Optimization of Image Fusion Using Gravitational Search Algorithm

1-    مقدمه[1]

ترکیب تصاویر[1] عبارت است از ادغام ویژگی‌های دو یا چند تصویر، به طوری که تصویر حاصل، ویژگی‏های مهم هر یک از تصاویر را شامل شود و تصویری با کیفیت و ویژگی‏های کامل‏تر ارایه نماید [1]. ترکیب تصاویر کاربردهای گسترده‏ایی دارد و با در دسترس بودن اطلاعات حسگرها در زمینه‌های مختلف، مانند عکس‏برداری دیجیتال با میزان تمرکز خودکار [2]، سنجش از دور [3]، تصویربرداری پزشکی و بینایی ماشین [4]، ترکیب حسگری به یک موضوع جدید پژوهشی تبدیل شده است.در عکس‏برداری، هنگامی که عدسی دوربین روی یک نقطه خاص متمرکز است، وضوح تصویر در آن نقطه بسیار خوب است، اما فضاهای دورتر از نقطه تمرکز وضوح کمتری خواهند داشت [1].تمرکز چندگانه[2] روشی قدرتمند برای ترکیب تصاویر با وضوح‏های متفاوت است که در آن‏ها تصاویر با میزان تمرکزهای مختلف گرفته شده و سپس، با یکدیگر ادغام می‏شوند تا تصویری با وضوح کامل حاصل ‌شود. برای ادغام تصاویر با وضوح‏های متفاوت، روش‏های مختلفی وجود دارد که این روش‏ها را می‏توان به سه گروه اصلی دسته‏بندی کرد. نخستین دسته، روش‏هایی هستند که بر پایه اطلاعات پیکسل‏ها می‏باشند و از جمله آن‏ها می‏توان به روش‏های بیشینه‏گیری [5 و 6]، میانگین‏گیری [6 و 7] و به‏کارگیری منطق فازی [8] اشاره کرد. دو روش نخست از ابتدایی‌ترین روش‌های ترکیب تصاویر هستند که از ویژگی‏های آن‌ها می‌توان به سرعت بالا و سادگی الگوریتم اشاره کرد، اما این روش‌ها اصولا دقت پایینی دارند. در روش فازی کارایی بالاست، اما به‏علت سرعت پایین نمی‌توان از آن در سامانه‏های بی‏درنگ استفاده کرد. دسته دوم، روش‏های مبتنی بر توابع تبدیل می‏باشند که بیشتر برگرفته از تبدیل فوریه هستند، مانند ترکیب تصاویر با استفاده از تبدیل لاپلاس [9- 11]، تبدیل موجک [12- 16]، IHS[3] [17] و تبدیل Brovey [18]. این روش‌ها دقت مناسبی دارند، برای انجام کارهای تلفیقی به‏کار گرفته می‌شوند و تبدیل موجک از پرکاربردترین آن‌ها محسوب می‌شود. از آنجا که در IHS از ویژگی‏های رنگ تصاویر استفاده می‏شود، برای تصاویر رنگی مناسب می‏باشند ولی در عمل به‏علت کارایی پایین‏تر روش‏های IHS و Brovey نسبت به سایر روش‏ها، از آن‏ها کمتر استفاده می‏شود. دسته سوم از روش‏ها نیز مبتنی بر استفاده از ترکیب اطلاعات بلوکی و روش‏های پردازش و بهینه‏یابی هوشمند هستند.

شایان ذکر است که در سالیان اخیر، الگوریتم‏های مبتنی بر رفتار موجودات یا پدیده‏های طبیعی در حوزه‏های کاربردی گوناگون با هدف بهینه‏سازی استفاده شده‏اند، مانند ژنتیک [19]، اجتماع زنبورها [20]، بهینه‏سازی مبتنی بر اجتماع ذرات[4] (PSO) [21]، خفاش [22]، کاوش باکتری [23]، و چرخه آب [24]. همچنین، نسخه‏های اصلاحی و آمیختار این الگوریتم‏ها نیز بسیار مورد توجه قرار گرفته‏اند، مانند اجتماع ذرات وفقی [25]، اجتماع ذرات هم‏تکاملی اصلاح‏شده [26]، آمیختار الگوریتم‏های جغرافیای زیستی و تکاملی تفاضلی [27]، و الگوریتم توسعه‏یافته بهینه‏یابی جفت‏گیری زنبورعسل [28].

 از الگوریتم‏های بهینه‏یابی فرا ابتکاری در موضوع ترکیب تصاویر نیز با اهداف مختلف استفاده شده است که نمونه‏هایی از این اهداف را می‏توان چنین برشمرد:

الف) بهینه‏یابی ابعاد بلوک‏های تصویر [29]،

ب) بهینه‏سازی ضرایب وزن ترکیب [30 و 31]،

پ) آشکارسازی لبه و بهسازی در سامانه‏های ترکیب تصویر [32]،

ت) بهینه‏سازی ساختار و شاخص‏های شبکه عصبی مصنوعی مورد استفاده برای ترکیب تصاویر [33 و 34].

از نمونه الگوریتم‏ها/ مدل‏های هوش محاسباتی مورد استفاده در موضوع ترکیب تصاویر نیز می‏توان به این موارد اشاره کرد: ژنتیک [35 و 36]، PSO [37- 39]، تکامل تفاضلی [29]، یادگیری- تعلیم[5] [30]، تکاملی چندهدفی [31]، اجتماع مورچگان [32]، اجتماع زنبورها [33]، طوفان مغزی آشوبی[6] [34] و شبکه عصبی [40 و 41].

در این مورد الگوریتم PSO و نسخه‏های اصلاحی آن بیشتر استفاده شده‏اند. در این پژوهش، با استفاده از فرکانس مکانی و بهینه‏سازی اندازه بلوک‏ها مبتنی بر الگوریتم جستجوی گرانشی[7] (GSA)، کوشش شده است روش کارآمدی برای ترکیب تصاویر ارایه شود. لازم به یادآوری است که GSA به‏عنوان الگوریتمی نوین‏تر و نیز با سه مزیت یاد شده در زیر نسبت به الگوریتم PSO مطرح است [42]:

الف) روال به ‏روز رسانی در الگوریتم PSO بدون در نظر گرفتن کیفیت پاسخ‏ها انجام می‏شود (مقادیر برازش در این روال مهم نیستند)، حال آنکه در GSA نیرو متناسب با مقدار برازش است (عامل‏ها فضای جستجوی پیرامون خود را با توجه به نیرو مشاهده می‏کنند).

ب) روال به‏روزرسانی در الگوریتم PSO بدون درنظر گرفتن فاصله بین پاسخ‏ها انجام می‏شود، حال آنکه در GSA نیرو تناسب معکوس با فاصله بین پاسخ‏ها دارد.

پ) در الگوریتم PSO، راستا و جهت یک عامل تنها با توجه به دو موقعیت بهینه محاسبه می‏شود، حال آنکه در GSA این جهت بر اساس نیروی کلی حاصل از تمام عامل‏های دیگر محاسبه می‏شود.

نکته قابل توجه این است که در هر دو الگوریتم PSO و GSA، بهینه‏سازی از طریق حرکت عامل‏ها در فضای جستجو انجام می‏شود، هر چند که روش حرکت در این دو الگوریتم متفاوت است.

البته در این راستا، GSA با هدف افزایش دقت سامانه‏های بازیابی تصویر در مطالعات سالیان اخیر به کار گرفته شده است [43]. همچنین، الگوریتم‏های دیگر مانند بهینه‏سازی مبتنی بر اجتماع گربه‏ها نیز برتری خود را بر PSO نشان داده است [44 و 45]؛ که به تازگی در حوزه مشابه با مقاله حاضر به کار گرفته شده است [46].

ساختار این مقاله چنین است: در بخش دوم الگوریتم جستجوی گرانشی مرور شده و در انتهای این بخش نسخه‏های اصلاحی این الگوریتم نیز معرفی خواهند شد. بخش سوم به موضوع ترکیب تصاویر بر اساس اطلاعات فرکانس مکانی می‏پردازد. در بخش چهارم با تعریف مسأله در قالب یک مسأله بهینه‏یابی و استفاده از فرکانس مکانی به بیان روش پیشنهادی پرداخته شده است. در بخش پنجم نیز نتایج تجربی و مقایسه با سایر روش‏ها ارایه شده‏اند. در بخش ششم نتیجه‏گیری بیان شده است.

2-    الگوریتم جستجوی گرانشی

این الگوریتم بر اساس قوانین نیوتن ارایه شده است که در آن عامل‌های جستجوکننده اجرام هستند که به شکل سیاره‏های یک منظومه تصور می‏شوند و منطقه بهینه همچون یک سیاه‏چاله، سیاره‏ها را به سمت خود می‏کشد. تبادل اطلاعات و اثرگذاری اجرام روی یکدیگر تحت نیروی گرانش انجام می‏شود [42].

هر جسمی جسم دیگر را به سمت خود جذب می‏کند و مقدار نیروی جاذبه بین دو جسم با جرم‏های M₁ و M₂ و فاصله R، با حاصل‏ضرب جرم آن دو جسم و عکس مجذور فاصله بین آن‏ها متناسب است رابطه (1):

                                                         (1)

در این رابطه G ثابت گرانش نامیده می شود. این رابطه نشان می‏دهد که هر جسم به‏واسطه نیروی جاذبه، محل و جرم سایر اجسام را درک می‏کند و هر جسم به نسبت میزان جرمش و فاصله‏ای که با دیگر اجسام دارد، روی سایر اجسام تأثیر می‏گذارد و به آن‏ها نیرو وارد می‏کند.

بر اساس قانون اول نیوتن، هر جسم حالت سکون یا حرکت یکنواخت خود را بر روی خط راست حفظ می‏کند مگر این‏که تحت تأثیر نیرو یا نیروهایی مجبور به تغییر آن حالت شود. بر اساس قانون دوم نیوتن، وقتی به جسمی نیرویی وارد می‏شود شتابی می‏گیرد که به نیرو و جرم جسم بستگی دارد. رابطه بین شتاب، نیرو و جرم در رابطه (2) ارایه شده است که در آن شتاب با a نشان داده شده است.

                                                                      (2)

بر اساس قانون گرانش، به هر جسم از یک مجموعه، از جانب سایر اجسام نیروهای گرانشی وارد می‏شود. در نتیجه، جسم به سمت برآیند این نیروها که با F_r نشان داده می‏شود، شتاب می‏گیرد. روابط بالا بیان می‏کنند که هر جسم، جسم دیگر را به سمت خود می‏کشاند اما تأثیر جسم بزرگتر و نزدیکتر بیشتر است. با درنظر گرفتن قانون جاذبه و قوانین حرکت، میزان و جهت حرکت هر جسم، توافقی است بین تأثیر نیروی ثقل وارد بر آن و سرعت فعلی جسم.

در یک سامانه ایزوله با دو جسم i و j، جسم i تحت تأثیر نیروی جاذبه جسم j شتابی برابر a_i می‏گیرد که بر اساس رابطه (3) محاسبه می‏شود. F_ij، مقدار نیروی گرانشی وارد بر جسم i از جانب جسم j است که مطابق رابطه (3) محاسبه می‏شود. در این روابط M_pi و M_ii به‏ترتیب جرم گرانشی غیرفعال و جرم اینرسی جسم i و M_ajجرم گرانشی فعال جسم j هستند.

                            (3)

در فیزیک ثابت شده است که ضریب گرانشی با آهنگ بسیار کندی در طول زمان، بر اساس رابطه (4) کوچک می‏شود.

                               (4)

در الگوریتم جستجوی گرانشی، بهینه‏یابی به‏کمک طرح قوانین گرانشی و حرکت در یک سامانه مصنوعی به‏ شکل گسسته در زمان انجام می‏شود. محیط سامانه همان محدوده تعریف مسأله است.

در قدم اول، فضای سامانه مشخص می‏شود. محیط شامل یک دستگاه مختصات چند- بعدی در فضای تعریف مسأله است. هر نقطه از فضا، یک پاسخ مسأله است. عامل‏های جستجوکننده مجموعه‏ای از اجرام هستند. هر جرم چهار مشخصه دارد: موقعیت جرم، جرم گرانشی فعال، جرم گرانشی غیرفعال، و جرم اینرسی [42]. موقعیت جرم، نقطه‏ای در فضا است که پاسخی از مسأله است. مقدار اجرام گرانشی و اینرسی، با توجه به برازندگی هر جرم تعیین می‏شوند.

پس از تشکیل سامانه، قوانین حاکم بر آن مشخص می‏شوند. فرض می‏شود تنها قانون گرانش و قوانین حرکت حاکم هستند. حال سامانه را به شکل مجموعه‏ای از N جرم تصور کنید. موقعیت بعد d از جرم i با x_i^d نشان داده شده است.

 (5)               

در این سامانه، در زمان t به جرم i از سوی جرم j در جهت بعد d نیرویی به اندازه F_ij^d(t) وارد می‏شود. مقدار این نیرو بر اساس رابطه (6) محاسبه می‏شود. M_aj و M_pi به‏ترتیب جرم گرانشی فعال جرم j و جرم گرانشی غیرفعال جرم i می‏باشند، G(t) ثابت گرانش در زمان t و R_ij فاصله بین دو جرم i و j می‏باشند. ε نیز یک عدد بسیار کوچک است.

(6)     

نیروی وارد بر جرم i در جهت بعد d در زمان t (F_i^d(t))، بر اساس رابطه (7) برابر مجموع ضریب‏های تصادفی نیروهایی است که K جرم برتر بر جرم وارد می‏کنند. در این رابطه rand_jیک عدد تصادفی با توزیع یکنواخت در بازه [0,1] است. در رابطه (7) می‏توان مجموع تمام نیروهای وارد بر جسم را درنظر گرفت، اما برای بهبود قدرت کشف الگوریتم، تنها به مجموعه Kbest شامل K عضو برتر، اجازه تأثیرگذاری بر سایر اعضا داده می‏شود. مقدار K به شکل متغیر با زمان تعریف می‏شود. به این شکل که در زمان شروع تمام اجرام روی یکدیگر تأثیر می‏گذارند و با گذشت زمان از تعداد اعضای تأثیرگذار بر جمعیت، به شکل خطی کم می‏شود تا این‏که در انتها، تنها درصد کمی از بهترین‏های جمعیت بر سایر اعضا نیرو وارد می‏کنند.

                      (7)

شتاب جرم i در جهت بعد d در زمان t با a_i^d(t) و جرم اینرسی جسم i با M_ii نشان داده شده است.

                                                         (8)

سرعت بعدی هر جرم برابر مجموع ضریبی از سرعت فعلی جرم و شتاب جرم تعریف می شود (رابطه 9). موقعیت جدید بعد d از جرم i بر اساس رابطه (10) محاسبه می‏شود. v_i^d(t) سرعت بعد d جرم i در زمان t است.

                     (9)

                              (10)

rand_i و rand_j اعداد تصادفی با توزیع یکنواخت در بازه [0,1] هستند که برای حفظ ویژگی تصادفی‏ بودن جستجو، استفاده شده‏اند.

برای تنظیم ثابت گرانش، از یک مقدار اولیه شروع کرده، با گذشت زمان مقدار آن کاهش داده می‏شود. ثابت گرانش بر اساس رابطه (11)، تابعی از ثابت گرانش اولیه و زمان است. این موضوع در دنیای واقعی نیز صدق می‏کند و ثابت گرانش با آهنگ بسیار کندی در طول زمان کوچک می‏شود. در نسخه پیوسته این الگوریتم، یک پیشنهاد برای این تابع، استفاده از رابطه نمایی برای کاهش ثابت گرانش است (رابطه 12).

                                                     (11)

                                    (12)                 

در رابطه (12)، G₀ ثابت گرانش اولیه، α یک مقدار ثابت مثبت و T کل تکرارهای الگوریتم و به‏عبارتی طول عمر سامانه است.

در این الگوریتم، اجرام گرانشی و اینرسی بر اساس رابطه (13)، برابر در نظر گرفته شده، برای تنظیم آن‏ها، از مقدار تابع هدف اجرام بر اساس رابطه (14) استفاده می‏شود. مقدار اجرام بر اساس رابطه (15)، هنجار می‏شوند. در این روابط، به اجرام با شایستگی بهتر، جرم بیشتری نسبت داده شود.

           (13)

                                    (14)

                                                   (15)

در این روابط fit_i(t) بیانگر میزان برازندگی جرم i در زمان t است. در مسائل کمینه‏یابی می‏توان از روابط (16) و (17) برای محاسبه بهترین و بدترین مقدار شایستگی استفاده کرد. در مسائل بیشینه‏یابی نیز بهترین و بدترین مقدار شایستگی بر اساس روابط (18) و (19) تعریف می شوند.

                                 (16)

                              (17)

                                 (18)

                             (19)

در ابتدای تشکیل سامانه، هر جسم به شکل تصادفی در یک نقطه از فضا قرار می‏گیرد که پاسخی از مسأله است. در هر لحظه از زمان، اجرام ارزیابی شده، تغییر مکان هر جرم محاسبه شده، در زمان بعدی، جرم در آن موقعیت قرار می‏گیرد. جرم‏های گرانشی، جرم اینرسی و ثابت گرانش نیوتن در هر مرحله به‏روزرسانی می‏شوند. شرط توقف می‏تواند پس از تکرارهای مشخص، تعیین شود.

البته نسخه‏های اصلاحی GSA نیز در سالیان اخیر پیشنهاد شده‏اند که توضیح نمونه‏هایی از آن‏ها در ادامه آورده شده است:

الف) کاهش پیچیدگی محاسباتی GSA استاندارد از طریق کاهش تعداد ارزیابی‏های تابع هدف توسط الگوریتمی به نام GSA- خوشه‏بندی‏شده (مبتنی بر خوشه‏بندی جمعیت و جایگزینی هر خوشه با جرم مرکزی به‏عنوان یک عامل جدید) [47]

ب) به‏کارگیری نظریه مکانیک کوانتومی در GSA استاندارد به منظور جلوگیری از همگرایی زودرس به کمینه محلی [48]

پ) اعمال یک عملگر جستجوی محلی گسسته به بهترین پاسخ GSA استاندارد با یک احتمال متغیر [49]

ت) به‏کارگیری عملگر فروپاشی[8] در GSA استاندارد (با اعمال به بردار موقعیت عامل‏ها) با هدف بهبود توانایی کاوش فضای جستجو [50]

ث) به‏کارگیری ترکیب روش جستجو در الگوریتم PSO و توپ- کشسان[9] برای تسریع همگرایی و نیز استفاده از عملگر جهش آشوبی برای فرار از کمینه‏های محلی [51]

ج) به‏کارگیری یادگیری مبتنی بر تقابل[10] برای آمایش جمعیت و جهش نسل در GSA استاندارد [52]

چ) جلوگیری از همگرایی زودرس و گرفتاری در کمینه‏های محلی با به‏کارگیری عملگر آشوبی [53 و 54] (به‏عنوان نمونه با تغییر در معادله به‏روزرسانی سرعت در GSA استاندارد [55])

ح) جایگزینی معادله نمایی در رابطه تابع گرانش با یک تابع تکه‏ای- خطی به‏منظور بهبود توانایی جستجو در GSA استاندارد [56].

3-    ترکیب تصاویر بر اساس اطلاعات فرکانس مکانی

در این قسمت به مرور الگوریتمی پایه برای ترکیب تصاویر بر اساس فرکانس مکانی پرداخته می‏شود. این الگوریتم از نظر محاسباتی ساده بوده و می‏تواند در کاربردهای بی‏درنگ استفاده شود [57]. یادآوری می‏شود که فرکانس مکانی برای اندازه‏گیری سطح فعالیت در یک تصویر استفاده می‏شود. فرکانس مکانی تصویر با استفاده از معادلات ارایه‏شده در رابطه (20) قابل محاسبه است:

           (20)

در این رابطه F تصویر نهایی و n×m مبین ابعاد تصویر است. مقدار زیاد فرکانس مکانی سطح فعالیت بالای تصویر را توصیف می‏کند که در نتیجه شفافیت تصویر است.

گام‏های اصلی در این الگوریتم عبارتند از:

1-        تجزیه تصاویر اصلی به بلوک‏هایی با ابعاد n×m.

2-        محاسبه فرکانس مکانی برای هر بلوک.

3-        مقایسه فرکانس مکانی مربوط به دو بلوک متناظر A_iو B_i و تشکیل iامین بلوک (F_i) از تصویر ترکیبی به‏ شکل رابطه (21):

                      (21)

در این رابطهTh در واقع مقدار آستانه برای ایجاد محدوده‌ای برای میانگین‌گیری بین دو تصویر است. این مقدار خود می‌تواند با استفاده از سایر الگوریتم‌های بهینه‌یابی اصلاح شود، اما با توجه به اندازه تصاویر، مقداری بین 1 تا 2 برای آن مقدار مناسبی است [57]. منظور از  نیز میانگین‌گیری پیکسل به پیکسل است.

4-        بررسی و اصلاح نتایج ترکیب در مرحله 3. در این مرحله، هدف اصلاح مقادیر در محل‌های اتصال بلوک‌ها به یکدیگر است. انجام این مرحله برای اطمینان از عملکرد مناسب الگوریتم است و در بسیاری موارد این مرحله مد نظر قرار داده نمی‌شود.

4-    روش پیشنهادی

با توجه به آنچه گفته شد، در این پژوهش، تلاش شده است با کمک فرکانس مکانی و بهره‌گیری از الگوریتم جستجوی گرانشی، روش کارآمدی برای ترکیب تصاویر با میزان تمرکز‌های مختلف ارایه شود. برای این کار در ابتدا تصاویر اصلی به بلوک‌های مختلف قطعه‌بندی شده و سپس، فرکانس مکانی برای هر قطعه را محاسبه می‌شود. در بلوک‌های متناظر، بلوکی که دارای مقدار فرکانس مکانی بیشتری است، به‏عنوان خروجی محاسبه می‌شود. این قسمت همانند چیزی است که در روش ترکیب تصاویر با استفاده از فرکانس مکانی مطرح شده است. آنچه در این جا دارای اهمیت است، اندازه بلوک‌هاست. در ترکیب تصاویر با وضوح مختلف با استفاده از الگوریتم‌های بهینه‌سازی، به‏دنبال پیدا کردن اندازه بهینه برای قطعه‌بندی تصاویر هستیم. بنابراین، با یک مسأله بهینه‏سازی مواجه‌ایم. در این مورد، GSA می‌تواند به شکل خودکار و تطبیقی، بهترین مقدار را برای اندازه بلوک‌های تصویر پیدا کند. در این روش، فرکانس مکانی برای تعیین تصویر با وضوح بیشتر استفاده می‏شود. شکل (1) بیان‏کننده چگونگی عملکرد این روش است.

شکل (1): چگونگی ترکیب تصاویر با میزان تمرکز‌های مختلف با استفاده از الگوریتم GSA

4-1- تولید جمعیت اولیه

 برای شروع باید مسأله را در قالب GSA مدل کرد. نخستین گام تشکیل یک جمعیت اولیه برای شروع کار است. برای این منظور یک جمعیت تصادفی از اجرام ایجاد کرده که هر جرم نشان‏دهنده اندازه بلوک در فضاست. فضای کلی جستجو اندازه هر کدام از تصاویر است. هر جرم دارای دو بعد می‌باشد که بیانگر طول و عرض بلوک است. بنابراین، در رابطه (22) برای موقعیت هر جرم می‏توان نوشت:

                                                        (22)

این مقادیر برای جمعیت اولیه به‏ شکل تصادفی ایجاد می‌شوند و به مرور در تکرارهای بعدی مقادیر آن‏ها تغییر کرده تا مقدار بهینه به دست آید. در این روش هر عامل، کل تصویر را بلوک‌بندی می‏کند، به عبارتی در هر تکرار، تعداد i تصویر بلوک‌بندی‏شده بررسی می‏شوند. مقدار تعلق‏گرفته به جمعیت اولیه خود می‌تواند به‌صورتی بهینه تولید شود که در ادامه به آن پرداخته می‌شود. آنچه در این مرحله باید مورد توجه قرار گیرد این است که اندازه آن‏ها نباید از فضای جستجوی تصویر که همان اندازه تصویر اصلی است، بیشتر باشد. در الگوریتم جستجوی گرانشی این مسأله درنظر گرفته می‌شود، اما برای جمعیت اولیه باید این محدودیت اعمال شود تا مقادیر تصادفی انتخاب‏شده از اندازه تصویر بزرگ‌تر نشوند.

4-2- تعیین تابع مناسب برای بهینه‌یابی

انتخاب تابع صحیح برای تعیین میزان وضوح هر تصویر و در حقیقت تعیین تابعی که باید برای رسیدن به تصویر مطلوب، کمینه/بیشینه شود بسیار مهم است و به گونه‌ای طرح مسأله بهینه‌یابی را مشخص می‌کند. با توجه به اینکه میزان وضوح تصویر قرار است بهینه شود، بنابراین، تابع مسأله یا همان تابع برازش[11]، تابع فرکانس مکانی است.

تابع فرکانس مکانی در روش پیشنهادی در دو مرحله بررسی می‏شود. در مرحله اول، برای محاسبه مقدار وضوح هر بلوک در تصویر به‏کار گرفته می‏شود که این مرحله مربوط به تابع بهینه‏یابی نیست و تنها نقش یک انتخاب‏گر بلوک را ایفا می‌کند. مرحله دوم، محاسبه میزان وضوح تصویر نهایی برای هر کدام از جمعیت‌هاست که در اینجا، نقش همان تابع برازش در مسأله بهینه‏یابی را دارد.

بنابراین، تصاویر ورودی با توجه به ابعاد و اندازه جرم‏ها تقسیم‌بندی می‌شوند. سپس، وضوح هر کدام از بلوک‌های هر تصویر محاسبه می‏شود و بلوک با وضوح بالاتر به‏عنوان بلوک متناظر تصویر ترکیبی انتخاب می‌شود و این انتخاب بر اساس تباین[12] تصویر بر روی قسمت‌های مختلف تکرار شده و تصاویر عکس‌های ترکیب‏شده در مرحله اول برای مقادیر اولیه ایجاد می‌شوند. پس از آنکه تصویر ایجاد شد، مقدار برازش هر تصویر با استفاده از فرکانس مکانی محاسبه می‌شود، به این ترتیب که مقدار فرکانس مکانی تصویر نهایی محاسبه شده و مقدار آن به‏عنوان مقدار برازش آن تصویر یا جرم مربوط درنظر گرفته می‌شود. در واقع می‏توان با بیانی هر یک از تصاویر را یک جرم درنظر گرفت و با بیان دقیق‌تر هر بلوک انتخابی را یک جرم درنظر گرفت. بهترین مقدار برازش در بین تصاویر ایجادشده به‏عنوان مقدار بهترین سراسری[13] انتخاب می‏شود. با توجه به اینکه در این مسأله بهینه‌یابی به‏دنبال پیدا کردن فرکانس مکانی با مقدار بیشتر هستیم، از روابط بیشینه‌یابی استفاده می‌کنیم (روابط 18 و 19).

این الگوریتم می‌تواند به دو شکل متوقف شود: با توجه به میزان تکرارهای تعیین‏شده، و یا با توجه به رسیدن به میزان خطای قابل قبول و تعریف‏شده. روند نمای این روش در شکل (2) نشان داده شده است.

شایان ذکر است که برای تصاویر رنگی، در ابتدا تصاویر را خاکستری کرده و سپس، تصاویر خاکستری را بررسی کرده و در پایان، بلوک رنگی متناظر با تصویر با کیفیت بالاتر جایگزین می‏شود. به این ترتیب تصویر ادغامی رنگی حاصل می‌شود.

4-3- گام‏های الگوریتم پیشنهادی

1-        دریافت تصاویر و تبدیل آنها به تصاویر خاکستری.

2-        آمایش مقادیر جرم‏ها و سرعت‏ها با مقادیر اولیه تصادفی.

3-        بلوک‏بندی تصاویر ورودی و محاسبه فرکانس مکانی هر بلوک.

4-        انتخاب بلوک با فرکانس مکانی بیشتر به‏عنوان خروجی.

5-        ایجاد تصویر نهایی برای تمام جرم‏ها و محاسبه فرکانس مکانی و انتخاب فرکانس مکانی بیشتر به عنوان fbest.

6-        انتخاب fbest به‏عنوان fbest global در صورت بیشتر بودن نسبت به تکرار قبل.

شکل (2): روندنمای روش پیشنهادی ترکیب تصاویر با استفاده از الگوریتم جستجوی گرانشی

7-        محاسبه سرعت وموقعیت جرم‏ها.

8-        محاسبه G، نیرو و شتاب.

9-        محاسبه سرعت وموقعیت جدید جرم‏ها.

10-     مقداردهی مجدد اجرام خارج‏شده از فضای جستجو.

11-     تکرار مراحل قبل تا رسیدن به مقدار خطای مطلوب و یا پایان تعداد تکرارهای تعیین‏شده.

12-     انتخاب تصویر دارای مقدار fbest global به‏عنوان تصویر ترکیبی نهایی خروجی.

4-4- مقداردهی اولیه

مقادیر fbest و fbest global اولیه، صفر درنظر گرفته می‏شوند. تعداد جمعیت اولیه پیشنهادی 50 و بیش‏ترین تعداد تکرار 5 بار است که این تعداد تکرار بر اساس بهینه‏بودن زمان و مناسب بودن خطای نهایی تعیین شده است. این مقدار با توجه به اندازه تصویر قابل تغییر است.

با توجه به اینکه در سامانه دو مقدار x و y (طول و عرض هر بلوک) مطرح است، در الگوریتم بُعد برابر 2 می‏باشد (یعنی d=2). باید توجه داشت که این مقادیر باید در بازه فضای جستجو که همان اندازه تصویر می‌باشد، تعریف شوند.

برای محاسبه مقدار G در رابطه 12، مقدار 20=α و 100=G₀ در نظر گرفته شده است.

از آنجا که اندازه بلوک‌ها مقادیر صحیح هستند، پس از ایجاد جمعیت اولیه، ابتدا مقادیر آن‌ها تبدیل به عدد صحیح می‌شود. از آنجا که کل تصویر با اندازه یکسانی بلوک‏بندی می‌شود، باقیمانده حاصل تقسیم طول و عرض تصویر بر مقدار ورودی محاسبه می‌شود و درصورتی‏که برابر صفر نباشد یک واحد از آن کم می‌شود و این کار تا جایی‏که باقیمانده برابر صفر شود، ادامه پیدا می‌کند و به این ترتیب مقادیر جمعیت‌های ایجادشده بر روی تصویر منطبق شده و الگوریتم برای مسأله مورد بحث اجرا می‌شود. برای روشن‌تر شدن موضوع، فرض ‌کنیم که طول و عرض تصویر با ابعاد 325×235 ‌باشد و یکی از مقادیر جمعیت بدین‏ترتیب بدست آمده باشد: (7/13 2/48). بنابراین، ابتدا این مقدار گرد شده و به‏ شکل (14 48) در محاسبات درنظر گرفته می‏شود. سپس، تقسیم ابعاد تصویر به مقادیر فوق انجام شده و چون باقیمانده صفر نیست، یک واحد از آن کم می‌شود و این کار تا جایی‏که باقیمانده صفر شود، ادامه پیدا می‏کند. در این مورد مقادیر انتخابی (13 47) به باقیمانده صفر منجر می‏شوند و بنابراین، تصویر با این اندازه بلوک‏بندی می‌شود.

همان‏طور که پیش‏تر نیز اشاره شد، مقداردهی اولیه اندازه بلوک‌ها نیز می‌تواند بهینه شود. بدیهی است هر چه اندازه بلوک‌های تصویر را کوچک‏تر فرض نماییم نتیجه بهتر خواهد بود، اما آنچه مهم است اندازه بهینه بلوک‌هاست. ممکن است حتی تصویری با دو بلوک نتیجه‌ای کاملا مطلوب را نیز داشته باشد و نیازی به بلوک‌بندی بیش از اندازه نباشد. بلوک‌های بیشتر به معنای عملیات بیشتر و در نتیجه زمان بیشتر عملیات است و هدف از استفاده از الگوریتم‌های بهینه‏یابی در این موارد نیز دقیقا مقابله با همین وضعیت است.

با توجه به بررسی‌های انجام‏شده، مشاهده می‌شود که بلوک‌ها در پایان همگی دارای اندازه‌ا‌ی کمتر از نصف اندازه تصاویر اصلی هستند.

5-   نتایج تجربی و مقایسه با سایر روش‏ها

برای بررسی بیشتر موضوع، عملکرد روش پیشنهادی با دو روش دیگر مورد مقایسه قرار گرفته است. این روش‏ها عبارتند از: بهینه‏سازی ‏فرآیند ترکیب تصاویر به روش PSO و روش ترکیب مبتنی بر اطلاعات پیکسل‏ها بر اساس منطق فازی. روش کار در الگوریتم PSO مشابه الگوریتم GSA است، با این تفاوت که مقادیر بهینه اندازه بلوک‌ها به جای الگوریتم GSA، توسط الگوریتم PSO تعیین می‌شوند.

شاخص‏های طراحی در PSO به شکل زیر می‌باشند: ضریب‌های c₁ و c₂ که برای تعیین رفتار جمعی و شناختی است، مقدار 2 در نظر گرفته شده‌اند. مشاهده می‌شود که هنگامی که این مقادیر بزرگتر از 2 باشند، سرعت ذره با مقدار بزرگتری به‏روز می‌شود و در نتیجه ذره پرش زیادی در فضای جستجو خواهد داشت و ممکن است از محدوده جستجو خارج شود. مقدار وزن اولیه w، 1 در نظر گرفته شده است که ضریب w_damp=0.99 می‏باشد [58].

روش فازی پیشنهادی توسط نویسندگان در [8] نیز به‏عنوان روشی مبتنی بر اطلاعات پیکسل‌ها برای مقایسه انتخاب و نتایج آن بررسی شده است. در این روش، پیکسل‌های متناظر دو تصویر با یکدیگر مقایسه شده و بر اساس منطق فازی مقدار خروجی مناسب برای پیکسل انتخاب می‌شود. قوانین فازی پیشنهادی بر این اساس ایجاد شده‌اند که پیکسل‌های با مقادیر دورتر از مقدار 128 وزن بیشتری به خود بگیرند. نحوه عملکرد این روش در شکل (3) نشان داده شده است. سامانه ممدانی فازی دارای دو ورودی (یکی برای تصویر با وضوح سمت راست و دیگری برای تصویر با وضوح سمت چپ) و یک خروجی (برای تصویر خروجی) است. ورودی‏ها و خروجی دارای 7 تابع عضویت از مقدار 0 تا 255 و به‏ شکل مثلثی هستند و تنها در قسمت میانی خروجی از یک تابع ذوزنقه‏ای استفاده شده است تا اطراف مقدار 128 نوعی میانگین‏گیری انجام گیرد. در شکل (4) نیز نتیجه ترکیب تصاویر با سطوح خاکستری برای این سه روش نشان داده شده است. مقادیر بهینه اندازه بلوک‌‌ها برای تصویر شکل (4) (با ابعاد 240×240 پیکسل) با استفاده از الگوریتم PSO، بلوک‌هایی با اندازه‌های 7×7 بدست آمد. همچنین، در روش GSA، بهترین کیفیت تصویر نهایی برای تصویر شکل (4)، بلوک‌هایی با اندازه‌های 60×8 محاسبه شد که مقادیر مربوط به فرکانس مکانی آن‏ها و همچنین، میزان خطا با استفاده از معیار RMSE نیز در جدول (1) ارایه شده است.

شکل (3): روش مبتنی بر منطق فازی برای ترکیب تصاویر با میزان تمرکز‌های مختلف [8]

شکل (4): نتیجه ترکیب تصاویر به سه روش مختلف، a) تصویر با وضوح سمت چپ، b) تصویر با وضوح سمت راست، c) تصویر واضح اصلی، d) نتیجه ترکیب به روش فازی، e) نتیجه ترکیب با به‏کارگیری الگوریتم PSO، f) نتیجه ترکیب با به‏کارگیری GSA

مقادیر RMSE نیز با توجه به رابطه 23 محاسبه شده‏اند:

              (23)

که در این رابطه، f و به‏ترتیب مبین تصاویر اصلی و ترکیبی هستند.

در شکل (5) مقادیر بیشینه، کمینه و میانگین تابع هدف در هر تکرار برای تصویر ارایه‏شده در شکل (4) در صورت استفاده از الگوریتم جستجوی گرانشی نشان داده شده است.

جدول (1): مقادیر RMSE تصاویر ترکیبی با سطوح خاکستری برای سه روش مورد بررسی در این پژوهش

شکل(5): مقادیر بیشینه، کمینه و میانگین تابع هدف (فرکانس مکانی) در تکرارهای مختلف GSA

آنچه در ترکیب تصاویر تا این مرحله انجام شده است، کار بر روی تصاویر سیاه و سفید بوده است. برای کار بر روی تصاویر رنگی پیشنهادهای گوناگونی داده شده است که در آن‏ها معمولا از ابتدا بر روی تصویر رنگی کار کرده و تصاویر رنگی را با یکدیگر ترکیب می‏کنند [59- 61]. از آنجا که در روش پیشنهادی در این مقاله، بر روی بلوک‌های تصویر کار می‌شود، می‌توان ابتدا تصاویر را به سطح خاکستری انتقال داده و پس از تعیین اینکه بلوک مربوط به کدام تصویر وضوح بیشتری دارد، بلوک مربوط در تصویر رنگی را جایگزین کرد و به این ترتیب ترکیب تصاویر در سطح رنگی انجام می‌شود. به این ترتیب علاوه بر اینکه پیچیدگی کار کمتر می‏شود، تصویر حاصل دارای کیفیت بالاست. این روش، روشی انعطاف‏پذیر است که می‏تواند با سایر روش‏ها نیز تلفیق شود.

در ادامه نمونه‏ای از ترکیب تصاویر رنگی با استفاده از روش پیشنهادی ارایه شده است (شکل 6). برای مشاهده بهتر، قسمتی از نتایج حاصل بزرگ‏نمایی شده و در شکل (7) نشان داده شده است. بخش بزرگ‏نمایی‏شده، مرز بین مات‏شدگی دو تصویر می‏باشد. با دقت در این تصاویر می‌توان مشاهده کرد که ترکیب تصاویر به‏خوبی انجام شده است. البته برای بررسی دقیق‏تر، مجموع مربعات خطا (MSE) نیز در جدول (2) نشان داده شده است. نتایج شهودی خطا نیز در شکل (8) نشان داده شده است. با توجه به جدول (2) و همچنین، با دقت در تصویر قسمت c (تفاضل تصویر اصلی با تصویر ترکیبی)، مشاهده می‏شود که الگوریتم پیشنهادی به‏خوبی دو قسمت راست و چپ تصاویر را با یکدیگر ترکیب کرده است و میزان خطای آن با تصویر اصلی بسیار کم است.

در نهایت، برای بررسی عملکرد روش پیشنهادی، نتایج تجربی دیگری از ترکیب تصاویر با روش‏های مختلف در شکل‏های (9) تا (11) نشان داده شده است. برای مقایسه بهتر، مقادیر خطای تصویر نهایی نسبت به تصویر اصلی نیز در جدول (3) آورده شده است.

شکل(6): ترکیب تصاویر رنگی با استفاده از روش پیشنهادی، a) تصویر با وضوح سمت چپ، b) تصویر با وضوح سمت راست، c) نتیجه ترکیب با به‏کارگیری GSA، d) تصویر اصلی

شکل(7): بزرگ‏نمایی قسمتی از شکل 6 در مرز مات‏شدگی، a) تصویر با وضوح سمت چپ، b) تصویر با وضوح سمت راست، c) نتیجه ترکیب با به‏کارگیری GSA، d) تصویر اصلی

جدول (2): مقادیر MSE برای تصاویر رنگی با روش ترکیب تصاویر پیشنهادی

شکل(8): تفاضل تصاویر شکل (6) با تصویر اصلی، a) تفاضل تصویر با وضوح سمت چپ و تصویر اصلی، b) تفاضل تصویر با وضوح سمت راست و تصویر اصلی، c) تفاضل تصویر ترکیبی به روش GSA و تصویر اصلی، d) تفاضل تصویر اصلی و خودش

شکل (9): نتیجه ترکیب تصاویر با روش‏های مختلف، a) تصویر با وضوح سمت چپ، b) تصویر با وضوح سمت راست، c) تصویر واضح اصلی، d) نتیجه ترکیب به روش فازی، e) نتیجه ترکیب با به‏کارگیری الگوریتم PSO، f) نتیجه ترکیب با به‏کارگیری GSA (ابعاد تصویر:325×235، اندازۀ بهینه بلوک 13×47 و fbest=55.5541)

شکل (10): نتیجه ترکیب تصاویر با روش‏های مختلف، a) تصویر با وضوح سمت چپ، b) تصویر با وضوح سمت راست، c) تصویر واضح اصلی، d) نتیجه ترکیب به روش فازی، e) نتیجه ترکیب با به‏کارگیری الگوریتم PSO، f) نتیجه ترکیب با به‏کارگیری GSA (ابعاد تصویر:240×240، اندازۀ بهینه بلوک 120×240 و fbest=13.7351)

شکل (11): نتیجه ترکیب تصاویر با روش‏های مختلف، a) تصویر با وضوح سمت چپ، b) تصویر با وضوح سمت راست، c) تصویر واضح اصلی، d) نتیجه ترکیب به روش فازی، e) نتیجه ترکیب با به‏کارگیری الگوریتم PSO، f) نتیجه ترکیب با به‏کارگیری GSA (ابعاد تصویر:472×631، اندازۀ بهینه بلوک 59×1 و fbest=14.7551)

جدول (3): مقادیر RMSE در روش‏های مختلف ترکیب تصاویر در شکل‏های (9- 11)