ارائۀ مدلی دوسطحی برای برنامه‌ریزی توسعة شبکة توزیع فشار متوسط و فشار ضعیف

نویسندگان

1 استادیار، گروه مهندسی برق - واحد کرمانشاه - دانشگاه آزاد اسلامی - کرمانشاه - ایران

2 دکتری، گروه مهندسی برق - دانشگاه کردستان - سنندج - ایران

3 استادیار، گروه مهندسی برق - واحد سنندج - دانشگاه آزاد اسلامی - سنندج - ایران

10.22108/isee.2019.118945.1274

چکیده

این مقاله مدلی دوسطحی برای برنامه‌ریزی توسعة شبکة توزیع فشار متوسط و فشار ضعیف با لحاظ‌کردن منابع تولید پراکنده در شبکة فشار ضعیف ارائه می‌شود. در مدل دوسطحی، سطوح بالا و پایین به‌ترتیب شبکة فشار متوسط و فشار ضعیف‌اند. در مدل پیشنهادی با تجزیة مدل به دو زیر مسئله، هدف نهایی، یافتن جوابی است که کمترین هزینة برنامه‌ریزی و بهره‌برداری را در هر دو شبکه متحمل کند. هزینه‌های مسئله شامل هزینة نصب و ارتقای ترانسفورماتورهای جدید و موجود، پست‌ها، فیدرها، منابع تولید پراکنده و هزینة تلفات است. مدل دوسطحی به‌صورت یک مدل غیرخطی آمیخته عدد صحیح است که با استفاده از الگوریتم ژنتیک با یک کدبندی پیشنهادی حل می‌شود. به‌منظور نشان‌دادن کارایی مدل و روش حل پیشنهادی، سه مورد مطالعاتی شامل، حل مدل به‌صورت متداول، حل مسئله با استفاده از مدل دوسطحی و حل مدل دوسطحی با لحاظ‌کردن منابع تولید پراکنده در سمت فشار ضعیف بررسی خواهند شد. نتایج نشان می‌دهند اهمیت لحاظ‌کردن هم‌زمان هر دو شبکة فشار ضعیف و فشار متوسط در کاهش هزینه‌ها بسیار مؤثر است.

کلیدواژه‌ها


عنوان مقاله [English]

Providing a bi-level model for medium and low voltage distribution network expansion planning

نویسندگان [English]

  • Abdollah Rastgou 1
  • Sasan Ghasemi 2
  • Salah Bahramara 3
1 Department of Electrical Engineering, Kermanshah Branch, Islamic Azad University, Kermanshah, Iran
2 Department of Electrical Engineering, University of Kurdistan, Sanandaj, Iran
3 Department of Electrical Engineering, Sanandaj Branch, Islamic Azad University, Sanandaj, Iran
چکیده [English]

In this paper, a bi-level model is proposed for low and medium voltage distribution network expansion planning in the presence of distributed generations (DGs) which are located in the low-voltage network. In the bi-level model, the upper and lower levels are medium and low voltage networks, respectively. The model is decomposed to two sub problems and the final aim is to find the answer with minimum planning and operation costs consisting of the cost of installing and upgrading of new and existing transformers, substations, feeders, distributed generations and cost of losses. The model is a mixed-integer non-linear programming, which is solved by a genetic algorithm with a proposed codification. To show the effectiveness of the proposed model and solution method, the model is implemented in a distribution system in three case studies, including, problem solving with traditional planning, bi-level programming without considering DGs and bi-level programming considering DGs in the low-voltage side. The obtained results show that the importance of incorporating both low and medium voltage networks simultaneously is very effective in reducing costs.

کلیدواژه‌ها [English]

  • Genetic Algorithm
  • Distribution network expansion planning
  • Bi-level model
  • Distributed generations

1- مقدمه[1]

1-1- پیش‌زمینه و اهداف

برنامه‌ریزی توسعة شبکة توزیع یکی از مسائل مهم در برنامه‌ریزی سیستم قدرت است که مهم‌ترین هدف آن تأمین بار الکتریکی با مشخص‌کردن مکان، زمان و ظرفیت احداث پست‌ها و فیدرهای توزیع، متعاقب رشد تقاضای بار الکتریکی با کمترین هزینه است. به عبارت دیگر، ارائۀ یک طرح توسعه برای تأمین اقتصادی و فنی توان الکتریکی است؛ به‌طوری‌که سطح قابلیت اطمینان شبکه حفظ یا بهبود یابد. منظور از تأمین اقتصادی و فنی توان آن است که نخست هزینه‌های سرمایه‌گذاری حداقل شود و دوم، شبکه محدودیتی در بهره‌برداری اقتصادی نداشته باشد؛ بنابراین، مسئله به‌صورت یک بهینه‌سازی مقید به قیود فنی شبکه تعریف می‌شود و طرح توسعه باید قادر به عرضة انرژی تقاضاشده باشد، ضمن آنکه استانداردهای فنی را نیز برآورده کند و هزینه‌های سرمایه‌گذاری و بهره‌برداری شبکه را کاهش دهد.

مطالعات برنامه‌ریزی توسعة شبکة توزیع دو مرحله دارد؛ در مرحلة نخست، گزینه‌های مختلف توسعة شبکة توزیع در افق برنامه‌ریزی به کمک مدل‌های ساده‌شده‌ای همچون مدل پخش بار DC به دست می‌آیند و در مرحلة دوم، ارزیابی گزینه‌های توسعه به کمک تحلیل پخش بار AC در سطح بارهای حداکثر، متوسط و حداقل، آنالیز اتصال کوتاه و قابلیت اطمینان به‌طور دقیق‌تر بررسی می‌شوند. در بیشتر مراجع و این مقاله، مسئله برنامه‌ریزی در مرحلة نخست بوده است که شامل مدل‌های دقیق‌تر پخش بار در تهیه طرح‌ها نیز هست. روش‌های مختلف ارائه‌شده برای ایجاد طرح‌های توسعة شبکة قدرت، معمولاً تنها معیار کفایت‌مندی را در مدل خود مدنظر قرار می‌دهند و مقولة امنیت را به تحلیل‌های مرحلة دوم برنامه‌ریزی موکول می‌کنند.

برنامه‌ریزی توسعة شبکة توزیع، در شبکة توزیع اولیه و ثانویه به کار گرفته می‌شود. شبکة توزیع اولیه، شبکة فشار متوسط توزیع و شبکة توزیع ثانویه همان شبکة فشار ضعیف توزیع است. برنامه‌ریزی توسعة شبکة توزیع درواقع یک مسئله بهینه‌سازی است که این مسئله بهینه‌سازی به دو صورت برنامه‌ریزی توسعه و برنامه‌ریزی تقویت بیان می‌شود. در طرح‌های توسعه، برنامه‌ریز با توجه به محدودیت‌های زیست‌محیطی، مسیرها یا مکان‌های جدیدی برای احداث فیدرها یا پست‌های جدید و منابع تولید پراکنده انتخاب می‌کند و بنابراین، مسیرها یا توان جدیدی به شبکه افزوده خواهد شد. در طرح‌های تقویت، شبکه در بعضی فیدرها تقویت می‌شود. هر دو این برنامه‌ریزی‌ها مقید به قیود فنی شبکه ازجمله، قیود مربوط به پخش بار، محدودیت ولتاژ شین‌ها، محدودیت ظرفیت فیدرها و پست‌ها، محدودیت در استفاده از ترانسفورماتورها و کابل‌ها است.

جایابی و سایز بهینة ترانسفورماتورها، تأثیر بسزایی در میزان تلفات در شبکة فشار ضعیف دارد؛ در غیر این صورت می‌تواند هزینه‌های زیادی داشته باشد. به‌کارگیری منابع تولید پراکنده در شبکة فشار ضعیف تأثیر شگرفی بر میزان جریان کشیده‌شده و به‌تبع آن میزان تلفات دارد؛ ازاین‌رو، در این مقاله مدلی دوسطحی ارائه می‌شود که بتواند به‌طور هم‌زمان در هر دو شبکة فشار ضعیف و فشار متوسط رابطة متقابل برقرار کند و به عبارت دیگر، به یک نقطه بهینه برای هر دو شبکه دست یابد.

1-2- مرور ادبیات و نوآوری

مسئلۀ برنامه‌ریزی توسعة شبکة توزیع از ابتدا به‌عنوان یک مسئله بهینه‌سازی با یک تابع هدف مدل شده و این نوع مدل در بسیاری از مطالعات به کار گرفته شده است. مطرح‌شدن اهداف جدید، مرتبط و متقابل سبب شده است که رویکرد مسئله برنامه‌ریزی توسعة شبکة توزیع به‌سمت مدل‌های برنامه‌ریزی با چند تابع هدف مرتبط به هم سوق پیدا کند؛ به‌طوری‌که هر تابع هدف، خود را بدون توجه به هدف قسمت دیگر بهینه کند. نکته مهم آن است که مقدار تابع هدف و فضای تصمیم‌گیری در آن تابع هدف بر توابع هدف دیگر اثر می‌گذارد.

مزیت اصلی این مدل‌ها این است که به برنامه‌ریز سیستم اجازة تحلیل هزینه - فایده را می‌دهد؛ درحالی‌که در مدل‌های کلاسیک این امر امکان‌پذیر نیست. به همین دلیل در سالیان اخیر به‌کارگیری مدل‌های چند معیاری مرتبط به هم بسیار درخور توجه پژوهشگران و برنامه‌ریزان شبکة قدرت قرار گرفته است؛ بنابراین، در این زمینه لازم است روش‌های حل مسائل بهینه‌سازی با دو سطح مستقل مرور و بررسی شوند.

مطالعات بسیاری در ارتباط با توسعة شبکة توزیع انجام شده که عمده این مطالعات در شبکة توزیع فشار متوسط است [1-14]. در [15-20]، برنامه‌ریزی شبکة توزیع در سطح ولتاژ فشار ضعیف و در [21-24]، برنامه‌ریزی شبکة توزیع در سطوح فشار متوسط و فشار ضعیف انجام شده است. در [25] مطالعات جامعی در ارتباط با برنامه‌ریزی توسعة شبکة توزیع آورده شده است. گفتنی است در مطالعات انجام‌شده، شبکة توزیع در حل مسئله بهینه‌سازی به‌صورت دو شبکه مجزا در نظر گرفته نشده و یک مسئله سرتاسری با یک بهینه‌سازی تک‌سطحی بیان شده است؛ درحالی‌که شبکه‌های فشار متوسط و ضعیف، دو شبکة مستقل از هم با نیازمند‌های خاص خود هستند. بیشتر مدل‌های ریاضی شامل یک تصمیم‌گیرنده و یک تابع هدف‌اند که برای برنامه‌ریزی متمرکز به کار می‌روند؛ اما برنامه‌ریزی دوسطحی برای تصمیم‌گیری غیرمتمرکز توسعه داده شده است. در برنامه‌ریزی دوسطحی که تصمیم‌گیرندة سطح یک آن را رهبر و تصمیم‌گیرندة سطح دو آن را پیرو می‌نامند، هر تصمیم‌گیرنده سعی می‌کند تابع هدف خود را بدون توجه به هدف قسمت دیگر بهینه کند؛ اما تصمیم هر تصمیم‌گیرنده بر مقدار تابع هدف و فضای تصمیم‌گیری سطح دیگر اثر می‌گذارد. در [26] مدلی دوسطحی برای برنامه‌ریزی توسعة شبکة توزیع با لحاظ‌کردن هر دو شبکة فشار متوسط و فشار ضعیف ارائه شده که با تجزیة مسئله اصلی به n زیرمسئله مستقل، حل مسئله بررسی شده است. گفتنی است در این روش دوباره مسئله به یک مسئله تک‌سطحی تبدیل شده است و آن رابطة متقابل مدنظر در این مقاله لحاظ نمی‌شود. در [27,28] مدلی چندمرحله‌ای برای برنامه‌ریزی توسعة شبکة توزیع ارائه شده است که در این رابطه شایان ذکر است برنامه‌ریزی چندمرحله‌ای جدا از برنامه‌ریزی دوسطحی است. در برنامه‌ریزی چندمرحله‌ای در هر مرحله یک بهینه‌سازی تک‌سطحی مستقل انجام می‌گیرد و در انتها با روش‌های تصمیم‌گیری ازجمله روش‌های فازی به یک جواب بهینه مطابق میل برنامه‌ریز دست می‌یابند.

یکی از چالش‌های پیش رو در ارتباط با مطالعات برنامه‌ریزی دوسطحی این است که مطابق با [29]، در یک مسئله دوسطحی اگر سطح دوم دارای متغیرهای عدد صحیح باشد، قطعاً مسئله، غیرمحدب است؛ اگرچه همه قیود و توابع هدف به‌صورت خطی باشند. بنابراین، اگر در یک مسئله دوسطحی، سطح دوم دارای متغیرهای عدد صحیح باشد، با روش‌های کلاسیک ریاضی به‌دلیل غیرمحدب‌بودن ذات مسئله، حل نمی‌شود. به عبارت دیگر، حتی اگر همه توابع هدف و قیود خطی شوند، باز هم مسئله غیرمحدب است و با روش‌های معمول ریاضی نمی‌توان مسئله را حل کرد؛ به همین دلیل، برای حل مسائل بهینه‌سازی دوسطحی سعی می‌شود با الگوریتم‌های فراابتکاری این نوع از مسائل را تا نزدیک‌شدن به یک جواب بهینه پیش برد. دلیل دیگر استفاده از روش‌های فراابتکاری در ارتباط با حل مسائل دوسطحی این است که مسئله برنامه‌ریزی دوسطحی یک مسئله NP-hard است و در صورتی که تعداد متغیرهای مسئله زیاد باشد، حل آن با روش‌های کلاسیک امکان‌پذیر نیست. به عبارت دیگر، روش‌های زیادی برای حل این نوع مسائل ارائه شده است؛ اما کارایی محاسباتی آنها طوری نیست که بتوانند مسائل بزرگ را حل کنند. مجموعه
NP-hard شامل چند هزار مسئله مختلف با کاربردهای فراوان است که تاکنون برای آنها راه‌حل سریع و انجام‌پذیر در زمان معقول پیدا نشده است و به احتمال زیاد در آینده نیز یافت نخواهد شد. اینکه راه‌حل سریعی برای آنها وجود ندارد نیز اثبات شده است. ثابت شده است اگر فقط برای یکی از این مسئله‌ها راه‌حل سریعی پیدا شود، این راه‌حل موجب حل سریع بقیه مسئله‌ها خواهد شد؛ البته احتمال پیداشدن چنین الگوریتمی ضعیف است. منظور از راه‌حل سریع این است که زمان اجرای آن با اندازة ورودی مسئله به‌صورت چندجمله‌ای رابطه داشته باشد؛ ازاین‌رو، با روش‌های فراابتکاری، مسائل بزرگ تا رسیدن به یک جواب نزدیک به جواب بهینه حل می‌شوند [29]. در این مقاله، حل مسئله دوسطحی توسط الگوریتم ژنتیک با یک کدبندی پیشنهادی بررسی می‌شود. در جدول (1)، مقایسة مدل پیشنهادی با سایر مطالعات آمده است. به‌طور خلاصه، نوآوری‌های این مقاله به شرح ذیل‌اند:

  • · ارائه مدلی دوسطحی با لحاظ‌کردن هر دو شبکة توزیع فشار متوسط و فشار ضعیف؛
  • · به‌کارگیری الگوریتم ژنتیک با کدبندی خاص برای حل مسئله.

1-3- سازمان‌دهی مقاله

در بخش دوم، مدل ریاضی به همراه توابع هدف و قیود فنی آمده و در بخش سوم، بیان روش حل مدل بررسی شده است. در بخش چهارم، پیاده‌سازی مدل و روش حل پیشنهادی روی یک شبکة توزیع نمونه آورده شده و درنهایت، نتیجه‌گیری از این مقاله در بخش پنجم آمده است.

2- مدل‌سازی ریاضی

یک مسئله بهینه‌سازی دوسطحی مطابق رابطة (1) است. که در آن  تابع هدف سطح بالا و  تابع هدف سطح پایین است و  و  به‌ترتیب قیود سطوح بالا و پایین‌اند [30].

(1)

 

فرمول‌بندی مسئله دوسطحی برای برنامه‌ریزی توسعة شبکة توزیع در روابط (2) تا (18) آمده است. فرمول‌بندی سطح بالای بهینه‌سازی در روابط (2) تا (9) آمده که به شبکة فشار متوسط مربوط است. همان‌طور که مشاهده می‌شود، تابع هدف رابطة (2) از شش قسمت تشکیل شده است. قسمت یک و دو به‌ترتیب هزینة نصب فیدرهای جدید و ارتقای فیدرهای موجود است.


جدول (1): مقایسة مدل پیشنهادی با سایر مطالعات انجام‌شده

روش حل

نوع بهینه‌سازی

DG

سطح ولتاژ

مرجع

دوسطحی

تک‌سطحی

MV/LV به‌صورت هم‌زمان

LV

MV

فراابتکاری

-

ü

-

-

-

ü

[1, 7]

فراابتکاری

-

ü

-

-

-

ü

[2-4, 11]

ریاضی

-

ü

ü

-

-

ü

[5, 6]

فراابتکاری

-

ü

ü

-

-

ü

[8]

فراابتکاری

-

ü

-

-

-

ü

[9]

ریاضی

-

ü

-

-

-

ü

[10]

فراابتکاری

-

ü

ü

-

-

ü

[12]

فراابتکاری

-

ü

ü

-

-

ü

[14, 13]

فراابتکاری

-

ü

-

-

ü

-

[15-19]

فراابتکاری

-

ü

ü

-

ü

-

[20]

ریاضی

-

ü

-

-

ü

ü

[21]

فراابتکاری

-

ü

-

-

ü

ü

[22, 23]

فراابتکاری

-

ü

ü

-

ü

ü

[24]

فراابتکاری

ü

-

ü

ü

-

-

این مقاله

 

 

قسمت سوم و چهارم بیان‌کنندة هزینة نصب پست‌های جدید و ارتقای پست‌های موجود است. قسمت پنجم مربوط به هزینة نصب ترانسفورماتورهای جدید و قسمت ششم مربوط به هزینة تلفات شبکة فشار متوسط است. قیود مربوط به شبکة فشار متوسط در روابط (3) تا (9) آمده است. قید (3) بیان‌کنندة تعادل توان در یک شین یا نقطه است. قیود (4) و (5) به‌ترتیب بیان‌کنندة محدودیت بهره‌برداری از فیدرها و پست‌ها هستند. قید (6)، محدودیت ولتاژ در شین‌های شبکة فشار متوسط را نشان می‌دهد. قیود (7)-(9) بیان می‌کنند فقط یک نوع المان از قبیل سیم، پست یا ترانسفورماتور می‌تواند در یک مکان نصب شود. فرمول‌بندی مربوط به سطح پایین مسئله در روابط (10)-(18) آمده است. تابع هدف این سطح مطابق رابطة (10)، کاهش هزینة سرمایه‌گذاری و بهره‌برداری در شبکة فشار ضعیف است که از پنج قسمت تشکیل شده است. قسمت اول و دوم به‌ترتیب بیان‌کنندة هزینة نصب خطوط جدید و ارتقای خطوط موجود است. قسمت سوم بیان‌کنندة هزینة نصب منابع تولید پراکنده است. قسمت چهارم مربوط به هزینة تلفات در شبکة فشار ضعیف و قسمت پنجم مربوط به هزینة تلفات ترانسفورماتورها است. قیود مربوط به سطح پایین در روابط (11) تا (18) آمده است. قید (11) بیان‌کنندة تعادل توان در یک شین یا نقطه است. قید (12) و (13) به‌ترتیب محدودیت بارگذاری خطوط و بهره‌برداری از ترانسفورماتورها را بیان می‌کنند. قید (14)، میزان توان تزریق‌شده در هر ترانسفورماتور را تعیین می‌کند. قید (15)، محدودیت‌ بهره‌برداری از منابع تولید پراکنده را بیان می‌کند. قید (16) بیان‌کنندة محدودیت ولتاژ در شین‌های شبکة فشار ضعیف است. قید (17) اتصال یا نصب فقط یک خط بین دو نقطه را در شبکة فشار ضعیف تضمین می‌کند و درنهایت، قید (18) تضمین می‌کند فقط یک نوع منبع تولید پراکنده قابلیت نصب در یک نقطه یا شین را در شبکة فشار ضعیف دارد.

(2)

s.t:

(3)

 

(4)

 

(5)

 

(6)

 

(7)

 

(8)

 

(9)

 

(10)

 

(11)

 

(12)

 

(13)

 

(14)

 

(15)

 

(16)

 

(17)

 

(18)

 

در شکل (1)، استراتژی برنامه‌ریزی بین هر دو شبکة توزیع فشار متوسط و فشار ضعیف مشاهده می‌شود. به‌منظور ارزیابی و بررسی تابع هدف سطح بالا ابتدا لازم است مکان، ظرفیت و میزان توان تزریق‌شده به ترانسفورماتورها ( ) تعیین شود که با روابط سطح بالا پیشنهاد می‌شود ( )؛ با وجود این، معادلات پخش بار در شبکة اولیه به‌دلیل مشخص‌نبودن میزان توان تزریق‌شده به ترانسفورماتورها محاسبه نمی‌شوند. به عبارت دیگر، قسمت‌های 1، 2، 3، 4 و 6 در تابع هدف رابطة (2) به همراه قیود مربوط به سطح بالا زمانی مشخص می‌شوند که میزان توان تزریق‌شده به هریک از ترانسفورماتورها تعیین شود. زمانی که مکان و ظرفیت ترانسفورماتورها با سطح بالا تعیین شوند، مسئله سطح پایین برای تعیین میزان توان تزریق‌شده به ترانسفورماتورها حل می‌شود.

 

شکل (1): چارچوب کلی مدل دوسطحی ارائه‌شده

گفتنی است پارامترهای مکان و ظرفیت که با معادلات سطح بالا پیشنهاد می‌شوند، در معادلات سطح پایین نیز هستند. پس از تعیین میزان توان تزریق‌شده به ترانسفورماتورها، میزان تابع هدف سطح بالا نیز محاسبه می‌شود. همان‌طور که در معادلات (2) تا (18) مشاهده می‌شود، این مسئله به‌دلیل وجود ضرب متغیرها در روابط (3) و (11) و همچنین، وجود توان دوم جریان الکتریکی در روابط (10) و (14)، به‌شدت غیرخطی و به‌دلیل وجود متغیرهای عدد صحیح، یک بهینه‌سازی غیرخطی آمیخته عدد صحیح است. در حل مسائل بهینه‌سازی دوسطحی اگر تابع هدف سطح پایین پیوسته و محدب باشد، با استفاده از روشی موسوم به KKT می‌توان مسئله دوسطحی را به یک مسئله تک‌سطحی، تبدیل [30] و آن را با روش‌های معمول حل کرد؛ درحالی‌که مسئله برنامه‌ریزی توسعة شبکة توزیع یک مسئله آمیخته عدد صحیح در هر دو سطح بالا و پایین است. بنابراین، مسئله پیش رو غیرمحدب است و با روش‌های ریاضی معمول نمی‌توان آن را حل کرد. در این مقاله با استفاده از یک الگوریتم ژنتیک پیشنهادی، حل مسئله بررسی می‌شود.

3- روش حل

الگوریتم ژنتیک یکی از روش‌های فراابتکاری است که کاربردهای فراوانی در حل مسائل بهینه‌سازی پیچیده دارد. گام‌های مهم برای اجرای این روش کدکردن جواب‌ها و تبدیل آنها به کروموزوم، طراحی تابع برازندگی، عملگر جهش و عملگر تقاطع‌اند. در این مقاله، هر کروموزوم به‌صورت رشته‌ای به طول  لحاظ می‌شود؛ به‌طوری‌که  و  به‌ترتیب تعداد متغیرهای سطح اول و دوم‌اند. برای طراحی تابع برازندگی از روش موجود در [31] استفاده می‌شود؛ بنابراین، ابتدا مسئله سطح دوم حل می‌شود و جواب‌های آن به‌صورت  در نظر گرفته می‌شوند که  متغیرهای سطح اول است. فرض می‌شود با مقادیر دلخواه  مدل حل شده است و جواب  به دست می‌آید، حال اگر جواب مسئله باشد،  به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

(19)

 

در رابطة بالا،  مقدار جریمه و  پارامتری است که با تغییر آن می‌توان ناحیة جستجو حول  را تغییر داد. اگر جواب‌های حاصل شرط  را ارضا کردند، این جواب‌ها بهینه‌اند؛ در غیر این صورت، با تابع جریمه از جواب‌های نزدیک به جواب‌های بهینه استفاده می‌شود. برای طراحی تابع برازندگی ابتدا مقدار  به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

(20)

 

که نقاط یافت‌شده در هر مرحله و  درجه نزدیکی به جواب‌های حاصل از حل مسئله سطح دوم است. تابع برازندگی را می‌توان به‌صورت زیر در نظر گرفت:

(21)

 

که مقدار تابع هدف تصمیم‌گیرندة سطح اول است. در ادامه، عمل تقاطع به این صورت انجام شده است که هریک از فرزندان (child1 و child2) با رابطة (22) از والدین (parent1 و parent2) خود به وجود می‌آیند.

(22)

 

که C عددی تصادفی در محدودة بین صفر و یک است. عملگر ، جزء صحیح عبارت داخل خود را برمی‌گرداند. عمل جهش نیز به این صورت انجام می‌شود که یک یا چند ژن از ژن‌های کروموزوم مدنظر به‌صورت تصادفی از بین ژن‌ها انتخاب می‌شوند. عمل انتخاب نیز به روش انتخاب نخبگان صورت گرفته است. با توجه به روش استفاده‌شده برای تشکیل جمعیت جدید، واضح است روش نخبه‌گرا است؛ زیرا پاسخ‌های مناسب تکرار قبل بدون تغییر به تکرار بعدی ارسال می‌شوند. شرط پایان را می‌توان به روش‌های مختلف ازجمله تعیین حداکثر تکرارها یا بهبودنیافتن پاسخ‌ها تعریف کرد. در شکل (2)، فلوچارت پیشنهادی حل مدل برنامه‌ریزی دوسطحی توسعة شبکة توزیع آمده است.

4- نتایج عددی

مدل پیشنهادی و روش حل آن روی شبکة توزیع آزمون نمونه پیاده‌سازی شده که در شکل (3) آمده است. مطابق شکل (3)، 138 نقطه فشار ضعیف جدید،
33 ترانسفورماتور، 15 منبع تولید پراکنده و 147 شاخه برای برنامه‌ریزی توسعه در نظر گرفته شده‌اند.

همچنین در شبکة فشار متوسط، تعداد نقاط، پست‌ها (نوع 2) و خطوط (نوع 3) به‌ترتیب برابر 48، 1 و 51 هستند. به‌منظور تأمین بار الکتریکی 60 شاخه و یک پست توزیع می‌توانند در شبکه نصب شوند. شایان ذکر است در فرایند جستجوی جواب بهینه، 5 نوع پست، 8 نوع سیم،
8 نوع ترانسفورماتور و چهار نوع DG در نظر گرفته شده‌اند که اطلاعات مربوط به هرکدام از آنها در
جدول (2) آمده است. نقاط قابل نصب و کاندیدا برای ترانسفورماتورها و DGها در جدول (3) مشخص شده‌اند. سایر اطلاعات مربوط به شبکة مطالعه‌شده در [32] آمده است. مقدار ولتاژ نامی برای هر دو شبکة فشار متوسط و فشار ضعیف به‌ترتیب برابر 2/13 کیلوولت و 404 ولت و همچنین، میزان انحراف ولتاژ در هر دو شبکه به‌ترتیب برابر 10% و 5% است. نرخ تورم برابر 10%، قیمت انرژی الکتریکی برابر 15/0 دلار بر کیلووات‌ساعت و برنامه‌ریزی برای یک دورة 20 ساله انجام می‌گیرد. در شکل (4)، بردار کدبندی مسئله برای شبکة فشار متوسط آمده است. همان‌طور که مشاهده می‌شود، این بردار از سه قسمت تشکیل شده است. قسمت اول سایز و جایابی پست‌های موجود و کاندیدا را بررسی می‌کند (سایز ). قسمت دوم شامل بررسی احداث و نصب خطوط موجود و کاندیدا است (سایز ) و قسمت سوم ظرفیت و جایابی ترانسفورماتورها را دربرمی‌گیرد (سایز ). به‌طور مشابه در شکل (5) بردار کدبندی مسئله برای شبکة فشار ضعیف آمده است. این بردار نیز از سه قسمت تشکیل شده است. قسمت اول شامل سایز و جایابی خطوط (سایز )، قسمت دوم شامل مکان بارها در هر فاز (سایز ) و قسمت سوم، ظرفیت و جایابی DGها (سایز ) بررسی شده‌اند. برای نشان‌دادن مزایای مدل پیشنهادی سه مورد مطالعاتی بررسی می‌شوند. حالت اول، حل مسئله به‌صورت متداول صورت می‌گیرد که دو شبکة فشار متوسط و فشار ضعیف به‌صورت مستقل در نظر گرفته می‌شوند. در حالت دوم، مدل بدون لحاظ‌کردن DGها و در حالت سوم، مدل پیشنهادی با لحاظ‌کردن DGها در شبکة فشار ضعیف تحلیل می‌شوند. نتایج شبیه‌سازی در نرم‌افزار MATLAB (2016a) و در سیستم رایانه‌ایCore i7-4770 16 GB RAM پیاده‌سازی شده‌اند. زمان حل مسئله در حالت‌های اول تا سوم به‌ترتیب برابر 1612، 3018 و 3308 ثانیه است.

شکل (2): فلوچارت حل مسئله دوسطحی برنامه‌ریزی توسعة شبکه توزیع

 

 

شکل (3): شبکة توزیع مطالعه‌شده

جدول (2): اطلاعات مربوط به پست‌های خطوط، ترانسفورماتورها و DGها

DG

ترانسفورماتور

خط (سیم)

پست

نوع

هزینه

(دلار)

Smax (kW)

هزینه

(دلار)

Smax (kVA)

هزینه

(دلار بر متر)

Imax(A)

R (Ω/km)

هزینه

(میلیون دلار)

Smax (MVA)

2500

50

58/3177

30

14

150

04/1

336/0

7

1

3750

75

08/3953

45

20

180

65/0

672/0

10

2

5000

100

70/5502

75

26

205

52/0

344/1

20

3

6250

125

72/7439

5/112

40

275

32/0

016/2

30

4

-

-

75/9376

150

47

305

26/0

688/2

40

5

-

-

72/11053

225

57

390

18/0

-

-

6

-

-

16806

300

64

460

14/0

-

-

7

-

-

22408

400

72

600

12/0

-

-

8

جدول (3): نقاط قابل نصب برای ترانسفورماتورها

نقاط کاندیدا

المان

64 ،59 ،56 ،51 ،48 ،45 ،37 ،33 ،30 ،16 ،11 ،8 ،2

113 ،111 ،109 ،106 ،104 ،97 ،94 ،91 ،87 ،83 ،80

137 ،135 ،132 ،129 ،127 ،124 ،122 ،118 ،116

ترانسفورماتور

131 ،130 ،117 ،110 ،103 ،95 ،88 ،71 ،62 ،54 ،43 ،38 ،23 ،6

DG

 

شکل (4): کدبندی متغیرهای سطح بالا

 

شکل (5): کدبندی متغیرهای سطح پایین

 

شکل (6): شبکة فشار متوسط در مورد مطالعاتی اول

 

شکل (7): شبکة فشار ضعیف در مورد مطالعاتی اول

 

شکل (8): شبکة فشار متوسط در مورد مطالعاتی دوم

 

شکل (9): شبکة فشار ضعیف در مورد مطالعاتی دوم

 

شکل (10): شبکة فشار متوسط در مورد مطالعاتی سوم

 

شکل (11): شبکة فشار ضعیف در مورد مطالعاتی سوم

 

 

نتایج شبیه‌سازی در شکل‌های (11-6) و جدول‌های (4) و (5) نشان داده شده‌اند. نوع تایپ خطوط و ترانسفورماتورها در شکل‌ها مشخص شده‌اند. در هر سه مورد مطالعاتی به ارتقای پست‌های موجود نیاز نیست و فقط یک پست جدید (نوع 1) نصب می‌شود. در مورد مطالعاتی سوم، نقاط پیشنهادی برای نصب DGها، 23 (نوع 2)، 43 (نوع 3)،
103 (نوع 2)، 110 (نوع 2)، 117 (نوع 2)، 130 (نوع 3)، 131 (نوع 2) و 136 (نوع 2) هستند. مکان نصب ترانسفورماتورها روی شکل‌ها با یک مثلث توپر و نوع آنها با یک عدد مشخص شده‌اند که خطی در زیر آنهاست. مطابق جدول‌ها هزینه‌های کمتری متوجه مورد مطالعاتی دوم و سوم‌اند و همان‌طور که انتظار می‌رود در مورد مطالعاتی سوم، کمترین هزینه به‌دلیل تزریق توان با DGها صورت می‌گیرد. نتایج حاصل برای مورد مطالعاتی نوع اول نشان می‌دهند لحاظ‌کردن مدل دوسطحی هزینة برنامه‌ریزی کمتری را شامل می‌شود. گفتنی است اگرچه هزینة ثابت در مورد مطالعاتی اول نسبت به مورد مطالعاتی دوم کمتر است، هزینة بهره‌برداری در مورد اول از مورد دوم، بیشتر و درمجموع هزینة مورد مطالعاتی دوم کمتر از مورد مطالعاتی اول است؛ بنابراین، مدل دوسطحی به دنبال توپولوژی است که درمجموع هزینة کمتری را داشته باشد. درواقع، کمتربودن هزینه در مورد مطالعاتی سوم به این دلیل است که نصب DGها در شبکة فشار ضعیف، سبب نصب ترانسفورماتورها و خطوط فشار ضعیف با سایز کوچک می‌شود که این خود باعث می‌شود جریان کمتری از سمت فشار متوسط کشیده شود و به‌تبع آن هزینة بهره‌برداری و تلفات شبکه کاهش یابد. به عبارت دیگر، بارگذاری خطوط و ترانسفورماتورها در حالت سوم نسبت به حالت اول و دوم کمتر است.


جدول (4): مقایسة هزینه‌های توسعه (به میلیون دلار)

مورد مطالعاتی 3

مورد مطالعاتی 2

مورد مطالعاتی 1

 

 

هزینه

336/0

336/0

336/0

پست

 

ثابت

391/0

402/0

374/0

خطوط فشار متوسط

 

 

254/0

255/0

288/0

خطوط فشار ضعیف

 

 

225/0

265/0

260/0

ترانسفورماتور

 

 

032/0

-

-

DG

 

 

238/1

258/1

258/1

جمع هزینه

 

 

 

 

 

 

 

 

301/0

334/0

411/0

تلفات شبکة فشار متوسط

 

متغیر

179/0

181/0

232/0

تلفات شبکة فشار ضعیف

 

 

480/0

515/0

643/0

جمع هزینه

 

 

 

 

 

 

 

 

718/1

773/1

901/1

 

هزینه کل

 

جدول (5): مقایسة هزینه‌های توسعة شبکه‌های فشار متوسط و فشار ضعیف (به میلیون دلار)

مورد مطالعاتی 3

مورد مطالعاتی 2

مورد مطالعاتی 1

 

شبکه

225/0

265/0

260/0

ترانسفورماتور

فشار ضعیف

032/0

-

-

DG

 

254/0

255/0

288/0

خطوط

 

179/0

181/0

232/0

تلفات

 

690/0

701/0

780/0

جمع هزینه

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

336/0

336/0

336/0

پست

فشار متوسط

391/0

402/0

374/0

خطوط

 

301/0

334/0

411/0

تلفات

 

028/1

072/1

121/1

جمع هزینه

 

718/1

773/1

901/1

 

هزینه کل

 

 

به‌منظور نشان‌دادن کارایی الگوریتم و کدبندی پیشنهادی، مدل مدنظر با سه الگوریتم فراابتکاری شبیه‌سازی سردشدن فلزات[i] (SA)، بهینه‌سازی گرگ خاکستری[ii] (GWO) و بهینه‌سازی مبتنی بر آموزش و یادگیری[iii] (TLBO) پیاده‌سازی شده است. مقایسة نتایج حاصل از شبیه‌سازی‌ها برای مورد مطالعاتی اول، دوم و سوم به‌ترتیب در شکل‌های (12)، (13) و (14) آمده‌اند. همان‌طور که مشخص است

 

شکل (12): مقایسة روش‌های فراابتکاری، مورد مطالعاتی اول

 

شکل (13): مقایسة روش‌های فراابتکاری، مورد مطالعاتی دوم

 

شکل (14): مقایسة روش‌های فراابتکاری، مورد مطالعاتی سوم

جدول (6): نتایج حاصل از مدل خطی (به میلیون دلار)

مورد مطالعاتی 1

 

شبکه

260/0

ترانسفورماتور

فشار ضعیف

-

DG

 

272/0

خطوط

 

228/0

تلفات

 

760/0

جمع هزینه

 

 

 

 

 

 

 

336/0

پست

فشار متوسط

362/0

خطوط

 

392/0

تلفات

 

090/1

جمع هزینه

 

850/1

 

هزینه کل

 

توانایی کدبندی پیشنهادی در حل مسئله پیشنهادی با الگوریتم ژنتیک، در مقایسه با روش‌های فراابتکاری جدید در یافتن جواب پیشنهادی مشخص است و گفتنی است زمان حل مسئله با روش پیشنهادی تفاوت زیادی با سایر الگوریتم‌های ذکرشده ندارد؛ برای مثال در الگوریتم GWO، زمان حل مسئله برای موردهای مطالعاتی یک تا سه به‌ترتیب برابر 1603، 2998 و 3287 ثانیه است و در الگوریتم TLBO به‌ترتیب برابر 1602، 3001 و 3292 ثانیه است. با توجه به اینکه مطالعة حاضر در فاز برنامه‌ریزی است، بررسی زمان حل مسئله لحاظ نمی‌شود. شایان ذکر است الگوریتم SA در مقایسه با سایر الگوریتم‌ها در تکرارهای یکسان عملکرد مناسبی ندارد. همچنین، مدل تک‌سطحی با برنامه‌ریزی خطی آمیخته عدد صحیح نیز بررسی شد که نتایج آن در جدول (6) آمده‌اند. در این حالت تلفات شبکه با الگوریتم تکه‌ای خطی بررسی شد که در مرجع [33] آمده است و با مدل تک‌سطحی و دوسطحی حل‌شده در مقاله می‌تواند مقایسه شود؛ به‌طوری‌که میزان هزینه در مدل تک‌سطحی خطی‌شده برابر 85/1 و در مدل دوسطحی با حضور DGها برابر 718/1 میلیون دلار است. نتایج به‌دست‌آمده نشان می‌دهند مدل دوسطحی (لحاظ‌کردن هر دو شبکة فشار متوسط و فشار ضعیف به‌صورت مستقل) نقش بسزایی در کاهش هزینه‌ها دارد. نتیجة حاصل از خطی‌سازی نسبت به حل مدل تک‌سطحی با الگوریتم پیشنهادی بهتر شد؛ اما نتیجة حاصل از مدل دوسطحی همچنان بهتر است.

5- نتیجه‌گیری

در این مقاله، مدلی دوسطحی برای برنامه‌ریزی توسعة شبکة توزیع پیشنهاد شد که هر دو شبکة فشار متوسط و فشار ضعیف را لحاظ می‌کند. تابع هدف ارائه‌شده برای هر دو سطح بالا و پایین هزینة مربوط به نصب و ارتقای المان‌های هر دو شبکه به همراه هزینه‌های بهره‌برداری و تلفات است. همچنین در مدل ارائه‌شده، منابع DG با اتصال در شبکة فشار ضعیف نیز بررسی و دیده شد در این حالت کمترین هزینة برنامه‌ریزی برای شبکه را دارد. به‌طور خلاصه، نتایج حاصل از این مقاله به شرح ذیل‌اند:

  • · با نصب ترانسفورماتورها و خطوط فشار ضعیف هزینة بهره‌برداری در شبکة فشار متوسط کاهش می‌یابد؛
  • · نصب DGها در شبکة فشار ضعیف قطعاً هزینة تلفات و بهره‌برداری را کاهش می‌دهد؛
  • · لحاظ‌کردن هر دو شبکة فشار متوسط و فشار ضعیف در برنامه‌ریزی توسعه در مدل دوسطحی پیشنهادی هزینة کمتری نسبت به در نظر گرفتن دو شبکه به‌صورت مستقل دارد؛
  • · توانایی الگوریتم ژنتیک در حل مسئله دوسطحی با کدبندی پیشنهادی.

مجموعه‌ها

 

مجموعه ترانسفورماتورهای موجود

 

مجموعه خطوط موجود در شبکة فشار متوسط

 

مجموعه خطوط موجود در شبکة فشار ضعیف

 

مجموعه پست‌های موجود

 

نقاط متصل‌شده با نقطه iام در شبکة فشار متوسط

 

نقاط متصل‌شده با نقطه iام در شبکة فشار ضعیف

 

مجموعه ترانسفورماتورهای جدید

 

مجموعه منابع تولید پراکنده جدید

 

مجموعه خطوط فشار متوسط جدید

 

مجموعه خطوط فشار متوسط ضعیف

 

مجموعه پست‌های جدید

 

خطوط موجود و جدید در شبکة فشار متوسط

 

مجموعه نقاط شبکة فشار متوسط

 

خطوط موجود و جدید در شبکة فشار ضعیف

 

مجموعه نقاط شبکة فشار ضعیف

 

مجموعه پست‌های موجود و جدید

 

مجموعه نوع ترانسفورماتور

 

مجموعه نوع منبع تولید پراکنده

 

مجموعه نوع خطوط فشار متوسط

 

مجموعه نوع خطوط فشار ضعیف

 

مجموعه نوع پست

 

هزینة ثابت توسعة خطوط موجود بین نقاط i و j در شبکة فشار متوسط از نوع p

پارامترها

 

هزینة ثابت توسعة خطوط موجود بین نقاط i و j در شبکة فشار ضعیف از نوع c

 

هزینة ثابت توسعه پست موجود در نقطه i از نوع s

 

هزینة ثابت توسعه خطوط موجود بین نقاط i و j در شبکة فشار متوسط از نوع p

 

هزینة ثابت ترانسفورماتور جدید در نقطه i از نوع d

 

هزینة ثابت منبع DG جدید در نقطه i از نوع g

 

هزینة ثابت خط جدید فشار متوسط بین نقاط i و j از نوع p

 

هزینة ثابت خط جدید فشار ضعیف بین نقاط i و j از نوع c

 

هزینة ثابت یک پست جدید در نقطه i از نوع s

 

حداکثر جریان بین نقاط i و j از خط فشار ضعیف نوع c

 

حداکثر جریان بین نقاط i و j از خط فشار متوسط نوع p

 

مقاومت خط بین نقاط i و j از خط فشار متوسط نوع p

 

مقاومت خط بین نقاط i و j از خط فشار ضعیف نوع s

 

تلفات مسی یک ترانسفورماتور در نقطه i از نوع d

 

تلفات آهنی یک ترانسفورماتور در نقطه i از نوع d

 

بیشترین توان یک ترانسفورماتور از نوع d

 

بیشترین توان یک DG از نوع g

 

بیشترین توان یک پست از نوع s

 

میزان توان بار در نقطه i برای سطح بار l

 

بیشترین ولتاژ در نقطه i

 

بیشترین ولتاژ در نقطه i برای فازهای a و b وc

 

کمترین ولتاژ در نقطه i

 

کمترین ولتاژ در نقطه i برای فازهای a و b وc

متغیرها

 

متغیر توسعة خط موجود بین نقاط i و j از نوع p در شبکة فشار متوسط

 

متغیر توسعة خط موجود بین نقاط i و j از نوع c در شبکة فشار ضعیف

 

متغیر توسعة پست موجود در نقطه iاز نوع s

 

متغیر نصب ترانسفورماتور در نقطه i از نوع d

 

متغیر نصب DG در نقطه i از نوع g

 

متغیر نصب خط جدید بین نقاط i و j از نوع p در شبکة فشار متوسط

 

متغیر نصب خط جدید بین نقاط i و j از نوع c در شبکة فشار ضعیف

 

متغیر نصب پست جدید در نقطه iاز نوع s

 

جریان بین دو نقطه i و j برای بار l در شبکة فشار متوسط

 

جریان بین دو نقطه i و j برای سطح بار l در شبکة فشار ضعیف برای فازهای a و b وc

 

توان تزریقی به ترانسفورماتور نقطه i برای سطح بار l

 

توان تزریقی از DG نقطه i برای سطح بار l

 

توان تزریقی از پست نقطه i برای سطح بار l

 

ولتاژ نقطه i در شبکة فشار متوسط برای سطح بار l

 

ولتاژ نقطه i در شبکة فشار ضعیف برای سطح بار l در فازهای a و b وc

 



[1] تاریخ ارسال مقاله: 09/06/1398

تاریخ پذیرش مقاله: 09/10/1398

نام نویسندۀ مسئول: عبداله راستگو

نشانی نویسندۀ مسئول: ایران - کرمانشاه - دانشگاه آزاد اسلامی - واحد کرمانشاه - گروه مهندسی برق



[i] Simulated Annealing (SA

[ii] Grey Wolf Optimization (GWO)

[iii] Teaching Learning Based Optimization (TLBO

[1] M. Ponnavaikko and K. P. Rao, "Optimal distribution system planning," IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, No. 6, pp. 2969-2977, 1981.
[2] V. Miranda, J. Ranito, and L. M. Proenca, "Genetic algorithms in optimal multistage distribution network planning," IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 9, No. 4, pp. 1927-1933, 1994.
[3] I. J. Ramirez-Rosado and J. L. Bernal-Agustin, "Genetic algorithms applied to the design of large power distribution systems," IEEE Transactions on Power Systems,Vol. 13, No. 2, pp. 696-703, 1998.
[4] F. Riva, and M. R. Irving. "An efficient genetic algorithm for optimal large-scale power distribution network planning." Power Tech Conference Proceedings, Vol. 3, 2003.
[5] W. El-Khattam, Y. Hegazy, and M. Salama, "An integrated distributed generation optimization model for distribution system planning," IEEE transactions on power systems, Vol. 20, No. 2, pp. 1158-1165, 2005.
[6] S. Haffner, L. F. A. Pereira, L. A. Pereira, and L. S. Barreto, "Multistage model for distribution expansion planning with distributed generation—Part I: Problem formulation," IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 23, No. 2, pp. 915-923, 2008.
[7] M. Lavorato, M. J. Rider, A. V. Garcia, and R. Romero, "A constructive heuristic algorithm for distribution system planning," IEEE transactions on power systems, Vol. 25, No. 3, pp. 1734-1742, 2010.
[8] E. Naderi, H. Seifi, and M. S. Sepasian, "A dynamic approach for distribution system planning considering distributed generation," IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 27, No. 3, pp. 1313-1322, 2012.
[9] B. R. P. Junior, A. M. Cossi, J. Contreras, and J. R. S. Mantovani, "Multiobjective multistage distribution system planning using tabu search," IET Generation, Transmission & Distribution, Vol. 8, No. 1, pp. 35-45, 2014.
[10] R. R. Gonçalves, J. F. Franco, and M. J. Rider, "Short-term expansion planning of radial electrical distribution systems using mixed-integer linear programming," IET Generation, Transmission & Distribution, Vol. 9, No. 3, pp. 256-266, 2014.
[11] H. Wang and L. Shi, "Optimal distribution network expansion planning incorporating distributed generation," in 2016 IEEE PES Asia-Pacific Power and Energy Engineering Conference (APPEEC), 2016: IEEE, pp. 1714-1718.
[12] K. M. Jagtap and D. K. Khatod, "Loss allocation in radial distribution networks with various distributed generation and load models," International Journal of Electrical Power & Energy Systems,Vol. 75, pp. 173-186, 2016.
[13] A. Azizivahed, H. Narimani, E. Naderi, M. Fathi, and M. R. Narimani, "A hybrid evolutionary algorithm for secure multi-objective distribution feeder reconfiguration," Energy, Vol. 138, pp. 355-373, 2017.
[14] A. zizivahed, E. Naderi, H. Narimani, M. Fathi, and M. R. Narimani, "A new bi-objective approach to energy management in distribution networks with energy storage systems," IEEE Transactions on Sustainable Energy, Vol. 9, No. 1, pp. 56-64, 2017.
[15] E. Díaz-Dorado, J. C. Pidre, and E. M. García, "Planning of large rural low-voltage networks using evolution strategies," IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 18, No. 4, pp. 1594-1600, 2003.
[16] A. M. Cossi, R. Romero, and J. R. S. Mantovani, "Planning of secondary distribution circuits through evolutionary algorithms," IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 20, No. 1, pp. 205-213, 2005.
[17] A. M. Cossi, R. Romero, and J. R. S. Mantovani, "Planning and projects of secondary electric power distribution systems," IEEE Transactions on power systems, Vol. 24, No. 3, pp. 1599-1608, 2009.
[18] A. Navarr and H. Rudnick, "Large-scale distribution planning—Part I: Simultaneous network and transformer optimization," IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 24, No. 2, pp. 744-751, 2009.
[19] V. M. VELEZ M, R. A. HINCAPIE I, and R. A. GALLEGO R, "Low voltage distribution system planning using diversified demand curves," Electrical power & energy systems, Vol. 61, pp. 691-700, 2014.
[20] S. Harnisch, P. Steffens, H. H. Thies, K. Cibis, M. Zdrallek, and B. Lehde, "New planning principles for low voltage networks with a high share of decentralized generation," 2016.
[21] P. Paiva, H. Khodr, J. Dominguez-Navarro, J. Yusta, and A. Urdaneta, "Integral planning of primary-secondary distribution systems using mixed integer linear programming," IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 20, No. 2, pp. 1134-1143, 2005.
[22] A. Marcos and J. R. Sanches, "Integrated planning of electric power distribution networks," IEEE Latin America Transactions, Vol. 7, No. 2, pp. 203-210, 2009.
[23] I. Ziari, G. Ledwich, and A. Ghosh, "Optimal integrated planning of MV–LV distribution systems using DPSO," Electric Power Systems Research,Vol. 81, No. 10, pp. 1905-1914, 2011.
[24] R. Gholizadeh-Roshanagh, S. Najafi-Ravadanegh, and S. H. Hosseinian, "A framework for optimal coordinated primary-secondary planning of distribution systems considering MV distributed generation," IEEE Transactions on Smart Grid, Vol. 9, No. 2, pp. 1408-1415, 2016.
[25] K. M. Jagtap and D. K. Khatod, "Loss allocation in radial distribution networks with various distributed generation and load models," International Journal of Electrical Power & Energy Systems,Vol. 75, pp. 173-186, 2016.
[26] A. Azizivahed, H. Narimani, E. Naderi, M. Fathi, and M. R. Narimani, "A hybrid evolutionary algorithm for secure multi-objective distribution feeder reconfiguration," Energy, Vol. 138, pp. 355-373, 2017.
[27] A. Azizivahed, E. Naderi, H. Narimani, M. Fathi, and M. R. Narimani, "A new bi-objective approach to energy management in distribution networks with energy storage systems," IEEE Transactions on Sustainable Energy, Vol. 9, No. 1, pp. 56-64, 2017.
[28] A. Ehsan and Q. Yang, "State-of-the-art techniques for modelling of uncertainties in active distribution network planning: A review," Applied energy, 2019.
[29] J. R. Mantovani, "A decomposition approach for integrated planning of primary and secondary distribution networks considering distributed generation," International Journal of Electrical Power & Energy Systems, Vol. 106, pp. 146-157, 2019.
[30] S. Xie, Z. Hu, L. Yang, and J. Wang, "Expansion planning of active distribution system considering multiple active network managements and the optimal load-shedding direction," International Journal of Electrical Power & Energy Systems, Vol. 115, p. 105451, 2020.
[31] K. Kaewmamuang, A. Siritaratiwat, C. Surawanitkun, P. Khunkitti, and R. Chatthaworn, "A novel method for solving multi-stage distribution substation expansion planning," Energy Procedia, Vol. 156, pp. 371-383, 2019.
[32] J. F. Bard, Practical bilevel optimization: algorithms and applications. Springer Science & Business Media, 2013.
[33] A. J. Conejo, E. Castillo, R. Minguez, and R. Garcia-Bertrand, Decomposition techniques in mathematical programming: engineering and science applications. Springer Science & Business Media, 2006.
[34] G. Wang, Z. Wan, and X. Wang, "Solving method for a class of bi-level linear programming based on genetic algorithms," in Proceedings of PDCAT conference, 2005.
A. Zare, et al. "A distributionally robust chance-constrained MILP model for multistage distribution system planning with uncertain renewables and loads." IEEE Transactions on Power Systems 33.5 (2018): 5248-5262