Authors
1 Dept. of Electrical Engineering, Shahid Sattari Aeronautical University of Science and Technology, Tehran, Iran
2 Dept. of Electrical Engineering, Islamic Azad University, Central Tehran Branch, Tehran, Iran
Abstract
Keywords
Main Subjects
1- مقدمه[1]
امروزه سیستم‌های گیمبال کاربردهای فراوانی در زمینۀ فیلمبرداری حرفه‌ای، نقشه‌برداری جغرافیایی، در صنایع دفاعی در زمینه‌هایی نظیر عکسبرداری نظامی، سیستم‌های کنترل ماهواره، سیستم‌های کنترل و ناوبری هواپیماهای جنگنده و انواع موشک‌های زمین به هوا و هوا به زمین و غیره دارند. درواقع تا کنون از گیمبال به‌عنوان جهت‌دهندۀ دقیق، بدون لرزش و پایدار، در فیلمبرداری و تصویربرداری هوایی استفاده شده و حاصل آن منتهی به ثبت فیلم‌ها و تصاویری با کیفیت و عاری از هر گونه لرزش با جهت و زاویه‌ای درست و دقیق شده است [1و2]. همچنین در سکوهای پرتاب موشک، سیستم ماهواره، هواپیماهای تجاری و جنگنده، گیمبال‌ها موجب چرخش مناسب و قرارگرفتن در زاویه‌ای میشود که هدف‌گیری دقیق موشک، ارتباط مناسب ماهواره و ناوبری دقیق انواع هواپیماها را میسر می‌کند.
با توجه به اینکه سیستم گیمبال را در شرایط جوی مختلفی به‌کار می‌گیرند، وجود اغتشاش، نویز، اصطکاک‌های دینامیکی، استاتیکی و عدمقطعیتهای ساختاری و غیرساختاری موجب بروز مشکلات فراوانی در کنترل این سیستم میشود. از طرف دیگر، زمانی که قرار باشد گیمبال با وجود عدمقطعیتهای موجود، مسیر خاصی را با موقعیت و زوایای متفاوتی بپیماید، بروز خطا و جلوگیری‌نکردن از خطای ردگیری موجب خارج‌شدن سیستم گیمبال از ناحیۀ کاری میشود.
به دلایل فوق تا کنون پژوهشگران روش‌های مختلفی را برای کنترل موقعیت سیستم گیمبال ارائه کرده‌اند. از جملۀ این روش‌های کنترلی، کنترل موقعیت به روش PI [3]، کنترل PID فازی [4]، کنترل تطبیقی [5,6] و کنترل مدلغزشی [7,8] هستند. کنترلکنندههای PI یا PID، مبتنی بر مدل نیستند و دارای اصول طراحی و تنظیم نسبتاً ساده‌ای‌اند؛ اما عملکرد این کنترل‌کننده‌ها در برابر دینامیک‌های غیرخطی شدید سیستم‌های غیرخطی تضعیف شده و در حالت ردگیری موقعیت گیمبال، ممکن است باعث ناپایداری سیستم حلقه بسته شوند. اگرچه ترکیب منطق فازی و کنترل PID، مشکلات کنترل‌کننده PID را تا حدود زیادی در کنترل نقطۀ تنظیم مرتفع کرده است، مشکلات این روش کنترلی در حالت ردگیری و در حضور دینامیک‌های به‌شدت غیرخطی سیستم گیمبال کماکان پابرجا مانده است.
تا کنون پژوهشگران از روش‌های کنترل تطبیقی یا فازی تطبیقی، برای کنترل موقعیت سیستم‌های غیرخطی نظیر بازوهای رباتیک و سیستم گیمبال استفاده کرده‌اند [9,10]. تحلیل ریاضی و نتایج شبیه‌سازی‌ها عملکرد مطلوب این روش‌های کنترلی را نشان می‌دهند؛ اما مشکلات روش‌های پیشنهادی به قرار زیرند:
• روش‌های ارائه‌شده تنها در برابر عدمقطعیتهای ساختاری مقاوم‌اند و در صورت بروز هرگونه اغتشاش خارجی یا دینامیک مدل‌نشده‌ای، پایداری سیستم حلقه بسته را تضمین نمی‌کنند.
• در طراحی روش‌های پیشنهادی، از قوانین تطبیقی متعددی در ورودی کنترل استفاده شده است؛ بنابراین این امر باعث افزایش حجم محاسبات ورودی کنترل میشود و هزینه‌های پیاده‌سازی عملی آن را افزایش می‌دهد.
کنترل مدلغزشی، یکی از کنترلکنندههای مقاومی است که در برابر عدمقطعیتهای ساختاری و غیرساختاری، عملکرد مطلوبی را به نمایش گذاشته است. مزایای اصلی کنترل مدلغزشی به عدم‌حساسیت آن به اغتشاش خارجی، مقاوم‌بودن در برابر عدمقطعیتهای سیستم، تضمین پایداری سیستم، پاسخ دینامیکی سریع و پیاده‌سازی سادۀ آن بر می‌گردد [7]. از آنجا که در ورودی کنترل مدلغزشی از تابع ناپیوسته استفاده میشود، بروز لرزش در ورودی کنترلی امری اجتناب‌ناپذیر است.
تاکنون پژوهشگران برای کاهش پدیدۀ نامطلوب لرزش در ورودی کنترل مدلغزشی راهکارهای زیادی را ارائه کرده‌اند [7]. اگرچه راهکارهای پیشنهادی تا حد زیادی لرزش در ورودی کنترل را کاهش داده‌اند، مشکلات این روش‌ها به قرار زیرند:
• در این روش‌ها یک لایۀ مرزی در اطراف سطح لغزش صفر به وجود می‌آورند. لایۀ مرزی ایجادشده باعث نرم‌شدن ورودی کنترل میشود و پدیدۀ نامطلوب لرزش در ورودی کنترل را کاهش می‌دهد. اگر بخواهیم ورودی کنترل یک سیگنال کاملاً نرم باقی بماند، باید عرض این لایۀ مرزی را افزایش دهیم. در این صورت بروز خطای حالت ماندگار در ردگیری موقعیت سیستم غیرخطی نظیر سیستم گیمبال امری اجتناب‌ناپذیر خواهد بود.
• ایجاد لایۀ مرزی باعث تضعیت پایداری سیستم حلقه بسته میشود و اگر بخواهیم شرایط پایداری سیستم حلقه بسته را مجدداً بررسی کنیم، تحلیل ریاضی آن بسیار پیچیده خواهد شد.
علاوه بر مطالب فوق، حتی اگر راهکاری پیشنهاد شود که از بروز لرزش در ورودی کنترل مدلغزشی جلوگیری کند و دارای اثبات پایداری سیستم حلقه بسته محکمی نیز باشد، آنگاه در مرحلۀ پیاده‌سازی آن نیاز به استفاده از سنسورهایی برای دسترسی به اطلاعات موقعیت و سرعت مفاصل سیستم گیمبال خواهیم داشت. در این صورت با موارد زیر روبه‌رو می‌شویم:
• تهیۀ تجهیزاتی که بتواند موقعیت دقیق مفاصل سیستم گیمبال را فراهم کند، امری ساده و دسترس‌پذیر است؛ اما در حال حاضر دسترسی به اطلاعات سرعت مفاصل سیستم گیمبال با مشکلاتی نظیر نویز مواجه است.
• تاکنون پژوهشگران حوزۀ رباتیک، برای دسترسی به سرعت مفاصل، از اطلاعات موقعیت مفاصل مشتقگیری می‌کند. اگرچه راهکار ارئه‌شده مشکلات مربوط به نویز را مرتفع کرده است، اگر موقعیت مفاصل دارای تغییرات ناگهانی و ناپیوسته باشند، آنگاه عمل مشتقگیری از اطلاعات موقعیت نیز با مشکل مواجه میشود.
با توجه به مطالب فوق، در این مقاله کنترل مدلغزشی فازی تطبیقی مبتنی بر رویتگری، برای کنترل موقعیت سیستم گیمبال ارائه میشود. در طراحی کنترل پیشنهادی تلاش میشود تا مزایای کنترل مدلغزشی، حفظ و معایب آن یعنی پدیدۀ لرزش در ورودی کنترل حذف شود. روش طراحی کنترل پیشنهادی به‌صورتی است که سیستم حلقه بسته را در حضور تمامی عدمقطعیتهای موجود، دارای پایداری مجانبی سراسری می‌کند. در ساختار کنترل پیشنهادی، به دلیل استفاده از رویتگر مدلغزشی با پیچش فوق‌العاده، نیاز به سنسورهایی نیست که اطلاعات موقعیت و سرعت مفاصل سیستم گیمبال را فراهم کنند؛ به همین دلیل مشکلات مربوط به نویز موجود در اطلاعات سرعت مفاصل نیز مرتفع میشود. در ادامه سازماندهی مقاله به‌صورتی است که در بخش 2، معادلات دینامیکی بخش مکانیکی و موتورهای DC سیستم گیمبال آمده است. بخش 3 مقاله به طراحی رویتگر مدلغزشی با پیچش فوق‌العاده برای سیستم گیمبال اختصاص دارد. روش طراحی کنترل موقعیت مدلغزشی در بخش 4 و چگونگی طراحی تقریبگر فازی تطبیقی برای تقریب‌زدن کران عدم‌قطعیت‌ها در بخش 4-1 بیان شده است. در ادامه، مزایای کنترل مبتنی بر رویتگر در بخش 5 تشریح میشود و عملکرد رویتگر و کنترل‌کننده، در 3 مرحلۀ شبیه‌سازی بخش 6 ارزیابی میشود. سرانجام بخش 7 به نتیجه‌گیری مقاله اختصاص داده شده است.
2- معادلات دینامیکی سیستم گیمبال
سیستم گیمبال دو محوری در دو موقعیت زاویه‌ای پیچش و فراز ، درواقع دارای دو درجه آزادی است. در شکل 1، سیستم گیمبالی نمایش داده شده است که گشتاورهای ورودی آن به‌ترتیب در راستای محورهای ارتفاع و سمت اعمال شده‌اند. معادلۀ دینامیکی سیستم گیمبال در فضای مفصلی و با استفاده از روش لاگرانژ، به شکل ماتریسی زیر به دست می‌آید [11]:
|
(1) |
معادلات فوق، تنها بخش مکانیکی سیستم گیمبال در نظر گرفته شده است و ورودی آن در فضای گشتاور است. اگر برای تحریک مفاصل این سیستم، از موتور DC مغناطیس دائم استفاده شود، آنگاه معادلات دینامیکی سیستم گیمبال در فضای ولتاژ و به‌صورت زیر خواهد بود [12]:
|
(2) |
|
|
(3) |
در معادلات فوق ماتریس اینرسی شامل دینامیک‌های بخش مکانیکی و دینامیک موتورها، ماتریس کوریولیس، بردار نیروی گرانش، ماتریس اصطکاک دینامیکی بخش موتورها، ماتریس اصطکاک دینامیکی بخش مکانیکی، بردار اغتشاش گشتاور مفاصل است. درضمن نقش اصطکاک استاتیکی بخش مکانیکی سیستم، دینامیک مدل‌نشده و اغتشاش در نظر گرفته میشود. بردار ولتاژ ورودی و ماتریس قطری شامل بخش راه‌انداز موتورها هستند. بردار موقعیت مفاصل، بردار سرعت مفاصل و بردار شتاب مفاصل سیستم گیمبال‌اند.
شکل (1): سیستم گیمبال با تحریک موتورهای DC
مغناطیس دائم
3- طراحی رویتگر مدلغزشی با پیچش فوق‌العاده برای سیستم گیمبال
برای طراحی رویتگر، ابتدا معادلات دینامیکی سیستم گیمبال به حوزۀ فضای حالت به‌صورت زیر انتقال داده میشود [13]:
|
(4) |
که و به‌ترتیب مطابق معادلات (5) و (6) تعریف می‌شوند:
|
(5) |
|
|
(6) |
در معادلات فوق ، ، بردار دینامیک شناخته‌شده یا معلوم و بردار دینامیک نامعلوم یا مدل‌نشده‌اند.
نکته 1: اگرچه بردار دینامیک نامعلوم یا مدل‌نشده است، برای طراحی رویتگر فرض بر آن است که کران بالا و پایین مؤلفه‌های آن معلوم و مشخص است.
در ادامه، رویتگر مدلغزشی با پیچش فوق‌العاده به‌صورت رابطۀ (7) تعریف میشود [13]:
|
(7) |
در رابطه فوق و بردار تخمین مقادیر حالات سیستم گیمبال، و به‌ترتیب بردارهای خطای تخمین موقعیت و سرعت مفاصل گیمبال‌اند که به‌صورت زیر تعریف می‌شوند:
|
(8) |
|
|
(9) |
در معادلۀ (7)، بردار دینامیک برابر است با:
|
(10) |
نکته 2: از مقایسۀ معادلات (5) و (10) نتیجه میشود که بردار دینامیک‌های و از لحاظ ساختار یکسان‌اند؛ اما مطابق معادلات (12) و (13) به علت وجود بردار خطای تخمین، اختلافی بین این بردارهای دینامیکی وجود خواهد داشت.
با توجه به نکتۀ فوق و با در نظر گرفتن بردار دینامیک نامعلوم، بردار خطای به‌صورت زیر تعریف میشود:
|
(11) |
از طرف دیگر، مقادیر بردار و ماتریس قطری به‌صورت زیر تعریف می‌شوند:
|
(12) |
|
|
(13) |
درخور ذکر است در انتخاب مقادیر معادلات (12) و (13)، شروط زیر باید لحاظ شوند:
1. کران بالای دینامیک نامعلوم باید مشخص باشد. به عبارت دیگر، باید مقادیر مثبت و معلوم و وجود داشته باشند که به‌ترتیب بزرگ‌تر از اندازۀ قدر مطلق و هستند.
|
(14) |
2. باید اندازه مقادیر و باشند.
3. انتخاب مقادیر و باید به گونه‌ای انجام شود که باشند.
در ضمن معادلۀ (7) را می‌توان کاملاً به فرم برداری به‌صورت زیر بیان کرد:
|
(15) |
که در رابطۀ فوق، به‌صورت زیر است:
|
(16) |
در صورتی که مقادیر رویتگر مدلغزشی با پیچش فوق‌العاده معادله (15) براساس 4 شرط فوق انتخاب شوند، آنگاه بردارهای تخمینی و در زمانی محدود به سمت بردارهای حالت و همگرا می‌شوند. در این صورت معادلۀ بردارهای خطای تخمین از تفاضل معادلات (4) و (15) به‌صورت زیر به دست می‌آیند که با گذشت زمان این بردارها به سمت صفر همگرا می‌شوند [13]:
|
(17) |
در رابطۀ (17)، اشاره به شرط شماره 1 دارد. درواقع برای اثبات همگرایی معادلات فضای حالت تخمینی به سمت معادلات فضای حالت واقعی، ضروری است که ابتدا و به سمت صفر همگرا شوند. مسئلۀ دیگری که در تکنیک مد لغزشی با پیچش فوق‌العاده وجود دارد، مدت زمان همگرایی خطای تخمین به سمت صفر است. مجموع زمان همگرایی با معادله (18) به دست می‌آید [13]:
|
(18) |
در معادله (18)، محدود است و معادلات فضای حالت تخمینی در زمانی محدود به سمت معادلات فضای حالت واقعی همگرا می‌شوند و در روابط مذکور است. با توجه به اینکه اثبات براساس نامساوی رابطه (14) بیان شده است، مطابق روابط مذکور، در معادلات (19) و (20) باید به اندازۀ کافی بزرگ انتخاب شود:
|
(19) |
|
|
(20) |
که در رابطۀ فوق زمان اولیه است.
4- طراحی کنترل‌کنندۀ موقعیت مدلغزشی برای سیستم گیمبال
همان‌طور که در بخش دوم بیان شد معادلات دینامیکی سیستم گیمبال در حضور دینامیک‌های موتور مطابق معادلۀ (2) است. در این بخش از مقاله، کنترل‌کنندۀ مدلغزشی برای ردگیری موقعیت سیستم گیمبال طراحی میشود که اطلاعات موقعیت و سرعت مفاصل را به جای سنسورها از مقادیر تخمینی رویتگر مدلغزشی با پیچش فوق‌العادۀ معادلۀ (15) دریافت می‌کند. برای اینکار بردار خطای ردگیری موقعیت زیر معرفی میشود:
|
(21) |
در معادلۀ فوق، بردار تخمین موقعیت مفاصل و بردار موقعیت مطلوبی است که می‌خواهیم توسط مفاصل پیموده شود. درواقع بردار موقعیت و سرعت مفاصل سیستم گیمبال توسط رویتگر مدلغزشی تخمین زده و این اطلاعات به کنترل‌کنندۀ موقعیت مدلغزشی ارسال میشود. در این صورت برای دسترسی به اطلاعات موقعیت و سرعت مفاصل سیستم گیمبال، نیازی به استفاده از سنسورهای سرعت و شتاب نیست که هزینه‌های اقتصادی را افزایش می‌دهند.
در ادامه بردار خطای سرعت و شتاب مفاصل به‌صورت زیرند:
|
(22) |
|
|
(23) |
که ، ، و به‌ترتیب مشتق اول و دوم بردار تخمینی موقعیت مفاصل، سرعت و شتاب مطلوب مفاصل سیستم گیمبال هستند. حال بردار سطح لغزش به‌صورت زیر بیان میشود:
|
(24) |
در معادلۀ فوق، ماتریس قطری است با مؤلفه‌های ثابت و مثبت. افزایش و کاهش مؤلفه‌های و سرعت پایداری مجانبی بردار سطح لغزش را کاهش یا افزایش می‌دهد. در ادامه بردار سرعت مرجع و بردار شتاب مرجع به‌صورت زیر تعریف می‌شوند:
|
(25) |
|
|
(26) |
قضیه: سیستم حلقه بسته با ورودی کنترل زیر، در حضور عدمقطعیتهای ساختاری و غیرساختاری موجود در معادلات دینامیکی سیستم گیمبال و محرکه‌های DC آن دارای پایداری مجانبی سراسری است.
|
(27) |
که تخمینی از ماتریس اینرسی، تخمینی از ماتریس کوریولیس، تخمینی از بردار نیروی گرانش، و نیز ماتریس‌هایی قطری با مؤلفه‌های ثابت و مثبت‌اند.
اثبات:
برای اثبات پایداری سیستم حلقه بسته، کنترل‌کنندۀ (27) به دو بخش تقسیم میشود. بخش نخست، کنترل است که وظیفۀ سوئیچ‌کردن را بر عهده دارد. این بخش از کنترل‌کننده به گونه‌ای طراحی میشود تا سطح لغزش را به سمت صفر همگرا کند. بخش دوم کنترل‌کننده، است که به کنترل معادل نیز مشهور است. این بخش از کنترل‌کننده را طوری طراحی میکنند که سطح لغزش را در مقدار صفر نگه دارد؛ بنابراین کنترل‌کنندۀ (27) به‌صورت زیر بخشبندی میشود:
|
(28) |
|
|
(29) |
|
|
(30) |
معادلات (25) و (26) در (27) جایگذاری میشود:
|
(31) |
در ادامه برای اثبات پایداری سیستم حلقه بسته در حضور کنترل مدلغزشی، معادلۀ (31) در (2) و (3) جایگذاری و به‌صورت زیر مرتب میشود:
|
(32) |
برای سادهسازی معادلات، از ، و استفاده و تمامی عدمقطعیتهای موجود به‌صورت زیر با نمایش داده میشود:
|
(33) |
از معادلات (32) و (33) نتیجه میشود:
|
(34) |
برای اثبات پایداری سیستم حلقه بسته، تابع منتخب لیاپانوف زیر پیشنهاد میشود:
|
(35) |
|
با توجه به اینکه همواره یک ماتریس مثبت معین و متقارن است، برای ، میشود.
از تابع منتخب لیاپانوف، نسبت به زمان مشتق می‌گیریم:
|
(36) |
با سادهسازی معادلۀ (36) و با جایگذاری معادلۀ (34) داریم:
|
(37) |
با توجه به اینکه است، معادلۀ فوق به‌صورت زیر ساده میشود:
|
(38) |
برای همیشه میشود و به همین دلیل میشود؛ بنابراین با شروط بیان‌شده، این کنترل‌کننده سیستم حلقه بسته را دارای پایدار مجانبی سراسری می‌کند.
در معادله (31) به دلیل حضور تابع ناپیوستۀ ، بروز لرزش در ورودی کنترل امری اجتناب‌ناپذیر خواهد بود. بروز پدیدۀ نامطلوب لرزش در ورودی کنترل، تبعات زیر را به دنبال خواهد داشت:
1. بروز لرزش در ورودی کنترل، تحریک دینامیک‌های غیرخطی سیستم را به دنبال دارد و این امر احتمال وقوع پدیدۀ تشدید را افزایش می‌دهد.
2. بروز لرزش در ولتاژ ورودی موتورهای الکتریکی، طول عمر آنها را کاهش می‌دهد.
بنابراین مشکلات فوق باعث می‌شوند حتی اگر اثبات شود که سیستم حلقه بسته در حضور کنترل پیشنهادی دارای پایداری مجانبی است، مسئلۀ پیاده‌سازی این کنترل‌کننده با مشکل مواجه میشود. به همین دلیل در این مرحله، با استفاده از منطق فازی، شیوۀ طراحی کنترل پیشنهادی را به گونه‌ای تغییر می‌دهیم که از بروز پدیده لرزش در ورودی کنترل اجتناب شود. آنگاه اثبات پایداری سیستم حلقه بسته را در حضور کنترل پیشنهادی ادامه می‌دهیم.
5- طراحی تقریبگر فازی تطبیقی، برای تقریب کردن کران عدمقطعیتهای موجود و جلوگیری از بروز لرزش در ورودی کنترل مدلغزشی
در این بخش از مقاله، برای کاهش یا از بین بردن لرزش در ورودی کنترل، از تقریبگر فازی تطبیقی استفاده میشود. با توجه به اینکه ورودی کنترل سیستم گیمبال یک بردار است، دو تقریبگر فازی تطبیقی یک ورودی – یک خروجی به گونه‌ای طراحی میشود که قادر باشند کران عدمقطعیتهای موجود را تقریب بزنند.
در طراحی این تقریبگرهای فازی، از فازی‌ساز منفرد، موتور استنتاج ضرب ممدانی و غیرفازی‌ساز میانگین مراکز استفاده میشود. با توجه به ویژگی‌های بیان‌شده نتیجه میشود خروجی تقریبگرهای فازی تطبیقی به‌صورت زیر خواهند بود [14,15]:
|
(39) |
که تعداد قوانین فازی، بردار مراکز توابع عضویت، درجه عضویت و ارتفاع مراکز توابع عضویت این تقریبگرهای فازی‌اند. برای نمایش ساده‌تر معادلۀ (32)، ، ، و به‌صورت زیر بیان میشود:
|
(40) |
|
|
(41) |
|
|
(42) |
|
|
(43) |
در طراحی این سیستم‌های فازی، از توابع عضویت گوسی استفاده میشود تا ورودی کنترل را مشتق‌پذیر کند:
|
(44) |
که و به‌ترتیب بیان‌کنندۀ مراکز و گستردگی توابع عضویت هستند. در طراحی تقریبگرهای فازی تطبیقی از قواعد فازی به شکل زیر استفاده میشود:
|
(45) |
که و به‌ترتیب توابع عضویت بخش فرض و نتیجه این قواعد فازی‌اند. درخور ذکر است در طراحی تقریبگرها، متغیرهای زبانی و توابع عضویت متغیر ورودی و متغیر خروجی به‌صورت یکسان و مطابق جدول (1) و شکل (2) در نظر گرفته شده‌اند.
جدول (1): متغیرهای زبانی استفاده‌شده در پایگاه قواعد فازی تقریبگرهای فازی تطبیقی
|
منفی |
N |
|
منفی کوچک |
NS |
|
صفر |
Z |
|
مثبت کوچک |
PS |
|
مثبت |
P |
شکل (2): توابع عضویت استفاده‌شده در متغیرهای ورودی و خروجی تقریبگرهای فازی تطبیقی
بر اساس جدول (1) و شکل (2)، قواعد فازی موجود در پایگاه قواعد تقریبگرهای فازی تطبیقی به‌صورت زیر تنظیم شدند:
|
(46) |
مطابق شکل (3)، توابع عضویت مربوط به متغیرهای زبانی و P به‌صورت زیر انتخاب شده‌اند:
|
(47) |
اگر فرض شود که کران بالای تمامی عدمقطعیتهای ساختاری و غیرساختاری موجود در معادلات دینامیکی سیستم گیمبال و محرکه‌های آن است، بنابراین ما به دنبال تقریب‌زدن این کران عدم‌قطعیت‌ها هستیم. در ادامه تقریبگرهای فازی تطبیقی به گونه‌ای طراحی می‌شوند که قادر باشند را تقریب بزنند. برای اینکار و براساس مطالب فوق نتیجه میشود خروجی تقریبگرهای فازی تطبیقی به‌صورت زیرند:
|
(48) |
با توجه به اینکه هدف از طراحی تقریبگرها، تقریب کران عدم‌قطعیت‌ها و جلوگیری از بروز پدیدۀ نامطلوب لرزش در ورودی کنترل است، در معادلۀ (31) به جای استفاده از بخش ، از خروجی تقریبگرهای فازی تطبیقی به‌صورت زیر استفاده میشود:
|
(49) |
در ادامه برای اثبات پایداری سیستم حلقه بسته در حضور کنترل مدلغزشی فازی تطبیقی، معادلۀ (42) در (2) و (3) جایگذاری و به‌صورت زیر مرتب میشود:
|
(50) |
|
(51) |
از معادلات (51) و (33) نتیجه میشود:
|
(52) |
در ادامه فرض میشود که مقدار مطلوبی در رابطه (55) است که باعث میشود به گونه‌ای را تقریب بزند که مطابق تئوری مرجع [15]، وجود داشته باشد که شرط زیر را ارضا کند:
|
(53) |
که برای افزایش دقت تقریبگرها، ثابت مثبت ، تا جایی که امکان دارد باید کوچک انتخاب شود. در ادامه معادلۀ خطای تقریبگرهای فازی تطبیقی به‌صورت زیر تعیین میشود:
|
(54) |
(54) در (52) جایگذاری میشود:
|
(55) |
قانون تطبیقی را می‌توان به‌صورت زیر انتخاب کرد:
|
(56) |
که یک ثابت مثبت و کوچک است. برای اثبات پایداری سیستم حلقه بسته، تابع منتخب لیاپانوف زیر پیشنهاد میشود:
|
(57) |
با توجه به اینکه همواره یک ماتریس مثبت معین و متقارن و است، برای ، میشود. از تابع منتخب لیاپانوف نسبت به زمان مشتق می‌گیریم:
|
(58) |
با سادهسازی معادلۀ (58) و با جایگذاری معادلۀ (52) داریم:
|
(59) |
با توجه به اینکه است، معادلۀ فوق به‌صورت زیر ساده میشود:
|
(60) |
زمانی که رابطه بر قرار باشد، آنگاه:
|
(61) |
مادامی که قانون تطبیقی برابر با باشد، آنگاه:
|
(62) |
مطابق تئوری بیان‌شده در مرجع [15]، می‌توان تقریبگرهایی را طراحی کرد که خطای تقریب آنها بسیار کوچک باشد. به عبارت دیگر، برای افزایش دقت تقریب، ثابت خطای تقریب تا جایی که امکان دارد، کوچک انتخاب میشود. برای این کار داریم:
|
(63) |
که 1 است و دقت تقریب را در معادلۀ (62) ضمانت می‌کند؛ بنابراین نتیجه میشود:
|
(64) |
از معادلات (56)، (57) و (58) داریم:
|
(65) |
سمت راست معادلۀ فوق را به‌صورت زیر نیز نمایش داده میشود:
|
(66) |
در معادلۀ فوق، یک ماتریس مثبت معین و قطری است. در صورتی که ثابت‌های انتخاب شوند، آنگاه یک ماتریس مثبت معین و قطری میشود و میشود؛ بنابراین:
|
(67) |
در معادلۀ (67)، مشتق تابع لیاپانف همواره کوچک‌تر از صفر است و فقط زمانی میشود که باشد؛ بنابراین مطابق قضیۀ لاسال [16]، بردار سطح لغزش به سمت صفر همگرا میشود. در این صورت بنابراین، و خواهند شد و قضیه اثبات میشود.
به عبارت دیگر، اثبات میشود که سیستم حلقه بسته با کنترل مدلغزشی فازی تطبیقی معادلۀ (55)، در حضور تمامی عدمقطعیتهای ساختاری و غیرساختاری موجود در معادلات دینامیکی سیستم گیمبال و محرکه‌های DC آن، دارای پایداری مجانبی سراسری است و خطاهای ردگیری موقعیت و سرعت مفاصل سیستم گیمبال را به سمت صفر همگرا می‌کند.
شکل (3): بلوک دیاگرام فرآیند کلی کنترل مدلغزشی فازی تطبیقی برای سیستم گیمبال براساس رویتگرمدلغزشی باپیچش فوق‌العاده نشان داده شده است.
6- مزایای کنترل پیشنهادی
در طراحی کنترل پیشنهادی مزایا و نوآوری‌هایی نهفته است که در زیر به آنها اشاره میشود:
1. در پیاده‌سازی عملی کنترل پیشنهادی، نیازی به استفاده از سنسورهای اندازه‌گیری موقعیت، سرعت و شتاب نیست. این امر هزینه‌های اقتصادی را بسیار کاهش می‌دهد.
2. سنسورهای اندازه‌گیری سرعت موجود در کشور، از دقت زیادی برخودار نیستند و اطلاعات را با نویز بسیاری همراه میکنند؛ از‌این‌رو در بسیاری از مواقع، برای دسترسی به اطلاعات سرعت، از اطلاعات سنسورهای موقعیت مشتق گرفته میشود که این امر مشکلات دیگری را به همراه دارد؛ بنابراین در پیاده‌سازی کنترل پیشنهادی، این مشکلات مرتفع شده است.
3. در کنترل پیشنهادی به دلیل جایگزینی تقریبگرهای فازی تطبیقی به جای توابع ، اثری از لرزش در ورودی کنترل دیده نمی‌شود. این امر باعث جلوگیری از بروز پدیدۀ تشدید میشود و طول عمر محرکه‌های سیستم گیمبال را افزایش می‌دهد.
4. با توجه به اینکه در طراحی تقریبگرهای فازی تطبیقی از 5 قاعده فازی یک ورودی- یک خروجی و 2 قانون تطبیقی استفاده شده است، حجم محاسبات کنترل پیشنهادی بسیار پایین است.
5. برای افزایش دقت در تقریب کران عدم‌قطعیت‌ها، در ورودی تقریبگرهای فازی تطبیقی از ضرایب مقیاس‌کننده استفاده میشود. در این صورت با تغییر این ضرایب، دقت تقریبگر افزایش می‌یابد و خطای ردگیری زودتر به سمت صفر همگرا میشود.
6. در طراحی تقریبگرهای فازی تطبیقی، از ضریب در قانون تطبیقی آنها استفاده شده است. با انتخاب مناسب این ضریب دقت تقریبگرها افزایش می‌یابد و این امر باعث کاهش دامنۀ ورودی کنترل میشود. در این صورت از اشباع محرکه‌های DC سیستم گیمبال جلوگیری میشود.
7- بررسی عملکرد کنترل‌کنندۀ مبتنی بر رویتگر
این بخش از مقاله، به بررسی عملکرد کنترل‌کنندۀ موقعیت پیشنهادی اختصاص دارد. برای این کار در ابتدا معادلات دینامیکی بخش مکانیکی سیستم گیمبال ارائه میشود. براساس معادلۀ دینامیکی (1)، مقادیر ماتریس اینرسی، کوریولیس و بردار نیروی گرانش سیستم گیمبال به ترتیب به‌صورت زیرند:
|
(68) |
|
|
(69) |
|
|
(70) |
|
در ادامه معادلات دینامیکی موتورهای DC مغناطیس دائم نیز به معادلات بخش مکانیکی سیستم گیمبال اضافه میشود؛ بنابراین معادلات (2)، (3) و (4) به‌صورت زیرند:
|
(71) |
|
|
(72) |
|
|
(73) |
|
|
(74) |
|
|
(75) |
; |
در معادلۀ (74)، بیان‌کنندۀ زمان است. مقادیر پارامترهای موجود در معادلات دینامیکی سیستم گیمبال دو محوره و محرکه‌های آن در جدول (2) آمده است.
شرایط اولیه موقعیت و سرعت مفاصل سیستم گیمبال به‌ترتیب برابر با و تنظیم شدند. موقعیت مطلوب مفاصل سیستم گیمبال به‌صورت رابطه (70) انتخاب شد:
|
(76) |
وروی تحریک شونده‌ای است که به آن یک پالس مربعی با دامنه 2 و دوره تناوب 8 ثانیه اعمال میشود.
جدول (2): مقادیر پارامترهای موجود در معادلات دینامیکی سیستم گیمبال دو محوره با حضور دینامیک موتورهای DC
|
مقدار |
کمیت |
مقدار |
کمیت |
مقدار |
کمیت |
مقدار |
کمیت |
|
01/0 |
1 |
2/1 |
069/0 |
||||
|
01/0 |
1 |
2/1 |
018/0 |
||||
|
01/0 |
01/0 |
1 |
024/0 |
||||
|
01/0 |
01/0 |
1 |
025/0 |
||||
|
01/0 |
01/0 |
1 |
2 |
||||
|
|
|
|
0001/0 |
|
|
شکل (4): موقعیت، سرعت و شتاب مطلوب مفاصل سیستم گیمبال
برای نمایش عملکرد کنترل‌کننده مبتنی بر رویتگر، شبیه‌سازی‌هایی در سه مرحله ارائه میشود. در مرحلۀ نخست شبیه‌سازی، عملکرد رویتگر مدلغزشی با پیچش فوق‌العاده در حضور عدمقطعیتهای موجود ارزیابی میشود. مرحله دوم شبیه‌سازی، به عملکرد کنترل مدلغزشی مبتنی بر رویتگر اختصاص دارد.
درنهایت در مرحلۀ سوم شبیه‌سازی، عملکرد کنترل مدلغزشی فازی تطبیقی مبتنی بر رویتگر به نمایش گذاشته میشود. در تمامی این شبیه‌سازی‌ها، تلاش میشود تا عدمقطعیتهای ساختاری و غیرساختاری حضور داشته باشند و تأثیر آنها بر عملکرد رویتگر و کنترل‌کننده به دقت بررسی شود.
مرحلۀ نخست شبیه‌سازی:
در این بخش از شبیه‌سازی، عملکرد رویتگر بررسی میشود. در این بخش، ضرایب رویتگر مطابق با مقادیر جدول 3 تنظیم شد. برای اعمال عدمقطعیتهای ساختاری، فرض شد پارامترهای سیستم گیمبال 90 درصد مقادیر جدول 2 هستند و در اعمال عدمقطعیتهای غیرساختاری، فرض دسترسی‌نداشتن به اطلاعات دینامیک‌های لحاظ شد. به عبارت دیگر، در طراحی رویتگر، دینامیک اصطکاک ایستایی، اصطکاک دینامیکی، اغتشاش خارجی و دینامیک مدل‌نشده در نظر گرفته نشد. شرایط اولیه رویتگر به‌صورت و تنظیم شد.
جدول (3): ضرایب رویتگر مدلغزشی با پیچش فوق‌العاده
|
مقدار |
کمیت |
مقدار |
کمیت |
|
220 |
220 |
شکل (5): خطای تخمین موقعیت و سرعت مفاصل سیستم گیمبال با استفاده از رویتگر مدلغزشی با پیچش فوق‌العاده
پس از اجرای شبیه‌سازی، مطابق شکل (5)، نمودار نشان‌دهندۀ خطای تخمین موقعیت و در نمودار ، خطای تخمین سرعت مفاصل سیستم گیمبال نمایش داده شده است. از این نمودارها نتیجه میشود رویتگر به‌خوبی عمل نکرده و در حضور تمامی عدم‌قطعیت‌ها و در زمانی بسیار کوتاه، خطاهای تخمین را به سمت صفر همگرا کرده است.
در شکل (6)، نمودارهای و مقادیر واقعی و تخمینی موقعیت مفاصل اول و دوم سیستم گیمبال نشان داده شده است. در این نمودارها می‌بینیم که رویتگر به‌خوبی عمل کرده است و اختلافی بین مقادیر تخمینی و مقادیر واقعی موقعیت مفاصل دیده نمی‌شود. در شکل (6) و در نمودارهای و ، مقادیر واقعی و تخمینی سرعت مفاصل اول و دوم سیستم گیمبال به نمایش گذاشته شده است. در این نمودارها نیز اثری از اختلاف دیده نمی‌شود؛ بنابراین نتیجه می‌گیریم تخمینگر با این عملکرد مطلوب به‌خوبی جایگزین مناسبی برای سنسورهای موقعیت و سرعت است.
شکل (6): مقایسۀ مقادیر واقعی و تخمینی موقعیت و سرعت مفاصل سیستم گیمبال
مرحلۀ دوم شبیه‌سازی:
در این بخش از شبیه‌سازی، عملکرد کنترل مدلغزشی مبتنی بر رویتگر را بررسی میشود. در این بخش برای اعمال عدمقطعیتهای ساختاری و غیرساختاری، از دینامیک موتورهای DC صرف‌نظر شد و مقادیر پارامترهای بخش مکانیکی سیستم گیمبال، 90 درصد مقادیر جدول (2) در نظر گرفته شد. به عبارت دیگر، در معادلات (14) و (18)، تخمین ماتریس اینرسی برابر با در نظر گرفته شد که نمایندۀ تنها بخش مکانیکی سیستم گیمبال است. در ضمن ضرایب رویتگر و کنترل‌کنندۀ مدلغزشی مطابق با مقادیر جداول 3 و 4 تنظیم شد.
پس از اجرای شبیه‌سازی، از شکل (7) نتیجه میشود که کنترل‌کنندۀ مدلغزشی مبتنی بر رویتگر، به‌خوبی عمل کرده و خطاهای موقعیت مفاصل اول و دوم سیستم گیمبال را در حضور عدمقطعیتهای موجود به‌ترتیب در 1 و 0.5 ثانیه بدون خطای ماندگار به سمت صفر همگرا کرده است. در شکل‌های (8) و (9) دامنه‌های ورودی کنترل نمایش داده شده است. در این شکل‌ها می‌بینیم که ورودی‌های کنترل، دارای لرزش‌های شدیدی‌اند؛ بنابراین عملکرد خوب کنترل مدلغزشی مبتنی بر رویتگر، با بروز لرزش در ورودی‌ها همراه شده است که این امر پیاده‌سازی عملی این کنترل‌کننده را با مشکل مواجه می‌کند.
جدول (4): ضرایب کنترل‌کنندۀ موقعیت مد لغزشی
|
مقدار |
کمیت |
مقدار |
کمیت |
|
20 |
0345/0 |
||
|
10 |
009/0 |
||
|
10 |
012/0 |
||
|
80 |
0125./0 |
||
|
80 |
1 |
شکل (7): خطای ردگیری موقعیت مطلوب در کنترل‌کنندۀ موقعیت مدلغزشی مبتنی بر رویتگر
شکل (8): ولتاژ ورودی موتور اول در کنترل‌کنندۀ موقعیت مدلغزشی مبتنی بر رویتگر
شکل (9): ولتاژ ورودی موتور دوم در کنترل‌کنندۀ موقعیت مدلغزشی مبتنی بر رویتگر
در شکل (10)، مسیر مطلوب و واقعی مفاصل اول و دوم سیستم گیمبال نشان داده شده است. همان‌طور که ملاحظه میشود و با وجود شرایط اولیه‌ای برابر با 1.5 و 0.5 توانسته‌اند به‌ترتیب در 1 و 0.5 ثانیه کاملاً روی مسیر مطلوب منطبق شدند.
شکل (10): ردگیری موقعیت مطلوب در مفاصل اول و دوم سیستم گیمبال توسط کنترل‌کنندۀ موقعیت مدلغزشی مبتنی بر رویتگر
مرحلۀ سوم شبیه‌سازی:
در این بخش از شبیه‌سازی، عملکرد کنترل‌کنندۀ مدلغزشی فازی تطبیقی مبتنی بر رویتگر ارزیابی میشود. شرایط حاکم بر این مرحله از شبیه‌سازی، کاملاً مطابق با مرحلۀ دوم شبیه‌سازی است. به عبارت دیگر، عدمقطعیتهای ساختاری و غیرساختاری حاکم بر این مرحله از شبیه‌سازی برابر با بخش قبل است. ضرایب رویتگر و کنترل‌کننده مطابق با مقادیر جداول (3) و (4) تنظیم شد؛ با این تفاوت که ضرایب تقریبگر فازی تطبیقی برابر با در نظر گرفته شد و دیگر نیازی به ضرایب و نیست. پس از اجرای شبیه‌سازی، از شکل (11) نتیجه میشود که کنترل‌کنندۀ مدلغزشی فازی تطبیقی مبتنی بر رویتگر توانسته است با وجود عدمقطعیتهای ساختاری و غیرساختاری موجود، خطاهای موقعیت مفاصل اول و دوم سیستم گیمبال را در 0.75 ثانیه به سمت صفر همگرا کند. در این شکل مشاهده میشود خطای ردگیری موقعیت مفصل دوم دارای پایین‌زدگی در ثانیه 4.7 است. علت این پدیده به کران بالای عدم‌قطعیت‌ها و تلاش این کنترل‌کننده در کاهش پدیده لرزش در ورودی کنترل برمی‌گردد که در شکل‌های (12) و (13) نمایان است؛ بنابراین نتیجه می‌گیریم تقریبگر فازی تطبیقی به‌خوبی عمل نکرده و از افزایش خطاهای ردگیری جلوگیری کرده است و پدیدۀ لرزش در ورودی‌های کنترل را از بین برده است. از شکل‌های (12) و (13) نتیجه میشود دامنه‌های ورودی کنترل بسیار کاهش یافته و در محدودۀ قابل قبولی قرار گرفته‌اند. در شکل (14)، ردگیری موقعیت مفاصل اول و دوم سیستم گیمبال نمایش داده شده است. از این شکل نتیجه میشود که و به‌ترتیب با وجود شرایط اولیه‌ای برابر با 1.5 و 0.5 توانسته‌اند در 0.75 ثانیه بر مسیر مطلوب منطبق شوند. از مقایسۀ شکل‌های (10) و (14) نتیجه می‌گیریم ردگیری موقعیت سریع‌تر انجام شده است و زمان ردگیری آن 1 به 0.75 ثانیه کاهش یافته است.
شکل (11): خطای ردگیری موقعیت مطلوب در کنترل‌کنندۀ موقعیت مدلغزشی فازی تطبیقی مبتنی بر رویتگر
شکل (12): ولتاژ ورودی موتور اول در کنترل‌کنندۀ موقعیت مدلغزشی فازی تطبیقی مبتنی بر رویتگر
شکل (13): ولتاژ ورودی موتور دوم در کنترل‌کنندۀ موقعیت مدلغزشی فازی تطبیقی مبتنی بر رویتگر
شکل (14): ردگیری موقعیت مطلوب مفاصل اول و دوم سیستم گیمبال در کنترل‌کنندۀ موقعیت مدلغزشی فازی تطبیقی مبتنی بر رویتگر
7-1- جمع‌بندی نتایج شبیه‌سازی‌ها
از شبیه‌سازی‌های ارائه شده، موارد زیر نتیجه‌گیری میشود:
1. از مرحلۀ نخست شبیه‌سازی نتیجه میشود که رویتگر ارائه‌شده به‌خوبی عمل کرده است و تخمین دقیقی را از موقعیت و سرعت مفاصل سیستم گیمبال در حضور تمامی عدمقطعیتهای موجود فراهم می‌کند؛ بنابراین در صورت استفاده از این رویتگر، نیاز به استفاده از سنسورهای موقعیت و سرعت مرتفع میشود و هزینه‌های اقتصادی پیاده‌سازی عملی کنترل پیشنهادی را بسیار کاهش می‌دهد.
2. از مرحلۀ دوم شبیه‌سازی نتیجه میشود رویتگر، عملکرد کنترل مدلغزشی را مختل نکرده است و در یک همکاری مشترک توانسته‌اند ردگیری دقیقی را در حضور تمامی عدمقطعیتهای موجود برای موقعیت مفاصل سیستم گیمبال فراهم آورند؛ اما این ردگیری دقیق با بروز پدیدۀ نامطلوب لرزش با دامنه‌ای بسیار زیاد در ولتاژ ورودی موتورها همراه است؛ بنابراین این امر احتمال وقوع پدیده تشدید و خرابی موتورها را افزایش می‌دهد.
3. از مرحلۀ سوم شبیه‌سازی مشاهده میشود تقریبگر فازی تطبیقی پیشنهادی، مشکلات موجود در کنترل مدلغزشی مبتنی بر رویتگر را مرتفع و با تقریب‌زدن درست و به‌موقع کران عدم‌قطعیت‌ها، از افزایش خطاهای ردگیری جلوگیری کرده و توانسته است پدیدۀ لرزش در ولتاژ ورودی موتورها را بر طرف کند و حتی دامنۀ این ولتاژها را کاهش دهد؛ بنابراین پیاده‌سازی عملی کنترل مدلغزشی فازی تطبیقی مبتنی بر رویتگر، به‌راحتی انجام‌پذیر است.
8- نتیجه‌گیری
در این مقاله کنترل‌کنندۀ مدلغزشی فازی تطبیقی، برای ردگیری موقعیت سیستم گیمبال براساس رویتگر مدلغزشی با پیچش فوق‌العاده ارائه شد. در طراحی کنترل‌کنندۀ پیشنهادی، علاوه بر دینامیک‌های سیستم گیمبال، دینامیک موتورهای DC نیز لحاظ شد؛ به همین دلیل ورودی کنترل مبتنی بر ولتاژ است. با ت.جه به اینکه کنترل‌کنندۀ مبتنی بر رویتگر است، در پیاده‌سازی عملی آن نیازی به استفاده از سنسورهای موقعیت و سرعت نیست. در این صورت هزینه‌های اقتصادی پیاده‌سازی این کنترل‌کننده بسیار کاهش می‌یابد. از طرف دیگر، برای کاهش پدیدۀ نامطلوب لرزش در ورودی کنترل، از تقریبگر فازی تطبیقی برای دسترسی به کران عدمقطعیتهای موجود استفاده شد. در طراحی تقریبگر پیشنهادی، تلاش شد از قواعد فازی یک ورودی - یک خروجی استفاده شود؛ به همین دلیل حجم محاسبات ورودی کنترل پیشنهادی بسیار کاهش می‌یابد. از طرف دیگر، در قانون تطبیقی تقریبگر پیشنهادی، ضریبی لحاظ شد که دامنۀ ورودی کنترل را کاهش دهد. درنهایت در طراحی کنترل پیشنهادی نوآوری‌هایی نهفته بود که به تفصیل در مقاله به آن پرداخته شد. برای بررسی عملکر رویتگر و کنترل‌کننده، شبیه‌سازی‌هایی در 3 مرحله ارائه شد. نتایج شبیه‌سازی‌ها، عملکرد مطلوب رویتگر و کنترل‌کننده را در حضور عدمقطعیتهای موجود نمایش می‌دهند.
[1]تاریخ ارسال مقاله : 20/08/1396
تاریخ پذیرش مقاله : 21/07/1397
نام نویسنده مسئول : محمد رضا سلطان پور
نشانی نویسنده مسئول : ایران، تهران، دانشگاه هوایی شهید ستاری، دانشکده برق
)