در صنعت امروزی دقت خوب و قابل قبول سیستم، انتقال سریع اطلاعات، پایداری و در نهایت، عملکرد مناسب سیستم، از جمله مزیت هایی است که به دنبال آن هستیم. از طرفی، هزینه های نصب و نگهداری بالا و حجم زیاد سیم کشی در سیستم های امروزی(که خود سرچشمه بسیاری از مشکلات است)  از یک سو، و از سویی دیگر پیشرفت چشمگیر دنیای دیجیتال، حضور گسترده شبکه‌هایی نظیر: اینترنت،اینترانت و…، نیاز به سیستم های کنترل تحت شبکه را در دنیای امروزی دو چندان می کند. سیستم‌های کنترل تحت شبکه، سیستم هایی بوده که اجزای آن با فاصله از هم توزیع شده، و ارتباط بین سنسورها، محرک‌ها و کنترل کننده ها از طریق یک شبکه ارتباطی صورت می‌گیرد (شکل 1)[1].

این شبکه ارتباطی، می تواند به صورت شبکه ارتباطی سیمی(که امروزه اکثر بدین صورت است) و یا شبکه ارتباطی دیجیتال(که شامل انواع سیستم های بی سیم است) باشد. سیستم های کنترل، در مقیاس های بزرگ و کوچک شامل سنسورها، محرک ها و متغیرهای فرایند داخلی هستند. برای اتصال اجزای مختلف این سیستم‌ها، به طور سنتی از کابل سیمی استفاده می شود. البته، این وسایل همان­گونه که گفته شد، مشکلات مخصوص به خود را دارند(مخصوصا در مناطقی که دسترسی اولیه به آن مشکل است و یا مناطق خطرناک). از طرفی هم، گران قیمت (بنا به موادی که از آن ساخته شده اند)و جاگیر (به خاطر نیاز به و ایجاد کننده خطا (به خاطر استهلاک یا قطع سیم‌ها) هستند. همچنین، هزینه های نصب و نگهداری این سیستم ها هم کم نیست.  به همین خاطر است که طی چند دهه اخیر، شبکه های ارزان قیمت و قابل اطمینان دیجیتال(که یکی از انواع آن بی سیم است) به عنوان روش عملی در کاهش این مشکلات، در سیستم های اتوماسیون به کار گرفته شده‌اند]1[.

شکل(1):شماره کلی سیستم کنترل تحت شبکه[1]

در سمت دیگر، این گونه شبکه ها به واسطه انعطافی که از خود نشان می دهند، در محدوده وسیعی از کاربردها نظیر: شبکه های حسگر موبایل [2]، جراحی از راه دور[3]، همکاری از راه حواس از طریق اینترنت، و ... استفاده می‌شوند که در ادامه به کاربردهای دیگر آن نیز اشاره خواهیم کرد. به واسطه‌ چنین مزایایی، بسیاری از کمپانی‌های صنعتی نسبت به در اختیار گرفتن شبکه‌ها علاقه زیادی نشان داده‌اند. به همین خاطر، پروتکل‌های شبکه ا‌ی جدیدی معرفی شده اند که در این میان، می‌توان به CANاشاره کرد که در سال 1983 توسط کمپانی بوش آلمان در صنعت ماشین به کار گرفته شد و امروزه هم در بسیاری از صنایع کاربرد دارد. از دیگر مثال‌های شبکه‌های صنعتی می‌توان به Profibus اشاره کرد. Profibus پروتکلی است که تحت سیستم چند master/slave کار می‌کند. در همین برهه از زمان، دیگر پروتکل‌ها نظیر: Foundation FieldbusوDeviceNet هم توسعه یافتند که اکثر این پروتکل‌ها قابلیت اطمینان و مقاومت زیادی برای اهداف کنترلی real-time دارند [4،5]. در همین هنگام، تکنولوژی در میان شبکه‌های کامپیوتری، نظیر Ethernet به سرعت پیشرفت کرد. با کاهش قیمت، افزایش سرعت و کاربرد وسیع، این شبکه‌ها، رقبای جدی برای شبکه‌های صنعتی (در زمینه‌های کنترلی) به حساب آمدند. با معرفی اینترنت، این شبکه‌ها شهرت بیشتری یافتند. در نتیجه، کاربردهای کنترلی توانست NCS را برای اتصال به اینترنت، برای اجرای عملیات کنترلی حتی در فواصل دور به کار بَرد[6،7].

با چشم‌پوشی از نوع شبکه‌‌ به کار گرفته شده، عملکرد NCS همواره تحت تأثیر تأخیرهای شبکه است. همواره تأخیر را به عنوان عاملی مضر در کاهش عملکرد سیستم می‌شناسیم. تأخیر معمولاً در سیستم حلقه باز تأثیر چندانی ندارد، اما از طرفی همان طور که می‌دانیم، سیستم حلقه باز چندان در کاربردهای کنترلی سودمند نیست؛ مثلاً در سیستم‌هایی نظیر روبات و جراحی از راه دور، نیازمند سیستم فیدبک‌دار هستیم تا بتوانیم خروجی را به راحتی اصلاح کنیم[8،9]. همان­گونه که پیشتر هم اشاره شد، چند دهه ای ­است که تکنولوژی شبکه داده به طور گسترده در سیستم‌های کنترل صنعتی به کار گرفته شده است. اتصال اجزای یک سیستم کنترلی (سنسور، کنترل کننده و محرک) از طریق یک شبکه، می‌تواند به طور چشمگیری از پیچیدگی‌های سیستم کاسته، صرفه اقتصادی را به همراه داشته باشد. علاوه بر مزایایی، نظیر: نصب آسان، کاهش پیچیدگی سیستم و دیگر مزایایی که بدان اشاره شد، اتصال فضای مجازی به فضای فیزیکی، دیگر مزیتی است که امکان دسترسی آسان و کنترل از راه دور را ایجاد می کند. این­گونه سیستم‌ها امروزه بیش از پیش به واقعیت نزدیک شده و پتانسیل های کاربردی زیادی از خود نشان داده اند، که در این میان می توان به کاوش های فضایی، کاوش های زمینی، خودکارسازی کارخانه، پیدا کردن خطا و عیب یابی از راه دور، ربات های خانگی، اتوموبیل ها و موشک های پیشرفته، نظارت بر کارخانجات تولیدی به صورت خودکار، مراقبت های خودکار در بیمارستان ها، Tele-robotic، کنترل از راه دور و جراحی از راه دور [3]، به عنوان مثال­هایی از کاربردهای آن نام برد.

در حالت کلی، دو نوع ساختار از سیستم های کنترل تحت شبکه وجود دارد که عبارتند از:

در ساختار مستقیم NCS از یک کنترل کننده و یک سیستم از راه دور شامل پلنت، سنسور و محرّک تشکیل شده است. کنترل کننده و پلنت در کل با فاصله از یکدیگر قرار گرفته‌اند و از طریق یک شبکه‌ داده با یکدیگر در ارتباط هستندشکل(2). سیگنال کنترلی در قالب بسته های اطلاعاتی در طول شبکه انتقال می‌یابد. سپس پلنت، خروجی سیستم را از طریق اندازه‌گیری‌هایی که توسط سنسورها انجام گرفته، در قالب بسته های اطلاعاتی به کنترل کننده می‌فرستد .برخی از مثال‌های ساختار مستقیم، آموزش از راه دور و کنترل سرعت موتور DCاست، چراکه در این­گونه سیستم ها کنترل کننده در یک سمت، و سیستم ما در سمتی دیگر جدای از هم از طریق شبکه با یکدیگر در ارتباط هستند.

شکل(2): ساختار مستقیم[10]

ساختار سلسله مراتبی از یک کنترل کننده اصلی و یک سیستم حلقه بسته از راه دور تشکیل شده است. شکل(3) به طور متناوب، کنترل کننده اصلی سیگنال مرجع را محاسبه کرده، در قالب بسته هایی از طریق شبکه به سیستم از راه دور می‌فرستد. سپس این سیستم از راه دور روی سیگنال مرجع فرآیندهایی را به منظور کنترل حلقه بسته محلی و فرستادن مقادیر اندازه‌گیری شده توسط سنسور به کنترلر اصلی برای کنترل حلقه بسته‌ شبکه، انجام می‌دهد. کنترل حلقه‌ شبکه معمولاً دوره‌ نمونه برداری طولانی‌تری نسبت به کنترل حلقه‌ محلّی دارد. کاربرد گسترده این ساختار در Tele-operationو mobilerobot [1] است. شایان ذکر است که به کارگیری ساختار مستقیم، یا سلسله مراتبی بسته به نوع کاربرد و نیاز طراح متفاوت است.

شکل(3): ساختار سلسله مراتبی[10]

علاوه بر مزایای ذکر شده در مورد سیستم‌های کنترل تحت شبکه، از سویی دیگر قرار دادن شبکه ارتباطی در داخل حلقه کنترلی طراحی و آنالیز سیستم را دشوار می‌سازد. از جمله این دشواری ها می توان تحلیل و طراحی در حضور تاخیر و از دست رفتن بسته‌های اطلاعاتی، نمونه برداری این نوع از داده ها و ...را نام برد. به همین دلیل است که امروزه این شاخه از کنترل یکی از زمینه های تحقیقاتی مهندسان کنترلی به شمار می آید. در یک سیستم NCS علاوه بر مبحث تاخیر، از دست رفتن بسته‌های اطلاعاتی یکی از مهمترین چالش های این نوع از شبکه‌هاست.

در رویارویی با چالش از دست رفتن بسته های اطلاعاتی، مسیر از دست رفتن بسته ها، نحوه رفتار اجزای سیستم کنترلی از قبیل سنسور و کنترل کننده و عملگر، نحوه انتقال داده ها به صورت تک پاکتی و چند پاکتی و حضور یا عدم حضور نویز، در نحوه رویارویی با این پدیده در سیستم‌های کنترل تحت شبکه تاثیرگذار خواهد بود. به همین دلیل است که روش های مقابله با چالش از دست رفتن بسته های اطلاعاتی در مقالات با یکدیگر تفاوت داشته و هریک به طریقی با این چالش مواجه شده‌اند. از سویی دیگر، نحوه مدل کردن بسته‌های اطلاعاتی نیز باعث همین تفاوت در تحلیل­ها شده است. پدیده از دست رفتن بسته های اطلاعاتی در سیستم کنترل تحت شبکه پدیده­ای تصادفی و محدود است. تعداد بسته های از دست رفته داخل یک سیستم هیچ­گاه از مقداری معین تجاوز نکرده و بهترین روش مدل کردن آن، روش حلقه مارکف است، چرا که حلقه‌ مارکف به خوبی بیانگر رفتار از دست رفتن بسته‌های اطلاعاتی در سیستم است. سیستم کنترل تحت شبکه با لحاظ از دست رفتن بسته های اطلاعاتی با سیستم‌های دینامیکی غیرهمگام نیز مدل شده اند[11]. در [12] سیستم کنترل تحت شبکه با لحاظ از دست رفتن بسته‌های اطلاعاتی محدود، از طریق سیستم سوئیچینگ مدل شده است و روشی بازگشتی در مدل­سازی این سیستم ها با سیستم سوئیچینگ در [13] ارائه شده است، اما مشکل این مقاله در نظر گرفتن پدیده از دست رفتن بسته ها در مسیر سنسور/ کنترل کننده است و از وقوع این پدیده در مسیر کنترل کننده/ عملگر صرف نظر شده است.در [14] پدیده‌ از دست رفتن بسته های اطلاعاتی با حلقه‌ مارکف مدل شده و تخمین­گر خطی پرشی به منظور بهبود سیستم ارائه شده است. اگرچه بنا بر تصادفی بودن پدیده‌ از دست رفتن بسته های اطلاعاتی اکثر مقالات به روز دنیا توجه خود را به مدل­سازی سیستم های کنترل تحت شبکه با فرآیند حلقه مارکف معطوف کرده اند، اما در اکثر این مقالات ماتریس انتقال فرآیند حلقه مارکف کاملا از قبل دانسته شده فرض شده است. به همین دلیل، در سال های اخیر روش هایی به منظور تخمین نامعینی ها ی ماتریس انتقال ارائه شده است. در ]15،16 [به خوبی با چالش تاخیر مواجه شده و به تحلیل پایداری و طراحی کنترل کننده حتی در حالت مقاوم پرداخته اند. با توجه به این موضوع، یکی از روش های مقابله با چالش از دست رفتن بسته‌های اطلاعاتی در سیستم های کنترل تحت شبکه، مدل­سازی پدیده از دست رفتن بسته های اطلاعاتی به شکل تاخیر و استفاده از نتایج به دست آمده در مقالات تحلیل پایداری سیستم های خطی پرشی مدل شده با حلقه مارکف به همراه تاخیر است. در ]17[ پدیده از دست رفتن بسته ها، به صورت تاخیر مدل شده و سیستم به یک سیستم خطی پرشی مدل شده با حلقه مارکف تبدیل شده است. در ادامه و با توجه به نتایج سیستم های مارکف، تحلیل پایداری و طراحی کنترل کننده انجام گرفته است. در این مقاله روش مدل­سازی پدیده از دست رفتن بسته های اطلاعاتی به وسیله پدیده تاخیر و استفاده از نتایج حاصل از سیستم های خطی پرشی مدل شده با حلقه مارکف در پایدارسازی سیستم های کنترل تحت شبکه مطالعه شده است. به عبارت دیگر، نشان داده شده است که در سیستم های کنترل تحت شبکه، مدل­سازی پدیده از دست رفتن بسته های اطلاعاتی با پدیده تاخیر سیستم را به یک سیستم خطی پرشی مدل شده با حلقه مارکف در حضور تاخیر، تبدیل می کند. سپس به منظور ارزیابی روش مورد مطالعه قرار گرفته یک آونگ برگشتی که در ]18[ در حضور پدیده تاخیر و تحت شبکه کنترل شده است، این بار در حضور پدیده از دست رفتن بسته‌های اطلاعاتی و از طریق روش مورد مطالعه قرار گرفته پایدار شده است، تا نشان داده شود که می توان پدیده از دست رفتن بسته های اطلاعاتی را با تاخیر مدل نمود و از نتایج حاکم بر MJLS ها استفاده کرد.

1- مدل‌سازی و تحلیل پایداری سیستم کنترل تحت شبکه با لحاظ از دست رفتن بسته‌های اطلاعاتی در حالت انتقال تک پاکتی با حضور ماتریس انتقال معلوم

در ادامه، به تحلیل سیستم های کنترل شبکه در حضور پدیده از دست رفتن بسته های اطلاعاتی، پرداخته خواهد شد. در روشی که بررسی شده است، ابتدا مدلی برای از دست رفتن بسته های اطلاعاتی تعریف می گردد. سپس صورت مساله به صورتی بیان می گردد که سیستم کنترل تحت شبکه در حضور پدیده از دست رفتن بسته‌های اطلاعاتی یک سیستم خطی پرشی مدل شده با حلقه مارکف در نظر گرفته شده و پدیده از دست رفتن بسته های اطلاعاتی به تأخیر در مسیرهای سنسور/کنترل کننده و کنترل کننده/عملگر تبدیل می شود.

1-1-   بیان صورت مساله]17[

شمایی از سیستم کنترل تحت شبکه با لحاظ از دست رفتن بسته‌های اطلاعاتی در شکل (1) مشاهده می‌شود. در این شکل سنسور، کنترل کننده و عملگر به صورت clock-driven عمل می‌کنند. پلنتی که در اینجا در نظر می‌گیریم خطی و نا متغیر با زمان بوده، چنین تعریف می شود:

در این سیستم حالت سیستم و بردار ورودی است، و و ماتریس‌های معلوم با ابعاد مناسب هستند. در این سیستم فرض بر این است که بافرها قابلیت دریافت تمام بسته های اطلاعاتی را داشته و آنها را به صورت منظم، از اولین بسته تا آخرین بسته دریافت شده می چینند. برای مثال، اگر بسته اطلاعاتی که از سنسور فرستاده شده است از بین برود، تازه ترین بسته رسیده قبل از ؛ یعنی از بافر استخراج شده به عنوان برای محاسبه سیگنال کنترلی به کار گرفته می شود؛ در غیر این صورت همان سیگنال به عنوان به کار گرفته می شود. پس برای بافر داریم:

شکل(4): سیستم کنترل تحت شبکه با لحاظ از دست رفتن بسته های اطلاعاتی و فیدبک حالت]17[

از طرفی، بنا به محدودیت های پهنای باند و سایز بسته‌های اطلاعاتی از طرف شبکه، انتقال به دو صورت تک پاکتی و چند پاکتی انجام می پذیرد. حضور بافر در سیستم روند طراحی و مدل­سازی را تغییر خواهد داد که این روند در ادامه مشاهده خواهد شد. در ادامه مدل­سازی و تحلیل پایداری برای حالت انتقال تک پاکتی بیان می گردد. قبل از پرداختن به این مساله به موارد استفاده از انتقال تک پاکتی و چند پاکتی می پردازیم. شبکه های متفاوتی برای استفاده از هریک از این حالات مناسب هستند؛ برای مثال، شبکه Ethernet قابلیت نگهداری حداکثر 1500 بایت را در یک بسته اطلاعاتی داراست]17[ و انتقال داده به صورت تک پاکتی برای این نوع شبکه بسیار مناسب خواهد بود. شبکه Devicenet قابلیت نگهداری حداکثر 8 بایت اطلاعات را در قالب یک بستهی اطلاعاتی داشته]17[ و به همین دلیل نمی توان راهکار انتقال تک پاکتی را در این شبکه به کار گرفت و داده ها باید به صورت چندپاکتی در طول شبکه انتقال پیدا کنند. اینجاست که تحلیل سیستم کنترل تحت شبکه با لحاظ از دست رفتن داده ها در دو صورت تک پاکتی و چند پاکتی اهمیت می‌یابد.در این مقاله بنابر محدودیت‌های موجود تنها تحلیل در حالت تک پاکتی صورت گرفته است.  

1-2-       مدل‌سازی سیستم کنترل تحت شبکه با لحاظ از دست رفتن بسته‌های اطلاعاتی در حالت انتقال تک پاکتی]17[

به منظور مدل‌سازی سیستم کنترل تحت شبکه با لحاظ از دست رفتن بسته های اطلاعاتی در حالت انتقال تک پاکتی، از دست رفتن بسته‌های اطلاعاتی در هر دو مسیر سنسور به کنترل کننده و کنترل کننده به عملگر در نظر گرفته شده است. بیانگر تعداد بسته‌های از دست رفته در مسیر کنترل کننده به عملگر از زمان آخرین انتقال موفق (زمان ) تا زمان  بوده و بیانگر تعداد بسته‌های از دست رفته در مسیر سنسور به کنترل کننده از زمان آخرین انتقال موفق(در زمان) تا زمان  است. تعداد بسته‌های از دست رفته نیز بنا بر ماهیت مساله محدود در نظر گرفته شده‌اند.

از طرفی، به خاطر ماهیت تصادفی بودن پدیده از دست رفتن بسته‌ها، و به صورت حلقه مارکف مدل شده‌اند که به ترتیب مقادیری در محدوده به خود می‌گیرند. احتمال انتقال  (احتمال پرش از مد به ) توسط و احتمال انتقال  (احتمال پرش از مد به ) توسطنمایش داده شده و بدین صورت تعریف می‌گردد.

طبق خواص احتمال واضح است که:

در ادامه قانون کنترلی این‌گونه به دست خواهد آمد:

کهکنترل کننده ای است که بر اساس از دست رفتن بسته‌ها در مسیر سنسور به کنترل کننده طراحی می‌شود. پس سیستم حلقه بسته بدین صورت خواهد بود:

در این روش به منظور ساده‌سازی، تابعی با نام بدین صورت تعریف شده است.]7[1

که

مزیت این روش مدل‌سازی حلقه بسته، ساده بودن مدل است، چراکه اگر مقدارباشد، سیگنال کنترلی بدون توجه به تعداد بسته های اطلاعاتی از دست رفته در مسیر کنترل کننده- عملگر مقدار قبلی را به خود خواهد گرفت و در واقع نیازی به تعریف متغیردر بردار حالت، برای طراحی کنترل کننده نخواهد بود. به بیانی دیگر مدل‌سازی حلقه بسته تنها وابسته به این موضوع خواهد بود که آیا از دست رفتن بسته های اطلاعاتی رخ داده است یا خیر. در ادامه مقاله و به منظور رسیدن به فرم سیستم حلقه بسته، بردار تعریف شده است و برای سیستم کنترل تحت شبکه با لحاظ از دست رفتن بسته‌های اطلاعاتی در حالت انتقال تک پاکتی، سیستم حلقه بسته بدین شکل در آمده است.]17[

سیستم حلقه بسته به دست آمده یک سیستم خطی پرشی با دو مُد است و تاخیررا نیز در خود دارد. مقادیر انتقال این دو مُد توسط حلقه مارکف مدل شده است و به همین دلیل برای تحلیل آن از نتایج MJLS به همراه تاخیر استفاده خواهد شد. ایده اصلی این روش مدل­سازی سیستم کنترل تحت شبکه به گونه‌ای است که بتوان نتایج حاصل از سیستم های خطی پرشی مدل شده با حلقه مارکف را برای این دسته از سیستم های کنترلی پیاده سازی نمود؛ چرا که با توجه به تحقیقات وسیع انجام گرفته بر روی سیستم‌های خطی پرشی، استفاده از نتایج آن برای دیگر سیستم ها علاوه بر کاهش حجم محاسبات، اطمینان از صحت نتایج را به همراه دارد. از طرفی، استقلال سیستم حلقه بسته از تعداد بسته های از دست رفته و وابستگی آن به حضور یا عدم حضور بسته‌ها از دیگر مزایای این روش است.

1-3-   تحلیل پایداری و طراحی کنترل کننده برای سیستم کنترل تحت شبکه با لحاظ از دست رفتن بسته‌های اطلاعاتی در حالت انتقال تک پاکتی

در ادامه و به منظور تحلیل پایداری و طراحی کنترل کننده برای سیستم‌های کنترل تحت شبکه با لحاظ از دست رفتن بسته های اطلاعاتی، با توجه به مباحث فوق و با استفاده از نتایج سیستم‌های خطی پرشی مدل شده با حلقه مارکُف تئوری زیر ارائه شده است.

تئوری]17[

سیستم تعریف شده در (8) به صورت تصادفی پایدار است اگر ماتریس های،ووجود داشته باشند؛ به گونه­ای که LMI زیر برای تمامو برقرار باشد. 

در بالا  نمایانگر تقارن بوده، به منظور سهولت در بیان، برایتساوی‌های زیر تعریف می‌شود:

در LMI فوق: 

قانون کنترلی نیز از روش زیر به دست می آید:

2- شبیه سازی سیستم آونگ برگشتی

در این بخش با توجه به بخش قبلی سعی در شبیه سازی و نشان دادن صحت روش‌های ارائه شده داریم. در ادامه یک سیستم آونگ برگشتی که از طریق شبکه کنترل می‌شود و پدیده از دست رفتن بسته‌های اطلاعاتی در دو مسیر سنسور/کنترل کننده و کنترل کننده/عملگر رخ می‌دهد را از طریق روش ارائه شده دربخش قبل (در مورد سیستم‌های خطی پرشی مدل شده با حلقه مارکف با ماتریس معین انتقال) پایدار می‌سازیم. نتایج حاصل از شبیه سازی پایداری سیستم را تضمین می کند. همان­گونه که در شکل (5) دیده می‌شود، موقعیت ارابهو موقعیت زاویه ای آونگ برگشتیاست. متغیرهای حالت سیستم به صورت و خروجی های سیستم به صورت در نظر گرفته شده‌اند. سطح درنظر گرفته شده بدون اصطکاک بوده، پارامترهای سیستم از این قرار است: ]18[

جرم ارابه () = 1 کیلوگرم، جرم آونگ() = 0.5 کیلوگرم، طول آونگ برگشتی () = 1متر.

دینامیک گسسته سیستم با زمان نمونه برداری 0.1 ثانیه عبارت است از:

َ

شکل (5): سیستم آونگ برگشتی کنترل شده تحت شبکه]18[

مقادیر ویژه سیستم عبارتند از: 1و1و1.5569و0.6423. پس سیستم گسسته فوق نا پایدار بوده، باید پایدار گردد. همان‌گونه که از نتایج ]18[ بر می‌آید، سیستم آونگ برگشتی در حضور تاخیر پایدار گردیده است، اما در شبیه سازی مقاله پیش رو سیستم آونگ برگشتی تحت پدیده از دست رفتن بسته‌های اطلاعاتی پایدار می‌گردد. طبق تئوری 1 و شرایط حاکم بر آن، فرآیند از دست رفتن بسته‌های اطلاعاتی به دو تاخیروتبدیل می‌شود. این دو تاخیر بدین ترتیب به خود مقدار می گیرند.

و ماتریس های انتقال مقادیر زیر را به خود می‌گیرند.

ماتریس‌های فوق بیانگر چگونگی تغییر فرآیند از دست رفتن بسته‌های اطلاعاتی هستند.

2-1-       نتایج شبیه سازی

ابتدا ماتریس (9) را در نرم افزار متلب و تحت جعبه ابزار YALMIP تعریف کرده تا تحت نامساوی خطی ماتریسی حل شود. یکی از مشکلات موجود در این مرحله وابستگی کنترل کننده تعریف شده در تئوری 1، به ماتریس است. از آنجا که به ماتریس وابسته بوده، در تعریف وابستگی به دیده می‌شود، در حقیقت نوعی دور به وجود آمده است که solver های جعبه ابزار YALMIP قادر به حل آن نیستند. به همین دلیل ‌باید در طراحی کنترل کننده از روش بازگشتی استفاده نمود تا این مشکل رفع شود و مقادیر کنترل کننده به دست آید. استفاده از روش بازگشتی با مشکلاتی همراه است که در ادامه بدان پرداخته خواهد شد. یکی از مشکلات استفاده از روش بازگشتی، انتخاب مقدار اولیه برای متغیر مورد نظر است؛ چراکه این مقدار اولیه در همگرایی کنترل کننده تاثیر بسزایی خواهد داشت. به همین دلیل، در ادامه نتایج شبیه سازی به ازای مقدار اولیه مناسب برای کنترل کننده نمایش داده خواهد شد تا تاییدی بر روش ارائه شده باشد. در ادامه خروجی و حالات سیستم در حضور کنترل کننده نمایش داده خواهد شد. ابتدا ماتریس کنترل کننده  به ازای مقدار اولیه  به صفر همگرا شده که قابل قبول نبوده و به بیانی دیگر کنترل کننده‌ای در سیستم وجود ندارد و به همین دلیل مقدار اولیه ماتریس کنترل کننده را برابر در نظر گرفته‌ایم. خروجی و حالات سیستم در حضور کنترل کننده به نمایش در آمده است. همگرا شدن حالات و مشتقات آن به سمت مبدأ حاکی از پایدار شدنی بودن سیستم و پایدار بودن سیستم است. به عبارت دیگر، نتایج حاصل از شبیه سازی نه تنها نشان می دهد که سیستم کد نظر پایدار شدنی است، بلکه نشان می دهد با استفاده از روش معرفی شده سیستم آونگ برگشتی در حضور پدیده از دست رفتن بسته‌های اطلاعاتی پایدار شده است.

شکل (6 الف): حالت اول (مکان گاری) در سیستم آونگ برگشتی

شکل (6ب): مشتق حالت اول (مکان گاری) در سیستم آونگ برگشتی

شکل(6 ج): حالت دوم (زاویه آونگ) در سیستم آونگ برگشتی

شکل(6 د): مشتق حالت دوم (زاویه آونگ) در سیستم آونگ برگشتی

شکل(6 ه): سیگنال کنترلی در سیستم آونگ برگشتی

3- نتیجه گیری

در این مقاله سیستم آونگ برگشتی کنترل شده تحت شبکه با یک سیستم خطی پرشی مدل شده با حلقه مارکف به همراه تاخیر مدل شده است. تبدیل پدیده از دست رفتن بسته‌های اطلاعاتی به پدیده تاخیر امکان استفاده از نتایج حاکم بر سیستم های خطی پرشی مدل شده با حلقه مارکف به همراه تاخیر را فراهم می آورد و به کمک آن سیستم آونگ برگشتی در حضور پدیده از دست رفتن بسته‌های اطلاعاتی و از طریق مدل‌سازی این پدیده با پدیده تاخیر، پایدار شده است.