نوع مقاله : مقاله علمی فارسی
نویسندگان
1 کارشناسی ارشد مهندسی برق قدرت
2 استاد، دانشکده فنی و مهندسی- دانشگاه شهید چمران- اهواز- ایران
چکیده
پخش بار اقتصادی دینامیکی با برنامهریزی خروجی آنلاین ژنراتورها با تقاضاهای بار پیشبینی شده در بازه‌ی زمانی مشخص به منظور بیشترین عملکرد اقتصادی سیستم قدرت الکتریکی سر و کار دارد. این مقاله روشی ترکیبی الگوریتم بهینهسازی کاوش باکتری با برنامهریزی مربعی متوالی برای حل مسئله‌ی پخش بار اقتصادی واحدهای تولیدی با در نظر گرفتن اثرات نقطه‌ی شیر را پیشنهاد میکند. این روش ترکیبی، بهینهسازی کاوش باکتری را به عنوان جستجوی سطح پایه که میتواند جهتیابی مناسبی به ناحیه‌ی بهینه داشته باشد و برنامهریزی مربعی متوالی را به عنوان روال جستجوی محلی که برای تنظیم دقیق آن ناحیه برای رسیدن به حل نهایی به کار میرود، به کار می‌گیرد. نتایج عددی یک سیستم 10 واحدی برای نشان دادن عملکرد و کارایی روش پیشنهادی ارائه شدهاند. نتایج به دست آمده از روش پیشنهادی با نتایج به دست آمده از ترکیب بهینهسازی جستجوی ذرات و برنامهریزی مربعی متوالی و ترکیب برنامهریزی تکاملی و برنامهریزی مربعی متوالی مقایسه شدهاند.
کلیدواژه‌ها
عنوان مقاله [English]
A hybrid Bacterial Foraging Optimization Algorithm and sequential quadratic programming method for dynamic economic dispatch considering the valve-point effects
نویسندگان [English]
- Ehsan afzalan 1
- mahmod Joorabian 2
1 1Department of electrical engineering, Faculty of Engineering, Shahid chamran University, Ahvaz, Iran
2 Department of electrical engineering, Faculty of Engineering, Shahid chamran University, Ahvaz, Iran
چکیده [English]
Dynamic economic dispatch deals with the scheduling of online generator outputs with predicted load demands over a certain period of time so that an electric power system operates most economically. This paper proposes a hybrid methodology integrating Bacterial Foraging Optimization Algorithm (BFOA) with sequential quadratic programming (SQP) for solving dynamic economic dispatch problem of generating units considering valve-point effects. This hybrid method incorporates Bacterial Foraging Optimization Algorithm as a base level search which can give a good direction to the optimal region and sequential quadratic programming as a local search procedure which is used to fine tune that region for achieving the final solution. Numerical results of a ten-unit system have been presented to demonstrate the performance and applicability of the proposed method. The results obtained from the proposed method are compared with those obtained from hybrid of particle swarm optimization and sequential quadratic programming and hybrid of evolutionary programming and sequential quadratic programming.
کلیدواژه‌ها [English]
- A hybrid Bacterial Foraging Optimization Algorithm and sequential quadratic programming method for dynamic economic dispatch considering the valve
- A hybrid Bacterial Foraging Optimization Algorithm and sequential quadratic programming method for dynamic economic dispatch considering the valve-point effects
- point effects
پخش بار اقتصادی استاتیک [1](SED) تقاضای بار را برای بازه زمانی مشخص مابین واحدهای تولیدی در مدار به صورت اقتصادی اختصاص میدهد و در عین حال، قیود مختلف را ارضا میکند. پخش بار اقتصادی دینامیک [2](DED) که گسترشی از پخش بار اقتصادی استاتیک است، سهم بهینه تقاضای بار متغیر با زمان را مابین واحدهای در مدار تعیین میکند. اپراتورهای نیروگاهها سعی میکنند گرادیانهای دما و فشار درون بویلر و توربین را در حدود ایمن نگاه دارند تا از کاهش عمر تجهیزات جلوگیری نمایند. این قید مکانیکی حدی روی نرخ افزایش یا کاهش توان الکتریکی خروجی تحمیل مینماید. این قید حد نرخ شیب نامیده میشود که مساله DED را از SED متمایز می‌سازد. بنابراین، در DED تصمیم پخش بار در یک بازه زمانی بر تصمیمها در بازههای زمانی بعدی تأثیر میگذارد. پخش بار اقتصادی دینامیکی دقیقترین فرمولبندی مسأله پخش بار اقتصادی است، ولی به دلیل ابعاد بالای خود، سختترین مساله برای حل است. رقابت رو به افزایشی مابین بازارهای تولید عمده ایجاد شده است و نیاز است که بار هزینه افزایشی تحمیل شده بر روی عملکرد سیستم ناشی از حدود نرخ شیب ژنراتورها درک شود.
از زمان معرفی DED چندین روش کلاسیک [1-6] برای حل این مساله به کار بسته شدهاند. با وجود این، ممکن است همه این روشها قادر به پیدا کردن حل بهینه نباشند و اغلب در یک حل بهینه محلی گیر میکنند. روشهای کلاسیک مبتنی بر حسابان، مساله DED را به تابع هزینه محدب ارجاع میدهند، ولی در واقعیت توربینهای بخار بزرگ دارای تعدادی دریچه پذیرش بخار هستند که به سهم غیر محدب در تابع هزینه سوخت واحدهای تولیدی منجر میشوند. برنامهریزی دینامیکی [3](DP) میتواند چنین مسائلی را حل نماید، ولی از مشکل ابعاد بزرگ مسأله رنج میبرد.
اخیراً الگوریتمهای جستجوی تصادفی [7-11] از جمله: باز پخت شبیهسازی شده [4](SA)، الگوریتم ژنتیک [5](GA)، برنامهریزی تکاملی [6](EP)، بهینه سازی جستجوی ذرات[7] (PSO) و تکامل دیفرانسیلی [8](DE) به دلیل توانایی خود برای یافتن حل نزدیک به پاسخ بهینه کلی مساله بهینهسازی غیر محدب، به صورت موفقیت آمیزی برای حل مسائل بهینهسازی سیستمهای قدرت استفاده شدهاند. این روشها از قواعد احتمالی استفاده نموده، امکان بزرگی برای کاوش آزادانه فضای جستجو دارند. این روشها همواره حل بهینه کلی را فراهم نمیکنند، ولی اغلب حلی سریع و معقول فراهم میآورند.
ازدحام اطلاعاتی [12-14] شاخهای از الگوریتمهای الهام گرفته از طبیعت است که روی عملکرد کلونی موجودات تمرکز میکند تا برخی الگوریتمهای فرا اکتشافی را ایجاد نماید. الگوریتم بهینهسازی مبتنی بر کاوش باکتری [9](BFOA) [15] عضو جدیدی از ازدحام اطلاعاتی است و از رفتار کاوشی اجتماعی باکتری Escherichia coli تقلید میکند. روش BFOA به عنوان راه حلی به مشکلات و معایب ذکر شده پیشنهاد شده است. همچنین، به دلیل تکنیکهای پراکندگی و حذف منحصر به فرد خود میتواند نواحی مطلوب را هنگامی که جمعیت مورد بررسی کوچک است، پیدا کند. این قابلیتهای منحصر به فرد الگوریتم‌ها مشکل همگرایی نابهنگام را حل نموده و قابلیت جستجو را افزایش میدهند. این الگوریتم ساده و مقاوم بوده ، قادر به حل مسائل ترکیبی مشکل است.
روشهای ترکیبی [18-20] که روشهای احتمالاتی و قطعی را ترکیب میکنند، برای حل مسائل DED بسیار جذاب هستند. در روشهای ترکیبی، روش احتمالاتی به عنوان جستجوی سطح پایه به کار میرود که جهتیابی مناسبی به ناحیه بهینه کلی فراهم میکند و روش قطعی برای تنظیم دقیق آن ناحیه به منظور رسیدن به حل نهایی به کار میرود.
در این مقاله، روشی ترکیبی که الگوریتم مبتنی بر کاوش باکتری (BFOA) و برنامهریزی مربعی متوالی [10](SQP) را ترکیب میکند، برای حل مسأله DED پیشنهاد شده است. هدف از ترکیب دو الگوریتم بهینهسازی کاوش باکتری و برنامهریزی مربعی متوالی، یافتن روشی است که علاوه بر داشتن مزیتهای دو الگوریتم فوق، عیب ونقصهای این دو الگوریتم را نداشته باشد. قدرت بالا در جستجو و وابستگی زیاد عملکرد به انتخاب اولیه نقاط از مزایا و معایب الگوریتم برنامهریزی مربعی متوالی است. همچنین، از مزایا و معایب الگوریتم بهینهسازی کاوش باکتری میتوان به یافتن بهترین جواب و سرعت پایین در رسیدن به همگرایی اشاره کرد. بنابراین، با ترکیب این دو الگوریتم، میتوان به روش هوشمندی دست یافت که علاوه بر عدم وابستگی به انتخاب اولیه نقاط، دارای قدرت و سرعت بالایی در همگرایی است. روش ترکیبی پیشنهادی از این قابلیت BFOA استفاده میکند که میتواند حتی زمانی که مسأله دارای تعداد زیادی حلهای بهینه محلی در شروع است، حل خوبی فراهم کند، و روش SQP که قابلیت جستجوی محلی دارد، برای یافتن حل نهایی به کار میرود. برای نشان دادن کارایی روش ترکیبی پیشنهادی یک سیستم تست 10 واحدی با تابع هزینه سوخت ناهموار در این مقاله استفاده شده است. نتایج روش ترکیبی BFOA -SQP پیشنهادی با نتایج به دست آمده از ترکیب بهینهسازی جستجوی ذرات و برنامهریزی مربعی متوالی (PSO-SQP) و ترکیب برنامهریزی تکاملی و برنامهریزی مربعی متوالی (EP-SQP) مقایسه شدهاند.
1- فرمولبندی مسأله
به صورت نرمال مساله DED هزینه کل تولیدی زیر را برای واحدهای در مدار کمینه مینماید:
|
(1) |
|
که در آن Fit(Pit) تابع هزینه سوخت واحد i، Pti توان تولیدی واحدi،ai ، bi و ci ضرایب هزینه سوخت واحد i هستند.
فرآیند باز شدن دریچه بخار در توربینهایی که چندین دریچه بخار دارند، نمودار سرعت گرمایی توربین را موجدار میکند و همچنین، موجب منفصل و غیرمحدب شدن تابع هدف میشود. برای مدل کردن دقیق اثرات دریچه بخار، یک تابع سینوسی به تابع هزینه اضافه میشود. بنابراین، تابع هزینه سوخت هر واحد با در نظر گرفتن اثر نقطه شیر [8] میتواند به صورت زیر بیان شود:
|
(2) |
|
که در آن di وei ضرایب ثابت هزینه سوخت واحد i با در نظر گرفتن اثرات نقطه شیر بوده و Pimin مینیمم توان تولیدی واحد i است.
به شرط قیود تساوی و نامساوی زیر برای t امین فاصله زمانی در افق برنامهریزی شده:
الف) تعادل توان اکتیو
|
(3) |
|
که در آن PL کل تلفات توان حقیقی سیستم و PD تقاضای بار کل سیستم است.
ب) حدود عملکردی توان اکتیو
|
(4) |
|
که در آن Pimax بیشینه توان تولیدی واحد i است.
ج) حدود نرخ شیب ژنراتورها
|
(5) |
|
که در این روابط، URi و DRi به ترتیب، حداکثر مقدار کاهش تولید و حد افزایش تولید نسبت به تولید ساعت قبل نیروگاه i ام است. همچنین، مقدار توان تولیدی نیروگاه i ام در ساعت قبل است.
د) تلفات سیستم شبکه
تلفات خط انتقال به صورت تابعی از توان حقیقی و ماتریس ضرایب B بیان میشوند [21].
|
(6) |
|
که در آن پارامترهای Bij ضرایب اتلاف نامیده میشوند. عبارت (6)را که به عنوان فرمول تلفات Korn شناخته میشود [22] میتوان به صورت برداری زیر بیان کرد [23].
|
(7) |
|
که در آن B ماتریس متقارن ضرایب اتلاف، B0 بردار ستونی ضرایب اتلاف و B00 ثابت اسکالر ضریب اتلاف است.
3- مروری مختصر بر روش بهینهسازی کاوش باکتری
بقای گونهها در هر فرآیند تکاملی طبیعی وابسته به معیار متناسب بودن آنها بوده که خود مبتنی بر رفتار حرکتی و جستجوی غذای آنهاست. قانون تکامل تدریجی از گونه‌هایی که قابلیت جستجوی غذای بهتری دارند، حمایت نموده، آنهایی را که قابلیت جستجوی ضعیفی دارند، حذف کرده یا تغییر شکل میدهد. ژنهای گونههای قوی تر به دلیل توانایی تولید مثل گونههای حتی بهتر در نسل های بعدی در زنجیره تکامل منتشر میشوند. بنابراین، درک و مدل سازی صحیح رفتار کاوشی در هریک از گونههای تکاملی، به امکان اعمال آن در هر الگوریتم بهینهسازی سیستم غیر خطی منجر میشود. استراتژی کاوشی باکتری Escherichia coli در روده انسان را میتوان با چهار فرآیند Chemotaxis، ازدحام، تولید مثل و حذف- پراکندگی توضیح داد [15، 16].
3-1- Chemotaxis
مشخصه حرکت باکتری در جستجوی غذا میتواند به دو روش تعریف شود: شنا کردن یا چرخش، که به مجموعه این دو حرکت Chemotaxis میگویند. گفته میشود باکتری "شنا" میکند؛ هرگاه در جهتی از پیش تعیین شده حرکت نماید و گفته میشود "چرخش" میکند؛ هرگاه در جهتی کاملاً متفاوت حرکت کند. از نظر ریاضی، چرخش هر باکتری میتواند با طول واحد حرکت تصادفی ضرب در طول پله آن باکتری نمایش داده شود. در حالت شنا، این طول تصادفی از پیش تعیین شده است.
3-2- ازدحام
برای آن که باکتریها به غنیترین موقعیت غذایی خود برسند، مطلوب آن است که آن باکتری که دارای بهترین موقعیت است، سعی کند تا نقطهای از زمان در دوره جستجو، باکتریهای دیگر را به خود جذب نماید؛ به نحوی که همه با هم سریعتر به موقعیت مطلوب برسند. بدین منظور، تابع جریمهای بر مبنای فواصل نسبی هر باکتری از مناسبترین باکتری در آن مدت جستجو به تابع هزینه اصلی افزوده میشود. در نهایت، وقتی همه باکتریها در نقطه جواب با هم ترکیب شدهاند، این تابع جریمه برابر با صفر میشود. تأثیر ازدحام آن است که باکتریها را مجبور میکند در گروههایی اجتماع نموده و با چگالی باکتری بالا به صورت الگوهایی هممرکز حرکت نمایند.
3-3- تولید مثل
مجموعه اولیه باکتریها پس از تکامل تدریجی از طریق چندین مرحله Chemotactic به مرحله تولید مثل می‌رسند. در اینجا بهترین مجموعه باکتریها به دو قسمت تقسیم میشوند: نیمه سالمتر جایگزین نیمه دیگر که به علت قابلیتهای کاوشی ضعیفتر خود حذف می‌گردند، خواهند شد. این امر موجب حفظ جمعیت باکتریها در مقداری ثابت در طول فرایند تکامل تدریجی میشود.
3-4- حذف و پراکندگی
در فرآیند تکامل تدریجی ممکن است رخدادی ناگهانی و پیشبینی نشده روی دهد که میتواند فرایند آرام تکامل تدریجی را به شدت تغییر داده، موجب حذف مجموعه باکتریها ویا پراکندگی آنها به محیطی جدید شود. جالب اینجاست که این رخداد ناشناخته ممکن است به جای ایجاد اغتشاش در رشد Chemotaxis معمول مجموعه باکتریها، موجب قرار داده شدن مجموعه جدیدی از باکتریهای نزدیکتر به محل غذا گردد. از دیدگاهی وسیع، حذف و پراکندگی اجزایی از رفتار حرکتی طولانی سطح جمعیتی هستند. در کاربرد آن به بهینهسازی، این مرحله به کاهش رفتار ایستایی که غالباً در چنین الگوریتمهای جستجوی موازی دیده میشوند، کمک مینماید. تفاصیل روابط ریاضی همچنین جنبه تئوری این مفهوم جدید در مراجع [16، 17] ارائه شده است.
4- برنامهریزی مربعی متوالی
برنامهریزی مربعی متوالی (SQP) [24] به صورت گسترده‌ای برای حل مسایل بهینهسازی عملی به کار میرود. این روش از هر روش برنامهریزی غیر خطی دیگری از لحاظ کارایی، دقت و درصد حلهای موفق بهتر است. این روش به میزان زیادی از روش نیوتن دقیقاً همان گونه که برای بهینهسازی نا مقید به کار میرود، برای بهینهسازی مقید تقلید مینماید.
از آنجا که تابع هدفی که قرار است کمینه شود نامحدب است، SQP نیازمند یک مینیمم محلی برای حل اولیه است. در این مقاله از SQP به عنوان بهینه‌کننده محلی برای تنظیم دقیق ناحیه بهتر کشف شده توسط BFOA استفاده میشود. در اینجا فرمولبندی SQP از مرجع [18] برداشت شده است.
برای هر تکرار یک QP حل میشود تا جهت جستجو برای به روز سازی متغیرهای کنترلی به دست آید. مسألهQP را میتوان به شکل زیر توضیح داد:
مقدار زیر را کمینه کنید:
|
(8) |
|
به شرط:
|
(9) |
|
|
(10) |
|
که Hk ماتریس هسیان تابع لاگرانژین در k امین تکرار، dk جهت جستجو در k امین تکرار، Pk بردار توان حقیقی در k امین تکرار g(Pk) قیود از (3) تا (5)، me تعداد قیود تساوی و m تعداد قیود است.
|
(11) |
|
که بردار ضرب کننده لاگرانژین است.
Hk با استفاده از فرمول شبه- نیوتن داده شده ازطریق رابطه زیر محاسبه میشود:
|
(12) |
|
که:
|
(13) |
|
|
(14) |
|
برای هر تکرار از زیر مساله QP جهت dk با استفاده از تابع هدف محاسبه میشود. حل به دست آمده تکرار جدیدی به صورت زیر را تشکیل میدهد:
|
(15) |
|
مقدار طول گام به شکل زیر برای ایجاد کاهش قابل ملاحظه در تابع شایستگی لاگرانژین تعمیم داده شده تعیین میشود:
|
(16) |
|
که یک اسکالر نامنفی است. این روال تا زمانی که مقدار Sk به مقداری قابل تحمل برسد، تکرار میشود.
5- پخش بار اقتصادی دینامیکی مبتنی برBFOA-SQP
فلوچارت این روش در شکل (1) نمایش داده شده است. در این فلوچارت در ابتدا در الگوریتم BFOA اجرای حلقههای دفع و پراکندگی، تولیدمثل و حرکت به سمت ماده غذایی آغاز میشود. سپس اعمال شنا و غلتیدن انجام میگردد. در ادامه الگوریتم SQP فراخوانی میشود و بهترین مقدار به دست آمده از الگوریتم BFOA با جواب به دست آمده از الگوریتم SQP مقایسه می شوند. اگر مقدار به دست آمده از الگوریتم SQP از مقدار به دست آمده از الگوریتم BFOA کمتر باشد، مقدار به دست آمده از الگوریتم SQP به عنوان بهترین مقدار ذخیره میگردد. پس از آن، در صورتی که حلقه حرکت به سمت ماده غذایی تمام شده باشد، وارد حلقه تولیدمثل میشود؛ در غیر این صورت، حلقه حرکت به سمت ماده غذایی ادامه پیدا میکند. پس از اتمام حلقههای حرکت به سمت ماده غذایی و تولیدمثل، حلقه دفع و پراکندگی اجرا میشود که آخرین حلقه از الگوریتم ترکیبی است.
تکنیک الگوریتم پیشنهادی به صورت زیر است:
گام 1) مقداردهی اولیه پارامترهای زیر:
: بعد فضای جستجو.
: تعداد باکتریها در جمعیت.
: تعداد گامهای chemotactic.
: طول شنا وقتی روی شیب (مماس) باشد.
: عداد گامهای تولید مثل.
: تعداد وقایع حذف/ پراکندگی.
: احتمال این که هر باکتری حذف یا پراکنده شود.
: واحد اولیه طول حرکت.
: واحد طول حرکت در پایان گامهای chemotactic (j=Nc ).
: مکان تصادفی اولیه هر باکتری.
گام 2) حلقه حذف/ پراکندگی، .
گام 3) حلقه تولید مثل، .
گام 4) حلقه chemotaxis ، .
به ازای گام chemotactic را برای هر باکتری به صورت زیر اجرا کن:
- تابع هزینه را با استفاده از(17)و(19) برآورد کن.
تابع هزینه هر باکتری در جمعیت متأثر است از نوع ایجاد ازدحام اجرا شده توسط ارتباط سلول به سلول آزاد شده توسط باکتریها برای شکل دادن به الگوهای ازدحامی عملیات هجوم آوردن به صورت زیر بیان میشود:
|
(17) |
|
که در آن و و و ضرایب نمایانگر مشخصههای سیگنال‌های جذبی و دفعی آزاد شده توسط سلول بوده و مولفه m ام باکتری i ام است. مکان هر عضو جمعیت S باکتری بوده و به این صورت تعریف میشود:
|
(18) |
|
که S اندازه جمعیت باکتریهاست.
تابع (17) که نمایانگر تأثیر ارتباط سلول به سلول است با تابع هزینه جمع میشود:
|
(19) |
|
- قرار بده طوری که هزینه کمتری بتواند به دست آید.
- غلت خوردن: یک بردار تصادفی تولید کن که و عددی تصادفی در بازه است.
- مقدار را محاسبه کن.
|
(20) |
|
- با استفاده از رابطه (21) حرکت کن.
|
(21) |
|
وقتی در تابع هزینه بهتر (پایینتر) از باشد، گام دیگری به اندازه در همان جهت طی میشود. عمل شنا کردن تا زمانی که هزینه کمتری به دست آید و به تعداد بیشینه گام از قبل معین شده برسیم، تکرار میشود.
- مقدار را محاسبه کن و مقدار را با استفاده از (17) محاسبه کن، سپس با استفاده از آن مقدار جدید را بیاب.
- شنا کردن: قرار بده (شمارنده برای طول شنا)
تا زمانی که (تا مقدار بسیار طولانی مسیر طی نشود).
قرار بده: .
اگر باشد، آنگاه قرار بده سپس گامی دیگر را در همان جهت بردار و مقدار جدید را محاسبه کن.
- به سراغ باکتری بعدی برو ( if ).
- واحد طول حرکت را به روز کن.
- بهترین(کمترین)هزینه به دست آمده را محاسبه کن .
- تفاوت در هزینه به دست آمده در گام chemotactic کنونی را محاسبه کن:
- اگر (مثلاً n=2) ودر صورتی که:
آنگاه (یعنی عملیات chemotacticرا پایان بده).
گام 5) اگر به گام چهار برو( ).
گام 6) تولید مثل.
برای k و l داده شده سلامتی هر باکتری i را به صورت زیر برآورد کن:
|
(22) |
|
سلامتی باکتری i معیار این است که این باکتری در ظول زندگی خود چقدر مواد غذایی به دست آورده است.
- باکتریها را بر حسب سلامتی خود به ترتیب صعودی مرتب کن.
- باکتریهایی که بالاترین مقادیر را دارند، با محاسبه توسط رابطه (23) میمیرند و بقیه Sr باکتری با کمترین مقادیر تکه شده ، همان جهت والدین خود را اختیار میکنند.
فرایند تولید مثل پس از طی ماکزیمم تعداد گامهای chemotactic، ، اجرا میشود. جمعیت به دو نیمه میشود؛ به گونه ای که نیمه کمتر سالم میمیرد و هر باکتری در آن نیمه دیگر سالمتر به دو باکتری تقسیم میشود که همان مکان را اختیار میکنند.
|
(23) |
|
پس از طی گام تولید مثل، فرایند حذف/ پراکندگی به تعداد بار اجرا میشود. در این عملیات، هر باکتری میتواند برای کاوش قسمتهای دیگر فضای جستجو حرکت کند. احتمال این که هر باکتری اتفاق حذف/ پراکندگی را تجربه کند، با نسبت از پیش تعیین شده تعیین میشود.
گام 7) اگر به گام 3 برو( ).
گام 8) حذف/ پراکندگی: با احتمال به صورت تصادفی هر باکتری i را حذف و پراکنده کن؛ به نحوی که اندازه جمعیت ثابت بماند.
گام 9) اگر به گام 2برو( )،در غیر این صورت متوقف شو.
گام 10) فرخوانی SQP و مقایسه بهترین مقدار به دست آمده از الگوریتم BFOA با پاسخ حاصل از آن.
گام 11) درصورتی که پاسخ الگوریتم SQP از پاسخ الگوریتم BFOA کمتر باشد، پاسخ الگوریتم SQP به عنوان بهترین مقدار ذخیره میگردد. سپس اگر حلقه حرکت به سمت ماده غذایی تمام شده باشد، وارد حلقه تولیدمثل میشود؛ در غیر این صورت، حلقه حرکت به سمت ماده غذایی ادامه پیدا میکند. پس از اتمام حلقههای حرکت به سمت ماده غذایی و تولیدمثل، حلقه دفع و پراکندگی اجرا میشود که آخرین حلقه از الگوریتم ترکیبی است.
گام 12) چاپ پاسخ بهینه حاصل از الگوریتم ترکیبی BFOA-SQP .
شکل (1): فلوچارت روش BFOA-SQP
6- نتایج شبیهسازی
برای نشان دادن عملکرد و قابل اعمال بودن روش BFOA-SQP پیشنهادی، یک سیستم تست 10 واحدی با تابع هزینه سوخت ناهموار استفاده شده است. تقاضای سیستم به 24 بازه زمانی تقسیم شده است. دادههای واحد و تقاضاهای بار به ترتیب در جدولهای A1 و A2 در ضمیمه A یافت میشوند. روش پیشنهادی در MATLAB7 اجرا شده است.
مساله DED با استفاده از روش ترکیبی BFOA-SQP حل میشود. در اینجا پارامترهای BFOA به صورت
، ، ، ، ، ، ، ، و انتخاب شده اند. برنامه تولید تعیین شده، هزینه تولید و زمان CPU به دست آمده از روش پیشنهادی در جدول 1 نشان داده شدهاند.
به منظور تایید عملکرد الگوریتم ترکیبی BFOA-SQP پیشنهادی همان سیستم تست با استفاده از PSO-SQP و EP-SQP حل شده است. در مورد روش PSO-SQP ،پارامترهای کنترلی PSO عبارتند از:
، ، ، ، و . پارامترهای کنترلی EP در حالت EP-SQP عبارتند از: ، و جدولهای 2 و 3 نتایج به دست آمده به ترتیب از PSO-SQP و EP-SQP را خلاصه میکنند.
نتایج الگوریتم پیشنهادی(جدول1) با نتایج روشهای دیگر(جداول 2و3) مقایسه شدهاند. الگوریتم BFOA-SQP پیشنهادی به مقدار زیادی عملکرد بهتری از سایر روشها دارد، زیرا به مینیمم هزینه 1.0319(*10^6 $) در مدت زمان CPU ،2.05(min) منتج شده است و این در حالی است که نتایج حاصل از الگوریتم PSO-SQP بر روی همین شبکه تست برابر1.0333(*10^6 $) در مدت زمان CPU ،3.24(min) و نتایج حاصل از الگوریتمEP-SQP بر روی همین شبکه مذکور برابر1.0341(*10^6 $) در مدت زمان CPU ،3.33(min) بوده است، که این امر به معنی مقدار قابل توجه صرفهجویی سالانه در مقایسه با کمترین هزینه به دست آمده از سایر روشهای مقایسه شده است.
بنابراین، ملاحظه میشود که روش BFOA-SQP پیشنهادی به پایینترین مینیمم هزینه تولید و کمترین زمان CPU دست یافته است.
7- نتیجه‌گیری
این مقاله روشی ترکیبی با ترکیب BFOA و SQP را برای حل مساله پخش بار اقتصادی دینامیکی با در نظر گرفتن نقطه شیر ارائه میکند. در روش پیشنهادی BFOA احتمالاتی به صورت آزادانه فضای جستجو را میپیماید. هرگاه دره بهتری کشف شود، روش SQP با جهت گرادیان به سرعت در دره نزول میکند و یک بهینه محلی را تضمین مینماید. مؤثر بودن روش پیشنهادی با استفاده از یک سیستم تست 10 واحدی نشان داده شده و با نتایج به دست آمده از روشهای PSO-SQP و EP-SQP مقایسه شده است.
از مقایسه واضح است که رویکرد پیشنهادی بر مبنای BFOA-SQP نتایج بهتری از روشهای PSO-SQP و EP-SQP از دیدگاه کمترین هزینه تولید و زمان محاسباتی فراهم میکند.
جدول (1): مقداروهزینه تولید تعیین شده و زمان CPU با استفاده از روش پیشنهادی
|
Hour |
P1(MW) |
P2(MW) |
P3(MW) |
P4(MW) |
P5(MW) |
P6(MW) |
P7(MW) |
P8(MW) |
P9(MW) |
P10(MW) |
|
1 |
150.0000 |
209.4260 |
182.0411 |
120.0703 |
73.0000 |
82.9898 |
96.4729 |
47.0000 |
20.00 |
55.00 |
|
2 |
150.0000 |
229.4023 |
186.0648 |
60.0703 |
73.0000 |
132.9898 |
126.4729 |
77.0000 |
20.00 |
55.00 |
|
3 |
225.1481 |
309.4023 |
179.2690 |
96.5506 |
73.0000 |
123.8792 |
128.7508 |
47.0000 |
20.00 |
55.00 |
|
4 |
302.9338 |
312.5140 |
174.1451 |
120.0000 |
128.2475 |
117.4089 |
98.7508 |
77.0000 |
20.00 |
55.00 |
|
5 |
299.3895 |
310.0648 |
199.4955 |
60.0000 |
170.2994 |
160.0000 |
128.7508 |
77.0000 |
20.00 |
55.00 |
|
6 |
302.5966 |
385.5424 |
279.4955 |
62.6077 |
189.0529 |
160.0000 |
126.7050 |
47.0000 |
20.00 |
55.00 |
|
7 |
375.5913 |
397.5815 |
280.0134 |
122.6077 |
183.8686 |
123.6326 |
96.7050 |
47.0000 |
20.00 |
55.00 |
|
8 |
455.5913 |
317.5815 |
300.1516 |
125.5198 |
179.7992 |
120.7168 |
124.6398 |
77.0000 |
20.00 |
55.00 |
|
9 |
375.5913 |
397.5815 |
322.2246 |
185.5198 |
235.0087 |
160.0000 |
126.0741 |
47.0000 |
20.00 |
55.00 |
|
10 |
453.6710 |
400.0467 |
303.6642 |
245.5198 |
230.7093 |
160.0000 |
126.3889 |
77.0000 |
20.00 |
55.00 |
|
11 |
466.2808 |
397.4902 |
315.8030 |
300.0000 |
224.4260 |
160.0000 |
130.0000 |
47.0000 |
50.00 |
55.00 |
|
12 |
457.6638 |
407.9095 |
340.0000 |
300.0000 |
243.0000 |
160.0000 |
129.4266 |
47.0000 |
80.00 |
55.00 |
|
13 |
455.5532 |
402.3638 |
292.5788 |
299.0723 |
218.4618 |
121.9700 |
130.0000 |
47.0000 |
50.00 |
55.00 |
|
14 |
375.5532 |
407.7359 |
304.2363 |
239.0723 |
181.4467 |
134.4464 |
129.5091 |
77.0000 |
20.00 |
55.00 |
|
15 |
368.4137 |
391.3272 |
271.1368 |
179.0723 |
166.6452 |
120.8833 |
126.5215 |
47.0000 |
50.00 |
55.00 |
|
16 |
370.3776 |
311.3272 |
191.1368 |
177.3838 |
122.4935 |
132.7596 |
96.5215 |
77.0000 |
20.00 |
55.00 |
|
17 |
386.9513 |
231.3272 |
219.2473 |
122.1180 |
117.3490 |
124.4856 |
126.5215 |
77.0000 |
20.00 |
55.00 |
|
18 |
466.9513 |
227.1515 |
299.2473 |
182.1180 |
73.0000 |
127.5319 |
130.0000 |
47.0000 |
20.00 |
55.00 |
|
19 |
463.6701 |
307.1515 |
295.1290 |
185.4122 |
113.6177 |
160.0000 |
129.0195 |
47.0000 |
20.00 |
55.00 |
|
20 |
459.8316 |
387.1515 |
333.9870 |
245.4122 |
173.6177 |
160.0000 |
130.0000 |
77.0000 |
50.00 |
55.00 |
|
21 |
379.8316 |
411.8171 |
302.4642 |
242.8762 |
175.0110 |
160.0000 |
130.0000 |
47.0000 |
20.00 |
55.00 |
|
22 |
306.2126 |
394.2563 |
229.5701 |
182.8762 |
136.2953 |
126.7896 |
100.0000 |
47.0000 |
50.00 |
55.00 |
|
23 |
231.3811 |
314.2563 |
182.5696 |
122.8762 |
115.8534 |
116.4702 |
96.5932 |
77.0000 |
20.00 |
55.00 |
|
24 |
228.9155 |
234.2563 |
103.5939 |
118.2416 |
73.0000 |
144.1148 |
126.5932 |
80.2848 |
20.00 |
55.00 |
|
Cost(*10^6 $) |
1.0319 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
|
CPU time(min) |
2.05 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
جدول (2): مقداروهزینه تولید تعیین شده و زمان CPU با استفاده از روش PSO-SQP
|
Hour |
P1(MW) |
P2(MW) |
P3(MW) |
P4(MW) |
P5(MW) |
P6(MW) |
P7(MW) |
P8(MW) |
P9(MW) |
P10(MW) |
|
1 |
222.6137 |
143.4472 |
188.7122 |
60.0000 |
73.0000 |
57.0000 |
130.0000 |
86.2270 |
20.00 |
55.00 |
|
2 |
150.0000 |
223.4472 |
183.2114 |
60.0000 |
118.4811 |
57.0000 |
126.6333 |
116.2270 |
20.00 |
55.00 |
|
3 |
230.0000 |
303.4472 |
105.3892 |
120.0000 |
110.3395 |
65.1805 |
128.6435 |
90.0000 |
50.00 |
55.00 |
|
4 |
302.2057 |
383.4472 |
178.5230 |
60.0000 |
73.0000 |
115.1805 |
98.6435 |
120.0000 |
20.00 |
55.00 |
|
5 |
371.0181 |
319.0272 |
213.2879 |
60.0000 |
73.0000 |
120.0233 |
128.6435 |
120.0000 |
20.00 |
55.00 |
|
6 |
378.4377 |
390.7508 |
293.2879 |
60.0000 |
114.1373 |
70.0233 |
126.3630 |
120.0000 |
20.00 |
55.00 |
|
7 |
375.6938 |
393.9534 |
294.3296 |
120.0000 |
73.0000 |
120.0233 |
130.0000 |
90.0000 |
50.00 |
55.00 |
|
8 |
455.6938 |
319.0289 |
300.7612 |
127.0803 |
124.0072 |
124.4286 |
130.0000 |
120.0000 |
20.00 |
55.00 |
|
9 |
462.7446 |
399.0289 |
301.4602 |
120.3397 |
164.9071 |
125.2567 |
129.8244 |
115.4385 |
50.00 |
55.00 |
|
10 |
453.8910 |
460.0000 |
304.5385 |
180.0000 |
223.1320 |
160.0000 |
130.0000 |
85.4385 |
20.00 |
55.00 |
|
11 |
453.8910 |
460.0000 |
336.9320 |
240.0000 |
172.4889 |
160.0000 |
130.0000 |
115.4385 |
20.00 |
55.00 |
|
12 |
458.6118 |
460.0000 |
324.0923 |
300.0000 |
232.4889 |
160.0000 |
124.3685 |
85.4385 |
20.00 |
55.00 |
|
13 |
453.6567 |
399.7277 |
326.4081 |
250.2401 |
221.5288 |
160.0000 |
130.0000 |
55.4385 |
20.00 |
55.00 |
|
14 |
373.6567 |
385.2023 |
301.2075 |
241.4542 |
179.3390 |
160.0000 |
127.6547 |
80.4856 |
20.00 |
55.00 |
|
15 |
379.4079 |
305.2023 |
340.0000 |
240.5336 |
121.6237 |
133.7469 |
130.0000 |
50.4856 |
20.00 |
55.00 |
|
16 |
299.4079 |
225.2023 |
311.2204 |
180.7545 |
128.1672 |
131.8477 |
121.9144 |
80.4856 |
20.00 |
55.00 |
|
17 |
379.2105 |
145.2023 |
305.5514 |
120.7545 |
175.6061 |
129.3367 |
98.8529 |
50.4856 |
20.00 |
55.00 |
|
18 |
450.6598 |
140.1112 |
303.0060 |
175.3360 |
177.5145 |
123.5355 |
128.8529 |
53.9841 |
20.00 |
55.00 |
|
19 |
451.9945 |
220.1112 |
300.6138 |
180.0726 |
209.6900 |
127.1877 |
127.3462 |
83.9841 |
20.00 |
55.00 |
|
20 |
466.4626 |
300.1112 |
331.7817 |
240.0726 |
224.5879 |
160.0000 |
130.0000 |
113.9841 |
50.00 |
55.00 |
|
21 |
455.0342 |
220.1112 |
308.2920 |
239.6444 |
222.4686 |
160.0000 |
125.7337 |
117.7158 |
20.00 |
55.00 |
|
22 |
375.0342 |
140.1112 |
232.4133 |
242.3867 |
216.9794 |
132.6256 |
95.7337 |
87.7158 |
50.00 |
55.00 |
|
23 |
295.6468 |
135.8215 |
159.5744 |
182.3867 |
170.7971 |
118.8031 |
116.9704 |
77.0000 |
20.00 |
55.00 |
|
24 |
226.2366 |
215.8215 |
79.5744 |
122.3867 |
170.4420 |
117.5388 |
130.0000 |
47.0000 |
20.00 |
55.00 |
|
Cost(*10^6 $) |
1.0333 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
|
CPU time(min) |
3.24 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
جدول (3): مقداروهزینه تولید تعیین شده و زمان CPU با استفاده از روش EP-SQP
|
Hour |
P1(MW) |
P2(MW) |
P3(MW) |
P4(MW) |
P5(MW) |
P6(MW) |
P7(MW) |
P8(MW) |
P9(MW) |
P10(MW) |
|
1 |
150.0000 |
137.6433 |
204.7269 |
60.0000 |
177.1351 |
57.0000 |
127.4947 |
47.0000 |
20.00 |
55.00 |
|
2 |
218.0924 |
217.6433 |
184.4007 |
60.0000 |
121.4978 |
58.8711 |
97.4947 |
77.0000 |
20.00 |
55.00 |
|
3 |
203.0938 |
224.1547 |
205.5020 |
60.0000 |
174.3901 |
108.8711 |
127.4947 |
79.4935 |
20.00 |
55.00 |
|
4 |
220.3438 |
301.3093 |
204.9357 |
120.0000 |
116.4632 |
158.8711 |
129.5833 |
49.4935 |
50.00 |
55.00 |
|
5 |
297.5479 |
381.3093 |
217.4121 |
60.0000 |
100.0077 |
139.2296 |
130.0000 |
79.4935 |
20.00 |
55.00 |
|
6 |
374.1834 |
310.7449 |
297.4121 |
60.0000 |
150.3867 |
151.9059 |
128.8735 |
49.4935 |
50.00 |
55.00 |
|
7 |
454.1834 |
390.7449 |
311.0392 |
66.7128 |
105.7741 |
120.1786 |
98.8735 |
79.4935 |
20.00 |
55.00 |
|
8 |
443.1769 |
397.5531 |
302.9448 |
126.7128 |
73.0000 |
148.7949 |
128.8735 |
79.9440 |
20.00 |
55.00 |
|
9 |
462.0598 |
396.8576 |
299.5618 |
186.7128 |
127.6262 |
160.0000 |
130.0000 |
86.1818 |
20.00 |
55.00 |
|
10 |
432.3937 |
427.9822 |
340.0000 |
181.2353 |
183.6408 |
160.0000 |
125.5662 |
116.1818 |
50.00 |
55.00 |
|
11 |
457.5612 |
460.0000 |
307.4954 |
241.2353 |
229.6543 |
160.0000 |
128.8719 |
86.1818 |
20.00 |
55.00 |
|
12 |
452.7904 |
460.0000 |
318.9605 |
300.0000 |
219.9294 |
160.0000 |
123.6250 |
79.6946 |
50.00 |
55.00 |
|
13 |
458.5151 |
389.1429 |
302.3061 |
300.0000 |
224.5202 |
147.4776 |
125.3436 |
49.6946 |
20.00 |
55.00 |
|
14 |
378.5151 |
401.8471 |
285.7622 |
240.0000 |
225.6409 |
144.8911 |
95.3436 |
77.0000 |
20.00 |
55.00 |
|
15 |
298.5151 |
394.0200 |
290.9130 |
180.0000 |
224.1367 |
131.2537 |
105.1614 |
47.0000 |
50.00 |
55.00 |
|
16 |
302.4212 |
314.0200 |
239.2008 |
120.0000 |
175.1214 |
160.0000 |
121.2366 |
47.0000 |
20.00 |
55.00 |
|
17 |
303.4463 |
320.5432 |
189.7485 |
60.0000 |
235.1214 |
119.5558 |
129.5848 |
47.0000 |
20.00 |
55.00 |
|
18 |
374.8211 |
314.1280 |
190.7880 |
120.0000 |
182.6834 |
134.9671 |
128.6124 |
77.0000 |
20.00 |
55.00 |
|
19 |
381.8864 |
394.1280 |
270.7880 |
180.0000 |
188.1604 |
140.4248 |
98.6124 |
47.0000 |
50.00 |
55.00 |
|
20 |
447.7975 |
460.0000 |
276.8927 |
240.0000 |
236.1858 |
130.5115 |
128.6124 |
77.0000 |
20.00 |
55.00 |
|
21 |
370.3686 |
387.3885 |
305.9268 |
188.0862 |
230.6086 |
160.0000 |
129.6214 |
47.0000 |
50.00 |
55.00 |
|
22 |
297.7705 |
307.3885 |
312.1334 |
128.0862 |
176.5495 |
124.0719 |
130.0000 |
77.0000 |
20.00 |
55.00 |
|
23 |
291.9411 |
227.3885 |
253.0649 |
68.0862 |
130.8726 |
116.3592 |
122.2874 |
47.0000 |
20.00 |
55.00 |
|
24 |
222.3226 |
147.3885 |
197.0125 |
60.0000 |
180.8726 |
124.7866 |
129.6172 |
47.0000 |
20.00 |
55.00 |
|
Cost(*10^6 $) |
1.0341 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
|
CPU time(min) |
3.33 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
ضمیمهA: جدولهای A1 و A2 :
جدول (A1): اطلاعات سیستم شامل 10 واحد تولیدی
|
Unit |
Pmin (MW) |
Pmax MW) |
A ($/h) |
b ($/MWh) |
c ($/MW2 h) |
d ($/h) |
e (rad/MW) |
UR (MW/h) |
DR (MW/h) |
|
1 |
150 |
470 |
958.20 |
21.60 |
0.00043 |
450 |
0.041 |
80 |
80 |
|
2 |
135 |
460 |
1313.60 |
21.05 |
0.00063 |
600 |
0.036 |
80 |
80 |
|
3 |
73 |
340 |
604.97 |
20.81 |
0.00039 |
320 |
0.028 |
80 |
80 |
|
4 |
60 |
300 |
471.60 |
23.90 |
0.00070 |
260 |
0.052 |
60 |
60 |
|
5 |
73 |
243 |
480.29 |
21.62 |
0.00079 |
280 |
0.063 |
60 |
60 |
|
6 |
57 |
160 |
601.75 |
17.87 |
0.00056 |
310 |
0.048 |
50 |
50 |
|
7 |
20 |
130 |
502.70 |
16.51 |
0.00211 |
300 |
0.086 |
30 |
30 |
|
8 |
47 |
120 |
639.40 |
23.23 |
0.00480 |
340 |
0.082 |
30 |
30 |
|
9 |
20 |
80 |
455.60 |
19.58 |
0.10908 |
270 |
0.098 |
30 |
30 |
|
10 |
55 |
55 |
692.40 |
22.54 |
0.00951 |
380 |
0.094 |
30 |
30 |
جدول (A2): تقاضای بار برای 24 ساعت
|
Hour |
Load(MW) |
Hour |
Load(MW) |
Hour |
Load(MW) |
|
1 |
1036 |
9 |
1924 |
17 |
1480 |
|
2 |
1110 |
10 |
2072 |
18 |
1628 |
|
3 |
1258 |
11 |
2146 |
19 |
1776 |
|
4 |
1406 |
12 |
2220 |
20 |
2072 |
|
5 |
1480 |
13 |
2072 |
21 |
1924 |
|
6 |
1628 |
14 |
1924 |
22 |
1628 |
|
7 |
1702 |
15 |
1776 |
23 |
1332 |
|
8 |
1776 |
16 |
1554 |
24 |
1184 |
dispatch of generation. IEEE Trans Power Apparatus Syst, Vol.99, No.6, pp. 2060–2068,1980.
[2] Van Den Bosch, P.P.J., Optimal dynamic dispatch owing to spinning-reserve and power-rate limits. IEEE Trans Power Apparatus Syst, Vol.104, No.12, pp.3395–3401,1985.
[3] Granelli, G.P., Marannino, P., Montagna, M., Silvestri, A., Fast and efficient gradient projection algorithm for dynamic generation dispatching.IEE Proc Gener Transm Distrib, Vol.136, No.5, pp.295–302,1989.
[4] Hindi, K.S., Ab Ghani, M.R., Dynamic economic dispatch for large scale power systems; a Lagrangian relaxation approach. Elect Power Syst Res, Vol.13, No.1, pp.51–56,1991.
[5] Travers, D.L., Kaye, R.J., Dynamic dispatch by constructive dynamic rogramming.IEEE Trans Power Syst, Vol.13, No.1, pp.71–76,1998.
[6] Han, X.S., Gooi, H.B., Kirschen, D.S., Dynamic economic dispatch: feasible and optimal solutions. IEEE Trans Power Syst, Vol.16, No.1, pp.22–28,2001.
[7] Wong, K.P., Fung, C.C., Simulated annealing based economic dispatch algorithm. IEE Proc Gener Transm Distrib, Vol.140, No.6, pp.509–515,1993.
[8] Walter, D.C., Sheble, G.B., Genetic algorithm solution of economic dispatch with valve point loading. IEEE Trans Power Syst, Vol.8, No.1, pp.1325–1332,1993.
[9] Yang, H.T., Yang, P.C., Huang, C.L., Evolutionary programming based economic dispatch for units with nonsmooth fuel cost functions. IEEE Trans Power Syst, Vol.11, No.1, pp.112–118,1996.
[10] Gaing, Z.L., Particle swarm optimization to solving the economic dispatch considering the generator constraints. IEEE Trans Power Syst, Vol.18, No.3, pp.1187–1195,2003.
[11] Lakshminarasimman, L., Subramanian, S., Short-term scheduling of hydrothermal power system with cascaded reservoirs by using modified differential evolution. IEE Proc – Gener Transm Distrib, Vol.153, No.6, pp.693–700,2006.
[12] Bonabeau, E., Dorigo, M., Theraulaz, G., Swarm intelligence: from natural to artificial systems. New York: Oxford University Press, 1999.
[13] Eberhart, R., Shi, Y., Kennedy, J., Swarm intelligence. San Francisco: Morgan Kaufmann, 2001.
[14] Camazine, S., Deneubourg, J., Franks, N.R., Sneyd, J., Theraula, G., Bonabeau, E., Selforganization in biological systems. Princeton: Princeton University Press,2003.
[15] Passino, K.M., Biomimicry of bacterial foraging for distributed optimization and control. IEEE Contr Syst Mag , Vol.22, No.3, pp.52–67,2002.
[16] Kim, D.H., Abraham, A., Cho, J.H., A hybrid genetic algorithm and bacterial foraging approach for global optimization. Inf Sci, Vol.177, No.18, pp.3918–3937,2007.
[17] Mishra, S., Tripathy, M., Nanda, J., Multi-machine power system stabilizer design by rule based bacteria foraging. Int J Electr Power Syst Res, Vol.77, No.12, pp.1595–1607,2007.
[18] Attavriyanupp, P., Kita, H., Tanaka, T., Hasegawa, J., A hybrid EP and SQP for dynamic economic dispatch with nonsmooth fuel cost function. IEEE TransPower Syst, Vol.17, No.2, pp.411–416,2002.
[19] Victoire, T.A.A., Jeyakumar, A.E., Deterministically guided PSO for dynamic dispatch considering valve-point effect . Elect Power Syst Res, Vol.73, No.1, pp.313–322,2005.
[20] Abdelaziz, A.Y., Kamh, M.Z., Mekhamer, S.F., Badr, M.A.L., A hybrid HNN-QP approach for dynamic economic dispatch problem . Elect Power Syst Res, Vol.78, No.1, pp.1784–1788,2008.
[21] BERGEN, R., VITTAL, V., Power systems analysis (Prentice-Hall, Upper Saddle River, NJ, USA, 1999, 2nd edn.).
[22] ALHAJRI, M.F., EL-HAWARY, M.E., Pattern search optimization applied to convex and non-convex economic dispatch.IEEE Int. Conf. on Systems, Man and Cybernetics, pp. 2674-2678, 2007.
[23] EL-HAWARY, M.E., CHRISTENSEN, G.S., Optimal economic operation of electric power systems (Academic Press,New York, USA, 1979).
[24] Boggs, P.T., Tolle, J.W., Sequential quadratic programming . Acta Numerica, Vol.4 ,pp.1–52, 1995.
