Document Type : Research Article
Authors
1 Associate Professor, Department of Electrical Engineering, Hamedan University of Technology, Hamedan, Iran
2 Graduate student, Department of Electrical Engineering, Hamedan University of Technology, Hamedan, Iran
Abstract
Keywords
اولین نمونه بیماری کووید 19 در سال 2019 در شهر ووهان کشور چین شناسایی شد. این ویروس به سرعت در کشورهای مختلف جهان شیوع پیدا کرد. امروزه یکی از بزرگ‌ترین چالش‌های جهان، سرعت انتقال شیوع این بیماری است. به‌تازگی نمونه‌های جهش‌یافتة این ویروس مشکلات بیشتری را برای کشورهای مختلف ایجاد کرده است. طبق آمار سازمان بهداشت جهانی (WHO)، تا زمان نگارش این مقاله، بیماری کووید 19 با بیش از صد و پنجاه میلیون مورد تأییدشدة بیماری و بیش از سه میلیون و صد و هفتاد هزار نفر مرگ، بر کشورهای مختلف جهان تأثیر گذاشته است [1]. شیوع عمده این ویروس در جهان باعث ایجاد پیامد‌های ناگوار اجتماعی و اقتصادی زیادی در دنیا شده است. شیوع این بیماری به سرعت به یک بحران بهداشتی در سراسر جهان، تبدیل و منجر شد سازمان بهداشت جهانی ویروس کووید 19 را در 11 مارس 2020 یک ویروس همه‌گیر اعلام کند. هم‌اکنون برای این بیماری واکسن‌هایی در دست تولید و توزیع است؛ اما همچنان اجرای مداخلات غیردارویی به‌عنوان یک استراتژی مهم و اساسی در کشورهای مختلف درحال اجرا است. در این میان برای کاهش تعداد افراد مبتلا به بیماری، سیاست‌های متفاوتی همانند اعمال قوانین منع آمدوشد، رعایت فاصلة اجتماعی و غیره برای اشباع‌نشدن و مدیریت امکانات درمانی بیمارستان‌ها اتخاذ شده است. یکی از نگرانی‌های دولت‌ها اشباع‌شدن امکانات بخش مراقبت‌های ویژة بیمارستان‌ها (ICU) است. استراتژی‌های اتخاذشده براساس مداخلات غیردارویی برای کنترل شیوع بیماری، شامل تعطیلی مدارس، دانشگاهها، تعطیلی مشاغل غیرضروری و غیره بوده [2] که در کشورهای مختلف جهان اجرا شده است و در برخی کشورها مسافران واردشده از خارج از کشور به قرنطینة اجباری فرستاده شدند یا مرزها بسته شدند. برای تجزیه و تحلیل و پیش‌بینی بیماری کووید 19 مدل‌های اپیدمیولوژیک متفاوتی ارائه شده‌اند [3-6]. با داشتن مدل‌های دقیق از شیوع بیماری می‌توان اطلاعاتی دربارة سرعت انتقال و غیره دانست که این اطلاعات در ارزیابی مداخلات غیردارویی نقش بسزایی دارند. در ماه‌های اخیر مسئله تعیین سیاست مداخلات غیردارویی بسیار شایان توجه قرار گرفته است. به‌طور خاص، روش‌های مختلفی برای مسئله طراحی سیاست‌های NPI تحت محدودیت‌ها با استفاده از ابزارهای تئوری کنترل ارائه شده‌اند. یک کنترل‌کنندة بهینه برای طراحی NPI با هدف کاهش ارتباط مابین افراد جامعه برای کاهش آلودگی و انتقال ویروس و اشیای آلوده در [7] ارائه شده است. در [8] یک روش کنترل مد لغزشی مرتبه کسری تطبیقی جدید برای اتخاذ تصمیمات غیردارویی پیشنهاد شده است. در [9] یک مداخله بهینه با محدودیت زمانی برای کاهش اوج شیوع اپیدمی در مدل استاندارد مستعد، آلوده و بهبودیافته (SIR) بررسی شده است. در [10] یک مدل اپیدمی برای بررسی دینامیکی انتقال بیماری‌های واگیردار از افراد ناقل و سیاست ردیابی تماس افراد و بستری‌شدن موارد آلوده بررسی شده است. یک استراتژی قرنطینه بهینه برای جلوگیری از گسترش ویروس کووید 19 در [11] بررسی شده است. با استفاده از مدل دینامیکی SEIHRD یک روش کنترلی در [12] پیشنهاد شده که در آن هدف، محدودکردن تعداد افراد بستری‌شده در بیمارستان کمتر از یک حد آستانة مشخص است. در [13] یک روش بهینه‌سازی با هدف کمینه‌کردن تابع هزینه اجتماعی‌اقتصادی برای محدودکردن انتقال بیماری مطالعه شده است. یک استراتژی کنترل پیش‌بین بهینه برای سیاست‌های فاصله‌گذاری اجتماعی COVID-19 (SARS-CoV-2) در [14] با هدف طراحی استراتژی مداخلات غیردارویی روشن - خاموش در نظر گرفته شده است. برای کنترل تعداد بیماران و مدیریت تعداد تخت‌های بخش مراقبت‌های ویژه (ICU) استفاده از کنترل‌کنندة بنگ بنگ در [15] بررسی شده است. در [16] یک روش کنترلی مد لغزشی فازی برای تصمیم‌گیری قرنطینه روی مدل SQEIAR بیماری کرونا پیاده‌سازی شده است.
در [17] معیاری برای طراحی بهینة NPI با حداقل مدت زمان با در نظر گرفتن ظرفیت سیستم مراقبت‌های درمانی ارائه شده است. طراحی استراتژی‌های کنترلی غیرخطی برای کنترل بیماری‌های عفونی قابل شیوع، بدون در نظر گرفتن عدم قطعیت در پارامترهای مدل در [18] و [19, 20] و [21] ارائه شده است. در [22] از یک الگوریتم ژنتیک برای یافتن پارامترهای مدل با استفاده از داده‌های واقعی استفاده شده است. در [23]، از یک مدل ریاضی انتقال اپیدمی ویروس کرونا استفاده شده و با استفاده از LMI، یک کنترل‌کنندة LPV مقاوم طراحی شده است که می‌تواند در انتخاب و استفاده از روش‌های مداخله مؤثر باشد. روش‌های متفاوت کنترلی روی مدل‌های مختلف دینامیکی انتقال ویروس انجام شده است که مدل‌سازی ریاضی شیوع ویروس‌ها در ابتدا در سال 1760 با ارائه مدل دینامیکی آبله آغاز شد؛ از آن زمان به بعد، مدل‌سازی به یک ابزار مهم در درک انتقال و کنترل بیماری‌های واگیردار تبدیل شده است [24]. یک نقطه عطف در مدل‌سازی ریاضی و تجزیه و تحلیل دینامیک اپیدمی، معرفی روش مدل‌سازی مستعد - در معرض - متوفی (SER) با مطالعة دینامیک طاعون در هند بود [25]. از آن زمان به بعد، رویکرد جدیدی نسبت به مدل‌سازی و تحلیل رفتار دینامیک شیوع بیماری‌های واگیردار در جهان آغاز شد. یکی از ساده‌ترین مدل‌های کلاسیک SIR است که تمام افراد جامعه را به سه دستة مستعد، مبتلا و بهبودیافته یا متوفی تقسیم می‌کند [26]. با گذشت زمان و با توجه به دستیابی به اطلاعات جدید از نحوه عملکرد شیوع بیماری‌های واگیردار، مدل‌های متفاوت و دقیق‌تری پیشنهاد و بررسی شد. این مدل‌ها افراد جامعه را به دسته‌های متفاوت‌تری تقسیم می‌کند. یکی از چالش‌های کنترل شیوع بیماری‌های واگیردار مانند کووید 19 دورة نهفتگی بیماری است (شخص بیمار اطلاعی از آلوده‌شدن خود ندارد). درواقع، دورة نهفتگی بیماری زمان اولیه انتقال ویروس به یک فرد مستعد تا زمان بروز علائم و مثبت‌شدن نتیجة آزمایش آن فرد است. با توجه به سرعت بالای انتقال این ویروس و دورة نهفتگی آن و مطلع‌نبودن شخص بیمار از بیماری خود، تعدادی از افراد جامعه که با شخص آلوده‌شده در ارتباط‌اند، دچار آلودگی به ویروس خواهند شد که می‌توان این دسته از اشخاص را «در معرض» معرفی کرد. مدل SEIR افراد جامعه را به چهار دسته تقسیم می‌کند: مستعد، در معرض، مبتلایان و متوفی یا بهبودیافته [27-31]. امروزه مدل‌های دقیق‌تری نیز در دسترس است که پارامتر قرنطینه نیز در آن لحاظ شده است [29-33]. برای تشخیص سریع و کم هزینة بیماری کووید 19 در افراد، روش‌های متفاوتی ارائه شده‌اند؛ ازجمله در مراجع [34-35] استفاده از استنتاج فازی سوگنو نوع دوم و یادگیری عمیق برای تشخیص زودهنگام بیماری کووید 19 پیشنهاد شده است که می‌تواند باعث صرفه‌جویی در وقت و هزینه شود.
در سال‌های اخیر حسابان کسری کاربردهای زیادی در علوم و مهندسی برای مدل‌سازی، کنترل و غیره پیدا کرده است. در مقاله حاضر، برای برآورده‌شدن استراتژی NPI در فواصل زمانی معین، میزان آستانة (بیشترین حد) افراد آلوده‌شده نسبت به یک حد معین محاسبه می‌شود. این محاسبه ازطریق طراحی یک کنترل‌کنندة فازی مد لغزشی مرتبه کسری (FOFSMC) براساس اندازه‌گیری موارد آلوده‌شده انجام می‌شود. در این مقاله از مدل SEIR برای محاسبه و پیشنهاد استراتژی NPI استفاده شده است. یک ویژگی بارز تکنیک پیشنهادی این است که به‌طور مستقیم توسط دو نتیجة مورد انتظار تنظیم می‌شود: آستانة جمعیت آلوده و میزان نزدیک‌شدن به آن.
در این مقاله، به‌دلیل مزایای مفید و مؤثر حسابان کسری، کنترل‌کنندة فازی مد لغزشی با حسابان کسری ترکیب شده است. استفاده از حسابان کسری ناحیه پایداری را افزایش خواهد داد. همچنین، مشتقات مرتبه کسری برخلاف مشتقات مرتبه صحیح، خاصیت حافظه بلندمدت دارند که در مواجهه با کووید 19 این ویژگی مؤثر خواهد بود. نتایج شبیه‌سازی‌ها نشان میدهند روش پیشنهادی در مقابل افزایش ضریب شیوع بیماری در ویروس جهش‌یافته (نامعینی‌های پارامتری و غیره) مقاوم بوده است. نتایج عملکرد روش پیشنهادی با کنترل‌کنندة مد لغزشی کلاسیک (SMC) و کنترل حلقه باز مقایسه شده‌اند. عملکرد کنترل‌کنندة پیشنهادی برای ویروس جهش‌یافته نیز بررسی شده است. سایر بخش‌های مقاله در ادامه تشریح میشوند: در بخش 2، آشنایی با حسابان کسری بررسی شده است. در بخش 3، مدل دینامیکی ویروس کووید 19 و بیان مسئله ارائه شده‌اند که در این بخش، ابتدا مدل شیوع بیماری بررسی می‌شود و در ادامه، هدف بیان مسئله و طرح چالش موجود در مقابله با شیوع بیماری ارائه میشوند. استراتژی کنترلی پیشنهادی و تحلیل پایداری در بخش 4 ارائه شده‌اند. در بخش 5، تجزیه و تحلیل پایداری روش کنترلی پیشنهادی آمده است و در بخش 6، نتایج شبیه‌سازی برای استراتژی‌های مختلف کنترلی ارائه شده‌اند. در پایان، نتیجه‌گیری در بخش 7 ارائه شده است.
از نوآوری‌ها و مزایای این مقاله می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:
در حسابان کسری مشتق و انتگرال مرتبه کسری توسط عملگر پایه به‌صورت تعریف می‌شود که در آن a و t محدوده‌های عملگر هستند. عملگر مشتق و انتگرال مرتبه کسری پیوسته به‌صورت زیر تعریف میشوند [36]:
|
|
(1) |
برخی از تعاریف برای حسابان کسری عبارت‌اند گرانوالد -لتینکوف GL، ریمان - لیویل RL و کپوتو Caputo. تعریف مشتق GL برحسب مرتبه به‌صورت زیر تعریف می‌شود:
|
|
(2) |
که در رابطه (2) افزایش زمان است، قسمت مرتبه صحیح است و
|
|
(3) |
که تابع گاما است. مشتق RL برحسب مرتبه به‌صورت زیر تعریف می‌شود:
|
|
(4) |
که اولین عدد مرتبه صحیح بزرگ‌تر از است. مشتق کپوتو برحسب مرتبه به‌صورت زیر تعریف می‌شود:
|
|
(5) |
برای تعریف اپراتور لاپلاس S در حسابان کسری، براساس تقریب اوستالوپ، تابع انتقال در حوزه فرکانس به‌صورت زیر تعریف می‌شود:
|
|
(6) |
معادله (6) با معادله (7) به‌صورت زیر تقریب زده می‌شود
|
|
(7) |
که K بهرة به‌دست‌آمده از دو طرف معادله (7) با واحد است و تعداد قطب‌ها و صفر‌ها است. به‌صورت زیر تعریف میشوند
|
|
(8) |
|
|
(9) |
که و به‌ترتیب تخمین محدودة فرکانسی بالا و پایین‌اند. به‌طور کلی معادله را می‌توان به‌صورت و تعریف کرد.
در این مقاله مدل دینامیکی رفتار شیوع برای بیماری‌های واگیردار به چهار قسمت تقسیم شده است: مستعد، در معرض، آلوده‌شده و بهبودیافته. مقادیر پارامترها در جدول 1 آمده است. عملکرد معمول غیرخطی به‌عنوان میزان بروز بیماری شناخته می‌شود. زمانی که است، گفته می‌شود نرخ بروز دو خطی است. وقتی است، گفته می‌شود نرخ بروز استاندارد است که در آن ثابت انتقال است (برای مثال، تعداد کل بیماری‌های جدید در واحد زمان در زمان برابر برای میزان بروز استاندارد بیماری است) [18]. پارامتر متوسط تعداد تماس بین افراد مستعد بیماری در واحد زمان است [37]. سپس نشان‌دهندة تعداد موارد جدید در واحد زمان است که از برداشته شده است و در قسمت قرار می‌گیرد. افراد در با این بیماری تماس داشتند؛ اما هنوز آلوده نشده‌اند. بعد از زمان متوسط روز، فردی که در قرار دارد به بخش مبتلایان (آلوده‌شده) منتقل می‌شود. درنهایت، بعد از تعداد متوسط روز، فرد مبتلاشده به بخش بهبودیافته‌ها منتقل می‌شود که میزان افراد بهبودیافته است که در گذر زمان به‌دلیل ایمنی کم یا سایر موارد مربوط به سلامتی، دوباره به چرخة افراد مستعد بازخواهند گشت [18]. افراد مستعد در جامعه است. در ابتدای شیوع ویروس تمامی افراد جامعه مستعد مبتلاشدن به ویروس خواهند بود که به مرور زمان عده‌ای از افراد به بیماری مبتلا خواهند شد یا بهبود خواهند یافت که دیگر در دستة افراد مستعد قرار نخواهند گرفت. نکته: افراد بهبودیافته می‌توانند دوباره به چرخه ابتلا به بیماری بازگردند. رابطه مدل‌سازی‌شدة ریاضی افراد مستعد در فرمول (10) نمایش داده شده است. نشان‌دهندة افراد در معرض در سطح جامعه است. در فرمول (11) میزان افراد در معرض جامعه معرفی شده است. در کل افراد در معرض را می‌توان به افرادی تعریف کرد که با بیماری تماس داشته‌اند، اما هنوز مبتلا نشده‌اند. افراد قرارگرفته در گروه در معرض‌ها پس از گذشت دورة نهفتگی بیماری و با بروز علائم ویروس به دستة افراد مبتلا اضافه خواهند شد. دورة نهفتگی بیماری با پارامتر λ نشان شده است که بیان‌کنندة زمان دورة نهفتگی بیماری است. درواقع، پس از گذشت زمان متوسط روز، فرد در معرض به بخش مبتلایان (آلوده‌شده) منتقل خواهد شد. افراد مبتلا در فرمول (12) مدل‌سازی و معرفی شده است. درصدی از افراد مبتلا پس از گذشت یک زمان متوسط به بخش بهبودیافته‌ها انتقال پیدا خواهند کرد که این زمان با پارامتر معرفی خواهد شد. برای کاهش میزان شیوع بیماری، باید میزان ارتباط بین افراد مستعد و مبتلایان در سطح جامعه کاهش یابد. یک رابطه شامل ضریبی از افراد مبتلا به بیماری است که بعد از گذشت یک زمان متوسط به بخش افراد بهبودیافته منتقل خواهند شد و ξ نرخی از افراد بهبودیافته است که در گذر زمان به‌دلیل ایمنی کم یا سایر موارد مربوط به سلامتی، دوباره به چرخه افراد مستعد بازخواهند گشت [18]. فرض بر این است که یک سیاست مداخله می‌تواند به گونه‌ای اجرا شود که میزان تماس بین افراد مستعد و مبتلا کاهش یابد؛ بنابراین، می‌تواند با در شرایط و جایگزین شود [17, 38]. این فرمول منجر به مجموعه‌ای از معادلات دیفرانسیل زیر با شرایط اولیه غیرمنفی می‌شود:
|
|
(10) |
|
|
(11) |
|
|
(12) |
|
|
(13) |
پس کل جمعیت با به دست می‌آید. علاوه بر این، مدل را می‌توان با توجه به اندازة جمعیت نرمالیزه کرد که کسری از جمعیت را در هر قسمت نشان می‌دهد که به یک نسخه نرمال از مدل منجر می‌شود (10-13).
اگر تعداد موارد مبتلایان از حد آستانة خاصی بیشتر باشد، ظرفیت سیستم‌های بهداشتی درمانی ممکن است اشباع شود. سپس با فراتررفتن از تعداد تخت‌های ICU موجود، کیفیت خدمات درمانی که به افراد ارائه می‌شود رو به وخامت میرود و درنتیجه، تعداد مرگ‌ومیر ممکن است به طرز چشمگیری افزایش یابد. در بسیاری از کشورها اقدامات متنوعی با هدف کاهش منحنی بیماری و «کاهش سرعت» پیشرفت بیماری انجام شده است. براساس این مشاهده می‌توان محدودیت زیر را تنظیم کرد [6]:
|
|
(14) |
که مقداری است که توسط مسئولان بهداشت و درمان ارائه می‌شود؛ به طوری که اطمینان حاصل می‌کند سیستم مراقبت‌های درمانی کافی خواهد بود. سپس طراحی به‌عنوان سیاست NPI مورد نیاز است. مقدار به‌عنوان تعداد تخت‌های موجود در بخش مراقبت‌های ویژة بیمارستانی می‌تواند با توجه به امکانات هر کشور تعیین شود. پارامتر اساسی و مهم برای تصمیم‌گیری در راستای مداخلات غیردارویی است که ازطریق روش کنترلی پیشنهادی در زمان‌های متفاوت محاسبه و به سیستم اعمال می‌شود. این پارامتر براساس درصد است که از آن به‌عنوان میزان درصد قرنطینه و محدودیت‌های اجتماعی نام برده می‌شود.
طرح کنترل پیشنهادی براساس تنظیم ورودی کنترلی با توجه به تکامل افراد بیمار است. این ایده باعث تحقق محدودیت (14) و کاهش خطر افول سیستم‌های مراقبت‌های درمانی می‌شود. در مدل دینامیکی شیوع ویروس کووید 19 پارامترهایی وجود دارند که تعیین دقیق آنها برای هر کشور و هر جامعه‌ای با مشکلات بسیاری روبه‌رو خواهد بود. شیوع ویروس ازطریق فرد به فرد انتقال می‌یابد. درواقع شیوع این ویروس می‌تواند نامعینی پارامتری زیادی داشته باشد که پیش‌بینی نمی‌شود. همچنین، جهش‌های اخیر این ویروس دارای نامعینی‌های بسیاری است که مدل‌سازی دقیق رفتار این ویروس را بسیار مشکل کرده و ممکن است در آینده نیز جهش‌های دیگر این ویروس، پارامترهای نامشخص و تغییرات ناگهانی داشته باشد؛ بنابراین، در این شرایط نامعینی‌ها، مهم‌ترین بحث طراحی صحیح میزان دقیق قرنطینه (سیگنال کنترل) با توجه به زمان است که محدودیت‌های اجتماعی و قرنطینه منصفانه و مهندسی‌شده باشد که مشکلات و عوارض اجتماعی و اقتصادی ناشی از قرنطینه را کاهش دهد. روش مد لغزشی دارای مزیتی همچون مقاومت در برابر نامعینی پارامتری سیستم و اغتشاشات خارجی است و همچنین سادگی درخور قبولی در طراحی دارد. بلوک دیاگرام کنترل حلقه بسته در شکل (1) نمایش داده شده است.
براساس مطالب فوق خطای مورد نیاز روش کنترل‌کنندة مد لغزشی را می‌توان به‌صورت (15) تعریف کرد:
شکل (1): بلوک دیاگرام کنترل حلقه بسته
|
|
(15) |
در این مقاله یک سطح لغزش مرتبه کسری به‌صورت (16) پیشنهاد می‌شود:
|
|
(16) |
که در آن و مرتبه کسری است. اقدام کنترلی پیشنهادی به‌صورت (17) است:
|
|
(17) |
در روش کنترلی مد لغزشی پس از تعیین سطح لغزش برای یافتن قانون کنترل باید از سطح لغزش تعیین‌شده مشتق گرفته و برابر صفر قرار داده شود (18):
|
|
(18) |
قانون کنترل کلی به‌صورت زیر تعریف می‌شود:
|
|
(19) |
برای یافتن قانون کنترلی معادل از فرمول (18) باید محاسبه شود. درنتیجه، با ساده‌سازی فرمول (18) می‌توان یک قانون کنترل مرتبه کسری به‌صورت (20) به دست آورد:
|
|
(20) |
قانون کنترل سویچینگ را می‌توان به‌صورت (21) در نظر گرفت:
|
|
(21) |
که در آن، قانون کنترل سویچینگ به‌صورت هوشمند با قوانین منطق فازی محاسبه می‌شود.
4-2- منطق فازی
ترکیبی از استراتژی کنترل فازی با کنترل‌کنندة مد لغزشی مرتبه کسری به یک رویکرد عملی برای حفظ مزایای این دو روش تبدیل می‌شود. از کنترل‌کنندة فازی برای تنظیم هوشمند قانون کنترل سویچینگ با توجه به مقدار سطح لغزش و مشتق سطح لغزش استفاده می‌شود و مقدار آن با توجه به دینامیک سیستم تغییر خواهد کرد که باعث افزایش مقاومت کنترل‌کنندة پیشنهادی در مقابل نامعینی‌ها نیز خواهد شد. شماتیک کنترل‌کنندة فازی در شکل (2) نشان داده شده است.
شکل (2): شماتیک کنترل‌کنندة فازی
مطابق شکل (2)، کنترل‌کنندة فازی دارای دو ورودی 1- سطح لغزش و 2- مشتق سطح لغزش است. قواعد (اگر و آنگاه) کنترل‌کنندة فازی به‌صورت زیر تعریف میشوند ]39[:
Rule 1: if is P and is P then is NH
Rule 2: if is P and is Z then is NB
Rule 3: if is P and is N then is NM
Rule 4: if is Z and is P then is NS
Rule 5: if is Z and is Z then is ZE
Rule 6: if is Z and is N then is PS
Rule 7: if is N and is P then is PM
Rule 8: if is N and is Z then is PB
Rule 9: if is N and is N then is PH
که NH ، NB ، NM ، NS ، ZE ، PS ، PM ، PB و PH اصطلاحات زبانی مجموعه فازی‌اند که منظور از آنها به‌ترتیب منفی خیلی بزرگ، منفی بزرگ، منفی متوسط، منفی کوچک، صفر، مثبت کوچک، مثبت متوسط، مثبت بزرگ و مثبت خیلی بزرگ است. توابع عضویت فازی در شکل (3) نمایش داده شده‌اند.
شکل (3): توابع عضویت فازی
در این بخش هدف بررسی و تجزیه و تحلیل پایداری سیستم حلقه بسته با استفاده از قانون کنترل پیشنهادی است. در اینجا برای اثبات پایداری از روش لیاپانوف استفاده می‌شود. تابع کاندید لیاپانف پیشنهادی در (22) آمده است:
|
|
(22) |
با مشتق‌گرفتن از (22) رابطة (23) را خواهیم داشت:
|
|
(23) |
با جایگذاری رابطة (18) در (22) معادلة (24) به دست می‌آید:
|
|
(24) |
حال با جایگذاری قانون کنترلی به‌دست‌آمده از فرمول (19) در (24) و با اعمال ساده‌سازی اولیه، رابطة (25) را خواهیم داشت:
|
|
(25) |
همان‌طور که در قوانین فازی آمده است، خروجی منطق فازی در اینجا با پارامتر مشخص شده است. با جایگذاری خواهیم داشت:
|
|
(26) |
با توجه به جدول قواعد فازی بیان‌شده در بخش 2-4 و رابطة (26) و با توجه به قضیه لیاپانوف پایداری سیستم حلقه بسته تضمین می‌شود.
ابتدا برای نشان‌دادن ویژگی‌های روش پیشنهادی، یک شرایط ایدئال فرض می‌شود. در این چارچوب، تعداد مبتلایان به‌طور مداوم، گزارش و قانون کنترل ایدئال اعمال می‌شود. سپس در بخش بعدی شبیه‌سازی برای یک کنترل حلقه باز با سیستم کنترلی حلقه بسته مقایسه شده است تا کاربرد روش پیشنهادی را نشان دهد. مقادیر پارامترهای مدل سیستم و کنترل‌کننده در جدول 1 آمده است که مقادیر مدل سیستم با مقادیر معمول بیماری همخوانی دارند [4]. شرایط اولیه و انتخاب شده‌اند. تعداد کل تخت‌های ICU که توسط دولت آرژانتین گزارش شده، با پارامتر معرفی شده است. به هر حال، می‌تواند به‌صورت دوره‌ای و با توجه به در دسترس بودن امکانات در سیستم مراقبت‌های درمانی و تغییرات نسبت اشغال تخت در ICU برای کشورهای مختلف بهروز شود.
جدول (1):مقادیر پارامترها
|
مقادیر |
پارامتر |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
شبیه‌سازی با مدل SEIR توسط کنترل‌کنندة حلقه باز به‌ازای های متفاوت (میزان درصد قرنطینه) در شکل (4) نشان داده شده است.
شکل (4): سیر زمانی افراد مستعد
شکل (5): سیر زمانی افراد مبتلا
شکل (6): سیر زمانی افراد در معرض
همان‌طور که در شکلهای (4-6) نمایش داده شده است، سیستم حلقه باز با اعمال از 0 درصد تا 50 درصد میزان تعداد افراد مبتلا و در معرض کاهش پیدا کرده است که نشان‌دهندة پیشرفت سیستم حلقه باز است. پس می‌توان نتیجه گرفت با تغییر ورودی کنترلی ، سطح تعداد افراد در معرض و مبتلا کاهش می‌یابد. همان‌طور که در بالا توضیح داده شد، به‌عنوان درصدی از اعمال قوانین قرنطینه و محدودیت‌های شهری معرفی شده است. در اینجا عملکرد مدل سیستم به‌ازای اعمال مقادیری ثابت از قوانین محدودیتی بررسی شده است. منظور از اعمال درصد قرنطینه و محدودیت ثابت، اعمال درصد ثابتی از محدودیت‌ها بدون در نظر گرفته شدن تعداد بیماران در هر لحظه (نامتغیر با زمان) است. همان‌طور که می‌دانیم سیستم کنترلی حلقه باز به‌علت نداشتن هیچگونه فیدبکی از خروجی، کارایی و بازده مناسبی ندارد؛ زیرا ممکن است خروجی در شرایطی با تغییر پارامترهای سیستم تغییر کند (کاهش یا افزایش یابد) که در این صورت ورودی سیستم همیشه ثابت خواهد ماند و نمی‌توان مقدار ورودی را برای کنترل مناسب و دقیق‌تر تغییر داد. برای اخذ تصمیمات درست، باید با توجه به شرایط موجود در هر بازة زمانی این تصمیمات بهروز شوند.
روش پیشنهادی و مقایسة آن با سیستم حلقه باز و کنترل‌کنندة مد لغزشی کلاسیک (SMC) در شکلهای (9-7) نمایش داده شده است که به‌ترتیب سیر زمانی افراد مستعد، درمعرض و مبتلایان را نشان خواهد داد. در روش پیشنهادی، روش کنترل‌کنندة مد لغزشی با به‌کارگیری حسابان مرتبه کسری و منطق فازی توانسته است مقاوم‌بودن و عملکرد سیستم را افزایش دهد؛ بنابراین، طبق تصاویر نشان داده شده، می‌توان نتیجه گرفت تعداد افراد مستعد در سیر زمانی باید با سرعت کمتری به صفر میل کنند؛ زیرا زمانی که فرد مستعدی در جامعه وجود ندارد دو برداشت می‌توان داشت: 1- واکسن یا مداخلات دارویی صورت گرفته است که افراد جامعه در مقابل این بیماری مقاوم شده‌اند که به طبع فرد مستعدی دیگر وجود نخواهد داشت. 2- تصمیمات اتخاذشده برای کنترل شیوع بیماری به شکل قرنطینة صددرصد یا به عبارت دیگر قرنطینة کامل صورت گرفته است که در عمل چنین حالتی ممکن نخواهد بود؛ زیرا این تصمیم در طول زمان باعث ایجاد پیامد‌های نامطلوبی مانند بحران‌های اجتماعی، اقتصادی و غیره می‌شود. همچنین، در این مقاله هدف بررسی یک روش غیرخطی برای کنترل شیوع بیماری با مداخلات غیردارویی بوده است. همان‌طور که در شکل (7) نشان داده شده است، روش پیشنهادی در مقایسه با کنترل‌کنندة مد لغزشی کلاسیک عملکرد بهتری داشته است. از آنجایی که تمامی افراد جامعه می‌توانند مستعد مبتلاشدن به بیماری باشند، پس در ابتدا خروجی از 1 (به معنی 100 درصد جامعه) شروع و رو به کاهش میرود. کنترل‌کنندة پیشنهادی با سرعت و شیب کمتری کاهش یافته است و این یعنی تعداد افراد جامعه با سرعت کمتری به دستة افراد در معرض یا مبتلا و غیره انتقال پیدا می‌کنند (طبق رابطة ).
شکل (7): سیر زمانی افراد مستعد
شکل (8) :سیر زمانی افراد در معرض
افراد در معرض طی گذشت 600 روز در شکل (8) نشان داده شده‌اند. همان‌طور که در شکل (8) نشان داده شده است، بیشترین میزان افراد در معرض قرارگرفته در کنترل‌کنندة پیشنهادی تقریباً 018/0 درصد از جامعه بوده است که در مقایسه با روش‌های بیان‌شده نشان‌دهندة عملکرد مناسب این روش است. کاهش افراد در معرض به‌طور مستقیم باعث کاهش افراد مبتلا در جامعه می‌شود. همان‌طور که در شکلهای (8) و (9) نمایش داده شده است، روش پیشنهادی حلقه بسته (FOFSMC) می‌تواند کنترل دقیق‌تر و مقاوم‌تری داشته باشد. روش پیشنهادی توانسته است سطح افراد در معرض و مبتلایان جامعه را کاهش دهد و اگر مقدار پارامترهای مدل سیستم تغییر کند (کاهش / افزایش یابد) مقدار ورودی کنترلی مدل سیستم نیز تغییر خواهد کرد. تعداد افراد مبتلای جامعه در شکل (9) نشان داده شده است. روش پیشنهادی ارائه‌شده در مقایسه با روش‌های بیان‌شده، تعداد افراد مبتلای کمتری را شامل می‌شود. افزایش آنی بیماران، بازده عملکرد کادر درمان را کاهش می‌دهد. در کنترل‌کنندة پیشنهادی شیب افزایش افراد مبتلا کمتر بوده است که باعث جلوگیری از کاهش بازده در خدمات‌رسانی کادر درمان و غیره می‌شود.
شکل (9): سیر زمانی افراد مبتلا
در روش پیشنهادی ارائه‌شده این امکان وجود دارد که با توجه به شرایط موجود و محدودیت‌هایی مانند کمبود امکانات (تخت مراقبت‌های ویژه، محدودیت کادر درمان و غیره) حد کنترلی سیستم ( ) با توجه به نیازمندی‌ها تغییر کند و سطح شیوع بیماری کنترل شود. همان‌طور که در شکل (10) نشان داده شده است، خط مشکی رنگ نشان‌دهندة حداکثر میزان تخت‌های بیمارستانی مراقبت‌های ویژه است که برای مقایسه، تصاویر پس از نرمالیزه‌شدن نمایش داده شده‌اند. هدف اصلی این مقاله برآورده‌شدن فرمول (14) مقاله است. همان‌طور که در فرمول (14) و در متن مقاله توضیح داده شد، هدف کنترل شیوع بیماری است؛ به طوری که در هیچ بازة زمانی تعداد بیماران از تعداد تخت‌های مراقبت‌های ویژه تجاوز نکند (از به اشباع رسیدن تخت‌ها جلوگیری شود).
شکل (10): مقایسة عملکرد روش‌های بیان‌شده در برابر میزان تخت‌های مراقبت‌های ویژة بیمارستانی
همان‌طور که در شکل (10) مشخص است، روش پیشنهادی از به اشباع رسیدن تخت‌ها جلوگیری می‌کند و فرمول (14) تحقق می‌یابد. در روش پیشنهادی در هیچ بازة زمانی تعداد افراد بیمار در سطح جامعه از تعداد تخت‌ها بیشتر نمی‌شود؛ اما در روش مد لغزشی کلاسیک تعداد افراد بیمار جامعه از تعداد تخت‌های مراقبت‌های ویژه بیشتر شده است؛ درنتیجه، جامعه دچار کمبود امکانات بیمارستانی می‌شود که چالش بزرگی در سیستم بهداشتی یک کشور است. همان‌طور که در بخش 6 بیان شده است، مقدار پارامتر توسط مدیران بهداشتی هر کشور اعلام می‌شود. در این مقاله، نتایج برای آمار کشور آرژانتین بررسی شده‌اند که تعداد کل تخت‌های بیمارستانی در کشور آرژانتین، به‌ازای هر هزار نفر، 5 تخت بیمارستانی است (این آمار در تاریخ 25 آوریل 2021 گزارش شده است)]40[. با توجه به جمعیت کشور آرژانتین مقدار پارامتر 5e2767/2 = تعیین می‌شود.
گونه‌های جدید و جهش‌یافتة این ویروس، ضریب انتقال بیشتری دارند و در زمان کمتری تعداد افراد بیشتری را مبتلا به بیماری خواهند کرد. کنترل‌کننده‌های پیشنهادی باید در مقابل نوع جهش‌یافتة این ویروس با ضریب انتقال بالاتر نیز عملکرد مقاومی داشته باشند. در ادامه، عملکرد کنترل‌کنندة پیشنهادی در این مقاله در مقابل نوع جهش‌یافتة این ویروس با ضریب انتقال بالاتر بررسی خواهد شد.
پارامتر متوسط تعداد تماس بین افراد مستعد ( ) با بیماری در واحد زمان است که در انواع جهش‌یافتة این ویروس این مقدار می‌تواند افزایش داشته باشد. در این بخش برای بررسی عملکرد کنترل‌کنندة پیشنهادی در مقابل افزایش پارامتر سیستم (عدم قطعیت و نامعینی در پارامتر)، ضریب تماس بین افراد که بیان‌کنندة ضریب انتقال بیماری است، تا 20 درصد افزایش یافته است. اعمال این تغییر اینگونه است که مقدار ضریب در کنترل‌کننده ثابت و برابر 22/0 در نظر گرفته شده است؛ اما در مدل دینامیکی ویروس این ضریب 20 درصد افزایش یافته و مقدار آن به 264/0 تغییر کرده است. این تغییر پارامتر روی دو کنترل‌کنندة کلاسیک مد لغزشی (SMC) و کنترل‌کنندة مد لغزشی فازی مرتبه کسری (FOFSMC) پیاده‌سازی و شبیه‌سازی شده است. نتایج مشخص‌شده در شکلهای (13-11) براساس مقایسة عملکرد روش‌های بیان‌شده، بدون اعمال نامعینی پارامتر و اعمال نامعینی پارامتر شبیه‌سازی و بررسی شده‌اند. Proposed-UN و SMC-UN به‌ترتیب نشان‌دهندة عملکرد کنترل‌کنندة مد لغزشی فازی مرتبه کسری (پیشنهادشده) و مد لغزشی کلاسیک با وجود اعمال نامعینی در پارامتر اساسی سیستم است.
شکل (11): مقایسة رفتار افراد مستعد با اعمال نامعینی پارامتر
شکل (12): مقایسة رفتار افراد در معرض با اعمال نامعینی
شکل (13): مقایسة رفتار افراد مبتلا با اعمال نامعینی پارامتر
شکل (11) عملکرد دو کنترل‌کننده در برابر اعمال عدم قطعیت پارامترها برای جمعیت مستعد را نشان می‌دهد. کنترل‌کنندة پیشنهادی رفتار خوبی نشان داده و در برابر افزایش تعداد افراد در معرض تغییرات جزئی داشته است که نشان می‌دهد کنترل‌کنندة پیشنهادی عملکرد مقاومی در برابر عدم قطعیت پارامتر داشته است. همچنین، SMC-UN تعداد افراد در معرض تماس را افزایش داده است که می‌تواند باعث افزایش بیماری در جامعه شود (شکل 12). همان‌طور که در شکل (13) نشان داده شده است، کنترل‌کنندة پیشنهادی کمترین تعداد بیماران را دارد. همچنین، میزان افزایش بیماری کندتر از روش SMC-UN بود. همان‌طور که می‌دانیم، اگر تعداد بیماران طی یک دورة زمانی به‌طور چشمگیری افزایش یابد، سیستم مراقبت‌های درمانی با چالش‌هایی مانند اشباع تخت‌های بیمارستانی، کاهش کارایی کادر پزشکی و غیره روبه‌رو خواهد شد. درواقع افزایش 20 درصدی ضریب انتقال بیماری به معنای مواجهه با نوع جهش‌یافتة ویروس است. کنترل‌کنندة پیشنهادی در مقابل افزایش 20 درصدی ضریب انتقال بیماری، نسبت به کنترل‌کنندة مد لغزشی کلاسیک مقاوم‌تر بوده است. پس اگر ضریب انتقال بیماری یا میزان ارتباط افراد جامعه افزایش یابد، این کنترل‌کننده می‌تواند کارایی خود را حفظ کند. بیماری‌های واگیردار مانند ویروس کرونا طی گذشت زمان و با توجه به موقعیت جوی و جغرافیایی هر منطقه ممکن است جهش پیدا کنند و سرعت انتقال یا دیگر پارامترهای تأثیرگذار بر شیوع بیماری افزایش یابد. کنترل‌کنندة پیشنهادی تضمین می‌کند در صورت جهش ویروس (افزایش سرعت انتقال بیماری تا 20 درصد) در هیچ بازة زمانی میزان تخت‌های مراقبت‌های ویژة بیمارستانی به سطح اشباع نمی‌رسد. مساحت زیر نمودار تعداد بیماران، با روش پیشنهادی و مد لغزشی کلاسیک، محاسبه و در جدول (2) نشان داده شده است؛ هرچه این مقدار کمتر باشد به معنای عملکرد بهتر کنترل‌کننده است. جدول (2) برتری روش پیشنهادی را در مواجهه با ویروس کووید 19 و نیز در مواجهه با نوع جهش‌یافتة آن نشان می‌دهد.
جدول (2): مساحت زیر نمودار
|
12.44 |
Proposed |
|
12.86 |
SMC |
|
13.12 |
Proposed -UN |
|
13.41 |
SMC-UN |
هرچه با اعمال میزان قرنطینه کمتری (تلاش کنترلی کمتر) بتوان هدف کنترلی یعنی را برآورده کرد، مطلوب‌تر خواهد بود. شکل (14) نشان‌دهندة سیگنال U، تلاش کنترلی روش پیشنهادی است. شکل (14) مقایسة تلاش کنترلی اعمال قرنطینه برای روش‌های بیان‌شده در مقاله است که در آن خط مشکی بیان‌کنندة تلاش کنترلی روش پیشنهادی، خط قرمز نشان‌دهندة روش SMC و خطوط بنفش، سبز، زرد نقطه‌چین به‌ترتیب بیان‌کنندة تلاش کنترلی حلقه باز 50 درصد، 40 درصد و 0 درصد است؛ البته قرنطینة صفر درصد باعث شیوع کامل بیماری می‌شود و قرنطینه‌های ثابت 40 یا 50 درصد حلقه باز، همان‌گونه که در متن مقاله توضیح داده شد، هیچ فیدبکی از سیستم نمی‌گیرند و قاعدتاً عملکرد خوبی نخواهند داشت. همچنین، باعث بروز مشکلات اقتصادی و اجتماعی در کشورها خواهند شد. تلاش کنترلی روش پیشنهادی میزان کمتری از مدت زمان اعمال قرنطینه نسبت به روش کنترل مد لغزشی کلاسیک است و با توجه به نتایج نشان داده شده در مقاله، مشاهده می‌شود قانون کنترل روش پیشنهادی عملکرد بهتری داشته است. مقایسة تلاش کنترلی و اعمال قوانین قرنطینه در معیار کمی مساحت زیر نمودار نیز انجام و در جدول زیر نشان داده شده است. همان‌طور که در جدول (3) آورده شده است، روش پیشنهادی دارای میزان اعمال قرنطینة کمتری است. مساحت زیر نمودار تلاش کنترلی درواقع معیاری از میزان قرنطینة روش‌های مختلف است که هرچه کمتر باشد بهتر است؛ ازاین‌رو، کنترل‌کنندة پیشنهادی با اعمال قرنطینة کمتری توانسته است به اهداف کنترلی دست یابد که قاعدتاً بهتر خواهد بود.
شکل (14): تلاش کنترلی
جدول (3): مساحت زیر نمودار تلاش کنترلی
|
222.1 |
Proposed |
|
247.2 |
SMC |
در این بخش در ابتدا مدل ارائه‌شدة مرتبه صحیح در فرمول (13-10) به‌صورت مرتبه کسری در روابط زیر تعمیم داده شده است:
|
|
(27) |
|
|
(28) |
|
|
(29) |
|
|
(30) |
طبق مطالب بیان‌شده در متن مقاله، درجه مشتق کسری است. هدف پیاده‌سازی روش بیان‌شده در متن مقاله روی مدل مرتبه کسری است.
شکل (15): سیر زمانی افراد مستعد در مدل مرتبه کسری
شکل (16): سیر زمانی افراد در معرض در مدل مرتبه کسری
شکل (17): سیر زمانی افراد مبتلا در مدل مرتبه کسری
مان‌طور که در شکلهای (17-15) نشان داده شده است، روش پیشنهادی به خوبی توانسته است رفتار مناسبی را در برابر مدل مرتبه کسری از خود نشان دهد. با توجه به شکلهای نشان داده شده، عملکرد کنترل‌کنندة پیشنهادی روی مدل مرتبه کسری نیز نسبت به سایر کنترل‌کننده‌ها نتایج بهتری داشته است.
بیماری همه‌گیر کووید 19 چالش‌های بی‌سابقه‌ای را به جوامع و دولت‌ها تحمیل کرده است. اگرچه راه‌حل‌های دارویی در دست توسعه، تولید و توزیع است، همچنان NPIها به‌عنوان یکی از با ارزش‌ترین استراتژی‌ها برای مبارزه با بیماری واگیردار هستند. در این مقاله یک کنترل‌کنندة مد لغزشی فازی مرتبه کسری برای کنترل شیوع بیماری ویروس کووید 19، ارائه و پایداری آن به‌صورت تئوری بررسی شد. عملکرد سیستم حلقه باز و کنترل‌کنندة مد لغزشی کلاسیک و کنترل‌کنندة مد لغزشی فازی مرتبه کسری پیشنهادی با یکدیگر مقایسه شد که نتایج شبیه‌سازی‌ها حاکی از برتری روش پیشنهادی در مقایسه با سایر روش‌ها است. همچنین، در مقابله با ویروس جهش‌یافته که دارای ضریب انتقال بالاتری است، عملکرد کنترل‌کننده‌ها با یکدیگر مقایسه شد. در این مقاله روش پیشنهادی ارائه‌شده روی مدل مرتبه کسری نیز پیاده‌سازی شده است که نتایج به‌دست‌آمده همگی نشان‌دهندة برتری و کارآمدبودن روش پیشنهادی روی مدل مرتبه کسری شیوع SEIR ویروس کووید 19 نیز هستند. نتایج شبیه‌سازی‌ها برتری روش پیشنهادی را در مواجهه با ویروس کووید 19 و نیز در مواجهه با نوع جهش‌یافتة آن نشان میدهند.
[1] تاریخ ارسال مقاله: 13/02/1400
تاریخ پذیرش مقاله: 14/09/1400
نام نویسندۀ مسئول: هادی دلاوری
نشانی نویسندۀ مسئول: ایران – همدان – خیابان مردم – دانشگاه صنعتی همدان – دانشکده برق
)
