Document Type : Research Article
Authors
1 Dept. of Electrical and Computer Engineering, University of Kashan, Kashan, Iran
2 Dept. of Electrical Engineering, Isfahan University of Technology
Abstract
Keywords
امروزه با گسترش یافتن استفاده از انرژی‌های تجدیدپذیر، بهره‌گیری از مبدل‌های DC/DC افزایش یافته است. در کنترل این گونه مبدل‌ها مطلوب این است که ولتاژ خروجی فرمان مرجع را با حالت گذرا و خطای حالت ماندگار مناسب دنبال کند [1]. از آنجا که این مبدل‌ها ذاتا سیستم‌هایی متغیر با زمان و غیرخطی هستند، روند طراحی کنترل‌کننده برای آنها توجه زیادی را می‌طلبد [2].
در بین توپولوژیهای مختلف مبدل‌های DC/DC مبدل بوست دارای کاربردهای صنعتی زیادی از قبیل درایو موتورها، وسایل نقلیه برقی، منابع تغذیه بدون وقفه، منابع انرژی تجدید پذیر (سیستم فتوولتاییک و توربین باد) و دستگاههای جوشکاری است. به طور معمول، طراحی بسیاری از کنترل‌کننده‌ها برای مبدل بوست، بر اساس خطی‌سازی مدل میانگین[1] فضای حالت به دست می‌آید [3]. مدل خطی شده مبدل، به شکل یک سیستم غیر مینیمم فاز بوده و بنابراین، پاسخ دینامیکی آن کند و لخت است و نمی‌تواند پاسخ راه‌اندازی[2] مناسبی را فراهم آورد. بنابراین، طراحی کنترل کننده برای مبدل بوست همچنان یک موضوع چالشی برای پژوهشگران است [4].
یک پاسخ راه‌اندازی مناسب دارای فراجهش و زمان نشست کم است. چندین روش کنترلی غیرخطی مانند کنترل فازی، کنترل H و تحلیل μ را می‌توان برای این منظور پیاده‌سازی کرد. در برخی موارد، مشکلاتی برای تعیین توابع وزن وجود دارد، بنابراین، پاسخ سیگنال بزرگ مناسب آنها نمی‌تواند تضمین شود [1 و 5].
به علت سادگی طراحی و کارایی مناسب، کنترل‌کننده‌های PI وPID در صنعت دارای کاربرد بسیار بوده و در نتیجه کوشش مداومی برای بهبود مقاومت و کیفیت آنها انجام شده است [6]. اشکال این نوع کنترل کننده ها این است که برای یک نقطه کار طراحی شده و با تغییر نقطه کار پاسخ مناسبی ندارند [7]. یکی از راه‌های بهبود کنترل‌کننده‌های PID سنتی استفاده از کنترل‌کننده‌های مرتبه کسری است. با این حال مشکلات طراحی تعیین PIDهای مرتبه کسری نسبت به PIDهای سنتی بیشتر است زیرا این نوع کنترل‌کننده‌ها دارای مراتب کسری هستند [8].
برای تعیین شاخصهای کنترل‌کننده‌های [3]FOPID راه‌های متعددی وجود دارد. در این مقاله برای این منظور از روش بهینه‌سازی و الگوریتم رقابت استعماری[4] (ICA) استفاده شده است. الگوریتم رقابت استعماری یک روش بهینه سازی سراسری بوده و دارای دقت و سرعت قابل توجهی است. از آنجا که پهنای باند کنترل‌کننده در کنترل میزان فراجهش مبدل بوست نقش بسزایی دارد [9]، شاخصهای FOPID به ازای پهنای باندهای متفاوت به دست آمده و برای نشان دادن کارایی کنترل‌کننده طراحی شده، نتایج به دست امده با نتایج بدست از الگوریتم ژنتیک[5] (GA) مقایسه شده است. برای مقایسه بین PID مرتبه کسری با PID و PI سنتی، شبیه‌سازی‌هایی در محیط برنامه MATLAB انجام شده است.
ادامه مقاله به شکل زیر سازمان‌دهی شده است. در بخش دوم اصول عملکرد کنترل‌کننده FOPID تشریح شده است. در بخش سوم الگوریتم رقابت استعماری معرفی می‌شود. بخش چهارم به بیان سیستم تحت مطالعه اختصاص یافته و در بخش پنجم نتایج شبیه‌سازی‌ها آورده شده است. در انتها در بخش ششم نتیجه‌گیری بیان خواهد شد.
جبر کسری، جبر معمول را با بسط معادلات دیفرانسیل معمول به معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری، توسعه می‌دهد. چنین معادلاتی می‌توانند مدل‌های خطی و توابع انتقال را برای برخی از سیستم‌های فیزیکی با ابعاد نامحدود فراهم آورند. از طرف دیگر، کنترل‌کننده مرتبه کسری را می‌توان برای دستیابی به اهداف کنترل فیدبک برای چنین سیستم‌هایی به کار گرفت. امروزه به علت پیشرفت‌های انجام شده در توان محاسباتی که شبیه‌سازی و پیاده‌سازی سیستم‌های با مرتبه کسری را با دقت کافی ممکن ساخته است، مباحث مدلسازی و کنترلی با استفاده از مفهوم سیستم مرتبه کسری، توجه زیادی را به خود جلب کرده است.
کنترل‌کننده PID مرتبه کسری یک ساختار مناسب با مرتبه کسری است که برای اهداف کنترلی به کار گرفته می‌شود. این کنترل‌کننده برای نخستین بار توسط پودلابنی در سال 1999 معرفی شد [10]. یک FOPID با پنج شاخص شامل بهره تناسبی، بهره انتگرالی، بهره مشتقی، مرتبه انتگرالگیری و مرتبه مشتقگیری مشخص می‌شود. معادله دیفرانسیل یک کنترل‌کننده مرتبه کسری به شکل رابطه (1) تعریف می‌شود:
|
(1) |
تابع انتقال FOPID با تبدیل لاپلاس بدست آمده و برابر است با:
|
(2) |
طراحی FOPID شامل تعیین سه شاخص kP، kI و kD و دو مرتبه و که لزوما عدد صحیحی نیستند، می‌باشد. با این کنترل‌کننده می‌توان به انعطاف‌پذیری بیشتری در دستیابی به اهداف کنترلی دست یافت. روش‌های طراحی متفاوتی برای این نوع کنترل‌کننده معرفی شده است از جمله: توزیع قطب [11]، استراتژی حوزه فرکانس [12]، طراحی فضای حالت [13] و دو طبقه یا استراتژی ترکیبی [14] که از روش طراحی کنترل‌کننده (مرتبه صحیح) سنتی استفاده کرده و سپس، کارایی سیستم کنترل طراحی شده با اضافه شدن کنترل‌کننده کسری مناسب بهبود می‌یابد. در این مطالعه برای یافتن شاخصهای کنترل‌کننده FOPID از الگوریتم رقابت استعماری که از الگوریتم‌های کارآمد می‌باشد، استفاده شده است.
روش‌های تقریب‌سازی مختلفی برای دستیابی به مدل‌های گسسته یا پیوسته مدل‌های مرتبه کسری وجود دارد. یکی از این روش‌ها، روش Crone است. این تقریب به شکل زیر است [15]:
|
(3) |
این تقریب در بازه فرکانسی معتبر است. فرکانس قطب‌ها و صفرها به شکل زیر هستند:
در این مقاله از روش Crone برای پیاده‌سازی FOPID استفاده شده است.
3- الگوریتم رقابت استعماری
امروزه الگوریتم رقابت استعماری به علت سرعت و دقت بالای آن در دستیابی به پاسخ‌های مسئله، محبوبیت زیادی یافته است [18-16]. همانند دیگر الگوریتم‌های تکاملی، این الگوریتم نیز با تعدادی جمعیت اولیه تصادفی که هر کدام از آنها یک «کشور» نامیده می‌شوند، شروع می‌شود. تعدادی از بهترین عناصر جمعیت به عنوان امپریالیست انتخاب شده و باقیمانده جمعیت نیز به عنوان مستعمره، در نظر گرفته می‌شوند. امپریالیست‌ها بسته به قدرتشان، این مستعمرات را با یک روند خاص که در ادامه می‌آید، به سمت خود می‌کشند. مراحل الگوریتم رقابت استعماری به شکل زیر است [19]:
3-1- شکل‌دهی امپراطوری‌های اولیه
در بهینه‌سازی، هدف یافتن یک جواب بهینه بر حسب متغیرهای مسئله است. بدین منظور یک آرایه از متغیرهای مسئله که باید بهینه شوند، ایجاد می‌شوند. در اینجا این آرایه یک کشور نامیده می‌شود. در یک مسئله بهینه‌سازی Nvar بعدی، یک کشور، یک آرایه به طول Nvar*1 است. این آرایه به شکل زیر تعریف می‌شود.
country = [p1, p2, ..., pNvar]
مقادیر متغیر‌ها در یک کشور، به صورت اعداد اعشاری نمایش داده می‌شوند. از دیدگاه تاریخی- فرهنگی، اجزای تشکیل دهنده یک کشور را می‌توان ویژگی‌های اجتماعی- سیاسی آن کشور، همچون فرهنگ، زبان، ساختار اقتصادی و سایر ویژگی‌ها در نظر گرفت.
برای شروع الگوریتم، تعداد Ncountry کشور اولیه ایجاد می‌شوند تا Nimp از بهترین اعضای این جمعیت (کشورهای دارای کمترین مقدار تابع هزینه) به عنوان امپریالیست انتخاب شوند. باقیمانده Ncol تا از کشورها، مستعمراتی را تشکیل می‌دهند که هر کدام به یک امپراطوری تعلق دارند.
3-2- سیاست جذب
در راستای این سیاست، کشور مستعمره، به اندازه x واحد در جهت خط واصل مستعمره به استعمارگر، حرکت کرده و به موقعیت جدید، کشانده می‌شود. x عددی تصادفی با توزیع یکنواخت (و یا هر توزیع مناسب دیگر) است. اگر فاصله میان استعمارگر و مستعمره با d نشان داده شود، معمولاً برای d داریم:
x ~ U(0,ß*d)
که در آن ß عددی بزرگتر از یک و نزدیک به مقدار ۲ است.
3-3- انقلاب؛ تغییرات ناگهانی در موقعیت یک کشور
انقلاب از دیدگاه الگوریتمی باعث می‌شود کلیت حرکت تکاملی از گیر کردن در دره‌های محلی بهینگی نجات یابد که در برخی موارد باعث بهبود موقعیت یک کشور شده و آن را به یک محدوده بهینگی بهتری می‌برد.
3-4- جابجایی موقعیت مستعمره و امپریالیست
در حین حرکت مستعمرات به سمت کشور استعمارگر، ممکن است برخی از این مستعمرات به موقعیتی بهتر از امپریالیست برسند (به نقاطی در تابع هزینه برسند که هزینه کمتری را نسبت به مقدار تابع هزینه در موقعیت امپریالیست، تولید می‌کنند.) در این حالت، کشور استعمارگر و کشور مستعمره، جای خود را با همدیگر عوض کرده و الگوریتم با کشور استعمارگر در موقعیت جدید ادامه یافته و این بار این کشور امپریالیست جدید است که شروع به اعمال سیاست همگون‌سازی بر مستعمرات خود می‌کند.
|
شکل (1): فلوچارت الگوریتم رقابت استعماری [17] |
3-5- رقابت استعماری
قدرت یک امپراطوری به شکل قدرت کشور استعمارگر، به اضافه درصدی از قدرت کل مستعمرات آن تعریف می‌شود. هر امپراطوری که نتواند بر قدرت خود بیفزاید و یا قدرت رقابت خود را از دست بدهد، در جریان رقابت‌های امپریالیستی، حذف خواهد شد.
3-6- سقوط امپراطوری‌های ضعیف
در جریان رقابت‌های امپریالیستی، خواه ناخواه، امپراطوری‌های ضعیف به تدریج سقوط کرده و مستعمراتشان به دست امپراطوری‌های قوی‌تر می‌افتد.
روند کامل الگوریتم رقابت استعماری مطابق فلوچارت نشان داده شده در شکل (1) است. شاخصهای الگوریتم در ضمیمه آورده شده‌اند.
سیستم مبدل بوست مورد مطالعه در شکل (2) آورده شده است. این سیستم ولتاژ ورودی 5 ولت را به ولتاژ 10 ولت خروجی تبدیل می‌کند. فرکانس سوئیچ‌زنی، مقادیر عناصر سیستم و شاخصهای الگوریتم رقابت استعماری در ضمیمه آورده شده‌اند.
|
شکل (2): سیستم مبدل بوست مورد مطالعه |
از آنجا که یک پاسخ راه‌اندازی خوب باید دارای فراجهش و زمان نشست کم باشد، برای دستیابی به این دو منظور تابع هدف به شکل زیر انتخاب شده است:
|
(4) |
که در آن
|
(5) |
بوده و y ولتاژ خروجی سیستم می‌باشد. در این مطالعه T=0.04 در نظر گرفته شده است و در نتیجه نتایج شبیه‌سازی حداکثر تا 04/0 ثانیه نمایش داده شده‌اند. شایان ذکر است که در این مطالعه، زمان نشست، لحظه‌ای در نظر گرفته شده است که در آن شرط زیر صادق باشد:
5- نتایج شبیه‌سازی
در جدول (1) خلاصه‌ای از نتایج بدست آمده از بهینه‌سازی کنترل‌کننده FOPID توسط دو الگوریتم رقایت استعماری و ژنتیک به ازای پهنای باندهای مختلف کنترل‌کننده آورده شده است. همانطور که مشاهده می‌شود فراجهش ولتاژ خروجی سیستم به ازای پهنای باند 01/0 تا 100 رادیان بر ثانیه کنترل‌کننده، زیاد است، و این مقدار با افزایش پهنای باند، کاهش می‌یابد. در کنار این کاهش، زمان نشست نیز با افزایش پهنای باند کنترل‌کننده کاهش پیدا می‌کند. نکته قابل توجه در این جدول این است که در بیشتر نتایج حاصل از الگوریتم رقابت استعماری درجه ترم مشتقی FOPID، 1 شده است. این مطلب به این معناست که هنگامی که ترم مشتقی کنترل‌کننده عددی صحیح است، بهتر می‌تواند تابع هدف را بهینه کند. از آنجا که در سیستم تحت مطالعه، ترم مشتقی تاثیر به سزایی در کاهش فراجهش دارد می‌توان به این نتیجه رسید که دو کنترل‌کننده FOPID و PID نتایج حدودا یکسانی را در کاهش تابع هدف و در نتیجه میزان فراجهش خواهند داشت.
همانطور که در جدول (1) مشاهده می‌شود به ازای همه پهنای باندهای مختلف، الگوریتم رقابت استعماری بهتر از الگوریتم ژنتیک FOPID را بهینه می‌کند. تنها به ازای پهنای باند 01/0 تا 100 رادیان، دو الگوریتم نتایج یکسانی را بدست می‌دهند. علت این امر این است که پهنای باند سیستم تاثیر زیادی بر روی ترم مشتقی دارد و در حالتی که پهنای باند سیستم بین 01/0 تا 100 رادیان بر ثانیه است، مدت زمان لازم برای مشتقگیری بیشتر خواهد بود و بنابراین، فضای بهینه‌سازی ساده شده و در نتیجه پاسخ حاصل از دو الگوریتم نزدیک به یکدیگر خواهد شد. شکل‌های (3) تا (7) ولتاژ خروجی سیستم را به ازای پهنای باندهای مختلف نشان می‌دهند.
برای انجام مقایسه‌ای بین کنترل‌کننده PID مرتبه کسری و کنترل‌کننده‌های PID و PI سنتی، شبیه‌سازی به ازای پهنای باند 01/0 تا 100000 رادیان بر ثانیه انجام شده است. شایان ذکر است که دو کنترل‌کننده PID و PI نیز با ICA بهینه شده‌اند. همانطور که پیش از این نیز بیان شد، در این مقاله سیستم تحت مطالعه به گونه‌ای است که بهترین پاسخ به ازای درجه صحیح ترم مشتقی حاصل می‌شود و نیز از آنجا که ترم مشتقی تاثیر به سزایی در کاهش فراجهش دارد می‌توان انتظار داشت که FOPID و PID پاسخ کمابیش یکسانی را به دست دهند. این مطلب به خوبی در جدول (2) دیده می‌شود. با این وجود درجه کسری ترم انتگرالی FOPID سبب شده تا عملکرد آن نسبت به PID کمی بهتر شود. همانطور که در شکل (8) مشاهده می‌شود میزان فراجهش ولتاژ خروجی حاصل از کنترل‌کننده PI نسبت به PID و FOPID بسیار زیاد است که این امر با توجه به مطالب بیان شده، مورد انتظار است.
|
شکل (3): ولتاژ خروجی سیستم به ازای پهنای باند 01/0 تا 106 رادیان بر ثانیه |
|
شکل (4): ولتاژ خروجی سیستم به ازای پهنای باند 01/0 تا 105 رادیان بر ثانیه |
|
شکل (5): ولتاژ خروجی سیستم به ازای پهنای باند 01/0 تا 104 رادیان بر ثانیه |
|
شکل (6): ولتاژ خروجی سیستم به ازای پهنای باند 01/0 تا 103 رادیان بر ثانیه |
|
شکل (7): ولتاژ خروجی سیستم به ازای پهنای باند 01/0 تا 100 رادیان بر ثانیه |
|
شکل (8): ولتاژ خروجی سیستم بدست آمده از سه کنترل‌کننده FOPID، PID و PI
|
برای بررسی میزان مقاوم بودن کنترل‌کننده طراحی شده نسبت به تغییرات اندازه عناصر سیستم، دو حالت زیر در موردی که پهنای باند سیستم بین 01/0 تا 1000000 رادیان بر ثانیه است، در نظر گرفته شده‌اند:
1- کاهش اندازه سلف و خازن به اندازه 3%
2- افزایش اندازه سلف و خازن به اندازه 10%
نتایج دو حالت یاد شده در شکل (9) آورده شده‌اند. همانطور که مشاهده می‌شود کنترل‌کننده پیشنهادی نسبت به تغییرات انجام شده در اندازه عناصر مقاوم است.
6- نتیجه‌گیری
در این مقاله، روش جدیدی برای کنترل مبدل بوست ارایه شد. در این روش از PID مرتبه کسری بهینه شده با الگوریتم رقابت استعماری برای کاهش فراجهش و زمان نشست در پاسخ راه‌اندازی مبدل بوست بهره گرفته شد. شبیه‌سازی‌ها به ازای پهنای باندهای متفاوت با دو الگوریتم رقابت استعماری و ژنتیک انجام شده و نتایج آنها با یکدیگر مقایسه شد و این نتیجه بدست آمد که الگوریتم رقابت استعماری بهتر از الگوریتم ژنتیک می‌تواند کنترل‌کننده PID مرتبه کسری را بهینه سازد. همچنین این نتیجه حاصل شد که برای رسیدن به پاسخ مطلوب، پهنای باند کنترل‌کننده باید بیش از 10000 رادیان بر ثانیه باشد.
علاوه بر این، برای کنترل مبدل بوست بهترین جواب در حالتی به دست می‌آید که درجه ترم مشتقی کنترل‌کننده FOPID برابر 1 باشد، که این به این معناست که دو کنترل‌کننده FOPID و PID جواب تقریبا یکسانی را برای سیستم تحت مطالعه بدست می‌دهند. با این وجود FOPID به علت داشتن درجه کسری برای ترم انتگرالی توانست تابع هدف را نسبت به PID و البته PI بهتر بهینه کند.
همچنین، برای بررسی میزان مقاوم بودن کنترل‌کننده پیشنهادی، شبیه‌سازی به ازای دو حالت افزایش و کاهش در اندازه عناصر مبدل انجام شدند. نتایج حاصل از این شبیه‌سازی نشان دادند که کنترل‌کننده پیشنهادی نسبت به تغییرات یاد شده تا حد بسیار زیادی مقاوم است.
جدول (1) : نتایج بدست آمده از دو الگوریتم رقابت استعماری و ژنتیک
|
Band Width |
Algorithm |
Kp |
Kd |
Ki |
δ |
λ |
Overshoot |
Settling Time |
Fitness Value |
|
0.01-106 |
ICA |
-1.4328 |
0.0089 |
1.0096 |
0.9555 |
0.0012 |
0.06% |
0 |
9.33 |
|
GA |
-0.2433 |
0.0121 |
0.3753 |
0.9343 |
0.2257 |
1.05% |
0 |
13.51 |
|
|
0.01-105 |
ICA |
-0.7237 |
0.0139 |
27.5439 |
1 |
0.8857 |
1.6% |
0 |
10.89 |
|
GA |
-1.1111 |
0.0492 |
1.3993 |
0.8872 |
0.4130 |
-1.7% |
0 |
13.66 |
|
|
0.01-104 |
ICA |
-0.3371 |
0.0081 |
23.4227 |
1 |
0.3703 |
17.5% |
0.01 |
51.97 |
|
GA |
0.9074 |
0.0093 |
2.1769 |
0.9903 |
0.1630 |
19.7% |
0.01 |
56.78 |
|
|
0.01-103 |
ICA |
0.6927 |
0.0029 |
0.3196 |
1 |
0.6410 |
81.5% |
0.03 |
675.40 |
|
GA |
0.3695 |
0.3800 |
0.2356 |
0.0160 |
0.8876 |
96% |
0.03 |
941.44 |
|
|
0.01-102 |
ICA |
0.8145 |
-0.0623 |
-0.0414 |
0.0979 |
0.4186 |
96% |
0.03 |
939.29 |
|
GA |
0.6107 |
0.0510 |
0.0933 |
0.0350 |
0.7258 |
96% |
0.03 |
939.29 |
جدول (2): نتایج از حاصل از سه کنترل‌کننده
|
Band Width |
Controller |
Kp |
Kd |
Ki |
δ |
λ |
Overshoot |
Settling Time |
Fitness Value |
|
0.01-105 |
FOPID |
-0.7237 |
0.0139 |
27.5439 |
1 |
0.8857 |
1.6% |
0 |
10.89 |
|
PID |
-1.9948 |
0.0139 |
22.0397 |
- |
- |
1.7% |
0 |
11.66 |
|
|
PI |
0.4697 |
- |
0.0901 |
- |
- |
96% |
0.26 |
939.29 |
ضمیمه
جدول (3): شاخصهای سیستم
|
مقدار |
شاخص |
|
250 μH |
L |
|
1056 μF |
C |
|
25 Ω |
R |
|
10 kHz |
Switching frequency |
جدول (4): شاخصهای ICA
|
مقدار |
شاخص |
|
150 |
nPop |
|
20 |
MaxDecades |
|
2 |
beta |
|
0.1 |
pRevolution |
|
0.1 |
zeta |
|
5 |
nImp |
جهت پیاده‌سازی PID از ثابت زمانی مشتق 00001/0 ثانیه و زمان نمونه‌گیری 000005/0 ثانیه استفاده شده است.
)