نوع مقاله : مقاله پژوهشی فارسی

نویسنده

استادیار، گروه مهندسی برق- دانشگاه آزاد اسلامی واحد چابهار- چابهار- ایران

چکیده

در این مقاله، یک کنترل‌کنندۀ فازی مرتبه کسری جدید با نام فازی تناسبی + فازی انتگرالی + فازی مشتقی ([i]FP+FIα+FDβ) پیشنهاد شده است. کنترل‌کنندۀ پیشنهادی در ساختار خود یک بهره، انتگرال‌گیر و مشتق‌گیر با مرتبه کسری است. کنترل‌کنندۀ مدنظر دارای ساختاری با دو مرتبه کسری قابل تنظیم است و به سادگی طراحی می‌شود. این کنترل‌کننده، عمل پایدارسازی را در زمان کوتاهی انجام می‌دهد. همچنین زمان پاسخ‌دهی می‌تواند با استفاده از تنظیم ضریب مقیاس زمانی α و β تغییر یابد که سبب می‌شود نسبت به کنترل‌کننده PID کلاسیک[ii]، انعطاف‌پذیری و عملکرد بهتری داشته باشد. همچنین، در طراحی کنترل‌کنندۀ پیشنهادی، تنظیم بهینۀ بهره‌های کنترل‌کننده و اعضای فازی به یک مسئلۀ بهینه‌سازی تبدیل شده که با الگوریتم ترکیبی جدیدی مبتنی بر کلونی جستجوی ویروس ([iii]VCS) و کلونی زنبورعسل ([iv]ABC) با نام ([v]HVCS-ABC) براساس تابعی در حوزۀ زمان انجام شده است. در الگوریتم ترکیبی پیشنهادی، سعی شده است از نقاط قوت جستجوی محلی و نهایی آنها بهره گرفته شود تا امکان قرارگرفتن در نقاط محلی به‌صورت چشم‌گیری کاهش یابد. بررسی به‌ازای سناریوهای مختلف تغییرات بار، عملکردِ بهتر کنترل‌کنندۀ پیشنهادی را در مواجهه با اغتشاش بار از نقطه‌نظر ریشۀ میانگین مربعات، فراجهش و فروجهش، تعداد نوسانات و زمان نشستِ تغییرات فرکانس نشان می‌دهد.



[i] FuzzyProportional+FuzzyIntegral +FuzzyDerivative
[ii] proportional–integral–derivative
[iii] Virus Colony Search
[iv] Artificial bee colony
[v] Hybrid VCS-ABC

کلیدواژه‌ها

عنوان مقاله [English]

Low Frequency Stability Based on Optimal Design of Proportional-Integral-Deferential Fuzzy Controller-Fractional Order-Intelligent Hybrid Algorithm Based

نویسنده [English]

  • Mohammad Eslami

Dept. of Electrical Engineering, Chabahar Branch, Islamic Azad University, Chabahar, Iran

چکیده [English]

In this paper, a new fractional-order fuzzy controller is proposed named proportional fuzzy+integral fuzzy+deferential fuzzy (FP + FIα + FDβ).The proposed controller in its structure is an integral, derivative gain with a fractional order.This controller is structurally adjustable with two fractional orders and is simply designed. This controller performs the stability process in a short time.The response time can also be changed by adjusting the coefficient of time scale α and β, which cause it to have a better performance compared to the classic PID controller. On the other hand, in the design of the proposed controller, the optimal adjustment of the controller gain and fuzzy members has turned into an optimization problem, which is done by a hybrid algorithm based on the VCS and the HBC colony (ABC) on the basis of a function in time realm.In the proposed hybrid algorithm, we had tried to take advantage of their local and final search powers to reduce the possibility of local presence dramatically.Investigations of different load variation scenarios, better performance of the proposed controller facing load disturbances from the root mean square, rise and fall time, will show the number of oscillations, and the fall time of the frequency changes.

کلیدواژه‌ها [English]

  • intelligent hybrid algorithm
  • optimization
  • virus search colony
  • bee colony
  • fractional-order fuzzy controller
  • low frequency oscillations

1- مقدمه
توسعۀ سیستم‌های امروزی و افزایش روزافزون مصرف‌کنندگان انرژی الکتریکی، سبب شده است توسعۀ سیستم‌ها و در نتیجۀ آنها ماهیت غیرخطی، به‌صورت گسترده‌ای توسعه یابد؛ به گونه‌ای که در سیستم‌های امروزی شاهد مدل‌های توسعه‌یافته به وسعت یک قاره‌ایم که با مدل‌سازی آنها به یک مدل یکپارچه و منسجم دست می‌یابیم که هر بخش بر بخش دیگری تأثیر می‌گذارد. در راستای این توسعه که با مزایا و نکات مفید مختلفی همراه است، در شاخۀ دینامیک سیستم‌های غیرخطی قدرت نیز مانند سایر شاخه‌ها مسائل جدیدی ارائه شده است؛ ازجمله، پدیدۀ نوسانات با فرکانس کم، تشدید زیر سنکرون و افت ولتاژ [1-3].
در این میان، پژوهشگران به ایجاد نوسانات با فرکانس کم توجه بیشتری داشته‌اند. سیستم غیرخطی در بحث پایداری دینامیکی مطالعه‌شده از اهمیت بسزایی برخوردار است. ایجاد چنین اتفاقات ناخواسته‌ای در شبکه، انحراف عملکرد سیستم از نقطه عملکرد پایداری را به همراه خواهد داشت. در چنین شرایطی، با فرض از دست نرفتن سنکرون‌بودن شبکه، سیستم مطالعه‌شده با نوسانات فرکانس کم، توانایی حرکت به نقطۀ تعادل جدید را خواهد داشت. زمانی که یک ژنراتور الکتریکی به‌تنهایی کار می‌کند، نوسانات با فرکانس کم به دلیل میرایی ذاتی به شکل نسبتاً پذیرفتنی محیا خواهد بود؛ اما وجود برخی از عناصر مانند تحریک‌کننده‌های سریع، با اثر دینامیک قسمت‌های مختلف شبکه ممکن است باعث ایجاد میرایی منفی شده است؛ به گونه‌ای که نوسانات فرکانس کم شبکه به شکل مناسبی میرا نمی‌شود یا حتی از میرایی منفی برخوردار می‌شوند و درنهایت، سیستم مطالعه‌شده پایداری خود را از دست می‌دهد [4-5]. پایداری سیستم به وجود دو مؤلفۀ گشتاور سنکرون‌کننده و گشتاور میراکننده برای هر ماشین سنکرون بستگی دارد. کمبود گشتاور سنکرون‌کننده به ناپایداری ازطریق رانش غیر نوسانی زاویۀ روتور منجر می‌شود. همچنین، کمبود گشتاور میراکننده هم به ناپایداری نوسانی منجر می‌شود [6].
همراه با پیشرفت‌های چشمگیر در تئوری سیستم‌ها و کنترل، روش‌های جدید برای طراحی کنترل‌کننده‌ها ارائه شده است؛ برای نمونه، کنترل‌کننده‌های طرح‌شده براساس تئوری‌های کنترل تطبیقی، کنترل مقاوم، شبکه‌های عصبی مصنوعی و کنترل فازی [7-9]. در همۀ این روش‌ها سعی شده است نقایص موجود در طراحی کلاسیک مرتفع شوند؛ به‌ طوری‌ که کنترل‌کننده به شکل مؤثرتری بر پایداری سیستم و بهبود میرایی نوسانات اثر گذارد. در همۀ این روش‌ها سعی شده است نقایص موجود در طراحی کلاسیک مرتفع شوند؛ به ‌طوری‌ که کنترل‌کننده به شکل مؤثرتری بر پایداری سیستم و بهبود میرایی نوسانات اثر گذارد.
در یک دسته‌بندی کلی، روش‌های ارائه‌شده به روش‌های کلاسیک و هوش بهینه‌سازی تقسیم‌بندی می‌شوند: در روش‌های کنترل‌کنندۀ کلاسیک، سرعت و فرکانس به‌عنوان سیگنال کنترلی به‌تنهایی یا به‌صورت ترکیب‌های متعدد برای تولید گشتاور اضافی رتور برای میراکردن نوسانات فرکانس پایین استفاده شده است. پایدار‌ساز پیش‌فاز – پس‌فاز کلاسیک در موارد متعددی به‌صورت فیزیکی تحقق یافته و به‌طور وسیع در صنعت برق استفاده شده است. اصول عملکرد این کنترل‌کننده مبتنی بر مفاهیم گشتاور میرایی و سنکرونیزه در ژنراتور است [10]. باید توجه داشت برای طراحی کنترل‌کننده‌های میراگر کلاسیک از مدل خطی‌شده حول نقطه کار معین استفاده می‌شود و فرض بر آن است که مدل دقیقی از سیستم در دسترس بوده و پارامترهای آن ثابت است. با توجه به اینکه ویژگی‌های برجستۀ سیستم مدنظر، ماهیت متغیر بارگذاری، تولید، مصرف و تغییر آرایش سیستم است، چنانچه نقطه کار سیستم تغییر کند، کنترل‌کننده‌های کلاسیک طراحی‌شده براساس پارامتر‌های ثابت، مدل عملکرد سیستم را مختل می‌کنند و کارآیی مناسبی نخواهند داشت [11]. به ‌عبارت ‌دیگر، عیب عمدۀ کنترل‌کننده‌های کلاسیک، بی‌توجهی به مسئلۀ عدم قطعیت مدل و حساسیت به نقطه کار و درنتیجه، نبود عملکرد مقاوم است. همچنین کنترل‌کننده‌های تطبیقی و ساختار متغیر به دلیل پیچیدگی الگوریتم کنترلی و مسئلۀ کلیدزنی و استفاده از متغیرهای حالت در کاربردهای عملی چندان رونق نیافته‌اند [12].
استفاده از روش‌های هوشمند در کنترل سیستم‌های پیچیده و غیرخطی در سال‌های اخیر به‌صورت ویژه‌ای در زمینه‌های مختلف علوم و فن‌آوری به کار گرفته شده است. روش‌های بهینه‌سازی سنتی دربرگیرندۀ تکنیک‌های مبتنی بر مشتق‌گیری هستند. چنین روش‌هایی نیرومند بوده و کارایی آنها در حل انواع مختلف مسائل بهینه‌سازی به اثبات رسیده است [13-14].
در مرجع [15] مقایسه‌ای بین کنترل‌کنندۀ کلاسیک پایدارساز سیستم قدرت و پایدارساز فازی برای سیستم چند ماشینه به کمک الگوریتم اجتماع ذرات ارائه شده است. در روش پیشنهادی از ساختار خطی‌سازی بهره گرفته شده است. از الگوریتم پیشنهادی برای تنظیم پارامترهای کنترل‌کنندۀ کلاسیک و اعضای فازی استفاده شده است. در [16] یک روش برای تنظیم بلادرنگ پارامترهای پایدارساز سیستم قدرت سنتی با استفاده از شبکۀ عصبی با توابع پایه شعاعی ارائه شده است که براساس الگوریتم یادگیری متعامد، کمترین خطای مربعات آموزش داده می‌شود. عملکرد اساسی این مدل مبتنی بر جمع‌کردن ورودی‌ها و به دنبال آن، به وجود آمدن یک خروجی است. ورودی‌های نورون‌ها ازطریق دنریت‌ها وارد می‌شوند که به خروجی نورون‌های دیگر ازطریق سیناپس متصل‌اند. در مرجع [17] از الگوریتم QPSO استفاده شده است؛ این الگوریتم هم پارامتر کمتری نسبت به PSO دارد، هم قدرتمندتر از PSO است؛ همچنین در مقایسه با PSO نتایج بهتری را به دست داده است. برای اطمینان از اینکه این روش به‌اندازۀ کافی نیرومند است، در محدودۀ وسیعی از موقعیت بهره‌برداری و در پیکربندی‌های مختلف سیستم بررسی شده است. اثر کنترل‌کنندۀ پیشنهادی در حوزه زمانی غیرخطی و بررسی شاخص‌های مختلف تحت اغتشاشات متفاوت و محدودۀ وسیعی از شرایط باری مختلف بررسی شده است. نتایج بررسی‌ها نشان می‌دهند کنترل‌کننده UPFC بر پایه QPSO قابلیت میراسازی نوسانات فرکانس کوچک و بالابردن پایداری دینامیکی سیستم قدرت را به نحو احسن دارد و در مقایسه با PSO بسیار مناسب‌تر است. در مرجع [18] از الگوریتم دیگری به نام COA به جای الگوریتم PSO استفاده شده است. از ویژگی‌های این الگوریتم، اجرای آسان، زمان اجرای کم، مکانیزم قوی در فرار از مقادیر بهینۀ محلی‌اند که برای کارهای مهندسی امیدبخش‌اند.
در [18] روشی کنترلی تناسبی - انتگرالی مشتقی مرتبه کسری برای کنترل بار - فرکانس ریزشبکه ارائه شده است که پارامترهای کنترل‌کننده با الگوریتم ترکیبی ازدحام ذرات مبتنی بر دیوانگی و الگوریتم جستجوی الگو بهینه شده‌‌اند. ترکیب الگوریتم - که برای جستجوی کلی استفاده می‌شود و الگوریتم ترکیبی برای جستجوی محلی استفاده می‌شود - سبب افزایش سرعت همگرایی شده است. در مدلسازی ریزشبکه از مدلی غیرخطی - با در نظر گرفتن اثر پدیده‌هایی مانند اشباع، باند راکد، محدودیت تغییر نرخ توان استفاده شده است.
در [19] از کنترل‌کنندۀ PID مرتبه کسری ( FOPID) به دلیل عملکرد مقاوم و ساختار سادۀ آن، برای کنترل فرکانس ریزشبکۀ جزیره‌ای استفاده شده است. با استفاده از سیستم فازی، ورودی کنترل‌کنندۀ FOPID، تولید و عملکرد کنترل‌کننده بهبود یافته است. از الگوریتم رقابت استعماری برای تعیین پارامتر‌های کنترل‌کنندۀ FOPID فازی پیشنهادی بهره گرفته شده است. مقایسۀ طرح کنترلی پیشنهادی با کنترل PID کلاسیک و FOPID، به‌ازای سناریو‌های مختلف تغییرات بار، عملکردِ بهتر ِکنترل‌کنندۀ پیشنهادی را در مواجهه با اغتشاش بار از نقطه‌نظر ریشۀ میانگین مربعات، فراجهش و فروجهش، تعداد نوسانات و زمان نشستِ تغییرات فرکانس نشان می‌دهد. در [20] با بهره‌گیری از سیستم‌های فازی و مرتبه کسری، کنترل‌کنندۀ تناسبی – انتگرالی - مشتقی فازی مرتبه کسری برای هدایت سیستم کوادروتور به‌منظور بهبود سرعت پاسخ‌گویی، دقت ردیابی و مقاومت سیستم کنترل نسبت به کنترل‌کنندۀ سنتی تناسبی – انتگرالی - مشتقی طراحی شده است. ساختار کنترل‌کنندۀ زیرسیستم دینامیکی زیرتحریک کوادروتور براساس تئوری کنترل حلقه داخلی -بیرونی طراحی شده که در آن از تحلیل سینماتیک معکوس صریح و تحلیلی سیستم برای ارتباط حلقه‌های‌ داخلی و بیرونی استفاده شده است. در [21] پایدارساز مبتنی بر منطق فازی ارائه‌ شده است. در [22] کنترل‌کننده مبتنی بر فیدبک خروجی شمای غیرمتمرکز داشته و تنها نیازمند مدهای محلی در واحد تولیدی بوده که از حیث پیاده‌سازی آسان‌تر است. هرچند روش پیشنهادی کارایی مناسبی در میراسازی نوسانات از خود نشان می‌دهد، در اختلالات بزرگ‌تر نمی‌تواند مقاوم‌بودن خود را حفظ کند. این مشکل در اختلالات سیگنال ورودی برای کنترل‌کنندۀ فازی ایجاد می‌شود.
به‌تازگی استفاده از کنترل‌کننده PID مرتبه کسری FOPID به دلیل ساختار انعطاف‌پذیر و مقاوم برای کنترل سیستم‌های مختلف در مقالات متعددی، معرفی و در کنترل فرایندهای مختلف استفاده شده‌اند.
در [23] از کنترلر تناسبی – انتگرالی – مشتق‌گیر مرتبه کسری بهینه‌شده با الگوریتم ترکیبی گرگ خاکستری -جستجوی الگو برای کنترل فرکانس هر یک از مناطق ریزشبکه و نیز کنترل توان بین مناطق متصل به هم استفاده شده است؛ به طوری که عدم قطعیت پارامترهای ریزشبکه‌ها در نظر گرفته شده است. کنترل‌کنندۀ پیشنهادی در حلقه ثانویۀ هر یک ریزشبکه‌ها قرار داده شده است. عملکرد مناسب و مقاوم در برابر عدم قطعیت پارامترهای ریزشبکه‌ها در شبیه‌سازها نشان داده شده است.
کنترل‌کننده FOPID نسبت به کنترل‌کننده‌های مرتبه صحیح PID دارای دو پارامتر بیشتر در ساختار خود است؛ یکی توان کسری انتگرال‌گیر و دیگری توان کسری مشتق‌گیر که سبب ایجاد دو درجه آزادی بیشتر در طراحی کنترل‌کننده و بهبود دینامیک سیستم می‌شود؛ ازاین‌رو، از این کنترل‌کننده در سال‌های اخیر برای کنترل فرکانس سیستم‌های مختلف استفاده شده است [23].
در این مقاله به‌منظور دست‌یابی به کنترل‌کنندۀ مقاوم که بتواند ویژگی‌های سیستم فازی و FOPID را حفظ کند، یک کنترل‌کننده فازی -FOPID با ساختار (FP+FIα+FDβ) پیشنهاد شده است. همچنین، تنظیم بهینۀ پارامترهای این کنترل‌کننده به یک مسئلۀ بهینه‌سازی مبتنی بر انتگرال مربعات حاصل‌ضرب زمان و تغییرات فرکانس تبدیل شده که درنهایت، با الگوریتم ترکیبی مبتنی بر کلونی جستجوی ویروس [24] و کلونی زنبورعسل [25] به حل آن پرداخته شده است. الگوریتم کلونی جستجوی ویروس [24] و کلونی زنبورعسل [25] دو روش موفق برای سال‌های اخیرند که براساس مطالعۀ انجام‌گرفته نشان داده شده است که ترکیب این دو می‌تواند به جستجوی محلی و نهایی بالاتری دست یابد.

2- مدل‌سازی مسئلۀ مطالعه‌شده
2-1- مدل‌سازی غیرخطی سیستم چندماشینه
مدل غیرخطی سیستم تک‌ماشینه با مجموعه‌ای از معادلات جبری - دیفرانسیلی توصیف شده که ناشی از مدل‌های ژنراتورها، بارها و سایر ادوات همچون سیستم‌های کنترل است که ازطریق معادلات جبری شبکه به هم اتصال داده می‌شوند. در این مقاله، ژنراتور سیستم با مدل دومحوری [1] برای شبیه‌سازی در حوزه زمان استفاده می‌شود که معادلات آن به‌صورت زیر بیان می‌شوند.

(1)
(2)
(3(
(4)
(5)

که در آن، Te گشتاور الکتریکی، δ زاویه روتور، T'do ثابت زمانی مدار تحریک، ω سرعت روتور، KA بهره رگولاتور، Pm توان ورودی مکانیکی، TA ثابت زمانی رگولاتور، Pe توان خروجی الکتریکی، vref ولتاژ مرجع، E'q ولتاژ داخلی ژنراتور، v ولتاژ ترمینال و E'q ولتاژ داخلی ژنراتور است. با توجه به اینکه تولید در سیستم قدرت بر پایۀ ماشین‌های سنکرون (ژنراتورها) استوار است، شرط لازم برای عملکرد پذیرفتنی سیستم این است که همۀ ماشین‌های مزبور با یکدیگر در حالت سنکرون باقی بمانند. معادلات مکانیکی بر مبنای پریونیت چندماشینه به‌صورت زیر بیان می‌شوند:

(6)
(7)

که Hi،Tmi و Tei به‌ترتیب اینرسی و گشتاورهای مکانیکی و الکتریکیi امین ماشین‌اند. معادلات استاتور بر حسب پریونیت بدون در نظر گرفتن توالی صفر و حالت گذرای استاتور به‌صورت زیرند:

(8)
(9)

اندیس i برای iامین ماشین، Smo لغزش اولیۀ ماشین است که در بیشتر موارد صفر در نظر گرفته می‌شود. مقدار لغزش برای معادلات بالا به‌صورت زیر بیان می‌شود:

(10)
اگر از حالات گذرای استاتور، صرف‌نظر و نیز Smo=0 لحاظ شود، معادلات چندماشینه به‌صورت زیر بازنویسی می‌شوند:

(11)
(12)

2-1- کنترل‌کنندۀ فازی مرتبه کسری -FOPID
حسابان کسری (مشتق و انتگرال‌گیر با مرتبه کسری) از مدت‌زمان بسیار طولانی شایان توجه ریاضیدان‌ها قرار گرفته است؛ ولی کاربرد آن در مسائل مهندسی، به‌ویژه در مسائل مدل‌سازی و کنترل، سابقۀ طولانی ندارد. به دلیل آزادی عملی که روی مرتبۀ مشتق‌گیر و انتگرال‌گیر وجود دارد، می‌توان سیستم‌های فیزیکی را با دقت بسیار زیادی مدل کرد. در زمینۀ کنترل سیستم‌ها نیز وضعیت به همین منوال است؛ یعنی می‌توان کنترل‌کننده‌هایی با کارایی بسیار بالا، چه برای سیستم‌های با مرتبه کسری و چه برای سیستم‌های با مرتبه صحیح طراحی کرد. در این بخش ایدۀ کنترل‌کنندۀ فازی FOPID پیشنهادی برای پایداری فرکانس کم ارائه شده است. قبل از بیان مدل فازی (FP+FIα+FDβ) پیشنهادی، ابتدا مدل کنترل‌کنندۀ مرتبه کسری PIαDβ بیان می‌شود. کنترل‌کننده PIαDβ مرتبه کسری یک ساختار مناسب با مرتبـه کسری است که برای اهداف کنترلی به کار گرفته می‌شود. پودلابنی در سال 1999 ایـن کنترل‌کننده را نخستین‌بار معرفی کرد [26]. یک کنترل‌کننده FOPID با پنج پارامتر، شـامل بهـره تناسـبی، بهـره انتگرالی، بهره مشتقی، مرتبه انتگرال‌گیری و مرتبه مشتق‌گیری مشخص می‌شود. عملگر کلی برای محاسبۀ مشتق و انتگرال و تناسبی به‌صورت زیر بیان می‌شود:
(13)

با در نظر گرفتن تعریف مرتبه کسری و تعمیم مفهوم مشتق، عدد صحیح n به مفهوم با عدد غیرصحیح α بیان می‌شود. به‌صورت مشابه، این مفهوم برای انتگرال با مرتبه کسری β نیز بیان می‌شود. براساس مفهوم Caputo مرتبه کسری به‌صورت زیر تعریف می‌شود:
(14)

که در رابطه بالا و n یک عدد صحیح و تابع گامای اویلر است که در حالت خاص n=x برابر با است. معادلۀ دیفرانسیل یک کنترل‌کننده PIαDβ مرتبه کسری براساس تابع تبدیل به‌صورت زیر بیان می‌شود:
(15)

براساس تابع تبدیل لاپلاس، معادلۀ تبدیل پیوسته به‌صورت زیر فرموله می‌شود:
(16)

برای کاربرد این عملگر مرتبه کسری در تحقیقات عملی باید یک تقریب از آن به‌وسیلۀ توابع انتقال مرتبه صحیح به ‌دست آید. در اینجا از تقریب Oustaloup بهره گرفته شده است [26]:
(17)
(18)

حال با تعریف مدل مرتبه کسری FOPID، استراتژی کنترل‌کنندۀ فازی پیشنهادی بیان می‌شود. استراتژی کنترل‌کنندۀ پیشنهادی به‌گونه‌ای است که ضرایب کنترل‌کنندۀ فازی PIαDβ در ساختار FP+FIα+FDβ با منطق فازی تنظیم می‌شوند. الگوریتم ترکیبی کلونی جستجوی ویروس و کلونی زنبورعسل با عنوان HVCS-ABC برای بهبود عملکرد کنترل‌کنندۀ مدنظر کـه دارای سـرعت همگرایی و کارآیی خوبی برای بهینه‌یابی توابع غیرخطی است، برای تنظیم بهینۀ پارامترهای آن شامل ضرایب، توابع عضویت، ضرایب وزنی FOPID و قواعـد فازی در چند مرحله استفاده می‌شود. شکل 1 اصول طراحی کنترل‌کنندۀ پیشنهادی را نشان می‌دهد که لایۀ اول کنترل‌کننده FOPID و لایۀ دوم منطق فازی است.


شکل (1): طرح‌وارۀ کلی سیستم کنترل پیشنهادی

در ایـن مقاله نیز برای بهینه‌سازی رفتـار کنترل‌کننده‌های فازی پیشنهادی از الگوریتم ترکیبی HVCS-ABC بهره گرفته شده است. عملکرد این روش در تنظیم بهینۀ پارامترهای کنترل‌کنندۀ پیشنهادی به‌صورت طرح‌گونه در شکل 2 نشان داده شده است. ایدۀ این کنترل‌کننده از این دیدگاه ناشی می‌شود که کنترل‌کننده PD فازی پاسخ سیستم را سریع‌تر می‌کند و مقدار حداکثر فراجهش را کاهش می‌دهد و کنترل‌کنندۀ انتگرالی خطای حالت ماندگار را حذف می‌کند؛ بنابراین، با ترکیب دو نوع کنترل‌کنندۀ مذکور با یک کلید فازی می‌توان ضمن بهبود عملکرد کنترل‌کننده، تمام خصوصیات کنترل‌کننده PD و انتگرالی را به دست آورد. همچنین کنترل‌کنندۀ مدنظر دارای ساختاری ساده با دو پارامتر قابل تنظیم است و به‌سادگی طراحی می‌شود. این کنترل‌کننده، عمل پایدارسازی را در زمان کوتاهی انجام می‌دهد. همچنین زمان پاسخ‌دهی می‌تواند با استفاده از تنظیم ضریب مقیاس زمانی α و β تغییر یابد.


شکل (2): ساختار کنترل‌کنندۀ فازی - PID تنظیم‌شده با الگوریتم بهینه‌سازی پیشنهادی


3- الگوریتم ترکیبی HVCS-ABC
3-1- الگوریتم استاندارد کلونی جستجوی ویروس
در این بخش، معادلات ریاضی الگوریتم استاندارد کلونی جستجوی ویروس بیان می‌شود. برای توضیحات بیشتر به مرجع [24] رجوع شود.
الف) انتشار ویروس: الگوریتم پیاده‌روی، بیان‌کنندۀ رفتار ویروس در یافتن سلول میزبان است. روش پیاده‌روی گوسی یک روش مناسب برای مدل‌کردن این رفتار و دوری‌گزیدن از جواب بهینۀ محلی است که با رابطه زیر فرموله می‌شود:
(19)
که i شاخص انتخاب تصادفی از مجموعه {1,2,…,N} و N تعداد کل جمعیت است. بهترین جواب تولیدشده در تکرار g و r1 و r2 دو متغیر تصادفی بین 0 و 1 است. برای پارامتر گوسی، انحراف معیار با رابطه به دست می‌آید. در فرمول فوق جهت بردار برای دوری‌گزیدن از نقاط محلی است که بیان‌کننده iامین مکان از کل جمعیت است. همچنین برای بهبود عملکرد جستجوی محلی، در نظر گرفته شده است. این ضریب در تکرارهای اولیه، مقدار نوسانات بالاتری دارد که به‌تدریج با افزایش تکرار برنامه به سمت نوسانات پایین‌تر سوق پیدا می‌کند و هدایت بهتری به سمت جواب بهینۀ نهایی ایجاد می‌کند. همچنین تضمین‌کنندۀ تولید جواب‌های بهتر براساس هدایت جواب نهایی دارد که با بردار جهت‌گیری می‌کند.
ب- تأثیرپذیری سلول میزبان: تأثیرپذیری سلول میزبان با مدل CMA-ES مبتنی بر ماتریس کوواریانس با گام‌های زیر مدل می‌شود:
گام اول: به‌روزرسانی Hpop با رابطه:
(20)

که توزیع نرمال با میانگین و ماتریس کوواریانس با ابعاد D×D، g تکرار فعلی برنامه، D بعد مسئله و σg>0 است. با مقدار اولیه زیر بیان می‌شود:
(21)

گام دوم: بهترین بردار γ از بخش قبلی، انتخاب و بردار والدین با مرکزیت زیر در نظر گرفته شود:

(22)

که در رابطه فوق، و wi ضریب ترکیب و اندیس i نشان‌دهندۀ بهترین جواب در مجموعه جواب است. بر اساس این، دو مسیر حرکت تکاملی مطابق با روابط زیر خواهیم داشت:
(23)
(24)

که متقارن، مثبت و برقرارکنندۀ شرط است. پارامترهای محاسباتی به‌صورت معمول با ، و hσ=1 تنظیم می‌شوند؛ البته اگر hσ=0 آنگاه مقدار بزرگی است.
گام سوم: به‌روزرسانی اندازه و ماتریس کوواریانس با:
(25)
(26)

که معمولاً نزدیک به 1 و است که مطابق با رابطه زیر عمل می‌کند:

(27)
که نرخ به‌روزرسانی برای ماتریس کوواریانس C است.
ج- عملکرد سیستم ایمنی: عملکرد سیستم ایمنی بدن به‌صورت زیر فرموله می‌شود:
گام اول: محاسبۀ معیار عملکردی Pr برای جمعیتVpop براساس تابع هدف سیستم مطالعه‌شده:
(28)

که N تعداد کل جمعیتVpop و rank(i) میانگین تابع هدف از ith جمعیت Vpop است.
گام دوم: رشدکردن هر جمعیت به‌صورت انفرادی از میان جمعیتVpop با رابطه:

(29)

که اندیس‌های k, i, h به‌صورت تصادفی از مجموعه [1, 2, 3, … , N] انتخاب می‌شوند؛ به‌ گونه‌ای که و j ∈ [1, 2, 3,..., d] است. rand و r عددهای تصادفی بین 0 و 1 هستند. فرمول‌های فوق نشان می‌دهند هر جواب به‌تنهایی سعی در ذخیرۀ بهترین مقدار فعلی خود دارد. همچنین اگر جوابی از محدودۀ مسئله خارج شود، مجدد براساس محدودۀ بالا و پایین تولید می‌شود:

(30)

3-2- الگوریتم استاندارد کلونی زنبورعسل
الگوریتم‌های غیر مبتنی بر فرومن، عموماً برگرفته از رفتار زنبورهای عسل‌اند. الگوریتم کلونی زنبورهای مصنوعی یک تکنیک برای حل مسائل بهینه‌سازی است که بر مبنای رفتار زنبورهای عسل در طبیعت است. روابط کلی آن در این بخش بیان می‌شود. برای مطالعۀ بیشتر به مرجع [25] رجوع شود. نحوۀ کدگذاری این الگوریتم عبارت ‌است از:
1. مقداردهی اولیه به‌عنوان جواب‌های اولیه Xij؛
2. محاسبۀ جواب‌های اولیه در تابع هدف؛
3. تکرار اولیهcycle=1 ؛
4. فراهم‌کردن جواب‌های جدید براساس یافتن منبع تغذیۀ جدید Vij در همسایگی Xij، برای تولید جواب‌های جدید از فرمول زیر استفاده می‌شود:

(31)

که در این فرمول k جواب به‌دست‌آمده در همسایگی از i و یک عدد تصادفی بین (1،1-) است؛
5. انتخاب بهترین منبع یا جواب بهتر بین Xij و Vij؛
6. محاسبۀ میزان احتمال برای جواب‌های Xij براساس فرمول زیر:
(32)

درحقیقت برای به دست آوردن شایستگی جواب‌ها از فرمول زیر استفاده می‌شود:

(33)

جواب‌های بین (1،1-) است.
1. تولید جواب‌های جدید (منابع جدید) Vi براساس زنبورهای تماشاگر از جواب‌های Xi و تعیین میزان احتمال آنها ؛
2. انتخاب بهترین جواب (پرخورترین زنبور) بین جواب‌های Xij و Vij؛
3. تعیین منابع فاسد و جایگزین منابع تصادفی با آن منابع تصادفی ایجادشده توسط زنبور پیش‌آهنگ Xi با استفاده از فرمول زیر:
(34)

4. ذخیره‌کردن بهترین جواب (منبع تغذیه با کیفیت) که تا این مرحله به دست آمده است.
(24) Cycle=Cycle+1

تکرار تمام مراحل قبلی تا رسیدن به شرط پایان برنامه.

3-3- الگوریتم ترکیبی پیشنهادی HVCS-ABC
الگوریتم کلونی زنبور، الهام‌گرفته از رفتار اجتماعی یک کلونی زنبورعسل در پیداکردن شهد است. در این الگوریتم، تمام اعضا (زنبورها) دارای یک مقدار شایستگی بوده است که در تابع هدف تعیین می‌شوند. الگوریتم ABC با یک مقداردهی تصادفی اولیه شروع می‌شود. سپس این مقادیر با تولیدهای جدید (نسل‌های جدید) براساس میزان مقدار تابع هدف (شایستگی) آنها مرتب می‌شوند. دو مقدار بهینه در هر تکرار به دست می‌آید؛ یکی بهترین جواب در آن تکرار است و دیگری به‌عنوان بهترین جواب تا کنون هر زنبور در جمعیت به دست می‌آید.
ویروس‌ها در الگوریتم کلونی جستجوی ویروس برای حفظ بقا و تولید و تکثیر خود نیازمند سلول‌های میزبان‌اند؛ به این معنا که حرکت تکاملی آنها زمانی رخ می‌دهد که بتوانند به‌اندازۀ کافی تکثیر و با تغییرات محیط جدید تطبیق یابند. استراتژی کلونی ویروس‌ها برای بقا شامل تکثیر و آلوده‌کردن سلول میزبان و عملکرد سیستم دفاعی است.
ترکیب یا هیبریدشدن شامل ترکیب دو یا تعداد بیشتری از چیزهای مختلف است که سبب رسیدن به نتیجۀ بهتری نسبت به حالت‌های مجزای آنها می‌شود. الگوریتم کلونی زنبورعسل و الگوریتم کلونی جستجوی ویروس دارای خصوصیات شبیه‌به‌هم‌اند. ازجمله هر دو دارای جمعیت تصادفی اولیه و دارای مقدار شایستگی برای ارزیابی جمعیت‌اند؛ بنابراین، ترکیب این دو روش باعث ایجاد یک الگوریتم ترکیبی کارآمد می‌شود. شکل 3 ساختار کلی روش پیشنهادی HVCS-ABC را نشان می‌دهد. الگوریتم ترکیبی VCS و ABC با یک جمعیت اولیه شروع می‌شود. هرگاه مسئله N بعدی باشد، الگوریتم ترکیبی 4N عضوی است که به‌صورت کاملاً تصادفی تولید می‌شود. 4N عضو براساس میزان شایستگی، مرتب و 2N عضو بالایی به‌عنوان جواب اولیه وارد VCS می‌شود و جمعیت جدید 2N عضوی با روابط ارتقای الگوریتم ABC ایجاد می‌شود. به 2N عضو پایینی به‌عنوان زنبورهای جستجوگر، سازوکار بهینه‌سازی الگوریتم ABC اعمال می‌شود. در اعمال سازوکار بهینه‌سازی از جمعیت جدید ایجادشده با الگوریتم VCS به‌عنوان تنظیم‌کننده استفاده می‌شود. همچنین بهترین عضو این جمعیت جدید و هر عضو متناظر آن به‌عنوان یک همسایگی استفاده می‌شود. جمعیت حاصل از اعمال سازوکار جستجوی منبع شهد با جمعیت ایجادشده از الگوریتم VCS ادغام می‌شود و 4N عضو جدید براساس شایستگی، مرتب‌سازی و روند قبلی تا حصول همگرایی تکرار می‌شود


شکل (3): ترکیب الگوریتم جستجوی کلونی ویروس ( ) و کلونی زنبورعسل ( )

4- اعمال الگوریتم پیشنهادی برای طراحی کنترل‌کنندۀ پیشنهادی
در این بخش، نحوۀ طراحی کنترل‌کنندۀ فازی پیشنهادی براساس مدل توسعه‌یافتۀ الگوریتم کلونی ویروس بیان شده است. گام‌های زیر برای طراحی مدنظر پیگیری می‌شوند:
گام اول: مرتب‌سازی داده‌های اولیه مانند اطلاعات سیستم مطالعه‌شده، اعمال قیود وارده، اطلاعات ژنراتورها و سیستم‌های مرتبط، اطلاعات باس‌ها و غیره.
گام دوم: تنظیم پارامترهای اولیۀ الگوریتم پیشنهادی ازجمله تعداد جمعیت، تعداد تکرار برنامه، تعداد سلول‌های میزبان، ضرایب تابع گوسی برای آسیب‌زدن سلول میزبان، مقدار limit، فراخوانی اطلاعات سیستم مطالعه‌شده و قراردادن محدودیت‌های وارده بر سیستم.
گام سوم: استفاده از الگوریتم ترکیبی پیشنهادی برای تولید جواب‌های جدید در فضای جستجو.
گام چهارم: تنظیم بهینۀ پارامترهای سیستم کنترل‌کنندۀ پیشنهادی براساس تابعی از حوزه زمان که به‌صورت زیر تعریف می‌شود:
(35)

در معادله فوق، tsim مدت‌زمان شبیه‌سازی برای فرایند بهینه‌سازی، تغییرات سرعت، Np تعداد نقاط کاری سیستم و Ng تعداد ژنراتورها هستند. در این تابع، هدف، کم‌کردن اورشوت و آندرشوت و زمان نشست است. در طراحی کنترل‌کنندۀ پیشنهادی، محدودۀ پارامترها به‌صورت زیر است:
(36)
درخور ذکر است در صورتی ‌که جمعیت تولیدشدۀ الگوریتم از محدوده خارج شود، مقدار ماکزیمم و مینیمم جایگزین آن جمعیت می‌شود. همچنین در سیستم واقعی موجود، ویژگی‌های غیرخطی سیستم سبب عملکرد نامناسب کنترل‌کنندۀ فازی می‌شود؛ به همین دلیل، در این مقاله، ساختار FOPID به سیستم فازی مطالعه‌شده اضافه شده است. علاوه بر اعضای فازی برای سیستم فوق، پارامترهای FOPID به‌عنوان متغیرهای بهینه‌سازی به کمک الگوریتم ترکیبی پیشنهادی به دست می‌آیند.
گام پنجم: انتخاب بهترین جواب و ذخیره‌سازی آن در حافظه به‌منظور ارتقای نسل‌های بعدی. درخور ذکر است این مجموعه جواب‌ها در جواب‌های اولی جایگزین می‌شوند که به‌صورت تهی در نظر گرفته شده‌اند.
گام ششم: استفاده از تابع هدف معرفی‌شده در رابطه (35) و محاسبۀ برازندگی جواب‌های فعلی و انتخاب بهترین پاسخ.
گام هفتم: مقایسۀ بهترین پاسخ با پاسخ ذخیره‌شده در حافظه. اگر این پاسخ از پاسخ موجود در حافظه بهتر باشد، جایگزین آن می‌شود؛ در غیر این صورت، همان مقدار قبلی در حافظه ذخیره می‌شود.
گام هشتم: ارتقای پاسخ‌‌ها براساس شکل 4 و انجام عملیات مشابه با گام چهارم.
گام نهم: جایگزین‌کردن بدترین مجموعه پاسخ به‌دست‌‌آمده با پاسخ‌‌های تصادفی جدید و استفاده از روش ترکیبی پیشنهادی برای یافتن بهترین پاسخ در هر فضای جستجوی محلی.
گام دهم: در صورتی ‌که شرط خاتمه برقرار شده باشد، جواب‌های بهینه نمایش داده شوند؛ در غیر این صورت، به گام چهارم ارجاع داده شود.
فلوچارت الگوریتم پیشنهادی در شکل 4 نشان داده شده است.


شکل (4): فلوچارت الگوریتم پیشنهادی در مسئلۀ طراحی کنترل‌کنندۀ فازی FOPID پیشنهادی


5- نتایج شبیه‌سازی
5-1- بررسی عملکرد کنترل‌کنندۀ پیشنهادی در سیستم غیرخطی پیشنهادی
در این بخش، عملکرد الگوریتم پیشنهادی برای طراحی بهینۀ کنترل‌کنندۀ پیشنهادی بررسی شده است. عملکرد روش پیشنهادی در سناریوهای مختلف با در نظر گرفتن شرایط کاری متفاوت بررسی شده است. در این مقاله، سیستم 4- ماشینه 2- ناحیه، سیستم مطالعه‌شده در نظر گرفته شده است. این سیستم در مرجع [1] به‌صورت کامل توصیف شده است. علت انتخاب این سیستم، وجود نوسانات بین ناحیه‌ای است که بیشتر تحقیقات امروزی روی این نوسانات متمرکز شده‌اند. سیستم مطالعه‌شده با دو خط 220 کیلوولت آمپر به یکدیگر متصل شده‌اند. همچنین دو ژنراتور 900 مگاوات آمپر و 20 کیلوولت در هر ناحیه قرار گرفته‌اند. سیستم مطالعه‌شده در شکل 5 نشان داده شده است. درخور ذکر است شبیه‌سازی در نرم‌افزار MATLAB انجام شده است.
به‌منظور طراحی کنترل‌کنندۀ فازی -FOPID پیشنهادی، شرایط بهره‌برداری مختلفی براساس توان اکتیو (P)، توان راکتیو (Q) در ترمینال ژنراتورها و نقاط بار C1، C2، L1 و L2 در نظر گرفته شده است. شرایط بهره‌برداری زیر در نظر گرفته شده است.
الف) بار نامی؛
ب) افزایش بار به‌اندازه 25% به‌عنوان بار سنگین؛
ج) کاهش بار به‌اندازه 25% به‌عنوان بار سبک؛
سایر شرایط کاری براساس توان اکیتو و راکتیو به تفکیک ژنراتورها در شکل 6 آمده‌اند.
جدول 1 پارامترهای بهینه به‌دست‌آمده را برای کنترل‌کننده فازی FOPID پیشنهادی نشان می‌دهد.


شکل (5): سیستم چهارماشینۀ دو ناحیۀ مطالعه‌شده


شکل (6): شرایط کاری به کار گرفته‌ شده برای ژنراتورها


جدول (1): نتایج به‌دست‌آمده برای کنترل‌کنندۀ پیشنهادی
No- Gen KP KI KD α β
G1 31.65 7.32 0.3139 1.091 0.887
G2 34.12 7.23 0.2291 1.293 0.974
G3 29.21 8.29 0.3112 1.102 0.987
G4 33.87 8.23 0.4185 1.392 0.865
براساس بهینه‌سازی انجام‌شده با تغییر پارامترهای گفته‌شده، سطح فازی به همراه اعضای فازی برای دو منطق فازی به کار گرفته شده در شکل 2، به‌ترتیب در شکل‌های 7 الی 11 نشان داده شده است.

شکل (7): سطح سه‌بعدی قواعد فازی بهینه‌شده برای خروجی FLC1 در شکل 2

شکل (8): نتیجۀ نهایی برای استنتاج فازی برای خروجی FLC1 در شکل 2


شکل (9): سطح سه‌بعدی قواعد فازی بهینه‌شده برای خروجی FLC2 در شکل 2
نحوۀ همگرایی برای الگوریتم در شکل 11 به‌ازای 250 تکرار نشان داده شده است. با توجه به شکل همگرایی، روش پیشنهادی از سرعت بالای برخوردار است.


شکل (10): نتیجۀ نهایی برای استنتاج فازی برای خروجی FLC2 در شکل 2


شکل (11): منحنی همگرایی برای تابع هدف مطالعه‌شده

به‌منظور مقایسۀ عملکرد روش پیشنهادی، سه جنبه کنترل‌کننده مطابق با توضیحات زیر در نظر گرفته شده‌اند:
الف) بدون وجود کنترل‌کننده؛
ب) با در نظر گرفتن کنترل‌کنندۀ کلاسیک مرجع [1]؛
ج) کنترل‌کنندۀ پیشنهادی.
شکل 12 نتیجۀ تغییرات فرکانس هر ماشین را با در نظر گرفتن سه کنترل‌کننده فوق نشان می‌دهد. با توجه به شکل 12، روش پیشنهادی قابلیت مناسبی در کاهش زمان نشست دارد و مقدار بالازدگی و پایین‌زدگی هم به‌صورت فراوانی کاهش ‌یافته است. شکل 13 نمایشی از مقادیر حقیقی و موهمی را نشان می‌دهد. همان‌گونه که در شکل مشخص است روش پیشنهادی به‌صورت موفق‌تری توانسته است به سمت چپ خط سبز پررنگ انتقال داده شود.


شکل (12): تغییرات سرعت خروجی ژنراتورها بدون خروج خط از شبکه و اعمال خطای سه‌فاز در شرایط بارگذاری نرمال، روش پیشنهادی (خط پیوسته)، classic controller (خط‌چین) و without controller (نقطه‌چین)



شکل (13): توزیع مقادیر ویژه در صفحۀ مختلط به کمک روش پیشنهادی و کنترل‌کنندۀ کلاسیک و بدون کنترل‌کننده

5-2- سیستم 10 ماشینه
سیستم مطالعه‌شده، 10 ماشینه 39 باسه است. کلیۀ اطلاعات این سیستم در مرجع [1] داده شده است. در این سناریو، خطای سه‌فاز در باس 29 در خط 29 و 26 در زمان 1 ثانیه به مدت 01/0 ثانیه اعمال می‌شود و نتایج به‌دست‌آمده با الگوریتم ABC و VCS مقایسه شده است. نتایج برای بار نرمال در شکل 14 نشان داده شده‌‌اند.
با توجه به شکل نشان 14، کنترل‌کنندۀ پیشنهادی مبتنی بر HVCS-ABC عملکرد بهتری در مقایسه با سایر روش‌ها از خود نشان داده است. به‌منظور مقایسۀ عددی بین روش پیشنهادی و سایر الگوریتم‌ها، از دو معیار زیر استفاده می‌شود:
(37)
(38)

به طوری که حداکثر فراجهش (OS)، حداکثر زیر جهش (UN) و زمان نشست (TS) انحراف زاویۀ روتور ماشین Gi برای ارزیابی FD در نظر گرفته شده است. همچنین ضرایب a1 الی a3 ضرایب هم‌وزن‌سازی برای اورشوت و اندرشوت است. شکل 15 نتیجۀ مقایسه بین این الگوریتم‌ها را نشان می‌دهد. به‌منظور بررسی جامع‌تر، بار مورد تقاضا از 25% الی 25-% تغییر کرده است.


شکل 14- خط پیوسته (HVCS-ABC)، خط‌چین (VCS) و نقطه‌چین (ABC)

 


شکل (14) نتیجه مقایسه معیارهای عددی


6- نتیجهگیری
در این مقاله، یک کنترل‌کنندۀ جدید مبتنی بر تئوری توابع کسری و فازی و کنترل‌کننده PID برای کنترل سیستم غیرخطی با در نظر گرفتن شرایط کاری مختلف پیشنهاد شده است. به‌ عبارت دیگر، روش پیشنهادی از یک کنترل‌کننده فازی -PID مرتبه کسری (FP+FIα+FDβ) بهینه‌شده با الگوریتم ترکیبی کلونی ویروس و الگوریتم کلونی زنبورعسل برای کاهش فراجهش، زمان نشست و زمان اضافه ولتاژ خروجی سیستم مطالعه‌شده تشکیل شده است. کنترل‌کنندۀ فازی پیشنهادی دارای کارایی بهتری برای میراکردن اغتشاشات سیستم در شرایط سخت‌کاری است. یکی از نکات مهم در به‌کارگیری هم‌زمان پایدارساز فازی در غالب کنترل‌کننده FOPID، طراحی هماهنگ بین این دو نوع کنترل‌کننده است؛ به‌ طوری‌ که در صورت ناهماهنگی مناسب بین این دو نوع کنترل‌کننده، ناپایداری سیستم را به همراه خواهد داشت. برای این منظور، از الگوریتم ترکیبی جدید پیشنهادی استفاده شده است. از ویژگی‌های بارز این الگوریتم، قابلیت جستجوی محلی و نهایی قوی در مقایسه با سایر روش‌ها است. روش کنترلی پیشنهادی روی سیستم چهارماشینۀ دو ناحیه اعمال شده است. کارایی روش پیشنهادی با شبیه‌سازی‌های مختلف در مقایسه با سایر ادوات کنترلی بررسی شده است. با توجه به نتایج نشان داده شده، روش پیشنهادی به‌خوبی توانسته است به پایداری سیستم غیرخطی مطالعه‌شده بپردازد.

ضمایم
فهرست علائم و واژگان


δi the power angle of the ith generator, in rad
ωi the relative speed of the ith generator, in rad/s
Pmi the mechanical input power, in p.u.
Pei the electrical power, in p.u.
ω0 the synchronous machine speed, in rad/s
Di the per unit damping constant
Hi the inertia constant, in s
E′qi the transient EMF in the quadrature axis, in p.u.
Eqi the EMF in the quadrature axis, in p.u.
Efi the equivalent EMF in the excitation coil, in p.u.
T′doi the direct axis transient short-circuit time constant, in s
xdi the direct axis reactance, in p.u.
x′di the direct axis transient reactance, in p.u.
Bij the ith row and jth column element of nodal suspectance
matrix at the internal nodes after eliminating all physical buses, in p.u.
Qei the reactive power, in p.u.
Ifi the excitation current, in p.u.
Idi the direct axis current, in p.u.
Iqi the quadrature axis current, in p.u.
kci the gain of the excitation amplifier, in p.u.
ufi the input of the SCR amplifier, in p.u.
xadi the mutual reactance between the excitation coil and the stator coil, in p.u.
xTi the transformer reactance, in p.u.
xij the transmission line reactance between the ith generator and the jth generator, in p.u.
Vti the terminal voltage of the ith generator, in p.u.
Xei the steam valve opening of the ith generator, in p.u.
Pci the power control input of the ith generator, in p.u.
Tmi the time constant of the ith machine’s turbine, in s
Kmi the gain of the ith machine’s turbine
Tei the time constant of the ith machine’s speed governor, in s
Kei the gain of the ith machine’s speed governor
Ri the regulation constant of the ith machine, in p.u.

 

[1] P. Kundr, “Power System Stability and Control,” New York, NY, USA:McGraw-Hill, 1994.
[2] K. Peddakapu, M. R. Mohamed, M. H. Sulaiman, P. Srinivasarao, S. R. Reddy, “Design and simulation of resistive type SFCL in multi-area power system for enhancing the transient stability,” Physica C: Superconductivity and its Applications, 1353643, 2020.‌
[3] D. Raisz, D. Deepak, F. Ponci, A. Monti, “Linear and uniform swing dynamics in multimachine converter-based power systems,” International Journal of Electrical Power & Energy Systems, Vol. 125, 106475, 2020.‌
[4] S. Asvapoositkul, R. Preece. “Impact of HVDC dynamic modelling on power system small signal stability assessment,” International Journal of Electrical Power & Energy Systems, Vol. 123, 106327, 2020.‌
[5] A. Sedaghati, L. M. Fernández-Ramírez, “Transient stability study of power systems with high-order models based on hybridizing loop solving and vector computation,” Simulation Modelling Practice and Theory, Vol. 105, 102165, 2020.‌
[6] R. Devarapalli, B. Bhattacharyya, N. K. Sinha, B. Dey, “Amended GWO approach based multi-machine power system stability enhancement. ISA Transactions, in press, 2020.‌
[7] Z. Bouchama, N. Essounbouli, M.N. Harmas, A. Hamzaoui, K. Saoudi, “Reaching phase free adaptive fuzzy synergetic power system stabilizer,” International Journal of Electrical Power & Energy Systems, Vol. 77, pp. 43-49, 2016.
[8] M. Farahani, S. Ganjefar, “Intelligent power system stabilizer design using adaptive fuzzy sliding mode controller,” Neurocomputing, Vol. 226, pp. 135-144, 2017.
[9] N. N. Islam, M.A. Hannan, H. Shareef, A. Mohamed, “An application of backtracking search algorithm in designing power system stabilizers for large multi-machine system,” Neurocomputing, Vol. 237, pp. 175-184, 2017.
[13] D. Zou, S. Li, Z. Li, X. Kong, “A new global particle swarm optimization for the economic emission dispatch with or without transmission losses,” Energy Conversion and Management, Vol. 139, pp. 45-70, 2017.
[14] A. WA, R. Kumari, R. Rengaraj, “Economic and various emission dispatch using differential evolution algorithm,” In: Proceedings of the IEEE International conference on electrical energy systems; pp. 74-78, 2016.
[15] A.M. El-Zonkoly, A.A. Khalil, N.M. Ahmied, “Optimal tunning of lead-lag and fuzzy logic power system stabilizers using particle swarm optimization,” Expert Systems with Applications, Vol. 36, pp. 2097-2106, 2009.
[16] AL. Barreiros, MD. Ferreira, Jr T. Costa, Jr W. Barre, AP. Lopes, “A neural power system stabilizer trained using local linear controllers in a gain-scheduling scheme,” Electr Power Energy Syst, Vol. 27, pp. 473-479, 2005.
[17] H. Shayeghi, H.A. Shayanfar, S. Jalilzadeh, A. Safari, “Tuning of damping controller for UPFC using quantum particle swarm optimizer,” Energy Conversion and Management, PP. 2299-2306, 2010.
[18] F. Amiri, A. Hatami, “Nonlinear Load frequency control of isolated microgrid using fractional order PID based on hybrid craziness-based particle swarm optimization and pattern search,” Journal of Iranian Association of Electrical and Electronics Engineers. Vol. 17, No. 2, pp. 135-148, 2020.
[19] F. jamshidi, M. Ghanbarian, “Robust Frequency Control of Islanded Microgrids: ICA-Based FFOPID Control Approach,” Computational Intelligence in Electrical Engineering, Vol. 8, No. 1, pp. 51-62, 2017.
[20] F. Parivash, A. ghasemi, “Trajectory Tracking Control of Quadrotor using Fractional-Order Fuzzy PID Controller in the Presence of Wind Disturbance,” Modares Mechanical Engineering, Vol. 18, No. 8, pp. 45-54, 2018.
[21] H. K. Abdulkhader, J. Jacob,  A. T. Mathew, “Robust type-2 fuzzy fractional order PID controller for dynamic stability enhancement of power system having RES based microgrid penetration,” International Journal of Electrical Power & Energy Systems, Vol. 110, pp. 357-371, 2019.‌
[22] P. Mani, Y. H. Joo, “Fuzzy logic-based integral sliding mode control of multi-area power systems integrated with wind farms,” Information Sciences, 545, 153-169, 2021.‌
[23] D. Guha, P. K. Roy, S. Banerjee, “Load frequency control of large scale power system using quasi-oppositional grey wolf optimization algorithm,” Engineering Science and Technology, an International Journal, Vol. 19, No. 4, pp. 1693-1713, 2016.‌
[24] M.D. Li, H. Zhao, X.W. Weng, T. Han, “A novel nature-inspired algorithm for optimization: Virus colony search,” Advances in Engineering Software, Vol. 92, pp. 65-88, 2016.
[25] D. C. Secui, “A new modified artificial bee colony algorithm for the economic dispatch problem,” Energy Conversion and Management, Vol. 89, pp. 43-62, 2015.
[26] I. Podlubny, “Fractional-order systems and PIλDδ Controllers”, IEEE Trans. Automatic Control, Vol. 44, No. 1, pp. 208-214, 1999.