جلوگیری از وقوع انشعاب در ریزشبکه‌های اینورتری خودگردان با استفاده از تکنیک امپدانس مجازی

نوع مقاله: مقاله علمی فارسی

نویسندگان

دانشکدۀ مهندسی برق، واحد نجف آباد، دانشگاه آزاد اسلامی، نجف آباد، ایران

10.22108/isee.2020.122341.1358

چکیده

روش‌های افتی معمول به‌طور گسترده در ساختار کنترل واحدهای تولید پراکندۀ مبتنی بر اینورترهای منبع ولتاژ در یک ریزشبکه استفاده می‌شوند. با وجود سادگی و قابلیت اطمینان بالای این کنترل‌کننده‌ها، اینرسی کم اینورترهای منبع ولتاژ، پایداری سیستم را در برابر اغتشاشات احتمالی تهدید می‌کند؛ بنابراین، از منظر پایداری، دنبال‌کردن نقطۀ کار سیستم برای تعیین منطقۀ پایدار پارامترهای مؤثر بر پایداری ریزشبکه ضروری است. بدین منظور در مقالۀ حاضر، پس از استخراج یک مدل فضای حالت کامل برای ریزشبکۀ اینورتری، با استفاده از تجزیه‌وتحلیل مقادیر ویژه و آنالیز مدال، حالت‌های مؤثر بر مقادیر ویژۀ غالب سیستم شناسایی می‌شوند. سپس با استفاده از آنالیز انشعابات، محدودۀ پایدار پارامتر مؤثر بر پایداری ریزشبکه و نوع انشعاب ناشی از تغییر آن تعیین می‌شود. در ادامه، اثر امپدانس مجازی بر حاشیۀ پایداری پارامتری ریزشبکۀ اینورتری بررسی شده است. در این مقاله، با معرفی یک شاخص انشعابات، نسبت X/R مناسب برای امپدانس مجازی از منظر تجزیه‌وتحلیل سیگنال کوچک و انشعابات، انتخاب شده است. درنهایت، ساختار بهینه‌سازی چندهدفه ارائه شد تا به موازات جلوگیری از وقوع انشعاب در سیستم، سایر اهداف عملیاتی نیز لحاظ شوند.

کلیدواژه‌ها


عنوان مقاله [English]

Preventing of Bifurcation Consequences in VSI-Dominated Micro-grids Using Virtual Impedance Theory

نویسندگان [English]

  • Babak Keyvani
  • Bahador Fani
  • Ghazanfar Shahgholian
Department of Electrical Engineering, Najafabad Branch, Islamic Azad University, Najafabad, Iran
چکیده [English]

Conventional droop-based techniques have widely been used in controlling Voltage Source Inverter (VSI) based on distributed generation units within a Micro-Grid (MG). Despite the simplicity and high reliability of the controller, the low-inertia nature of VSIs threatens the system stability against probable disturbances. Thus, from the stability viewpoint, it is essential to carefully monitor the system operating point to determine the stable region of the parameters affecting the micro-grid stability. To this end, a complete dynamic model for an inverter-based micro-grid has been derived. According to this model, states affecting the dominant eigenvalues of the system are identified using eigenvalues analysis and modal analysis. Then, bifurcation theory is used to predict the parameter stability margin and identify the type of bifurcation. In this paper, by introducing a bifurcation index, the appropriate virtual impedance X/R ratio is selected from the viewpoint of both small-signal analysis and bifurcation analysis. Finally, a multi-objective optimization framework is presented to prevent such a problem in parallel to other operational goals.

کلیدواژه‌ها [English]

  • Virtual Impedance
  • Bifurcation Theory
  • Stability
  • Conventional Droop-based Techniques
  • Islanded Inverter Micro-grid

1- مقدمه

[1]با افزایش مشکلات زیست‌محیطی و نیاز به استفاده از انرژی پاک، منابع تجدیدپذیر به‌صورت منابع تولید پراکنده (DG) در شبکه‌های توزیع انرژی الکتریکی استفاده شده‌اند. به‌طور معمول، این منابع مستقیماً اتصال‌پذیر به شبکه‌ نیستند و از اینورترهای منبع ولتاژ (VSI) برای تبدیل خروجی آنها به فرم مطلوب استفاده می‌شود [1]. به‌منظور کنترل هماهنگ منابع پراکنده و افزایش قابلیت اطمینان سیستم، مفهوم ریزشبکه به‌عنوان مجموعه‌ای از واحدهای تولید پراکنده و بارهای نزدیک به آنها برای تولید و دریافت توان در مقیاس کوچک مطرح شده است. ریزشبکه‌‌ها می‌توانند به دلایل از پیش برنامه‌ریزی شده یا به علت وقوع خطا در شبکۀ بالادست، از شبکۀ اصلی جدا شوند و به‌صورت جزیره‌ای به فعالیت خود ادامه دهند. قابلیت جزیره‌ای‌شدن ریزشبکه سبب می‌شود تأمین انرژی بارهای حساس موجود در ریزشبکه در شرایط قطعی شبکه امکان‌پذیر شود. این مسئله باعث بهبود قابلیت اطمینان برای مصرف‌کنندگان داخل ریزشبکه می‌شود [2].

در حالت عملکرد جزیره‌ای به‌منظور کنترل ولتاژ، کنترل فرکانس، تنظیم توان خروجی منابع متناسب با نیاز شبکه و نیز تسهیم بار بین منابع، به‌کارگیری یک استراتژی کنترل محلی مناسب در VSIها ضروری است [3]. برای دستیابی به این اهداف، با فرض سلفی‌بودن شبکه‌ به‌طور گسترده از روش‌های کنترل افتی معمول، یعنی روش افتی معمول فرکانس - توان حقیقی و روش افتی معمول ولتاژ - توان راکتیو، استفاده شده است. علت استفاده از روش‌های افتی معمول این است که این استراتژی‌ها قابلیت کنترل محلی را فراهم می‌سازند و بدون نیاز به لینک‌های مخابراتی برای برقراری ارتباط بین منابع، قابلیت به‌کارگیری در هر دو حالت عملکرد ریزشبکه را دارند [5,4]؛ البته استفاده از این روش‌ها در ریزشبکه‌های ولتاژ پایین به علت اینکه فیدرهای توزیع ممکن است همیشه خاصیت سلفی نداشته باشند، باعث ایجاد محدودیت‌هایی در ریزشبکه می‌شوند؛ ازجمله‌ ایجاد تزویج بین توان‌های حقیقی و راکتیو منابع در شرایط X/R کم و تقسیم نامناسب توان راکتیو بین منابع به علت افت ولتاژ خطوط [6].

به‌کارگیری واسط‌های الکترونیک قدرت (VSIها) باوجود اینکه به عملکرد انعطاف‌پذیر منابع در برآورده کردن نیازهای کار دائم ریزشبکۀ خودگردان منجر می‌شود، به دلیل اینرسی فیزیکی ناچیزشان، چنانچه یک مکانیسم کنترل مناسب اجرا نشده باشد، سیستم را بالقوه در معرض نوسان حاصل از اختلالات شبکه قرار می‌دهد [8,7]؛ بنابراین، مسئلۀ پایداری، یکی از نگرانی‌های عمده در عملکرد قابل اطمینان ریزشبکه‌ها به‌خصوص در حالت عملکرد جزیره‌ای آنهاست؛ با این حال مسئلۀ پایداری ریزشبکه‌ در حالت عملکرد متصل به شبکۀ اصلی، موضوع با اهمیتی نیست؛ زیرا بیشتر دینامیک‌های سیستم به علت سایز نسبتاً کوچک ریزمنابع با شبکۀ بالادست دیکته می‌شوند.

در ساختار کنترل‌کنندۀ توان منابع، برای ایجاد فاصلۀ زمانی کافی بین حلقه‌های کنترل توان و جریان و نیز دستیابی به سیگنال‌های با کیفیت توان بالا، با عبور مقادیر لحظه‌ای توان از فیلترهای پایین‌ گذر با پهنای باند کم، از مقادیر متوسط توان‌های اکتیو و راکتیو در مشخصه‌های افتی استفاده می‌شود. استفاده از مقادیر متوسط توان باعث می‌شود پاسخ کنترل‌کننده‌های افتی متداول برای تقسیم توان بین منابع، نسبتاً کند باشد؛ بنابراین، کندبودن پاسخ باعث می‌شود دینامیک‌های سیستم به‌شدت از مقادیر ضرایب افتی متأثر باشد [10,9]. به عبارت دیگر، در ریزشبکه‌های اینورتری، مدهای فرکانس پایین منابع عمدتاً با حلقه‌های کنترل توان تعیین می‌شوند. این مدهای نوسانی با میرایی کم باعث ایجاد نوسانات فرکانس پایین در مؤلفۀ اصلی ولتاژ و جریان‌های خروجی منابع می‌شود و ممکن است باعث تحریک دینامیک‌های ناپایدار سیستم شود [9]؛ بنابراین، پیش‌بینی ناحیۀ پایدار پارامترهای مؤثر بر عملکرد دینامیکی سیستم و افزایش حاشیۀ پایداری آن بسیار حائز اهمیت است.

تجزیه‌وتحلیل سیگنال کوچک، روش متداول برای بررسی پایداری سیستم‌های غیرخطی تحت مجموعه‌ای از ساختارهای پارامتری مشخص است [12,11]؛ با این حال وقتی پارامترهای سیستم تغییر می‌کنند، نقطۀ تعادل مطابق با آن تغییر می‌کند و از مقدار خطی‌سازی‌شدۀ از پیش تعیین شده منحرف می‌شود [15-13]؛ بنابراین، استفاده از آنالیز سیگنال کوچک برای محاسبۀ محدودۀ پایدار پارامترها روش کارآمدی نیست.

یکی از روش‌های به‌کاررفته در تحلیل پایداری سیستم‌های دینامیکی در حضور تغییر پارامتر، روش تعقیب است که در تئوری انشعابات مطرح می‌شود [16]. در روش تعقیب، در یک نقطۀ کار (نقطۀ تعادل) مشخص از یک سیستم دینامیکی، یک یا چند پارامتر از سیستم به‌طور پیوسته تغییر داده می‌شود و نحوۀ تغییر مقادیر ویژه در نقاط کار جدید دنبال می‌شود. بسته به محل قرار‌گرفتن این مقادیر در صفحه اعداد مختلط، انشعابات مختلفی در سیستم رخ می‌دهد [18,17]. در [19] از تئوری انشعابات برای پیش‌بینی یک منطقۀ ناپایدار فرکانس پایین در مبدل‌های منبع ولتاژ سه فاز (VSC) استفاده می‌شود که در حالت متصل به شبکه کار می‌کنند. همچنین در مرجع [20] با استفاده از آنالیز انشعابات، پاسخ گذرای VSCهای سه فاز تحت کمبودهای ولتاژ شبکه مطالعه شده است.

این مقاله محدودۀ پایدار پارامترهای مؤثر بر دینامیک‌های با میرایی کم یک ریزشبکۀ اینورتری را در حالت عملکرد جزیره‌ای بر مبنای تئوری انشعابات بررسی می‌کند. بدین منظور، ابتدا یک مدل دینامیکی کامل برای ریزشبکۀ اینورتری شامل مدل منابع پراکنده‌، خطوط و بارها استخراج می‌شود، سپس برای انتخاب پارامترهای انشعاب، با استفاده از تحلیل مقادیر ویژه و آنالیز مدال، حالت‌هایی شناسایی می‌شوند که بیشترین تأثیر را بر مدهای غالب ریزشبکۀ مطالعه‌شده دارند. در ادامه با استفاده از آنالیز انشعابات، نوع انشعاب ناشی از تغییر پارامتر انشعاب تعیین می‌شود.

با توجه به وابستگی زیاد روش‌های افتی به امپدانس خطوط متصل به منابع، می‌توان با ایجاد خاصیت سلفی یا مقاومتی ازطریق تغییر مقادیر امپدانس خطوط، بر محدودیت‌‌های ناشی از تزویج میان توان‌های حقیقی و راکتیو منابع و مشکلات پایداری در زمان عملکرد جزیره‌ای ریزشبکه‌ها غلبه کرد [21]. یکی از روش‌های پیشنهادی برای بهبود عملکرد ریزشبکه‌‌ها، استفاده از امپدانس مجازی در ساختار استراتژی کنترل افتی منابع است. در مقالۀ حاضر، اثر انواع مختلف امپدانس مجازی بر پایداری ریزشبکه‌های دارای آشفتگی در امپدانس خطوط بررسی می‌شود. بدین منظور برای بررسی اثر مدهای غالب بر حاشیۀ پایداری سیستم، شاخصی برای انشعابات تعریف می‌شود. به‌منظور افزایش حاشیۀ پایداری پارامتری سیستم، با مقایسۀ پایداری ریزشبکه از منظر سیگنال کوچک و انشعابات، امپدانس مجازی مناسب انتخاب می‌شود. درنهایت، به‌منظور کاهش خطای تسهیم توان راکتیو هم‌زمان با افزایش حاشیۀ پایداری ریزشبکه، با استفاده از الگوریتم ژنتیک مقدار بهینۀ امپدانس مجازی با استفاده از یک مسئلۀ بهینه‌سازی تعیین می‌شود.

درمجموع، ویژگی‌های این مقاله به‌صورت زیر بیان می‌شوند:

  • بررسی پدیدۀ انشعابات در ریزشبکه‌های مبتنی بر منابع اینورتری به دنبال فرآیند تنظیم پارامترهای افتی؛
  • اجتناب از وقوع انشعاب در سیستم با روش امپدانس مجازی؛
  • مقایسۀ اثر نسبت X/R امپدانس مجازی از منظر انشعابات و سیگنال کوچک بر پایداری ریزشبکه؛
  • طراحی و بهینه‌سازی یک تابع چندهدفه به‌منظور تسهیم مناسب توان راکتیو هم‌زمان با جلوگیری از وقوع انشعاب در سیستم.

ادامۀ مقاله به‌صورت زیر سازماندهی شده است. در بخش دوم مقاله، ساختار سیستم کنترل منابع اینورتری تشریح می‌شود. در بخش سوم، مدل فضای حالت و مدل خطی‌سازی‌شدۀ کامل یک ریزشبکه استخراج می‌شود. در بخش چهارم، ضمن معرفی انواع انشعابات، با استفاده از تجزیه‌وتحلیل مقادیر ویژه و تئوری انشعابات، وضعیت پایداری سیستم و نوع انشعاب ناشی از تغییر پارامتر تعیین می‌شود. در بخش پنجم، با معرفی یک شاخص برای سنجش انشعاب، امپدانس مجازی مناسب برای افزایش حاشیۀ پایداری پارامتری سیستم بدون نیاز به تغییر استراتژی کنترلی انتخاب می‌شود. همچنین به‌منظور بهبود تسهیم توان راکتیو، مقدار بهینۀ امپدانس مجازی با استفاده از یک مسئلۀ بهینه‌سازی تعیین می‌شود. درنهایت، در بخش ششم، نتایج حاصل از این مطالعه ارائه می‌شوند.

 

2- ساختار کنترلی اینورتر

در شکل (1)، بلوک دیاگرام یک VSI که با فیلتر LC و سلف تزویج به ریزشبکه متصل شده، به همراه کنترل‌کننده‌های مربوطه نشان داده شده است. با توجه به شکل، ساختار کنترلی اینورتر از دو بخش حلقۀ کنترل خارجی توان و حلقۀ کنترل داخلی شامل حلقه‌های کنترل ولتاژ و کنترل جریان تشکیل می‌شود. در حلقۀ کنترل توان به‌منظور حفظ ولتاژ و فرکانس در محدودۀ مقادیر از پیش تعیین شده و افزایش قابلیت اطمینان ریزشبکه‌های اینورتری در حالت عملکرد جزیره‌ای، از یک کنترل‌کنندۀ محلی در هر DG استفاده می‌شود [23,22]. هماهنگی بین کنترل‌‌کننده‌‌های محلی مطابق معادلات (1) و (2)، با روش‌های افتی فرکانس - توان حقیقی و ولتاژ - توان راکتیو در حلقۀ کنترل توان به دست می‌آید.

(1)

 

(2)

 

در این روابط mpi و nqi به‌ترتیب ضرایب افتی توان اکتیو و راکتیو هر واحد DG هستند. wi فرکانس زاویه‌ای DG  iام و w0 فرکانس نامی سیستم (rad/s50´π2) است.  اندازۀ ولتاژ مرجع خروجی از کنترل‌کنندۀ توان را نمایش می‌دهد و Vni ولتاژ نامی سیستم (V380) است. Pi و Qi مقادیر متوسط توان‌های حقیقی و راکتیو اندازه‌گیری‌شده در خروجی DGها هستند.

کنترل‌کنندۀ ولتاژ وظیفۀ تنظیم ولتاژ خروجی اینورتر ،vo، را به عهده دارد. در این کنترل‌کننده‌ برای کاهش خطای ولتاژ خروجی اندازه‌گیری‌شده نسبت به مقدار ولتاژ مرجع تولیدشده توسط واحد کنترل توان، از یک کنترل‌‌کنندۀ PI ساده استفاده می‌شود [23]. به‌طور معمول در ساختار کنترل منابع برای افزایش پایداری داخلی، افزایش کیفیت توان و جلوگیری از اضافه‌بار شدن سیستم، یک حلقۀ کنترل جریان به کار می‌رود. مشابه کنترل‌کنندۀ ولتاژ، در این کنترل‌کننده‌‌ نیز برای تنظیم جریان خروجی اینورتر از یک کنترل‌کنندۀ PI استاندارد استفاده می‌شود. کنترل‌کنندۀ جریان، اختلاف جریان عبوری از سلف فیلتر با مرجعِ جریان محاسبه‌شده توسط کنترل‌کنندۀ ولتاژ را به حداقل می‌رساند. خروجی این کنترل‌کننده، سیگنال ولتاژ ورودی به اینورتر است.

 

3- مدل دینامیکی ریزشبکه

شکل (2) دیاگرام تک‌خطی یک ریزشبکۀ اینورتری خودگردان 4 باسه V380 و Hz 50 شامل 4 منبع پراکنده (DG1~DG4)، 2 بار (L1~L2) و 3 خط را نمایش می‌دهد. در این ساختار هر منبع به‌وسیلۀ یک امپدانس تزویج Zc (0.03+j0.11 W) به باس محلی خود متصل شده است. مشخصات سایر عناصر ریزشبکه در جدول (1) داده شده است. هدف از این بخش، استخراج مدل دینامیکی ریزشبکۀ اینورتری در قالب سه ماژول DG مبتنی بر اینورتر منبع ولتاژ، خطوط و بارها در دستگاه مرجع dq است.

 

 

شکل (1): بلوک دیاگرام منبع اینورتری

 

3-1- مدلسازی DG مبتنی بر اینورتر منبع ولتاژ

یک ریزشبکه به‌طور معمول از بیش از یک DG تشکیل می‌شود؛ بنابراین، هر یک از واحدهای DG در دستگاه مرجع dq خودش مدل می‌شود. به علت وجود اختلاف فاز در بین دستگاههای مرجع dq برای DGهای مختلف، دستگاه مرجع یکی از منابع، دستگاه مرجع مشترک (DQ) در نظر گرفته می‌شود. در مدلسازی، دینامیک‌های سایر DGها با معادلۀ (3) به دستگاه مرجع مشترک منتقل می‌شوند.

(3)

 

 

در این رابطه، di زاویۀ دستگاه مرجع منبع پراکنده iام نسبت به دستگاه مرجع مشترک است که به‌صورت رابطۀ (4) تعریف می‌شود.

(4)

 

 

در این رابطه، wcom فرکانس زاویه‌ای دستگاه مرجع مشترک است. در مدلسازی، با فرض جایگزینی منابع پراکنده با منابع ولتاژ dc ایدئال، از دینامیک‌های باس dc صرف‌نظر می‌شود [9]؛ بنابراین، تنها معادلات حالت اینورترها و کنترل‌کننده‌های آنها بررسی می‌شود.

 

شکل (2): دیاگرام تک‌خطی ریزشبکۀ مطالعه‌شده

 

کنترل‌کنندۀ توان با به‌کارگیری تکنیک‌های افتی در معادلات (1) و (2)، فرکانس کار wi را برای اینورتر پل و مقدار مرجع ولتاژ و  را برای کنترل‌کنندۀ ولتاژ تهیه می‌کند. استراتژی کنترل ولتاژ برای هر DG، اندازۀ ولتاژ خروجی را در امتداد محور d دستگاه مرجع خودش قرار می‌دهد [23]؛ بنابراین:

(5)

 

 

با اندازه‌گیری مؤلفه‌های ولتاژ و جریان خروجی اینورتر vodqi و iodqi، دینامیک‌های غیرخطی کنترل‌کننده‌‌های توان منبع پراکندۀ iام به فرم زیر نوشته می‌شود [9].

(6)

 

(7)

 

در این روابط، pi=vodiiodi+voqiioqi و qi=vodiioqi-voqiiodi  مؤلفه‌های لحظه‌ای توان حقیقی و راکتیو هستند. در ساختار کنترل منابع اینورتری، به‌منظور دستیابی به کیفیت توان بالا و ایجاد اختلاف زمانی کافی میان پاسخ حلقۀ ‌کنترل توان و حلقه‌های کنترل ولتاژ و جریان، از یک فیلتر پایین‌گذر با فرکانس قطع wc در کنترل‌کنندۀ توان استفاده می‌شود.

در حلقه‌های کنترل ولتاژ و جریان داخلی، از تنظیم‌کننده‌های تناسبی - انتگرالی استاندارد (PI) استفاده شده است. در فرآیند مدلسازی، به‌منظور تفکیک حلقه‌های کنترل ولتاژ و جریان در راستای محور d و q از مؤلفه‌های تزویج عرضی استفاده می‌شود. معادلات فضای حالت و معادلات خروجی این کنترل‌کننده‌ها عبارت‌اند از [8]:

(8)

 

(9)

 

(10)

 

(11)

 

 

در این روابط، jdqi و gdqi به‌ترتیب متغیرهای حالت کمکی تعریف‌شده برای کنترل‌کننده‌های PI در حلقۀ کنترل ولتاژ و جریان‌اند. kpvi، kivi، kpci و kici به‌ترتیب بهره‌های تناسبی و انتگرالی کنترل‌کننده‌های PI در حلقه‌های کنترل ولتاژ و جریان‌اند.

 

جدول (1): پارامترهای سیستم مطالعه‌شده

مقدار

پارامتر

 

فیلتر

 

فرکانس قطع

 

شیب مشخصۀ افتی فرکانس

 

شیب مشخصۀ افتی ولتاژ

 

پارامترهای کنترل‌کننده

 

معادلات دیفرانسیل فیلتر LC خروجی و اندوکتانس تزویج در روابط (12) تا (14) تعریف شده‌اند.

(12)

 

(13)

 

(14)

 

 

معادلات (4) تا (14)، مدل دینامیکی هر DG را از مرتبه 13 تشکیل می‌دهد. با خطی‌سازی معادلات دیفرانسیل غیرخطی DG حول نقطۀ تعادل آن، مدل سیگنال کوچک هر DG در دستگاه مرجع مشترک DQ به‌صورت زیر نمایش داده می‌شود.

(15-1)

 

(15-2)

 

که در این روابط

(16)

 

 

در این روابط، نماد D مقدار سیگنال کوچک متغیرهای حالت است و زیرنویس‌های D و Q مؤلفه‌های محور d و q یک متغیر را در قاب مرجع مشترک نشان می‌دهد. ماتریس‌‌های AInv.i، BInv.i، Biwcom، CInv.wi و CInv.ci، ماتریس‌های ضرایب‌اند که از نوشتن معادلات DG به فرم ماتریسی به دست می‌آیند و در بخش ضمیمه ارائه شده‌اند.

 

3-2- مدلسازی خطوط و بارها

مشابه با روابط فیلتر LC، با استفاده از قوانین کیرشهف، رابطۀ ریاضی جریان خط iام متصل بین باس‌های k و j (مدل‌شده با امپدانس سری) و معادلۀ دینامیکی جریان بار RL متصل به باس iام به‌صورت روابط زیر در دستگاه مرجع مشترک DQ استخراج می‌شوند.

(17)

 

(18)

 

 

با خطی‌سازی معادلات (17) و (18) حول نقطۀ تعادل سیستم، مدل سیگنال کوچک معادلات فضای حالت خطوط و بار به‌صورت روابط زیر به دست می‌آید.

(19)

 

(20)

 

 

ماتریس ضرایب در معادلات خطوط و بارها در بخش ضمیمه ارائه شده‌اند.

 

3-3- مدل یکپارچۀ ریزشبکۀ اینورتری

به‌منظور ادغام مدل‌های به‌دست‌آمده از زیرسیستم‌ها در یک مدل یکپارچه برای ریزشبکه، مطابق شکل (2) برای محاسبۀ ولتاژهای گره‌ای از مقاومت مجازی بزرگ (rN) در باس‌ها استفاده می‌شود [9]. استفاده از این مقاومت باعث می‌شود سیستم به یک سیستم خودگردان تبدیل شود. رابطۀ ولتاژ گره‌ای برای یک ریزشبکه شامل s منبع پراکنده، n خط، p بار و m گره عبارت است از:

(21)

 

 

در معادلۀ بالا ماتریس RN یک ماتریس قطری از مرتبۀ (m2m´2) با عناصر rN است. ماتریس‌های MInv، MNet‌ و MLoad براساس پیکربندی سیستم تعریف می‌شوند و نقاط اتصال منابع، خطوط و بارها را به گرههای شبکه ترسیم می‌کنند. ماتریس‌ MInv از مرتبۀ (s2m´2) و ماتریس‌ MLoad از مرتبۀ (p2m´2) به‌ترتیب نقاط اتصال اینورتر و بار را بر روی گرههای شبکه مشخص می‌کنند. ماتریس MNet‌ از مرتبۀ (n2m´2) خطوط متصل‌کنندۀ گرهها را ترسیم می‌کند.

با ترکیب معادلات دینامیکی VSIها، خطوط و بارها، مدل کامل یک ریزشبکه به‌صورت رابطۀ زیر نمایش داده می‌شود.

(22)

 

 

که در این رابطه [DxInv] از حالت‌های همۀ اینورترهای ریزشبکه تشکیل شده است. [Diline] و [DiLoad] از ترکیب همۀ حالت‌های خطوط و بارها تشکیل شده‌اند. تعداد متغیرهای حالت برای هر اینورتر، خط و بار به‌ترتیب برابر 13، 2 و 2 است؛ بنابراین، برای ریزشبکۀ جزیره‌ای شکل (2)، مرتبۀ ماتریس حالت سیستم (Asys)، 62´62 است. ماتریس حالت سیستم ریزشبکۀ اینورتری در بخش ضمیمه ارائه شده است.

 

4- آنالیز پایداری ریزشبکۀ اینورتری با استفاده از تئوری انشعابات

به علت ماهیت غیرخطی سیستم ریزشبکه‌، مطالعۀ پایداری دینامیکی چنین سیستم‌هایی از منظر غیرخطی حائز اهمیت است. تئوری انشعابات، ابزاری قدرتمند برای بررسی رفتار سیستم‌های دینامیکی غیرخطی است. این تئوری اساساً رفتار دینامیکی سیستم را به‌ازای تغییرات پارامترهای آن مطالعه می‌کند. به عبارت دیگر، انشعاب زمانی رخ می‌دهد که تغییرات پیوستۀ یک پارامتر باعث ایجاد یک تغییر ناگهانی در رفتار سیستم می‌شود [24].

انشعاب هاپف، مرز عمدۀ پایداری محلی در سیستم‌های قدرت الکتریکی است. وقتی انشعاب هاپف رخ می‌دهد، یک جفت مقدار‌ ویژۀ مختلط روی محور موهومی قرار می‌گیرند. وقوع انشعاب هاپف باعث رفتار نوسانی در سیستم ریزشبکه‌ می‌شود. این انشعاب، زیربحرانی یا فوق بحرانی است. در انشعاب هاپف زیربحرانی، ناحیۀ جذب نقطۀ تعادل پایدار با یک سیکل حد ناپایدار محدود می‌شود و زمانی که پارامتر به سمت مقدار بحرانی خود حرکت می‌کند، دامنۀ این سیکل حد کوچک‌تر می‌شود و با عبور پارامتر از نقطۀ بحرانی از بین می‌رود؛ بنابراین، در حالت زیربحرانی، منطقۀ پایدار تعریف‌شده با آنالیز سیگنال کوچک ممکن است سیکل‌های حد ناپایدار داشته باشد. در انشعاب هاپف فوق ‌بحرانی، نقطۀ تعادل پایدار با یک سیکل حد پایدار با دامنۀ کوچک جایگزین می‌شود. به عبارت دیگر، این انشعاب، سیکل‌های حد پایدار در منطقۀ ناپایدار (تعریف‌شده با آنالیز سیگنال کوچک) دارد؛ بنابراین، در این شرایط منطقۀ پایدار خطی حتی برای انحرافات بزرگ‌تر نیز پایدار است.

به‌طور معمول برای یک در ریزشبکۀ در حال کار، تعیین مقدار بحرانی پارامترها برای پیش‌بینی حاشیۀ پایداری با توجه به وضعیت فعلی آن استفاده می‌شود که این کار برای برنامه‌ریزی آنلاین پارامترهای کنترلی مفید است؛ بنابراین، با تغییر پارامترهای به‌دست‌آمده در محدودۀ مجاز حاصل از آنالیز سیگنال کوچک، احتمال وقوع انشعاب وجود دارد. مطالعۀ پایداری یک ریزشبکه با تئوری انشعابات از دو مرحلۀ تشکیل می‌شود. ابتدا بر مبنای مدل خطی‌سازی‌شده در بخش 3، با استفاده از ماتریس مشارکت و تجزیه‌وتحلیل مقادیر ویژه، پارامترهای مؤثر بر پایداری دینامیکی در حالت عملکرد دائمی سیستم انتخاب می‌شوند. سپس با استفاده از روش تعقیب، نوع انشعاب و نمای فاز سیستم به‌ازای تغییر پارامترها استخراج می‌شود.

 

4-1- تجزیه‌وتحلیل مقادیر ویژه

در مرحلۀ اول فرآیند تحلیل پایداری، مقادیر ویژه و ضرایب مشارکت برای انتخاب پارامترهای مؤثر بر پایداری دینامیکی ریزشبکه در حالت عملکرد دائم آن بررسی شده‌اند. پارامترهای انتخاب‌شده در این بخش، پارامتر انشعاب در مرحلۀ بعدی در نظر گرفته می‌شوند. مطابق اطلاعات به‌دست‌آمده در بخش 3، مدل دینامیکی ریزشبکه به‌دست‌آمده از ترکیب معادلات دینامیکی VSIها، خطوط و بارهای ریزشبکه، به‌صورت رابطۀ زیر نمایش داده می‌شود.

(23)

 

در این رابطه، x متغیرهای حالت و α پارامترهای سیستم‌اند.

برای به دست آوردن نقطۀ کار در شرایط عملکرد پایدار سیستم، سمت چپ معادلات (23) برابر صفر قرار داده می‌شود و از حل این معادلات، نقطۀ کار سیستم مطابق نتایج جدول (2) استخراج می‌شود. با خطی‌سازی مدل دینامیکی سیستم حول نقطۀ تعادل پایدار به‌دست‌آمده، ماتریس حالت سیستم (Asys)، مطابق با رابطۀ (22) به دست می‌آید. باید در نظر داشت در زمان آغاز به‌کار ریزشبکه، کل سیستم، پایدار است و به‌خوبی در محدودۀ عملیاتی نامی خود کار می‌کند. شکل (3) طیف مقادیر ویژۀ ریزشبکۀ مطالعه‌شده را در نقطۀ پایدار نشان می‌دهد؛ به‌طوری‌که از این شکل مشاهده می‌شود به‌جز یک مقدار ویژه در مبدأ صفحۀ s، مابقی مقادیر ویژۀ سیستم در نیم‌صفحۀ چپ صفحه واقع شده‌اند. این مقدار ویژۀ صفر ناشی از زاویۀ توان منبع اینورتری شمارۀ 1 (1d) است که به‌عنوان زاویۀ چارچوب مرجع مشترک ریزشبکه انتخاب شده است.

مطابق شکل (3)، با توجه به فاصلۀ مقادیر ویژۀ سیستم از محور موهومی و حقیقی می‌توان آنها را به سه دسته تقسیم کرد. تجزیه‌وتحلیل نشان می‌دهد مقادیر ویژۀ فرکانس پایین نزدیک به محور موهومی، مهم‌ترین و تعیین‌کننده‌ترین مدها برای پایداری سیستم‌اند؛ درحالی‌که مدهای نزدیک محور حقیقی بر میرایی سیستم تأثیر می‌گذارند [25]. در این سیستم، مقادیر ویژۀ غالب نزدیک به محور موهومی در دسته 3 قرار دارند و تغییر آنها می‌تواند به‌سادگی باعث ناپایداری سیستم شود؛ بنابراین، شناسایی متغیرهای حالتی مؤثر بر مقادیر ویژۀ غالب سیستم اهمیت زیادی دارد. بر اساس این، چگونگی ارتباط پارامترهای سیستم با متغیرهای حالت مؤثر بر پایداری دینامیکی ریزشبکه بررسی می‌شود.

به‌طور معمول برای تعیین رابطۀ بین متغیرهای حالت و مقادیر ویژه، ضرایب مشارکت سیستم محاسبه می‌شود. ضریب مشارکت، میزان مشارکت نسبی متغیر حالت kام در مقدار ویژۀ iام و برعکس است. با فرض اینکه  و  به‌ترتیب بردارهای ویژۀ چپ و بردارهای ویژۀ راست مرتبط با مقدار ویژۀ λi سیستم‌اند، ضریب مشارکت مد iام و متغیر حالت jام عبارت است از:

(24)

 

 

با استفاده از رابطۀ (24)، ضرایب مشارکت مربوط به 3 جفت مد غالب سیستم مطالعه‌شده (مدهای فرکانس پایین با میرایی کم) با مقدار بیشتر از 5% در جدول (3) لیست شده‌اند؛ به‌طوری‌‌که از این جدول مشاهده می‌شود مشارکت‌کنندگان اصلی در مدهای غالب ریزشبکه، دینامیک‌های ناشی از کنترل‌کننده‌های توان حقیقی و زاویۀ دستگاه مرجع منابع‌اند. همچنین نتایج جدول نشان می‌دهند حالت‌های ناشی از کنترل‌کننده‌های توان حقیقی منابع مختلف به‌طور هم‌زمان بر هر سه جفت مد مختلط غالب تأثیر می‌گذارند؛ بنابراین، بین منابع مختلف، تداخل دینامیکی وجود دارد و رفتار دینامیکی یک منبع، مستقل از سایر منابع ریزشبکه نیست.

 

 

شکل (3): مقادیر ویژۀ ماتریس حالت سیستم مطالعه‌شده

 

جدول (2): نقاط کار پایدار سیستم مطالعه‌شده

مقدار

متغیر حالت

[3838 ,3838 ,5103 ,5103]

P (W)

[3076 ,4790 ,3791 ,5697]

Q (Var)

[0084/0- ,0063/0- ,0018/0- ,0]

 

[4/375 ,8/372 ,1/375 ,6/372]

vo(V)

[1/13 ,46/16 ,94/16 ,53/20]

io (A)

[81/32 ,77/32]

iLoad (A)

 

جدول (3): مقادیر ویژه و آنالیز مشارکت

ضریب مشارکت (%)

مقدار

مدهای غالب

d1(9/16), P1(15), d3(23), P3(21)

57/6-±j77/54

λ2و1

P1(15), d2(43), P2(21)

26/8-±j64/45

λ4و3

P1(12), P2(6), d3(20),

P3(8), d4(28), P4(14)

9/13-±j94/16

λ6و5

 

4-2- تجزیه‌وتحلیل انشعابات

در ریزشبکه‌های اینورتری با برنامه‌ریزی بهره‌های افتی، توان ریزشبکه در شرایط مختلف کار آن تنظیم می‌شود. مطابق با نتایج حاصل از تجزیه‌وتحلیل مقادیر ویژه و مُدال در بخش 1-4، دینامیک‌های سیستم به‌شدت از بهرۀ افتی فرکانس متأثرند؛ بنابراین، در این بخش، بهرۀ افتی فرکانس منبع اول (1mp) به‌عنوان پارامتر انشعاب انتخاب شده است.

شکل (4) مکان هندسی مقادیر ویژۀ غالب ریزشبکۀ مطالعه‌شده را به‌ازای افزایش مقدار 1mp نشان می‌دهد. با توجه به شکل، با افزایش مقدار 1mp، مقادیر ویژۀ غالب سیستم مطالعه‌شده به‌تدریج به سمت محور موهومی حرکت می‌کنند؛ اما تنها مقادیر ویژۀ مختلط 2و1λ برای مقادیر 1mp بزرگ‌تر از 5-10´9448/29 از محور موهومی عبور می‌کند. مطابق تعریف، این اتفاق منطبق بر شرایط وقوع انشعاب هاپف است.

شکل (5) نمای فاز سیستم را در یک همسایگی از نقطۀ تعادل و در شرایط کار حالت دائمی سیستم مطالعه‌شده به‌ازای ضریب افتی فرکانس 1mp برابر با 5-10´4/9 نشان می‌دهد. با توجه به شکل (5)، نمای فاز در این حالت به‌صورت نوسانی میراشونده به نقطۀ تعادل نزدیک می‌شود. به عبارت دیگر، نقطۀ تعادل یک کانون پایدار است. با افزایش مقدار 1mp، در 5-10´32/26 مقادیر ویژۀ 2و1λ به سمت محور موهومی حرکت می‌کنند و باوجود اینکه نقطۀ تعادل هنوز به‌صورت خطی پایدار است، مطابق شکل (6) مسیر فاز سیستم به‌صورت کندتر به سمت نقطۀ تعادل حرکت می‌کند.

با تغییر ضریب افتی فرکانس به‌عنوان پارامتر انشعاب، در مقدار 5-10´9448/29*=1mp =1mp یک جفت از مقادیر ویژۀ سیستم روی محور موهومی قرار می‌گیرد. در این شرایط، 4768/64=± j 2و1λ است و سایر مقادیر ویژه در سمت چپ محور موهومی‌اند؛ درنتیجه، سیستم ریزشبکه به‌ازای *1mp =1mp در معرض انشعاب هاپف قرار می‌گیرد. در این حالت، نقطۀ تعادل به‌صورت غیر‌خطی پایدار بوده و به‌صورت توپولوژیکی با کانون هم‌ارز است. در صورت عبور 1mp از مقدار*1mp، سیستم به‌صورت نوسانی پایدار می‌شود و مطابق شکل (7) نقطۀ تعادل با یک سیکل حد پایدار جایگزین می‌شود.

قسمت حقیقی یک مقدار ویژۀ مختلط، میرایی سیستم را توصیف می‌کند و بخش موهومی آن فرکانس زاویه‌ای نوسانات را نشان می‌دهد؛ بنابراین، در هنگام وقوع انشعاب هاپف، سیستم مطالعه‌شده نامیراست و فرکانس نوسانات پریودیک آن حدود (rad/s) 4768/64 خواهد بود.

 

شکل (4): ردیابی مدهای غالب سیستم به‌ازای افزایش 1mp

 

شکل (5): نمای فاز سیستم به‌ازای 5-10´4/9=1mp

 

5- امپدانس مجازی

در ریزشبکه‌های اینورتری با عملکرد جزیره‌ای، با فرض سلفی‌بودن شبکه (امپدانس خروجی واحدهای تولید پراکنده) از روش‌های افتی معمول برای تنظیم توان حقیقی و توان راکتیو استفاده می‌شود؛ اما در حالت کلی، فرض سلفی‌بودن همواره صادق نیست؛ زیرا امپدانس خروجی این منابع به استراتژی کنترلی آنها نیز وابسته است. به‌علاوه امپدانس فیدرهای سیستم توزیع ممکن است همیشه سلفی نباشند. در این شرایط، استفاده از کنترل‌کننده‌های افتی معمول باعث ایجاد محدودیت‌هایی مثل ایجاد تزویج بین توان حقیقی و توان راکتیو منابع، تقسیم‌نشدن مناسب توان راکتیو بین منابع و ایجاد مدهایی با میرایی ضعیف در سیستم می‌شود [27,26].

وجود تزویج بین توان‌های حقیقی و راکتیو به کاهش حاشیۀ پایداری و همچنین کاهش کیفیت پاسخ دینامیکی سیستم در قالب نوسانی شدن پاسخ همراه با میرایی ضعیف منجر می‌شود؛ بنابراین، برای تضعیف تزویج بین توان‌های حقیقی و راکتیو در این ریزشبکه‌ها از امپدانس مجازی از جنس سلفی خالص استفاده می‌شود. همچنین در ریزشبکه‌های با خاصیت مقاومتی غالب برای تنظیم توان حقیقی و توان راکتیو، با تغییر استراتژی کنترلی از مشخصه‌های معکوس (E-P) و (w-Q) استفاده می‌شود [30-28]. در این نوع ریزشبکه‌ها برای مقاومتی‌تر کردن شبکه و تضعیف تزویج میان توان‌های حقیقی و راکتیو از امپدانس مجازی از جنس مقاومتی خالص استفاده می‌شود.

 

 

شکل (6): نمای فاز سیستم به‌ازای5-10´32/26=1mp

 

 

شکل (7): نمای فاز سیستم با وقوع انشعاب هاپف

 

روش‌های فوق برای کاهش تزویج میان توان حقیقی و توان راکتیو در ریزشبکه‌هایی با نسبت X/R متفاوت در خطوط مؤثر نیستند؛ بنابراین، در چنین شبکه‌‌‌‌‌‌هایی از امپدانس مجازی مختلط شامل ترم‌های مقاومتی و سلفی به‌صورت Zv=Rv+jXv در ساختار کنترل منابع (بدون نیاز به تغییر استراتژی کنترل افتی) استفاده می‌شود. شکل (8) بلوک دیاگرام یک DG را با حضور حلقۀ امپدانس مجازی در ساختار کنترل آن نشان می‌دهد. مطابق شکل (8)، با اضافه‌شدن امپدانس مجازی در حلقۀ کنترل توان، مقدار مرجع برای کنترل‌کنندۀ ولتاژ، ، از رابطۀ زیر به دست می‌آید.

(25)

 

در غیاب امپدانس مجازی، ولتاژ خروجی کنترل‌کنندۀ توان ( ) با مقدار مرجع ولتاژ ورودی به حلقۀ کنترل ولتاژ ( ) برابر است. درخور ذکر است پیاده‌سازی امپدانس مجازی با رابطۀ (25) در ساختار کنترل منابع ریزشبکه، سبب اضافه‌شدن ترم‌های جدید به معادلات (8) و (9) در کنترل‌کنندۀ ولتاژ می‌شود؛ بنابراین، ماتریس حالت سیستم با حضور امپدانس مجازی، با ماتریس حالت سیستم در معادلۀ (22) متفاوت است.

 

5-1- تأثیر نسبت Xv/Rv امپدانس مجازی بر پایداری و وقوع انشعابات

امپدانس خط، یکی از عوامل موثر بر پایداری ریزشبکه‌های اینورتری با استراتژی‌های افتی متداول است. مرجع [31] نشان داده است امپدانس بین منابع، تأثیر عمده‌ای بر پایداری دارد. به عبارت دیگر، سیستم‌های با منابع نزدیک به یکدیگر در معرض مشکلات پایداری‌اند؛ بنابراین، با توجه به ساختار هر ریزشبکه، ممکن است امپدانس خط بین منابع متفاوت باشد که این مسئله بر حاشیۀ پایداری سیستم موثر است. روش امپدانس مجازی با تنظیم امپدانس خروجی منابع، ضمن تغییر خاصیت خط، اختلاف افت ولتاژ روی امپدانس خطوط متصل به منابع مختلف را جبران می‌کند؛ بنابراین، استفاده از حلقۀ امپدانس مجازی مناسب باعث می‌شود فاصلۀ الکتریکی خطوط زیادتر شود.

سیستم انتخاب‌شده برای مطالعه در این مقاله، دارای آشفتگی در نسبت X/R خطوط است. یعنی امپدانس خط بین باس‌های 2 و 3 دارای خاصیت سلفی غالب و سایر خطوط دارای خاصیت مقاومتی غالب‌اند؛ بنابراین، برای تعیین بهینۀ نسبت Xv/Rv امپدانس مجازی، محدودۀ وسیعی برای تغییرات آن در نظر گرفته شده و تحلیل مقادیر ویژه در این محدوده انجام شده است. همچنین به‌منظور بررسی اثر امپدانس مجازی بر وقوع انشعاب در اثر تغییر پارامتر، مقدار شیب مشخصۀ افتی فرکانس نیز در محدودۀ وسیعی تغییر یافته است. در حالت اول، مقدار ضریب افتی فرکانس برابر 5-10´4/9 در نظر گرفته شده است. در حالت دوم، ضریب افتی فرکانس روی مقدار بحرانی 5-10´9448/29 تنظیم شده است که از تحلیل انشعابات به دست آمد. در مرحلۀ‌‌ آخر، 1mp برابر 5-10´47 در نظر گرفته شده است.

نتایج حاصل از تحلیل‌های انجام‌شده، در جداول (4) تا (10) مشاهده می‌شوند. در جداول ذکرشده، 2و1λ ، 4و3λ و 6و5λ مقادیر ویژۀ غالب ریزشبکه‌اند که بیشترین تأثیر را در وقوع انشعابات خواهند داشت و به‌منظور افزایش حاشیۀ پایداری سیستم باید در ناحیۀ D شکل با شیب 5%± قرار گیرند؛ بنابراین، نسبت میرایی (xi) هر یک از مودهای ذکرشده، رابطۀ (26)، یک پارامتر مهم در تعیین بهینۀ مقدار امپدانس مجازی است. به عبارت دیگر، هرچه نسبت میرایی به صفر نزدیک‌تر باشد، سیستم به مرز ناپایداری، نزدیک‌تر و هرچه به 1 نزدیک‌تر باشد، سیستم پایدارتر است.

(26)

 

 

در جداول (4) تا (10)، SI شاخص پایداری سیگنال کوچک سیستم، مطابق معادلۀ (27) نمایش داده شده است [32]. این رابطه با محاسبۀ میانگین نسبت‌های میرایی کل سیستم، وضعیت پایداری کلی سیستم را در حالت‌های مختلف عملکرد نشان می‌دهد؛ با این حال، این شاخص پایداری نمی‌تواند به‌صورت خاص، اثر مقادیر ویژۀ غالب مؤثر بر وقوع انشعاب در سیستم را نشان دهد؛ بنابراین، به‌منظور بررسی تأثیر مقادیر ویژۀ غالب بر حاشیۀ پایداری در شرایط مختلف عملکرد سیستم (به‌ازای مقادیر مختلف 1mp و نسبت‌های متفاوت Xv/Rv) شاخص انشعابات BI، به‌صورت رابطۀ (28) تعریف می‌شود. در این رابطه، با به‌کارگیری یک تابع نمایی که توان آن بخش حقیقی مقادیر ویژه‌ است، هرچه مقادیر ویژه‌ از محور موهومی دورتر شوند، تأثیر آنها بر شاخص انشعاب کاهش می‌یابد. به عبارت دیگر، با افزایش حاشیۀ پایداری، شاخص انشعاب کوچک‌تر می‌شود. همچنین می‌توان با هدف افزایش وزن مقادیر ویژۀ موثر بر وقوع انشعابات (مدهای نزدیک به محور موهومی)، شیب تابع نمایی را افزایش داد (l ³ 1). در رابطۀ (29)، DVi انحراف ولتاژ باس iام را از مقدار مطلوب آن نشان می‌دهد.

(27)

 

(28)

 

(29)

 

در معادلات بالا  قسمت حقیقی مقدار ویژۀ iام ( ) سیستم است. Vi اندازۀ ولتاژ در باس iام و  مقدار مطلوب آن است.

 

 

شکل (8): بلوک دیاگرام DG با حلقۀ امپدانس مجازی

 

جداول (5) و (6) نتایج حاصل از تحلیل مقادیر ویژۀ ریزشبکۀ مطالعه‌شده را در شرایط استفاده از امپدانس مجازی از نوع مقاومتی خالص نشان می‌دهند. جدول (7) نتایج حاصل از تحلیل مقادیر ویژۀ ریزشبکۀ مطالعه‌شده را در شرایط استفاده از امپدانس مجازی از نوع مقاومتی غالب نشان می‌دهد.

با توجه به جدول (5)، به‌ازای مقدار مقاومت W 35/0= Rv شاخص پایداری سیستم و نسبت میرایی مدهای غالب در مقایسه با وضعیتی بهبود یافته که از امپدانس مجازی در سیستم استفاده نشده است (به جدول 4 نگاه کنید)؛ با این حال، مطابق جدول (5)، با افزایش ضریب افتی فرکانس سیستم به مقدار 5-10´9448/29=1mp، باوجود بهبود شاخص BI نسبت به شرایط مشابه در جدول (4)، مقادیر ویژۀ غالب 2و1λ سیستم از محدودۀ میرایی 5%±، خارج و به محور موهومی نزدیک شده است؛ بنابراین، استفاده از مقدار W 35/0= Rv به عملکرد پذیرفتنی کنترل‌‌کنندۀ امپدانس مجازی ازنظر جلوگیری از وقوع انشعابات منجر نمی‌شود.

جدول (6) نتایج آنالیز مقادیر ویژۀ سیستم را به‌ازای W 5/0= Rv  نشان می‌دهد. با مقایسۀ نتایج جدول (5) و (6)، افزایش مقاومت مجازی باعث بهبود نسبی شاخص پایداری (SI)، شاخص انشعاب (BI) و نسبت میرایی (xi) مدهای غالب سیستم شده است؛ با این حال، در این شرایط نیز به‌ازای حداکثر مقدار ضریب افتی فرکانس، نسبت میرایی مقادیر ویژۀ 2و1λ سیستم به مقدار 1520/0xi= کاهش یافته است و این مدها از محدودۀ مجاز میرایی خارج شده‌اند؛ به‌طوری‌که نشان داده شد اگرچه افزایش مقاومت مجازی باعث جلوگیری از وقوع انشعاب می‌شود، هم‌زمان به افزایش انحراف ولتاژ منجر می‌شود؛ درنتیجه، استفاده از یک مقاومت مجازی بزرگ‌تر، راه‌حل مناسبی برای جلوگیری از وقوع انشعاب نیست.

جدول (7) نتایج حاصل از تحلیل مقادیر ویژۀ سیستم را به‌ازای امپدانس مجازی مقاومتی غالب به‌صورت W 2/0j+5/0= Zv نمایش می‌دهد. مطابق نتایج جدول (7)، استفاده از امپدانس مقاومتی غالب در مقایسه با امپدانس مقاومتی خالص باعث افزایش شاخص پایداری، شاخص انشعاب و نسبت میرایی مدهای غالب ریزشبکه شده است. دراین حالت نیز همچنان به‌ازای حداکثر مقدار ضریب افتی فرکانس، مودهای 2و1λ از محدودۀ D شکل خارج می‌شوند و موجب افزایش احتمال وقوع انشعابات در سیستم خواهند شد؛ درنتیجه، به‌کارگیری امپدانس مجازی با خاصیت مقاومتی خالص و غالب، حاشیۀ پایداری مناسب را به‌ازای مقادیر مختلف ضریب افتی فرکانس تضمین نکرده است.

نتایج حاصل از تجزیه‌وتحلیل مقادیر ویژۀ سیستم مطالعه‌شده به‌ازای امپدانس مجازی سلفی خالص با مقادیر W 2/0= Xv و W 5/0= Xv، به‌ترتیب در جداول (8) و (9) آمده‌اند. مطابق نتایج حاصل از این جداول، با تنظیم امپدانس مجازی به‌صورت سلفی خالص، شاخص انشعاب (BI) نسبت به حالتی که از امپدانس مجازی مقاومتی (خالص و غالب) استفاده می‌شود، بهبود چشمگیری یافته است. به عبارت دیگر، امپدانس مجازی سلفی خالص باعث دورترشدن مقادیر ویژۀ غالب از محور موهومی و کاهش احتمال وقوع انشعاب به‌ازای بازۀ وسیع‌تری از 1mp شده است. این درحالی است که از مقایسۀ نتایج جداول (8) و (9) با جدول (7) مشاهده می‌شود شاخص پایداری (SI) در حالت استفاده از امپدانس مجازی سلفی خالص، تضعیف شده است؛ بنابراین، از نقطه‌نظر سیگنال کوچک، استفاده از امپدانس مجازی مقاومتی غالب و از دید انشعابات، استفاده از امپدانس مجازی سلفی خالص ارجحیت دارد.

جدول (10) نتایج حاصل از تجزیه‌وتحلیل مقادیر ویژۀ ریزشبکه را به‌ازای امپدانس مجازی سلفی غالب به‌صورت W 5/0j+2/0= Zv نشان می‌دهد. با توجه به این جدول، به‌ازای این مقدار امپدانس مجازی، شاخص پایداری سیستم نسبت به حالتی که از امپدانس مجازی سلفی خالص استفاده می‌شود، بهبود یافته است؛ درحالی‌که در این شرایط شاخص انشعاب نشان از نزدیک‌شدن جزئی مقادیر ویژۀ غالب سیستم به سمت محور موهومی (نسبت به حالت سلفی خالص) دارد. علاوه بر این، نتایج نشان می‌دهند استفاده از امپدانس مجازی سلفی غالب به افزایش نسبت میرایی مدهای غالب منجر شده است؛ بنابراین، تنظیم امپدانس مجازی به‌صورت سلفی غالب، هم براساس تحلیل سیگنال کوچک و هم ازنظر احتمال وقوع انشعاب، نسبت به دیگر مقادیر امپدانس مجازی، مقدار مناسب‌تری است.

شکل‌های (9-الف) و (9-ب) به‌ترتیب طیف مقادیر ویژۀ غالب ریزشبکه‌ را در حالت استفادۀ تنها از کنترل افتی و با حضور امپدانس مجازی (مقاومتی خالص با مقدار W 35/0= Rv و سلفی غالب به‌صورت W 5/0j+2/0= Zv) در سیستم کنترل منابع به‌ازای 5-10´4/9=1mp نشان می‌دهند. با توجه به شکل (9-الف)، استفاده از امپدانس مجازی مقاومتی خالص باوجود اینکه باعث انتقال مقادیر ویژۀ غالب ریزشبکه به داخل محدودۀ میرایی شده، نتوانسته است آنها را به اندازۀ کافی از مرز پایداری دور کند تا حاشیۀ پایداری کافی را برای جلوگیری از وقوع انشعاب در سیستم ایجاد کند. این درحالی است که مطابق شکل (9-ب)، استفاده از امپدانس مجازی سلفی غالب در مقایسه با حالتی که روش افتی معمول به‌تنهایی استفاده می‌شود، باعث شد است مقادیر ویژۀ غالب ریزشبکه به اندازۀ کافی از محور موهومی دور شوند؛ بنابراین، با استفاده از امپدانس مجازی سلفی غالب، از وقوع انشعاب در سیستم به‌ازای تغییر پارامترهای افتی فرکانس جلوگیری می‌شود.

 

(الف): W 35/0=Rv

 

(ب): W 5/0j+2/0= Zv

شکل (9): مدهای غالب بدون (*)/با(D) حضور امپدانس مجازی

 

5-2- نتایج شبیه‌سازی

شکل (10) خروجی توان راکتیو و توان حقیقی منابع ریزشبکۀ مطالعه‌شده را به‌ازای مقادیر جدول (1) نشان می‌دهد. از شکل (10-الف) مشاهده می‌شود تنها با حضور کنترل افتی متداول در s 5/1< t £0، پاسخ سیستم قبل از رسیدن به حالت دائمی، نوساناتی گذرا را تجربه می‌کند. در این شرایط، خطای حالت دائم تسهیم توان راکتیو در محدودۀ 9%± قرار دارد. مقدار خطای تسهیم توان راکتیو برای هر منبع از رابطۀ (30) محاسبه می‌شود [33].

(30)

 

 

در این رابطه، Qe,i خطای تسهیم توان راکتیو منبع iام است.  Qi و Qn,i به‌ترتیب توان راکتیو خروجی و نامی DG iام هستند. Ns تعداد منابع ریزشبکه را نشان می‌دهد.

با توجه به شکل (10-الف)، پس از اضافه‌شدن حلقۀ امپدانس مجازی سلفی غالب با مقدار W 5/0j+2/0= Zv (به‌دست‌آمده از جدول 10) به سیستم کنترل منابع در s 5/1³ t (s 5/2< t £5/1)، نوسان گذرای سیستم کاهش یافته و خطای تسهیم توان راکتیو در حالت دائم در محدودۀ 7%± قرار گرفته است. اگرچه به‌کارگیری امپدانس مجازی سلفی غالب در ساختار کنترل منابع باعث بهبود پایداری و جلوگیری از وقوع انشعاب در سیستم می‌شود، در این شرایط، میزان خطای تسهیم توان راکتیو همچنان بالاست؛ بنابراین، به‌منظور افزایش دقت تسهیم توان راکتیو هم‌زمان با افزایش حاشیۀ پایداری و جلوگیری از وقوع انشعاب، باید مقادیر ترم سلفی و مقاومتی امپدانس مجازی بهینه شوند.

 

5-3- بهینه‌سازی امپدانس مجازی

تعیین مقادیر بهینۀ ترم سلفی و مقاومتی امپدانس مجازی با هدف دستیابی به حداکثر دقت تقسیم توان، براساس یک مسئلۀ بهینه‌سازی تعیین می‌شوند. در این مسئله، توان اکتیو گردشی، جریان گردشی بین منابع و اختلاف اندازۀ ولتاژ باس متصل به منبع نسبت به مقدار مطلوب آن، معیارهای بهینه‌سازی مطابق با روابط (31) الی (33) در نظر گرفته شده‌اند. نزدیک‌تر بودن مقادیر این شاخص‌ها به صفر نشان‌دهندۀ عملکرد مناسب‌تر حلقه کنترل ولتاژ و حلقۀ امپدانس مجازی است.

(31)

 

(32)

 

(33)

 

 

در روابط بالا NLB نشان‌دهندۀ تعداد باس‌های بار است. توان اکتیو خروجی و ظرفیت نامی تولید توان اکتیو منبع kام به‌ترتیب با Pk و  نشان داده شده است. شاخص 2J مشابه با شاخص 1J تعریف شده است. با ترکیب وزندار شاخص‌های 1J ، 2J و 3J یک شاخص چندمنظوره برای ارزیابی عملکرد طرح حلقۀ کنترل ولتاژ پیشنهادی به دست می‌آید. شاخص چندمنظوره، J به‌صورت زیر تعریف می‌شود.

(34)

 

ضرایب وزنی 1w، 2w و 3w اهمیت شاخص‌های 1J ، 2J و 3J را در شاخص J مشخص می‌کنند. شاخص J به‌عنوان تابع هدف مسئلۀ بهینه‌سازی استفاده می‌شود. در مشخصه‌های کنترلی به کار گرفته شده، از روش‌های افتی فرکانس و ولتاژ معمول برای تقسیم توان حقیقی و راکتیو بین منابع استفاده شده است. در این روش، توان حقیقی به نسبت ظرفیت اسمی منابع بین آنها تقسیم می‌شود. شیب مشخصه‌های افتی ω-P منابع براساس حداکثر افت فرکانس پذیرفته‌شده در ریزشبکه، ظرفیت اسمی منابع و مقدار بحرانی به‌دست‌آمده از آنالیز انشعابات تعیین می‌شود؛ بنابراین، ضریب mpi در فرآیند بهینه‌سازی معلوم فرض می‌شود. به همین صورت، شیب مشخصۀ افتی ولتاژ معمول براساس ظرفیت تولید توان راکتیو منابع و حداکثر انحراف ولتاژ قابل قبول برای شبکه تعیین می‌شود. قیود مسئلۀ بهینه‌سازی به‌صورت معادلات (35) تا (37) تعریف می‌شوند.

(35)

 

(36)

 

(37)

 

 

معادله (35) محدودۀ پذیرفتنی دامنۀ ولتاژ را نشان می‌دهد. قیود تولید طبق معادله (36) برای اجتناب از اضافه‌بار شدن ژنراتورها در نظر گرفته می‌شود. درنهایت برای تعیین مقدار بهینۀ امپدانس مجازی، ضرایب K1 و K2 به‌عنوان متغیرهای بهینه‌سازی به ترم‌های حقیقی و موهومی در رابطۀ (25) اضافه می‌شوند (Zv=K1Rv+jK2Xv). مقادیر حدی این ضرایب در رابطۀ (37) با توجه به نسبت X/R شبکه انتخاب می‌شوند.

در این مقاله برای حل مسئلۀ بهینه‌سازی از الگوریتم ژنتیک استفاده شده است. جدول (11)، مقادیر ضرایب K1 و K2 و همچنین مقادیر امپدانس مجازی بهینۀ هر منبع را نشان می‌دهد که از حل مسئلۀ بهینه‌‌سازی به دست آمده‌اند. شکل (10-الف) در محدودۀ زمانی s 4< t £5/2، خروجی توان راکتیو منابع ریزشبکه را به‌ازای استفاده از مقادیر بهینۀ امپدانس مجازی نشان می‌دهد. همان‌طور که مشاهده می‌شود به‌ازای این مقدار از ضرایب K1 و K2، تسهیم توان راکتیو به‌صورت مناسب حاصل شده است. مطابق رابطۀ (30)، خطای تسهیم توان راکتیو در ریزشبکه به‌ازای مقادیر بهینۀ امپدانس مجازی در محدودۀ 14/0%± قرار دارد؛ بنابراین، با به‌کارگیری امپدانس مجازی سلفی غالب با مقدار بهینه در ساختار کنترل منابع پراکنده، علاوه بر جلوگیری از احتمال وقوع انشعاب در ریزشبکه، توان راکتیو نیز به‌طور مناسب بین منابع تقسیم شده است.

جدول (11): مقادیر بهینۀ امپدانس مجازی

Zv

K2

K1

 

4244/0 j +1415/0

84876/0

70730/0

منبع 1

245/0 j +082/0

49014/0

40845/0

منبع 2

5661/0 j +1887/0

13220/1

94350/0

منبع 3

6603/0 j +5502/0

66030/0

55025/0

منبع 4

 

شکل (10-ب) خروجی توان حقیقی منابع را به‌ازای کنترل افتی متداول (s 5/1< t £0)، استفاده از امپدانس مجازی سلفی غالب با مقدار W 5/0j+2/0= Zv در سیستم کنترل منابع (s 5/2< t £5/1) و استفاده از امپدانس مجازی سلفی غالب با مقادیر بهینه مطابق مقادیر جدول (11) (در محدودۀ s 4< t £5/2) نشان می‌دهد با توجه به این شکل، استفاده از امپدانس مجازی باعث کاهش نوسانات گذرای ناشی از استفاده از روش کنترل افتی معمول شده است.

 

6- نتیجه‌گیری

در ریزشبکه‌های کنترل‌شده با روش‌های افتی به دلیل اینرسی کم اینورترهای منبع ولتاژ، تغییر پارامترهای سیستم به ناپایداری ریزشبکه منجر می‌شود. در مقالۀ حاضر، یک مدل فضای حالت کامل برای بررسی رفتار دینامیکی ریزشبکه‌های اینورتری استخراج شده است. نتایج به‌دست‌آمده از آنالیز مقادیر ویژه و مدال نشان می‌دهد بهره‌های افتی در کنترل‌کننده‌های توان منابع، بیشترین تأثیر را بر پایداری سیستم دارند. با استفاده از تئوری انشعابات، نشان داده شد افزایش ضریب افتی فرکانس به وقوع انشعاب هاپف فوق بحرانی در سیستم منجر می‌شود. به سبب اینکه امپدانس خط، یکی از عوامل موثر بر پایداری ریزشبکه‌های اینورتری با استراتژی‌های افتی متداول است، در این مقاله به‌منظور افزایش حاشیۀ پایداری پارامتری سیستم، از یک حلقۀ امپدانس مجازی در ساختار کنترل منابع استفاده می‌شود و با معرفی یک شاخص انشعاب، انواع امپدانس مجازی از منظر سیگنال کوچک و انشعابات مقایسه می‌شود. نتایج حاصل از این مقایسه نشان می‌دهند استفاده از امپدانس مجازی مختلط شامل ترم‌های مقاومتی و سلفی (از جنس سلفی غالب) در شبکه‌هایی با نسبت  متفاوت در خطوط، می‌تواند بدون نیاز به تغییر استراتژی کنترل افتی معمول، با دورکردن مقادیر ویژۀ غالب از محور موهومی، ضمن افزایش حاشیۀ پایداری سیستم از وقوع انشعاب جلوگیری کرد. در پایان، با حل یک مسئلۀ بهینه‌سازی، مقدار بهینۀ ترم‌های مقاومتی و سلفی امپدانس مجازی با هدف کاهش خطای تسهیم توان راکتیو تعیین شد.

 

 

 

 

(الف)

 

 

(ب)

 

شکل (10): (الف) توان‌ راکتیو و (ب) توان حقیقی منابع

 

 

جدول (4): بدون حضور امپدانس مجازی

 

وضعیت مقادیر ویژه

BI

´

SI

         

روی مرز

6.5422

           

خارج محدوده

123.17

3795

         

 

 

 

 

 

جدول (5): با حضور امپدانس مجازی مقاومتی خالص

 

وضعیت مقادیر ویژه

BI

´

SI

         

روی مرز

20.087

           

خارج محدوده

62.394

6986

         

خارج محدوده

185.78

           

 

جدول (6): با حضور امپدانس مجازی مقاومتی خالص

 

وضعیت مقادیر ویژه

BI

´

SI

         

داخل محدوده

8.0418

           

روی مرز

18.936

           

خارج محدوده

46.195

           

 

جدول (7): با حضور امپدانس مجازی مقاومتی غالب

 

وضعیت مقادیر ویژه

BI

´

SI

         

داخل محدوده

0.5356

7173

         

داخل محدوده

1.0642

7065

         

خارج محدوده

2.0811

           

 

جدول (8): با حضور امپدانس مجازی سلفی خالص

 

وضعیت مقادیر ویژه

BI

´

SI

         

داخل محدوده

0.02289

           

داخل محدوده

0.03386

           

خارج محدوده

0.06464

           

 

جدول (9): با حضور امپدانس مجازی سلفی خالص

 

وضعیت مقادیر ویژه

BI

´

SI

         

داخل محدوده

0.01454

           

داخل محدوده

0.01406

           

داخل محدوده

0.01460

           

 

جدول (10): با حضور امپدانس مجازی سلفی غالب

 

وضعیت مقادیر ویژه

BI

´

SI

         

داخل محدوده

0.02641

           

داخل محدوده

0.03031

           

داخل محدوده

0.03588

           


 


ضمایم

با توجه به معادلات فضای حالت زیربخش‌های مختلف اینورتر iام، ماتریس‌های ضرایب معادلۀ دینامیکی اینورتر به‌صورت روابط زیر به دست می‌آیند [9].

 
 
 
 

ماتریس‌های ضرایب در معادلۀ دینامیکی خطوط عبارت‌اند از:

 

 
 
 

 

به‌طور مشابه، ماتریس‌های ضرایب در معادلۀ دینامیکی بارها عبارت‌اند از:

 
 
 

ماتریس معادلۀ حالت یک ریزشبکۀ اینورتری شامل n خط و m گره به‌صورت رابطۀ زیر بیان می‌شود که s اینورتر و p بار به آن متصل است.

 

ماتریس ضرایب متغیرهای حالت اینورتر iام در معادلۀ (15-1)، AINVi عبارت است از:

 

 



[1]تاریخ ارسال مقاله: 06/01/1399

تاریخ پذیرش مقاله: 24/04/1399

نام نویسنده مسئول: بهادر فانی

نشانی نویسنده مسئول: ایران، اصفهان، نجف‌آباد، دانشگاه آزاد اسلامی واحد نجف‌آباد، دانشکده برق

[1]   K. Ma, W. Chen, M. Liserre, F. Blaabjerg, "Power controllability of a three-phase converter with an unbalanced AC source", IEEE Trans. Power Electron., Vol. 30, No. 3, pp. 1591–1604, March 2015.
[2]   F. Katiraei, M. R. Iravani, P. W. Lehn, "Micro-grid autonomous operation during and subsequent to islanding process", IEEE Trans. Power Del., Vol. 20, No. 1, pp. 248–257, Jan. 2005.
[3]   J. M. Guerrero, J. C. Vásquez, J. Matas, M. Castilla, L. G. de Vicuña, M. Castilla, "Hierarchical control of droop-controlled AC and DC microgrids – A general approach toward standardization", IEEE Trans. Ind. Electron., Vol. 58, No. 1, pp. 158–172, Jan. 2011.
[4]   Y. A.-R. I. Mohamed, E. F. El-Saadany, "Adaptive decentralized droop controller to preserve power sharing stability of paralleled inverters in distributed generation microgrids", IEEE Trans. Power Electron., Vol. 23, No. 6, pp. 2806–2816, Nov. 2008.
[5]   M. Sadeghian, B. Fani, "Advanced localized reactive power sharing in microgrids", Electric Power Systems Research, Vol. 151, pp. 136-148, Oct. 2017.
[6]   F. Zandi, B. Fani, I. Sadeghkhani, A. Orakzadeh, "Adaptive complex virtual impedance control scheme for accurate reactive power sharing of inverter interfaced autonomous microgrids", IET Gener. Transm. Distrib., Vol. 12, No. 22, pp. 6021–6032, Dec. 2018.
[7]   R.-F. Yuan, Q. Ai, X. He, "Research on dynamic load modelling based on power quality monitoring system", IET Gener. Transm. Distrib., Vol. 7, No. 1, pp. 46–51, Jan. 2013.
[8]   K. Yu, Q. Ai, S. Wang, J. Ni, T. Lv, "Analysis and optimization of droop controller for microgrid system based on small-signal dynamic model", IEEE Trans. Smart Grid, Vol. 7, No. 2, pp. 695-705, March 2016.
[9]   N. Pogaku, M. Prodanovic, T. C. Green, "Modeling, analysis and testing of autonomous operation of an inverter-based microgrid", IEEE Trans. on Power Electro., Vol. 22, No. 2, pp. 613–625, March 2007.
[10]    X. Tang, W. Deng, Z. Qi, "Investigation of the dynamic stability of microgrid", IEEE Trans. Power Syst., Vol. 29, No. 2, pp. 698-706, March 2014.
[11]    J. C. Vasquez, J. M. Guerrero, M. Savaghebi, J. Eloy-Garcia, R. Teodorescu, "Modeling, analysis, and design of stationary-reference-frame droop-controlled parallel three-phase voltage source inverters", IEEE Trans. Ind. Electron., Vol. 60, No. 4, pp. 1271–1280, 2013.
[12]    S. Leitner, M. Yazdanian, A. Mehrizi-Sani, A. Muetze, "Small- signal stability analysis of an inverter-based microgrid with internal model–based controllers", IEEE Trans. Smart Grid, Vol. 9, No. 5, pp. 5393-5402, Sep. 2018.
[13]    A. Aderibole, H. H. Zeineldin, M. Al Hosani, "A critical assessment of oscillatory modes in multi-microgrids comprising of synchronous and inverter based distributed generation", IEEE Trans. Smart Grid, Vol. 10, No. 3, pp. 3320-3330, May 2019.
[14]    Y. Wang, X. Wang, F. Blaabjerg, and Z. Chen, “Harmonic instability assessment using state-space modeling and participation analysis in inverter-fed power systems,” IEEE Trans. Ind. Electron., vol. 64, no. 1, pp. 806-816, Jan. 2017.
[15]    J. Alipoor, Y. Miura, T. Ise, "Stability assessment and optimization methods for microgrid with multiple VSG units", IEEE Trans. Smart Grid, Vol. 9, No. 2, pp. 1462-1471, March 2018.
[16]    Y. A. Kuznetsov, "Elements of applied bifurcation theory", Springer, New York, 1997.
[17]    M. Huang, Y. Peng, C. K. Tse, Y. Liu, X. Zha, "Bifurcation and large signal stability analysis of three-phase voltage-source converters under grid voltage dips," IEEE Trans. on Power Electron., Vol. 32, No. 11, pp. 8868-8879, Nov. 2017.
[18]    T. S. Sreeram, D. K. Dheer, S. Doolla, S. Singh, "Hopf bifurcation analysis in droop controlled islanded microgrids", Inter. Journal Elect. Power Energy Syst., Vol. 90, pp. 208-224, Sep. 2017.
[19]    M. Huang, C. K. Tse, S. C. Wong, C. Wan, X. Ruan, "Low-frequency Hopf bifurcation and its effects on stability margin in three-phase PFC power supplies connected to non-ideal power grid," IEEE Trans. on Circuits and Syst. I – Regular Papers, Vol. 60, No. 12, pp. 3328-3340, Dec. 2013.
[20]    M. Huang, Y. Peng, C. K. Tse, Y. Liu, and X. Zha, "Bifurcation and large signal stability analysis of three-phase voltage-source converters under grid voltage dips,"IEEE Trans. on Power Electron., Vol. 32, No. 11, pp. 8868-8879, Nov. 2017.
[21]    X. Wang, Y. W. Li, F. Blaabjerg, and P. C. Loh, "Virtual-impedance-based control for voltage-source and current-source converters", IEEE Transactions on Power Electronics, Vol. 30, No. 12, pp. 7019-7037, Dec. 2015.
[22]    G. Shahgholian, B. Fani, M. Moazami, B. Keyvani, H. Karimi, " Improve the reactive power sharing by uses to modify droop characteristics in autonomous microgrids ", Energy Engineering & Management, Vol. 9, No. 3, pp. 64-71, Oct. 2019.
[23]    A. Bidram, and A. Davoudi, "Hierarchical structure of microgrids control system", IEEE Trans. Smart Grid, Vol. 3, No. 4, pp. 1963-1976, Dec. 2012.
[24]    G. Revel, A. E. Leon, D. M. Alonso, J. L. Moiola, "Bifurcation analysis on a multimachine power system model", IEEE Trans. Circuits Syst. I, Reg. Papers, Vol. 57, No. 4, pp. 937-949, Apr. 2010.
[25]    M. Rasheduzzaman, J. Mueller, J. W. Kimball, "An accurate small signal model of inverter-dominated islanded microgrids using reference frame", IEEE J. Emerg. Sel. Topics Power Electron., Vol. 2, No. 4, pp. 1070–1080, Dec. 2014.
[26]    J. W. He, Y. W. Li, "Analysis, design, and implementation of virtual impedance for power electronics interfaced distributed generation", IEEE Trans. Ind. Appl., Vol. 47, No. 6, pp. 2525–2538, Nov 2011
[27]    H. Mahmood, D. Michaelson, J. Jiang, "Accurate reactive power sharing in an islanded microgrid using adaptive virtual impedances", IEEE Trans. Power Electron., Vol. 30, No. 3, pp. 1605–1617, March 2015.
[28]    Y. Zhu, F. Zhuo, F. Wang, B. Liu, R. Gou, Y. Zhao, "A virtual impedance optimization method for reactive power sharing in networked microgrid", IEEE Trans. Power Electron., Vol. 31, No. 4, pp. 2890-2904, April 2016.
[29]    Y. Sun, X. Hou, J. Yang, H. Han, M. Su, J. M. Guerrero, "New perspectives on droop control in AC microgrid", IEEE Trans. Ind. Electron., Vol. 64, No. 7, pp. 5741-5745, July 2017.
[30]    A. Orakzadeh, B. Fani, F. Zandi, M. Moazzami, "Improved reactive power sharing in islanded micro grids using adaptive virtual impedance", Computational Intelligence in Electrical Engineering, Vol. 9, No. 4, pp. 13-26, 2019.
[31]    D. K. Dheer, S. Doolla, S. Bandyopadhyay, J. M. Guerrero, "Effect of placement of droop based generators in distribution network on small signal stability margin and network loss", Electrical Power and Energy Systems, Vol. 88, pp. 108–118, 2017.
[32]    D. Mondal, A. Chakrabarti, A. Sengupta, "Optimal placement and parameter setting of SVC and TCSC using PSO to mitigate small signal stability problem", Electrical Power and Energy Systems, Vol. 42, No. 1 pp. 334–340, Nov. 2012.
M. S. Golsorkhi, D. D. C. Lu, "A control method for inverter-based islanded microgrids based on V-I droop characteristics", IEEE Trans. Power Del., Vol. 30, No. 3, pp. 1196–1204, June 2015