخشی روش‌‌‌‌های پیشنهادی آورده می‌شوند. این پیاده‌سازی‌ها ‌در MATLAB 7.10.0.499 (R2010a) روی رایانه با پردازنده Intel® Core i3 و 4 گیگابایت RAM انجام شده است. همچنین، ازYALMIP (R14SP3)  [24] به‌عنوان پارسر[10] و از حل‌کننده LMI SDPT3 استفاده شده است.

مثال 1: مدل‌‌‌‌های ‌‌‌غیرخطی زیر را در نظر بگیرید که می‌خواهیم ازطریق بازخورد حالت، پایدارسازی هم‌زمان شوند:

 

(56)

 

(57)

سیستم  به‌صورت زیر نوشته می‌شود:

 

(58)

 

که در آن عبارات ‌‌‌غیرخطی به‌صورت زیر تعریف شده‌اند:

(59)

 

برای سادگی، فرض می‌شود ؛ البته، می‌توان هر محدوده‌‌ای را برای  برای ساخت یک مدل فازی فرض کرد. حداقل و حداکثر مقادیر عبارات غیرخطی تحت   به شرح زیر به دست می‌آیند:

 

 

(60)

 

این مدل غیرخطی با مدل TS با ماتریس‌‌‌‌های زیرسیستم‌ها ‌به‌صورت زیر نشان داده می‌شود:

(61)

 

توابع عضویت با فرمول‌‌‌‌های زیر به دست می‌آیند:

 

(62)

 

بنابراین، توابع عضویت   به‌صورت زیر محاسبه می‌شوند:

 

(63)

 

به‌طور مشابه، ماتریس‌‌‌‌های زیرسیستم‌ها ‌و توابع عضویت برای سیستم P2 به دست می‌آیند. با استفاده از LMI‌‌‌‌های پیشنهادی در قضیه ، یک ‌‌‌کنترل‌کنندۀ هم‌زمان بازخورد حالت TS به‌صورت  15 با ضریب بهره‌‌‌‌های زیر برای سیستم‌‌‌‌های P1 و P2 به دست می‌آید:

 

(64)

 

با استفاده از ‌‌‌کنترل‌کنندۀ یادشده، سیستم حلقه بسته شبیه‌سازی می‌شود. سپس، منحنی فاز سیستم‌‌‌‌های حلقه بسته P1 و P2، به‌ترتیب در شکل (1 )و شکل (2 )ارائه شده‌اند

با توجه به شکل‌‌‌‌های 1 و 2، مشاهده می‌شود ‌‌‌کنترل‌کنندۀ بازخورد حالت فازی TS پیشنهادی با موفقیت هر دو سیستم غیرخطی، P1 و P2 را برای شرایط اولیه مختلف پایدار می‌سازد.

مثال 2: مدل‌‌‌‌های ‌‌‌غیرخطی زیر را در نظر بگیرید که می‌خواهیم ازطریق بازخورد حالت به‌طور هم‌زمان پایدار شوند:

 

 

(65)

 

(66)

 

با استفاده از LMI‌‌‌‌های پیشنهادی در قضیه ، یک ‌‌‌کنترل‌کنندۀ هم‌زمان بازخورد حالت TS به‌صورت 15 با ضریب بهره‌‌‌‌های زیر برای سیستم‌‌‌‌هایP3  و P4 به دست می‌آید:

 

 

(67)

 

با استفاده از ‌‌‌کنترل‌کنندۀ یادشده، سیستم حلقه بسته شبیه‌سازی می‌شود. سپس، منحنی فاز سیستم‌‌‌‌های حلقه بسته P3 و P4، به‌ترتیب در شکل (3) و شکل (4 )ارائه شده‌اند.

 

 

شکل (1): منحنی فاز سیستم حلقه بسته P1 در مثال 1.

 

 

شکل (2): منحنی فاز سیستم حلقه بسته P2 در مثال 1

 

 

شکل (3): منحنی فاز سیستم حلقه بسته P3 در مثال 2.

 

شکل (4): منحنی فاز سیستم حلقه بسته P4 در مثال 2

 

 

با توجه به شکل‌‌‌‌های 3 و 4 مشاهده می‌شود ‌‌‌کنترل‌کنندۀ بازخورد حالت فازی TS پیشنهادی با موفقیت هر دو سیستم غیرخطی، P3 و P4 را برای شرایط اولیه مختلف پایدار می‌سازد.

مثال 3: مدل‌‌‌‌های ‌‌‌غیرخطی زیر را در نظر بگیرید که می‌خواهیم ازطریق بازخورد خروجی به‌طور هم‌زمان پایدار شوند:

(68)

 

 

(69)

 

     

سیستم  به‌صورت زیر نوشته می‌شود:

 

(70)

 

که در آن عبارات ‌‌‌غیرخطی به‌صورت زیر تعریف شده‌اند:

 

(71)

 

فرض بر این است که در سیستم  متغیر حالت  دسترس‌ناپذیر یا غیر قابل اندازه‌گیری است و در سیستم  متغیر حالت  دسترس‌ناپذیر یا غیر قابل اندازه‌گیری است. برای سادگی، فرض می‌شود ؛ البته می‌تواند هر محدوده‌‌ای برای  برای ساخت یک مدل فازی فرض شود. حداقل و حداکثر مقادیر عبارات غیرخطی تحت  به شرح زیر به دست می‌آیند:

 

(72)

 

این مدل غیرخطی با مدل TS با ماتریس‌‌‌‌های زیرسیستم‌ها ‌به‌صورت زیر نشان داده می‌شود:

 

 

 

(73)

توابع عضویت با فرمول‌‌‌‌های زیر به دست می‌آیند:

 

(74)

 

بنابراین، توابع عضویت  به‌صورت زیر محاسبه می‌شوند:

 

 

(75)

 

به‌طور مشابه، ماتریس‌‌‌‌های زیرسیستم‌ها ‌و توابع عضویت برای سیستم P6 به دست می‌آیند. با استفاده از LMI‌‌‌‌های پیشنهادی در قضیه 6، یک ‌‌‌کنترل‌کنندۀ هم‌زمان بازخورد خروجی TS به‌صورت 28 با ضریب بهره‌‌‌‌های زیر برای سیستم‌‌‌‌های P5 و P6 به دست می‌آید:

 

(76)

با استفاده از ‌‌‌کنترل‌کنندۀ یادشده، سیستم حلقه بسته، شبیه‌سازی می‌شود. سپس منحنی فاز سیستم‌‌‌‌های حلقه بسته P5 و P6 به‌ترتیب در شکل‌‌‌‌های 5 و 6 ارائه شده‌اند. همچنین، مقدار متغیرهای حالت و خروجی برای سیستم حلقه باز و حلقه بسته P5 با شرایط اولیه  به‌ترتیب در شکل‌‌‌‌های 7 و8 و مقدار متغیرهای حالت و خروجی برای سیستم حلقه باز و حلقه بسته P6 با شرایط اولیه  به‌ترتیب در شکل‌‌‌‌های 9 و 10 ترسیم شده‌اند.

 

 

 

 

شکل (5): منحنی فاز سیستم حلقه بسته P5 در مثال 3.

 

 

شکل (6): منحنی فاز سیستم حلقه بسته P6 در مثال 3.

 

 

 

شکل (7): پاسخ زمانی سیستم حلقه باز P5 در مثال 3.

 

 

شکل (8): پاسخ زمانی سیستم حلقه بسته P5 در مثال 3.

 

 

شکل (9): پاسخ زمانی سیستم حلقه باز P6 در مثال 3.

 

 

شکل (10): پاسخ زمانی سیستم حلقه بسته P6 در مثال 3.

 

با توجه به شکل‌‌‌‌های 5 تا 10 مشاهده می‌شود ‌‌‌کنترل‌کنندۀ بازخورد خروجی فازی TS پیشنهادی با موفقیت، سیستم‌‌‌‌های غیرخطی P5 و P6 را برای شرایط اولیۀ مختلف پایدار می‌سازد.

 

8- نتیجه‌گیری

ساختار جدیدی از ‌‌‌کنترل‌کنندۀ بازخورد حالت و خروجی براساس مدل فازی TS معرفی و شرایط پایداری هم‌زمان برای مجموعه‌‌ای از سیستم‌‌‌‌های غیرخطی بررسی شدند. روابط پایدارسازهای هم‌زمان به‌صورت مسائل محدب و نامساوی‌‌‌‌های ماتریسی خطی استخراج شدند. منابع اصلی ‌‌‌محافظه‌کاری در پایدارساز هم‌زمان ازجمله ‌‌‌محافظه‌کاری ذاتی مدل فازی TS، استفاده از تابع لیاپانوف مشترک و معادلات محدودکننده بررسی شد. با استفاده از لم فینسلر برخی محافظه‌کاری‌های موجود در مسئله، ساده‌سازی شدند و سعی شد شرایط کافی با قیدهای محدودکنندۀ کمتری ارائه شوند. سرانجام، سه مثال عددی برای تأیید قابلیت پیاده‌سازی روش پیشنهادی ارائه شدند.

 

[1] تاریخ ارسال مقاله: 15/09/1399

تاریخ پذیرش مقاله: 17/08/1400

نام نویسندۀ مسئول: نوید بهمنش فرد

نشانی نویسندۀ مسئول: ایران – تهران – دانشگاه فنی و حرفه‌ای - گروه مهندسی برق

 

[1] LyapunovKrasovskii

[2] membership functions

[3] Control Lyapunov Function

[4] Almost stability

[5] Parallel Distributed Compensation

[6] Linear Matrix Inequality

[7] convex sum property

[8] trajectories of the system

[9] Finsler Lemma

[10] Parser

] K. Sabahi, M. Tavan and A. Hajizadeh, "Adaptive T2FPID Controller for Load Frequency Control in a Nonlinear Time-delay Power System," Computational Intelligence in Electrical Engineering, Vol. 11, No. 4, pp. 81-92, 2021.
[2] H. hamidi, "Utilizing metaheuristic algorithms to optimize the rule base in fuzzy systems," Computational Intelligence in Electrical Engineering, Vol. 7, No. 3, pp. 47-68, 2016.
[3] M. Vidyasagar and N. Viswanadham, "Algebraic design techniques for reliable stabilization," IEEE Trans. Automat. Contr., Vol. 27, pp. 1085-1095, 1982.
[4] V. Blondel and M. Gevers, "Simultaneous stabilizability of three linear systems is rationally undecidable," Math. Contr. Sig. Syst., Vol. 6, pp. 135-145, 1993.
[5] J. Dong and G. Yang, "Robust static output feedback control synthesis for linear continuous systems with polytopic uncertainties," Automatica, Vol. 49, pp. 1821-1829, 2013.
[6] P. Kohan-sedgh, A. Khayatian and M. Asemani, "Conservatism reduction in simultaneous output feedback stabilisation of linear systems," IET Control Theory Appl., Vol. 10, No. 17, pp. 2243-2250, 2016.
[7] B. Ho-Mock-Qai and W. P. Dayawansa, "Simultaneous stabilization of linear and nonlinear systems by means of nonlinear state feedback," SIAM J. Control Optim., Vol. 37, pp. 1701-1725, 1999.
[8] J. L. Wu, "Simultaneous stabilization for a collection of single-input nonlinear systems," IEEE transactions on automatic control, Vol. 50, No. 3, pp. 328-337, 2005.
[9] J. Xu, L. Xie and Y. Wang, "Simultaneous Stabilization and Robust Control of polynomial non-linear system Using SOS techniques," IEEE Trans. Automat. Contr., Vol. 54, No. 8, pp. 1892-1897, 2009.
[10] P. Kohan-sedgh, A. Khayatian and N. Behmanesh-Fard, "Simultaneous stabilization of polynomial nonlinear systems via density functions," Journal of the Franklin Institute, Vol. 357, N. 3, pp. 1690-1706, 2020.
[11] A. Dastaviz, T. Binazadeh and Y. Cui, "A novel control Lyapunov-Krasovskii functional methodology for simultaneous stabilization of a set of multiple time-delays nonlinear systems," Journal of the Franklin Institute, Vol. 358, No. 12, pp. 6101-6120, 2021 (doi: 10.1016/j.jfranklin.2021.05.036).
[12] I. Bessa, P. Puig and R. Palhares, "TS fuzzy reconfiguration blocks for fault tolerant control of nonlinear systems," Journal of the Franklin Institute, Vol. 357, No. 8, pp. 4592-4623, 2020.
[13] A. Naseri and M. H. Asemani, "Non-Fragile Robust Strictly Dissipative Control of Disturbed T–S Fuzzy Systems with Input Saturation," Systems, and Signal Processing, Vol. 38, No. 1, pp. 41-62, 2019.
[14] X. Wang, J. H. Park, H. Z. X. Yang and S. Zhong, "Delay-dependent fuzzy sampled-data synchronization of TS fuzzy complex networks with multiple couplings," IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 2019.
[15] Y. Wang, H. Shen, H. R. Karimi and D. Duan, "Dissipativity-based fuzzy integral sliding mode control of continuous-time TS fuzzy systems," IEEE Transactions on Fuzzy Systems, Vol. 26, No. 3, pp. 1164-1176, 2018.
[16] T. Takagi and M. Sugeno, "Fuzzy identification of systems and its application to modeling and control," IEEE Trans. Syst., Man, Cybern., Vols. SMC-15, No. 1, pp. 116-132, 1985.
[17] L. Qiao, L. Li and Y. Lu, "Parallel and Nonparallel Distributed Compensation Controller Design for T-S Fuzzy Discrete Singular Systems With Distinct Difference Item Matrices," IEEE Access, Vol. 9, pp. 87475-87483, 2021.
[18] J. Zhang, W. Chen and X. Lu, "Robust fuzzy stabilization of nonlinear time-delay systems subject to impulsive perturbations," Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, Vol. 80, 2020.
[19] H. Li, Y. Gao, P. Shi and X. Zhao, "Output-feedback control for TS fuzzy delta operator systems with time-varying delays via an input-output approch," IEEE Transactions on Fuzzy Systems, Vol. 23, No. 4, pp. 1100-1112, 2015.
[20] K. Tanaka and M. Sugeno, "Stability analysis and dedign of fuzzy control systems," Fuzzy sets and systems, Vol. 45, pp. 135-156, 1992.
[21] K. Tanaka, K. Ikeda and O. Wang, "Fuzzy Regulators and Fuzzy Observers: Relaxed Stability Conditions and LMI-Based Designs," IEEE TRANSACTIONS ON FUZZY SYSTEMS, Vol. 6, No. 2, pp. 250-266, 1998.
[22] G. Feng, "Analysis and Synthesis of Fuzzy Control Systems - A Model Based Approach," in CRC, Boca Raton, FL, 2010.
[23] G. Dullerud and F. Paganini, A course in robust control theory: a convex approach, Springer Science and Business Media, 2013.
[24] J. Lofberg, "Automatic robust convex programming.," Optimization methods and software, Vol. 27, No. 1, pp. 115-129, 2012.