طراحی کنترل‌کننده PID مرتبه کسری چندهدفه فراابتکاری برای سیستم TRMS

نوع مقاله: مقاله علمی فارسی

نویسندگان

1 کارشناس‌ارشد، گروه مهندسی برق، دانشکده فنی‌ومهندسی، واحد خمینی‌شهر، دانشگاه آزاد اسلامی، اصفهان، ایران

2 استادیار گروه مهندسی برق، دانشکده فنی‌ومهندسی، واحد خمینی‌شهر، دانشگاه آزاد اسلامی، اصفهان، ایران

10.22108/isee.2020.115509.1217

چکیده

بهینه‌سازی، فرآیندی است که از دیرباز شایان ‌توجه پژوهشگران علوم مختلف بوده و از روش‌های آن برای افزایش بهره‌وری و کاهش هزینه‌ها استفاده‌ شده است. در این زمینه، رسیدن هم‌زمان به چند هدف متناقض بسیار اهمیت دارد. در مهندسی کنترل، بهینه‌سازی پارامترهای کنترل‌کننده، در حالتی که رسیدن به چندین هدف کنترلی مختلف مدنظر باشد، چالش بزرگ محسوب می‌شود. در این مقاله، کنترل‌کنندهPID  مرتبه ‌کسری برای یک هلیکوپتر آموزشی با دو موتورDC  با نام TRMS طراحی‌ شده است. طراحی این کنترل‌کننده بر مبنای الگوریتم‌های بهینه‌سازی چندهدفۀ ابتکاری و در نظر گرفتن مجموعه‌های مختلف توابع هدف است. درنهایت، عملکرد این الگوریتم‌ها برای بهینه‌‌کردن پارامترهای کنترل‌کننده‌ها بر سیستم TRMS دکوپله‌شده، براساس جبهۀ پرتو و معیارهای ارزیابی عملکرد مختلف ازجمله فاصله و غیر یکنواختی جبهۀ پرتو با یکدیگر مقایسه شده است. نتایج ارزیابی نشان از عملکرد مطلوب کنترل‌کننده PID مرتبه‌ کسری به‌صورت چندهدفه برای سیستم TRMS دارد.

کلیدواژه‌ها


عنوان مقاله [English]

Designing a Metaheuristic Multi-objective Fractional-order PID Controller for TRMS system

نویسندگان [English]

  • Reihaneh Bahramipour-Esfahani 1
  • Mehdi Nasri 2
  • S. Mohammad Tabatabaei 2
1 Dept. of Electrical Engineering, Khomeinishahr Branch, Islamic Azad University, Isfahan, Iran
2 Dept. of Electrical Engineering, Khomeinishahr Branch, Islamic Azad University, Isfahan, Iran
چکیده [English]

O
Optimization is a process that has long been considered by researchers in various fields and its methods have been utilized to increase productivity while reducing costs. Moreover, it is essential to achieve simultaneously several contradictory goals. In control engineering, optimizing controller parameters to attain several different goals could be considered as a significant challenge. In this paper, a fractional-order PID controller is designed for a training helicopter with two DC motors, called Twin-Rotor Multi Input Multi Output System (TRMS). The design of this controller is based on the optimization of different objective functions with metaheuristic multi-objective optimization algorithms. Finally, their Pareto front and different evaluation criteria such as Spacing Metric and Non- uniformity of Pareto Front are employed to compare the performance of these algorithms for optimization of controller parameters on the decoupled TRMS system. The results show the superiority of the proposed multi-objective fractional-order PID controller for the TRMS system.

کلیدواژه‌ها [English]

  • Heuristic Optimization
  • Multi-Objective Optimization
  • TRMS System
  • Fractional Order PID Controller (FOPID)

1- مقدمه[1]

TRMS [1] مدل آزمایشگاهی از هلیکوپتر و الگوی مفید برای ارزیابی استراتژی‌های کنترل به علت پیچیدگی و اثرات تداخل میان پروانه‌های سیستم است و در اختیار محققان قرار می‌گیرد تا بدین‌وسیله کنترل‌کننده‌های طراحی‌شده، بدون خطر روی سیستم‌های اصلی پیاده‌سازی شوند و نتایج آن را مشاهده کنند [1]. TRMS از دو هواپیمای عمودی و افقی تشکیل ‌شده و از دیدگاه سیستمی، سیستم دو ورودی - دو خروجی است که دو موتور DC با دو زاویۀ کنترل‌شده، کنترل سیستم را بر عهده‌ دارند [2]. در سیستم TRMS تداخل شدیدی میان هواپیمای افقی و هواپیمای عمودی وجود دارد که این تداخل به‌طور مستقیم بر حرکت و سرعت دو موتور تأثیر می‌گذارد [3]. تا کنون تحقیقات مختلفی در رابطه با طراحی کنترل‌کننده برای سیستم TRMS صورت گرفته است ]4-7[.

در مرجع [4]، از چهار کنترل‌کنندۀ PID برای کنترل سیستم TRMS استفاده ‌شده است. در این روش به علت تعدد PIDها پیچیدگی محاسباتی وجود دارد و دربارۀ پارامترهای بهینه برای کنترل‌کننده‌ها صحبت نشده است. در سال 2017، طراحی کنترل‌کننده PID کلاسیک روی موتور TRMS صورت گرفته است که پارامترهای کنترل‌کننده‌ها با روش زیگلر - نیکولز تعیین ‌شده‌اند. روش زیگلر - نیکولز، روش تجربی برای تعیین پارامترها است و ضرایب به‌دست‌آمده از این روش لزوماً بهینه نیستند و تنظیم نهایی برای رسیدن به پاسخ بهتر به روش سعی و خطا حول مقادیر به‌دست‌آمده انجام می‌شود [5]

در طراحی سیستم‌های کنترل از الگوریتم‌های بهینه‌سازی ابتکاری استفاده می‌شود. محققان این الگوریتم‌ها را با الهام از طبیعت برای حل مسائلی طراحی‌ کرده‌اند که عموماً ماهیت غیرخطی یا مشتق‌ناپذیر دارند. در سال‌های اخیر تحقیقات گوناگونی در زمینۀ طراحی کنترل‌کننده روی سیستم‌های مختلف، با استفاده از الگوریتم‌های جستجوی ابتکاری و همین‌طور استفاده از توابع هدف مختلف و بهینه‌سازی آنها صورت گرفته است. در مرجع [6]، چهار کنترل‌کننده PID برای سیستم TRMS با استفاده از یک الگوریتم وراثتی حقیقی (RGA[2]) و با استفاده از تابع هدف ITE[3]، برای بهینه‌سازی طراحی‌ شده است. در سال 2018 نیز یک طراحی با چهار کنترل‌کننده PID برای سیستم TRMS با استفاده از روش‌های محاسبات تکاملی صورت گرفته که به‌صورت تک‌هدفه و با استفاده از بهینه‌سازی تابع هدف ISE[4] است [7]. اگرچه این طراحی نتایج دقیق به همراه دارد، به دلیل اینکه باید دوازده پارامتر بهینه شود، دارای پیچیدگی محاسباتی است و بهتر است سیستم دکوپله شود. روش‌های ذکرشدۀ محاسبات تکاملی به‌صورت تک‌هدفه‌اند؛ با ‌وجود این، معمولاً در یک طراحی ایدئال چندین هدف مدنظر است و طراحی تک‌هدفه کارایی چندانی ندارد. همچنین در این مراجع، تنها از کنترل‌کننده PID کلاسیک برای کنترل سیستم استفاده‌ شده است. PID کلاسیک دارای سه پارامتر کنترلی است. هرچه تعداد پارامترهای کنترلی بیشتر باشد، بهینه‌سازی دقیق‌تری صورت می‌گیرد. با استفاده از حسابان کسری، کنترل‌کننده با کارایی بالاتری طراحی می‌شود.

حسابان کسری یکی از شاخه‌های علم ریاضیات به شمار می‌آید که تعمیم مشتق و انتگرال معمولی به مرتبۀ غیر صحیح دلخواه است. ابزار حسابان کسری بعد از تکامل به دو طریق عمده باعث بهبود کارایی حلقه‌های کنترلی شده است: ارتقای کیفیت مدل‌سازی و ارتقای کارایی کنترل‌کننده‌ها. به سبب اینکه کنترل‌کننده‌های سنتی حالت خاصی از کنترل‌کننده‌های مرتبه ‌کسری هستند، استفاده از این کنترل‌کننده‌ها باعث ارتقای کارایی سیستم‌های ‌کنترلی طراحی‌شده با کنترل‌کننده‌های سنتی نیز می‌شود [8]. با استفاده از انتگرال‌گیر و مشتق‌گیر مرتبه‌ کسری و تعمیم آن در کنترل‌کننده PID ساختار FOPID[5] به دست می‌آید [9]. تحقیقات اخیر نشان می‌دهد عملکرد PID مرتبه ‌کسری نسبت به PID کلاسیک به‌مراتب بهتر است [9-12]. تحقیقات بسیاری در زمینۀ طراحی کنترل‌کننده PID مرتبه ‌کسری برای سیستم‌های تک‌ورودی - تک خروجی انجام گرفته است‌. همچنین در رابطه با طراحی کنترل‌کننده و تعیین پارامترهای کنترل‌کننده نیز روش‌های مختلفی ارائه‌ شده‌اند؛ برای مثال، در مرجع [13] و [14] به‌ترتیب طراحی کنترل‌کننده PID مرتبه ‌کسری براساس توابع متعامد لاگور و طراحی کنترل‌کننده PID مرتبه ‌کسری براساس تطبیق لحظه‌ای و روش تعیین اختصاص نسبت روی سیستم‌های تک‌ورودی - تک‌خروجی طراحی‌ شده است؛ اما به دلیل طراحی مشکل PID مرتبه‌ کسری تحقیقات گسترده‌ای در زمینۀ طراحی این کنترل‌کننده برای سیستم‌های چندورودی - چندخروجی صورت نگرفته است. از تحقیقات صورت‌گرفته در زمینۀ طراحی PID مرتبه ‌کسری برای سیستم‌های چندورودی - چندخروجی به [15-17] اشاره می‌شود. در [15, 17] برای بهینه‌سازی پارامترهای کنترل‌کننده از الگوریتم تک‌هدفه PSO [18] استفاده ‌شده است. در مرجع [19] طراحی کنترل‌کننده مرتبه‌ کسری برای سیستم TRMS، انجام و سیستم، دکوپله و از دو کنترل‌کننده و تابع هدف ISE استفاده‌ شده است.
در طراحی سیستم‌های کنترل، گاه با مسائلی روبه‌رو می‌شویم که نیاز به بهینه‌کردن چندین هدف کنترلی به‌طور هم‌زمان وجود دارد که معمولاً باهم در تضادند؛ برای مثال، پایداربودن، شرط اساسی سیستم کنترلی است. همچنین باید علاوه بر پایداری مطلق، پایداری نسبی قابل قبولی نیز داشته باشد. همچنین، پاسخ باید به‌طور معقولی سریع و میرا باشد. سیستم کنترلی باید بتواند خطاها را تا صفر یا مقادیر نسبتاً کمی کاهش دهد. شرط پایداری نسبی معقول و شرط دقت در حالت ماندگار ناسازگارند. پس باید میان این دو یا چند شرط مؤثرترین مصالحه را برقرار کرد. به‌ این ‌ترتیب، یک سیستم کنترلی ایدئال به‌صورت چندهدفه طراحی می‌شود [20]. در سال 2016 طراحی یک کنترل‌کننده برای سیستم TRMS به‌صورت چندهدفه انجام‌ شده که از تابع هدف IAE[6] [21] برای نقطۀ تنظیم و برای اثرات تداخل و تابع هدف TV[7] [22] برای بهینه‌سازی و نیز برای بهینه‌کردن پارامترهای کنترل‌کننده از یک الگوریتم چندهدفه با عنوانsp-MODE [23] استفاده ‌شده‌ و مانند پژوهش‌های قبل تنها کنترل‌کننده PID کلاسیک برای سیستم استفاده شده است [1]. 
در تحقیقات پیشین در زمینۀ طراحی کنترل‌کننده PID و PID مرتبه‌ کسری به‌صورت چندهدفه و با استفاده از روش‌ها و الگوریتم‌های بهینه‌سازی ابتکاری، مطالعات جامع و دقیقی صورت گرفته است. با توجه به این نکته که در طراحی کنترل‌کننده برای یک سیستم معمولاً بیش از یک هدف مدنظر است، باید بر این مسئلۀ چالش‌برانگیز و روش‌های مؤثر و کارا در حوزۀ بررسی چندهدفه کنترل‌کننده‌ها تأکید شود. به سبب اینکه یک الگوریتم بهینه‌سازی چندهدفه ابتکاری مناسب می‌تواند به نتایج بهینه برای سیستم‌های کنترل منجر شود، انتخاب الگوریتم مناسب نیز اهمیت زیادی دارد. 
بدین منظور، در این مقاله، هدف˚ طراحی کنترل‌کننده PID مرتبه ‌کسری به‌صورت چندهدفه برای سیستم TRMS است. در پژوهش‌های قبلی عمدتاً سیستم‌ها به‌صورت تک - ورودی تک - خروجی در نظر گرفته می‌شدند. دلیل انتخاب سیستم TRMS در این مقاله، دو - ورودی دو –خروجی‌بودن آن است که تداخلات زیرسیستم‌های آن چالش‌برانگیز است و کارایی الگوریتم‌های بهینه‌سازی ابتکاری را تاحدود زیادی ارزیابی می‌کند. توابع هدف استفاده‌شده در بحث چندهدفۀ این طراحی، به‌صورت ترکیبی باهم و از حوزه‌های مختلف به کار گرفته می‌شوند؛ برای مثال، در یک تابع هدف از توابع خطا در حوزۀ زمان و حوزۀ فرکانس به‌عنوان دو تابع هدف اول و دوم استفاده می‌شود. در طراحی کنترل‌کنندۀ چندهدفه، از پنج الگوریتم بهینه‌سازیNSGA-II [8] [24]،MOPSO [9] [25]،MOEA/D [10] [26]،SPE-II [11] [27] وPESA-II [12] [28] برای بهینه‌سازی توابع هدف و پارامترهای کنترل‌کننده PID و PID مرتبه کسری استفاده می‌شود که از مهم‌ترین و متداول‌ترین الگوریتم‌های بهینه‌سازی چندهدفه‌اند. عملکرد هر الگوریتم، با استفاده از مجموعۀ کاملی از معیارهای ارزیابی کمی علاوه بر جبهۀ‌ پرتو با یکدیگر مقایسه می‌شوند. مشخص‌کردن بهترین الگوریتم چندهدفه از بین الگوریتم‌های مقایسه‌شده برای بهینه‌سازی پارامترهای کنترل‌کننده و داشتن عملکرد مناسب، یکی دیگر از نوآوری‌های این مقاله است. در آخر، کارایی کنترل‌کننده‌های PID و PID مرتبه کسری نیز مقایسه شده‌اند.
بخش‌بندی ادامۀ مقاله به این صورت است که در بخش دو، مدل فیزیکی سیستم TRMS و چگونگی دکوپله‌سازی سیستم معرفی شده است. در بخش سوم، کنترل‌چندهدفه و در بخش چهارم، کنترل‌کنندۀ مرتبه‌کسری معرفی شده است. در بخش پنجم، توابع هدف استفاده‌شده در مقاله معرفی شده است. در بخش ششم، الگوریتم‌های فراابتکاری چندهدفه استفاده‌شده در مقاله بررسی شده است. در بخش هفتم، نتایج شبیه‌سازی‌ها و معیارهای ارزیابی عملکرد ارائه شده است و درنهایت، بخش هشتم، نتیجه‌گیری شده است.
 

2- مدل فیزیکی سیستم TRMS

مدل فیزیکی سیستم TRMS در شکل (1) نشان داده ‌شده است. هرکدام از دو موتور DC در سیستم TRMS به یک پروانه[13] متصل شده‌اند که دو پروانه عمود بر یکدیگرند. اتصال بین دو موتور با یک میلۀ چرخش‌شده بر پایۀ آن ساخته‌ شده است. نخستین قسمت زاویه ‌کنترل عمودی (پیچ[14] یا بخش اصلی[15]) است که با روتور اصلی کنترل می‌شود. دومین قسمت زاویۀ کنترل افقی (زاویۀ یاو[16] یا دمُ[17]) است که با روتور دمُ کنترل می‌شود [1, 2].

با اعمال قانون نیوتون می‌توان نشان داد معادلات دیفرانسیل توصیف‌کننده حرکت سیستم از رابطه (1) پیروی می‌کند [5, 29]:

 

 

شکل (1): مدل فیزیکی TRMS [5]

 

 

(1)

 

 

 

 

بردارهای خروجی و حالت، مطابق با رابطه‌ (2) حاصل می‌شود.

(2)

 

 

که  زاویه پیچ و  زاویه یاو،  سرعت روتور اصلی (هواپیما عمودی)، سرعت روتور دمُ (هواپیما افقی)،  ولتاژ ورودی برای روتور اصلی و  ولتاژ ورودی برای روتور دم است.

سیستم TRMS به‌عنوان سیستم خطی زمان پیوسته به فرم رابطه (3) نشان داده می‌شود.

(3)

 

 

که  بردار حالت،  بردار ورودی و  بردار خروجی است. ماتریس سیستم با خطی‌کردن سیستم غیرخطی به دست می‌آید.برای این منظور با گرفتن مشتق جزئی از معادلات غیرخطی (1) ماتریس‌های خطی سیستم طبق رابطه‌های (4) تا (6) حاصل می‌شود.

(4)

 

(5)

 

(6)

 

 

فرم عملکرد ماتریس انتقال برای TRMS به‌صورت رابطه (7) است.

(7)

 

 

که درایه‌های این ماتریس به‌صورت روابط (8) تا (11) نشان داده‌ شده‌اند.

 

(8)

 

(9)

 

(10)

 

(11)

 

 

در این بخش، مدل فیزیکی سیستم بررسی شده است. با توجه به روابط (8) تا (11) درایه  برابر با صفر است که تأثیری بر عملکرد سیستم ندارد؛ اما درایه  دارای مقدار غیرصفر است که در عملکرد سیستم، تداخل ایجاد می‌کند؛ درنتیجه، سیستم مستلزم دکوپله‌سازی است. در بخش 2-1 به چگونگی دکوپله‌سازی سیستم پرداخته می‌شود.

 

2-1-دکوپله‌سازی سیستم

همان‌طور که در بخش‌ قبل توضیح داده شد به دلیل وجود تداخل، سیستم نیازمند دکوپله‌سازی است. برای درک بهتر اثر تداخل در سیستم، در این بخش، آزمایشی برای ‌مثال طراحی ‌شده است. در آغاز به ورودی اول سیستم، مقدار صفر و به ورودی دوم، پلۀ واحد اعمال شد. انتظار می‌رود خروجی اول، صفر و خروجی دوم دارای شکل موج باشد که به همین صورت اتفاق می‌افتد که در شکل (2) نشان داده‌ شده است. حال اگر به ورودی اول، پله واحد و به ورودی دوم، مقدار صفر اعمال شود، مجدداً انتظار می‌رود خروجی اول دارای شکل موج و خروجی دوم دارای مقدار صفر باشد؛ اما چنین نیست؛ بلکه باوجود اینکه در ورودی دوم مقدار صفر اعمال‌ شده است، برای خروجی دوم نیز شکل موج تشکیل می‌شود که این نشان‌دهندۀ اثر تداخل در سیستم است (نشان داده شده در شکل 3). برای رفع این مشکل، لازم است روی سیستم عمل دکوپله‌سازی انجام شود. در این مقاله، سیستم TRMS با استفاده از روش دکوپله‌سازی لوییبن [30]، دکوپله شده است کهG  نشان‌دهندۀ سیستم، D دکوپله‌ساز و C کنترل‌کننده است.ماتریس D و P مطابق با رابطه‌های (12) و (13) نوشته می‌شود [31, 32]. ساختار کلی سیستم دکوپله‌شده در شکل (4) نشان داده‌ شده است.

 

(12)

 

(13)

 

 

 

شکل (2): خروجی اول و دوم بعد از اعمال مقدار صفر به ورودی اول و پله واحد به ورودی دوم

 

شکل (3): خروجی اول و دوم بعد از اعمال پله واحد به ورودی اول و مقدار صفر به ورودی دوم

 

 

شکل (4): سیستم کنترل دکوپله‌شده [31]

 

روش استفاده‌شده در این مقاله، دکوپله‌سازی معکوس نامیده می‌شود که ورودی فرآیند را به‌عنوان یک ترکیب وزن‌دار زمانی از یک خروجی کنترل‌کننده بازخوردی و ورودی فرآیندهای دیگر می‌گیرد. در مراجع [33-35] از این روش برای دکوپله‌سازی سیستم‌های دیگر نیز استفاده‌ شده است. تابع تبدیل سیستم TRMS مطابق رابطه‌ (14) در نظر گرفته می‌شود و دکوپله‌سازD  به‌صورت رابطه‌ (15) نوشته می‌شود [31].

(14)

 

(15)

 

 

در این سیستم  یک تابع سره بوده و قابل ساخت است؛ بنابراین، دکوپله‌ساز مطابق رابطه‌ (16) به دست می‌آید.

(16)

 

 

اکنون کافی است دو کنترل‌کننده  و  به‌ترتیب برای توابع  و  طراحی شود. درواقع به دو کنترل‌کنندۀ تک‌ورودی - تک‌خروجی برای این طراحی نیاز است. شکل (5) نحوۀ قرارگیری دکوپله‌کننده، سیستم و کنترل‌کننده‌ها را در مدار نشان می‌دهد. در مدل طراحی‌شده در ابتدای این بخش، دکوپله‌کننده نیز اضافه می‌شود. شکل (6) خروجی اول و دوم در حالت ورودی اول، صفر و ورودی دوم، پلۀ واحد را نشان می‌دهد. با توجه به شکل (7)، زمانی که به ورودی اول، پلۀ واحد و به ورودی دوم، مقدار صفر اعمال می‌شود، اثر تداخلی کاملاً از بین می‌رود و خروجی اول دارای شکل موج و خروجی دوم صفر می‌شود و به ‌این ‌ترتیب در این مثال، سیستم دکوپله شده است.

 

 

شکل (5): سیستم TRMSهمراه با دکوپله‌کننده و کنترل‌کننده‌های و  [36].

 

شکل (6): خروجی اول و دوم بعد از اعمال مقدار صفر به ورودی اول و پلۀ واحد به ورودی دوم در حضور دکوپله‌کننده

 

 

شکل (7): خروجی اول و دوم بعد از اعمال پلۀ واحد به ورودی اول و مقدار صفر به ورودی دومدر حضور دکوپله‌کننده

 

3-کنترل چندهدفه

یک سیستم کنترل چندهدفه، سیستمی است که بتواند بهترین مصالحه را میان چندین هدف مدنظر برقرار کند [20, 37].برای یافتن بهترین مقدار پارامترهای چنین کنترل‌کننده‌ای از الگوریتم‌های بهینه‌سازی چندهدفه استفاده می‌شود. ازجمله کنترل‌کننده‌های  استفاده‌شده در طراحی سیستم‌های کنترلی، کنترل‌کننده‌های مرتبه ‌کسری هستند. کنترل‌کننده‌های مرتبه کسری به دلیل مزایا و برتری‌شان بر کنترل‌کننده‌های کلاسیک عملکرد بهتر و نتایج مطلوب‌تری از خود ارائه می‌دهند.

 

4-کنترل‌کنندهPIDمرتبه‌کسری

چندین تعریف برای بیان مشتق و انتگرال مرتبه ‌کسری وجود دارد. ازجمله این تعریف‌ها تعریف (RL)، تعریف Caputo و تعریف (GL) هستند. در این مقاله از روش Caputo برای بیان مشتق و انتگرال‌گیر مرتبه ‌کسری استفاده‌ شده است.

انتگرال کسری  Caputoبا مرتبه  به‌صورت رابطه‌ (17) تعریف می‌شود.

 

(17)

 

 

کنترل‌کننده‌ای که با تابع تبدیل (18) توصیف می‌شود، اصطلاحاً کنترل‌کننده PID مرتبه‌کسری یا کنترل‌کننده FOPID یا کنترل‌کننده  نامیده می‌شوند [9, 38].

 

(18)

,

در ساختار فوق مرتبه انتگرال‌گیری و مرتبه مشتق‌گیری را مشخص می‌کند. کنترل‌کنندۀ مرتبه‌ کسری دارای پنج پارامتر کنترلی تنظیم‌شده‌اند؛ بنابراین، این کنترل‌کننده در مقایسه با کنترل‌کننده PID کلاسیک که تنها دارای سه پارامتر ‌تنظیم‌شده است، از توانایی‌های بیشتری برخوردار است. درواقع همان‌گونه که عملگرهای مشتق یا انتگرال کلاسیک حالت‌های خاصی از عملگرهای مشتق یا انتگرال مرتبه‌کسری هستند، کنترل‌کننده PID کلاسیک نیز حالت خاصی ( ) از کنترل‌کننده PID مرتبه‌کسری در نظر گرفته می‌شود.

 

5-توابع هدف

عملکرد سیستم کنترل معمولاً براساس رفتار پاسخ گذرا ارزیابی می‌شود. بدین‌منظور، معمولاً از پاسخ پله به دلیل سهولت تولید آن در ارزیابی عملکرد سیستم کنترل استفاده می‌شود. به‌طورکلی توابع هدف به چند دسته تقسیم می‌شوند. توابع هدف حوزۀ زمان کلاسیک شامل بیشینۀ فراجهش، زمان‌خیز و ...، توابع هدف خطا در حوزۀ زمان شامل ISE (انتگرال مجذور خطا) و IAE (انتگرال قدر مطلق خطا) و ... [21]، توابع هدف حوزۀ فرکانسی مانند حد فاز و ... [39]، توابع هدف مربوط به خروجی کنترل‌کننده و توابع هدف مربوط به تابع انتقال سیستم و کنترل‌کننده [22]. در این مقاله، به ‌دلیل عمومیت و مقبولیت بیشتر توابع هدف حوزۀ زمان و فرکانس و همچنین توابع خطا در حوزۀ زمان، از دو سری تابع هدف استفاده ‌شده است.

تابع هدف اول، مربوط به حوزۀ زمان و خطای حوزۀ زمان است که مطابق رابطه‌ (19) تعریف‌ شده است. تابع هدف دوم مرتبط با حوزۀ فرکانس و خطای حوزۀ زمان است که مطابق با رابطه (21) است.

·      تابع هدف1:

(19)

 
 
در این تابع، تابع هدف اول به‌صورت حوزۀ زمانی در نظر گرفته‌ شده است. تابع اول بیشینۀ بالازدگی (
 
)، زمان نشست (
 
) و (
 
 و
 
) وزن‌های داده‌شده به پارامترهای تابع را شامل می‌شود. تابع دوم (
 
) انتگرال زمان مربع خطا است که به‌صورت رابطه (20) تعریف می‌شود.

(20)

 
 
که در آن
 
 ورودی سیستم،
 
خروجی سیستم و 
 
 زمان پایان و زمان آغاز فرآیند هستند.
 
·      تابع هدف 2:

(21)

 
در این تابع هدف، این بار تابع اول به‌صورت فرکانسی در نظر گرفته شده است. این تابع شامل حدفاز (
 
) است. با توجه به اینکه حدفاز به‌تنهایی برای مسئلۀ بیشینه‌سازی در نظر گرفته می‌شود، برای مسئلۀ کمینه‌سازی باید به‌صورت رابطۀ معکوس نوشته شود و درواقع به ‌دلیل اینکه تابع شایستگی باید مقدار مثبتی باشد، از یک عدد بزرگ کم می‌شود که اینجا از عدد 100 کم شده است. تابع دوم (
 
) انتگرال مربع خطا است که به‌صورت رابطه (22) تعریف می‌شود. 
 

(22)

 
 
6- الگوریتم‌های ابتکاری چندهدفه
در این بخش، مروری بر چند الگوریتم ابتکاری چندهدفه شده است. این الگوریتم‌های چندهدفه نه‌تنها در زمینۀ مهندسی کنترل، در زمینۀ مهندسی قدرت [40, 41]، مهندسی الکترونیک [42, 43] و سایر زمینه‌های مهندسی برق نیز کاربرد زیادی دارند. در این قسمت، سعی شده است این مرور به‌اختصار انجام شود که در صورت لزوم می‌توان برای اطلاعات بیشتر، به مراجع اصلی آنها مراجعه کرد.
 
6-1- الگوریتم وراثتی چندهدفه با مرتب‌سازی مغلوب‌نشده‌ها - نسخۀ دوم(NSGA-II)

این الگوریتم با اضافه‌شدن دو عملگر ضروری رتبه و فاصلۀ ازدحامی به الگوریتم وراثتی تک‌هدفه معمولی، به یک الگوریتم چندهدفه تبدیل‌ شده است. در این الگوریتم به‌ جای یافتن بهترین جواب تک‌بعدی، دسته‌ای از بهترین جواب‌ها به‌ دست می‌آید. در بررسی ازطریق عملگر رتبه، اعضای جمعیت در داخل دسته‌هایی قرار می‌گیرند؛ به ‌گونه‌ای که اعضای موجود در دستۀ اول، یک مجموعۀ کاملاً غیرمغلوب توسط دیگر اعضای جمعیت فعلی‌اند. این روند به‌همین صورت ادامه می‌یابد تا به تمام اعضای موجود در هر دسته، مطابق با شکل (8) یک رتبه بر مبنای شمارۀ دسته اختصاص داده شود.

 

شکل (8): رتبۀ جبهه‌های پرتو با توجه به میزان مغلوب‌نشدگی [24]

 

فاصلۀ ازدحامی بیان‌کنندۀ اندازه‌ای از نزدیکی نمونۀ مدنظر به دیگر اعضای جمعیت آن دسته و گروه است. مقدار عددی که از محاسبۀ فضای مربعی (در مسائل دوهدفه) اطراف جوابi  با به کار بردن نزدیک‌ترین همسایه‌های آن به دست می‌آید، فاصلۀ ازدحامی نامیده می‌شود که از رابطه (23) حساب می‌شود.

(23)

 

 

در این رابطه، مقادیر  و  به‌ترتیب مقادیر هدف نقاط بعدی و قبلی نقطۀ iهستند و مقادیر  و  به‌ترتیب بیشترین و کمترین مقادیر تابع هدف‌اند. مراحل الگوریتم طبق فلوچارت شکل (9) است.

 

6-2- الگوریتم بهینه‌سازی ازدحام ذرات چندهدفه (MOPSO)
این الگوریتم تعمیمی از الگوریتم ازدحام ذرات (PSO) است که در آن، بخش تعیین بهترین ذره و بهترین خاطرۀ شخصی هر کدام از ذرات که در الگوریتم PSO کلاسیک وجود دارد، تغییر کرده است. در این الگوریتم، مفهومی با عنوان آرشیو[18] وجود دارد که شامل یک جمعیت از پاسخ‌های نامغلوب است. آرشیو، تقریبی از جبهۀ ‌پرتو است که باید اعضای آنها را جدا کرد تا از دست نروند. هریک از ذرات برای حرکت خود از بین اعضای آرشیو، یک رهبر انتخاب می‌کنند. در این الگوریتم، از یک فضای‌ هدف جدول‌بندی‌شده استفاده می‌شود. برای دانستن اینکه ذرات چگونه از میان اعضای آرشیو، یک رهبر انتخاب می‌کنند، باید احتمال انتخاب هر کدام از خانه‌های موجود در آرشیو را بررسی کنند و انتخاب از روش چرخ گردان و روش محاسبۀ احتمال بولتزمن، انجام شود. مراحل اجرای این الگوریتم در فلوچارت شکل (10) نشان داده‌ شده است.
 

 

شکل (9): فلوچارت الگوریتم NSGA-II[24]

 

در رابطه (24) و (25)، فشار انتخاب است و  تعداد اعضای آرشیو برای پیاده‌سازی چرخ گردان است.

(24)

 

(25)

 

 

 

شکل (10): فلوچارت الگوریتم MOPSO [25]

 
6-3- الگوریتم بهینه‌سازی مبتنی بر ترکیب (MOEA/D)
این الگوریتم مسئلۀ چندهدفه را به تعدادی زیر مسئلۀ بهینه‌سازی اسکالر تبدیل می‌کند و آنها را هم‌زمان بهینه‌سازی می‌کند. در این روش، یک بردار وزن برای هر زیرمسئله تعریف می‌شود و توابع هدف با استفاده از این بردار وزن در یک تابع هدف تجمیع می‌شوند. در طی جستجو، جواب هر زیرمسئله با همکاری اعضای همسایگی تولید می‌شود. این مرحله، مرحلۀ همکاری[19] نامیده می‌شود. علاوه بر این، جواب زیرمسئله‌هایی که در همسایگی زیرمسئلۀ جاری قرار دارد، به آن زیرمسئله، ولی با بردار وزنی مربوط به خودش ارائه می‌شود. این مرحله، مرحلۀ رقابت[20] نامیده می‌شود. مراحل اجرای الگوریتم نیز به‌صورت فلوچارت شکل (11) است.
 

شکل (11): فلوچارت الگوریتم MOEA/D[26]

 
6-4-الگوریتم تکاملی پرتوی قدرت 
 SPEA-II))
در این روش، کروموزوم‌های مغلوب‌نشده‌ای که از ابتدای اجرای الگوریتم تا زمان حال به ‌دست ‌آمده‌اند، در یک آرشیو خارجی، ذخیره‌ و در الگوریتم وراثتی مشارکت داده می‌شوند. برازندگی کروموزوم‌های جمعیت و مجموعۀ آرشیو خارجی براساس تعداد جواب‌های مغلوب‌شده از آنها به دست می‌آید. برای این منظور، جمعیت و آرشیو باهم ترکیب می‌شوند. در SPEA-II برخلاف الگوریتم SPEA، برای تعریف برازندگی هم مجموعۀ پاسخ‌های مغلوب‌شونده و هم مجموعه پاسخ‌های مغلوب‌کننده تأثیر دارند.مراحل اجرای الگوریتم طبق فلوچارت شکل (12) است.
شکل (12): فلوچارت الگوریتم SPEA-II[27]
 
6-5- الگوریتم پرتو بر پایۀ انتخاب - نسخۀ دوم(PESA-II) 
این الگوریتم همان الگوریتم MOPSO است که به‌ جای اپراتورهای PSO اپراتورهای الگوریتم وراثتی جایگذاری می‌شود. معیار کنترل نظم پاسخ‌ها با ایجاد جدول در فضای هدف انجام می‌شود. تفاوت این الگوریتم با نسخۀ اول آن در عملگر انتخاب است. در نسخۀ اول این الگوریتم انتخاب براساس افراد است؛ ولی در نسخۀ دوم انتخاب براساس نواحی انجام می‌پذیرد.مراحل اجرای این الگوریتم مطابق با فلوچارت شکل (13) رسم شده است.
 
 
شکل (13): فلوچارت الگوریتم PESA-II[28]
 
7- نتایج

در این بخش، به نتایج بهینه‌سازی پارامترهای کنترل‌کننده PID مرتبه‌ کسری برای سیستم TRMS و همین‌طور به بهینه‌سازی توابع دو هدفه معرفی‌شده در بخش قبل با پنج الگوریتم بهینه‌سازی چندهدفۀ NSGA-II،MOPSO ،MOEA/D ،  SPEA-II و PESA-II پرداخته‌ شده است. تابع تبدیل سیستم TRMS قراردادن نقطۀ کار سیستم ( ) و مقادیر پارامترهای موجود در جدول (1)، در معادلات (8) تا (11) به‌صورت رابط (26) تا (29) حاصل می‌شود:

(26)

 

(27)

 

(28)

 

(29)

 

 

با دکوپله‌سازی سیستم، توابع تبدیل برای زاویۀ عمودی و افقی مطابق روابط (30) و (31) است.

 

(30)

 

(31)

 

 

جدول (1): معرفی پارامترهای  TRMS[1]

مقدار

تعریف

نماد

 

اینرسی لحظه‌ای روتور عمودی

 
 

اینرسی لحظه‌ای روتور افقی

 
 

پارامتر مشخصۀ استاتیک

 
 

پارامتر مشخصۀ استاتیک

 
 

پارامتر مشخصۀ استاتیک

 
 

پارامتر مشخصۀ استاتیک

 
 

شتاب‌گرانشی

 
 

پارامتر مقدار حرکت اصطکاک

 
 

پارامتر مقدار حرکت اصطکاک

 
 

پارامتر حرکت ژیروسکوپی

 
 

بهره موتور 1

 
 

بهره موتور 2

 
 

پارامتر مخرج موتور 1

 
 

پارامتر مخرج موتور 1

 
 

پارامتر مخرج موتور 2

 
 

پارامتر مخرج موتور 2

 
 

پارامتر حرکت واکنش تقاطع

 
 

پارامتر حرکت واکنش تقاطع

 
 

بهره حرکت واکنش متقاطع

 

 

همان‌طور که قبلاً گفته شد به‌جز مقایسه جبهۀ پرتوی ایجادشده از الگوریتم‌های بهینه‌سازی برای مقایسۀ عملکرد الگوریتم‌های تکاملی به معیارهایی برای مقایسۀ عملکرد این الگوریتم‌ها نیاز است.شکل (14) نمای کلی از طراحی کنترل‌کننده برای سیستم TRMS ارائه‌شده در این مقاله را نشان می‌دهد.

 

 

شکل (14):طرح کنترل برای TRMS

7-1 معیارهای ارزیابی

در این بخش، معیارهایی برای مقایسۀ عملکرد الگوریتم‌ها ارائه ‌شده است. به‌طورکلی معیارهای ارزیابی عملکرد به دو دستۀ معیارهای نیازمند مرجع پرتو و معیارهای بی‌نیاز از مرجع تقسیم می‌شوند.به سبب اینکه مسئلۀ ما مرجع پرتو ندارد، از معیارهای بدون مرجع برای مقایسۀ عملکرد الگوریتم‌ها استفاده می‌شود.
 
  • ·      معیار فاصله[21](SP)

این معیار طبق رابطه (32) برای اندازه‌گیری میزان گسترش در میان راه‌حل‌های به‌دست‌آمده استفاده می‌شود. هدف از معیار فاصلۀ تشخیص توزیع بردارها در سراسر مجموعه جواب‌های مغلوب‌نشده است.

(32)

 

 

که در این رابطه  و  به‌ترتیب برابرند با کمینه فاصلۀ اقلیدسی میان اعضای جبهۀ پرتو و میانگین مقادیر .Q تعداد اعضای جبهۀ پرتو هستند. هرچه مقدار این معیار کمتر باشد، عملکرد الگوریتم بهتر است [44].

 

  • ·      غیریکنواختی جبهۀ پرتو[22] (NPF)

این معیار مطابق با رابطه (30) میزان غیریکنواختی جبهۀ پرتو را نشان می‌دهد. این معیار یک انحراف استاندارد فاصلۀ نرمال‌شده با  است. فاصلۀ اقلیدسی به مقیاس داده‌شده به هر یک از اهداف بستگی دارد. هرچه این مقدار بیشتر می‌شود، فضای جبهۀ پرتو غیریکنواخت‌تر می‌شود. پس هرچه مقدار این معیار کمتر باشد، عملکرد الگوریتم بهتر است [45].

(33)

 

 

  • ·      تعداد اعضای جبهۀ پرتو[23]

هرچه تعداد اعضای موجود در جبهۀ پرتو بیشتر باشد، عملکرد الگوریتم بهتر است [46].

 

(34)

 

 

7-2 نتایج شبیه‌سازی

در این مقاله برای سیستم TRMS دو کنترل‌کننده PID  مرتبه ‌کسری با پارامترهای و  برای تابع اول و پارامترهای  و  برای تابع دوم قرار داده‌ شده است. در این مقاله از ninteger Toolbox [47] استفاده‌ شده که n=5 ،  و از روش تقریب crone استفاده شده است. تعداد جمعیت 10 و تعداد آرشیو نیز 10 عضو در نظر گرفته‌ شده است. برای ارزیابی منصفانه، تعداد تکرار همۀ الگوریتم‌ها باهم برابر و به مقدار 200 تکرار در نظر گرفته شدند. از دو دسته تابع هدف دو هدفه معرفی‌شده در بخش 5-1 برای بهینه‌سازی با پنج الگوریتم ابتکاری چندهدفه استفاده‌ شده است که وزن‌های  و  در نظر گرفته ‌شده است.تمام الگوریتم‌ها با نرخ جهش 0.5 و نرخ همبری 0.5 مقایسه شده‌اند. در شکل‌های (15) و (16) جبهۀ پرتوی الگوریتم‌ها برای تابع اول و دوم برای کنترل‌کننده PID و در شکل‌های (17) و (18) برای کنترل‌کننده  PIDمرتبه ‌کسری رسم شده است. الگوریتمSPEA-II  عملکرد بسیار بهتری نسبت به سایر الگوریتم‌ها در هر دو تابع هدف و در هر دو کنترل‌کننده از خود نشان داده است. درخور ذکر است پایداری سیستم کنترل در روش‌های فراابتکاری به‌صورت نظریه ‌اثبات‌شدنی نیست؛ ازاین‌رو، برای تضمین پایداری در شبیه‌سازی سیستم، سعی شده است محدودیت‌هایی در نظر گرفته شود؛ ازاین‌رو، اگر مجموعه پارامترهای کنترل‌کننده‌های PID یا PID مرتبه کسری باعث ناپایداری سیستم شود، توابع هدف در نظر گرفته‌ شده برای سیستم به‌صورت جریمه، مقدار بزرگی (مقدار ۱۰۰) در نظر گرفته می‌شود؛ ازاین‌رو، سیستم کنترل این مجموعه، مقادیر را در تکرارهای آتی صرف‌نظر می‌کند و درنهایت با همگرایی الگوریتم ابتکاری، سیستم کنترل نیز پایدار می‌شود.

 

شکل (15): جبهۀ پرتوی الگوریتم‌ها برای تابع هدف اول TRMS-PID

 

 

شکل (16): جبهۀ پرتوی الگوریتم‌ها برای تابع هدف دوم TRMS-PID

 

 

شکل (17): جبهۀ پرتوی الگوریتم‌ها برای تابع هدف اول TRMS-FOPID

 

شکل (18): جبهۀ پرتوی الگوریتم‌ها برای تابع هدف دوم TRMS-FOPID

 

نتایج حاصل از معیارهای ارزیابی عملکرد الگوریتم‌های بهینه‌سازی چندهدفه برای TRMS-PID در جدول (2) و برای TRMS-FOPID در جدول (4) آمده‌‌اند. نتایج مقایسۀ مقادیر آن نیز در جدول‌های (3) و (5) نشان داده‌ شده‌اند.با توجه به جدول (3) و شکل جبهه‌های پرتو، هم در تابع اول و هم در تابع دوم بهترین عملکرد و بالاترین رتبه با الگوریتم SPEA-II کسب ‌شده است. همچنین این الگوریتم در دو معیار از سه معیار عملکرد در جایگاه اول قرار گرفته است. در تابع هدف دوم، دو الگوریتم  NSGA-II و PESA-II در معیارها بسیار به هم نزدیک‌اند. بعد از الگوریتم SPEA-II که در جایگاه اول قرار دارد، الگوریتم NSGA-II در بهترین رتبه قرار می‌گیرد و به‌ترتیب بعد از آن، الگوریتم‌های PESA-II، MOPSO وMOEAD قرار می‌گیرند. با توجه به جدول (5)، هم در تابع اول و هم در تابع دوم بیشترین تعداد معیار عملکرد مطلوب و بالاترین رتبه به الگوریتم SPEA-II تعلق دارد. بعد از آن نیز الگوریتم NSGA-II در جایگاه بالاتری قرار گرفته است و به دنبال آن الگوریتم MOPSO،  PESA-II و MOEAD قرار گرفته‌اند. با توجه به جدول (5) و نیز شکل جبهۀ پرتو، الگوریتم SPEA-II دارای کمترین میزان غیر یکنواختی جبهۀ پرتو، بیشترین تعداد پاسخ بهینه و کمترین میزان معیار فاصله است. بعد از آن، الگوریتم NSGA-II به‌خصوص در تابع دوم دارای وضعیت مطلوبی است. بعد از آنها به‌ترتیبPESA-II، MOPSO و در آخر الگوریتم MOEAD قرار می‌گیرند.

جدول (2): مقادیر معیارهای ارزیابی عملکرد به‌دست‌آمده با الگوریتم‌ها برای TRMS-PID

معیارهای ارزیابی عملکرد

PFN

NPF

SP

الگوریتم

تابع

6

0.5284

0.58495

NSGA-II

تابع هدف اول

4

1.5438

5.0732

MOPSO

9

0.70752

0.1445

SPEA-II

4

2.7912

0.42685

MOEAD

5

1.5284

0.98495

PESA-II

8

0.93154

2.1027

NSGA-II

تابع هدف دوم

5

1.1684

4.1534

MOPSO

10

0.57175

1.7411

SPEA-II

3

2.9189

7.6421

MOEAD

9

0.568

1.2998

PESA-II

 

جدول (3): نتایج مقایسۀ عملکرد الگوریتم‌های چندهدفه برای TRMS-PID

معیارهای ارزیابی عملکرد

PFN

NPF

SP

رتبه

تابع

SPEA-II PESA-II

NSGA-II

SPEA-II

رتبه1

تابع هدف اول

NSGA-II

SPEA-II

MOEAD

رتبه2

MOPSO

PESA-II

NSGA-II

رتبه3

MOEAD

MOPSO

PESA-II

رتبه4

-

MOEAD

MOPSO

رتبه5

SPEA-II

SPEA-II

PESA-II

رتبه1

تابع هدف دوم

NSGA-II

PESA-II

NSGA-II

SPEA-II

رتبه2

MOPSO

MOPSO

NSGA-II

رتبه3

MOEAD

PESA-II

MOPSO

رتبه4

-

MOEAD

MOEAD

رتبه5

           

 

با توجه به جداول (3) و (5) و شکل جبهه‌های پرتو، مشخص است در برخی معیارها عملکرد الگوریتم‌ها در حالت با کنترل‌کننده FOPID نسبت به حالت سیستم همراه با کنترل‌کننده PID بهبود داشته است. این بهبود ناشی از قدرت مانور بیشتر کنترل‌کننده مرتبه‌ کسری با توجه به تعداد پارامترهای بیشتر است. با توجه به شکل جبهه‌های پرتو مشخص است جبهه‌ها در حالت FOPID در جایگاه بهتری نسبت به PID قرار گرفته‌اند. در شکل‌های (19) و (20) پاسخ زمانی نقاط  Aتا E هر پنج الگوریتم برای TRMS-PID برای تابع هدف اول رسم شده که مقادیر پارامترهای کنترل‌کننده‌ها در جدول (6) آمده‌اند.

 

جدول (4): مقادیر معیارهای ارزیابی عملکرد به‌دست‌آمده با الگوریتم‌ها برای TRMS-FOPID

معیارهای ارزیابی عملکرد

PFN

NPF

SP

الگوریتم

تابع

10

0.98053

0.63224

NSGA-II

تابع هدف اول

9

1.0258

1.44942

MOPSO

10

0.5122

0.42492

SPEA-II

4

2.8284

1.49942

MOEAD

7

1.739

1.7716

PESA-II

8

1.2204

0.49199

NSGA-II

تابع هدف دوم

8

0.97986

2.5399

MOPSO

10

0.3623

0.10855

SPEA-II

4

5.7332

3.1591

MOEAD

6

0.45316

1.0193

PESA-II

 

جدول (5): نتایج مقایسۀ عملکرد الگوریتم‌های چندهدفه برای TRMS-FOPID

معیارهای ارزیابی عملکرد

PFN

NPF

SP

رتبه

تابع

SPEA-II

NSGA-II

SPEA-II

SPEA-II

رتبه1

تابع هدف اول

MOPSO

NSGA-II

NSGA-II

رتبه2

PESA-II

MOPSO

MOEAD

رتبه3

MOEAD

PESA-II

MOPSO

رتبه4

-

MOEAD

PESA-II

رتبه5

SPEA-II

SPEA-II

SPEA-II

رتبه1

تابع هدف دوم

NSGA-II

PESA-II

NSGA-II

رتبه2

MOPSO

MOPSO

PESA-II

رتبه3

PESA-II

NSGA-II

MOPSO

رتبه4

MOEAD

MOEAD

MOEAD

رتبه5

 

 

باوجود بهینه‌شدن پاسخ‌ها در شکل‌های (19) و (20)، این جواب‌ها پاسخ‌های مناسبی نیستند و دارای اعوجاج زیادی‌اند. در شکل‌های (23) و (24) نیز دیاگرام‌های بود نقاط  تا  برای TRMS-PID برای تابع هدف دوم رسم شده و مقادیر پارامترهای بهینۀ این پاسخ‌ها در جدول (8) آمده‌اند. انتظار می‌رود با پیاده‌سازی کنترل‌کننده FOPID روی سیستم TRMS، به دلیل وجود دو پارامتر بیشتر نسبت به PID پاسخ‌های مناسب‌تری ایجاد شده باشد. در شکل‌های (21) و (22) پاسخ زمانی نقاط A1 تاE1  برای تابع هدف اول برای سیستم TRMS-FOPID رسم شده که مقادیر پارامترهای بهینۀ این پاسخ در جدول (10) آمده ‌است. در تابع اول، هدف˚ کمینه‌سازی میزان بالازدگی و زمان نشست است. با توجه به شکل‌های (21) و (22) کمترین میزان بالازدگی و زمان نشست، هم در کنترل‌کنندۀ اول و هم در کنترل‌کنندۀ دوم متعلق به الگوریتم SPEA-II است. بعد از آن نیز الگوریتم‌هایNSGA-II ، MOPSO، PESA-II وMOEAD  قرار دارند. در شکل‌های (25) و (26) دیاگرام بود سیستم برای الگوریتم‌ها در زمان بهینه‌سازی تابع هدف دوم براساس نقاط A2 تا E2 رسم شده است که روی شکل (16) مشخص ‌شده‌اند. همان‌طور که روی نمودار فاز مشخص است، در هر دو تابع بهترین عملکرد متعلق به SPEA-II یعنی نقطه A2  است. مقادیر پارامترهای بهینه‌شده برای تابع هدف دوم با الگوریتم‌‌ها در جدول (12) ذکر شده‌اند. با مقایسه پاسخ‌های‌ زمانی TRMS-PID وTRMS-FOPID  عملکرد بهتر کنترل‌کننده FOPID ‌مشاهده می‌شود. برای نمایش مصالحه بین اهداف در جدول‌های (7)، (9)، (11) و (13) تمامی مقادیر پارامترهای تابع هدف اول شامل ،  ، ، ،  و  و مقادیر اهداف شامل  و  و مقادیر پارامترهای تابع هدف اول شامل ،،  و  و مقادیر اهداف شامل  و  است.

 

 

شکل (19): پاسخ زمانی مقادیر بهینۀ به‌دست‌آمده با الگوریتم‌های چندهدفه برای PID1 با تابع هدف اول

 

شکل (20): پاسخ زمانی مقادیر بهینۀ به‌دست‌آمده با الگوریتم‌های چندهدفه برای PID2 با تابع هدف اول

 

 

شکل (21): پاسخ زمانی مقادیر بهینۀ به‌دست‌آمده با الگوریتم‌های چندهدفه برای FOPID1 با تابع هدف اول

 

شکل (22): پاسخ زمانی مقادیر بهینۀ به‌دست‌آمده با الگوریتم‌های چندهدفه برای FOPID2 با تابع هدف


 


جدول (6): مقادیر پارامترهای پاسخ بهینۀ به‌دست‌آمده با الگوریتم‌های چندهدفه برای TRMS-PIDبرای تابع اول

           

 

4.4923

3.3967

4.2611

0.43214

1.0275

0.14458

NSGA-II(B)

14.5589

2.3642

14.4733

1.1101

0.56206

0.14035

MOPSO(C)

4.2878

0.0001

4.5212

0.21653

1.2309

0.040902

SPEA-II(A)

7.5667

10.9346

6.3289

0.7601

0.99322

0.15484

MOEAD(E)

4.4265

0.060528

7.1347

0.21633

1.18965

0.021441

PESA-II(D)

 

جدول (7): مقادیر اهداف پاسخ‌های بهینۀ به‌دست‌آمده با الگوریتم‌های چندهدفه برای TRMS-PIDبرای تابع اول

               

functions

7.3242

24.66

7.1097

2.3416

37.0216

0.2145

12.3852

2.7923

NSGA-II(B)

12.0254

35.98

11.812

3.3632

49.2917

0.2131

17.0338

۳.۰۴۴

MOPSO(C)

6.0866

13.83

5.0927

2.8283

35.6723

0.1591

8.9888

۲.۸۴

SPEA-II(A)

42.717

55.755

42.418

3.381

40.124

0.2981

10.671

8.598

MOEAD(E)

65.83

43.092

65.418

3.4399

50.7418

0.312

۹.8535

8.2555

PESA-II(D)

جدول (8): مقادیر پارامترهای پاسخ بهینۀ به‌دست‌آمده با الگوریتم‌های چندهدفه برای TRMS-PID برای تابع دوم

           

 

4.5572

3.7801

4.4275

0.10455

0.1481

0.10918

NSGA-II( )

2.8079

1.3828

2.6424

0.079751

0.036136

0.029913

MOPSO( )

3.9446

2.9114

3.7485

0.049895

0.15001

0.26219

SPEA-II( )

7.5571

10.2366

3.9109

0.16634

0.1033

0.045062

MOEAD( )

4.1553

4.1063

3.45

0.32173

0.78941

0.009۴۱۰

PESA-II( )

 

جدول (9): مقادیر اهداف پاسخ‌های بهینۀ به‌دست‌آمده با الگوریتم‌های چندهدفه برای TRMS-PID برای تابع دوم

           

functions

34.971

77.61

14.1306

42.369

20.8404

80.021

NSGA-II( )

26.139

78.29

12.5316

37.877

13.6074

40.414

MOPSO( )

24.83

77.923

10.7711

41.421

14.0323

80.656

SPEA-II( )

43.811

91.124

16.0335

38.452

27.777

70.424

MOEAD( )

23.916

78.109

12.983

51.401

10.933

69.4907

PESA-II( )

 

جدول (10): مقادیر پارامترهای پاسخ بهینۀ به‌دست‌آمده با الگوریتم‌های چندهدفه برای TRMS-FOPID برای تابع اول

                   

 

1.1687

0.89842

11.5286

10.1003

7.2969

1.0493

1.6824

1.4711

0.72126

1.0353

NSGA-II(C1)

1.1582

0.82745

11.3811

10.3268

11.0693

1.0211

1.5319

0.87225

1.1216

0.76565

MOPSO(B1)

1.0357

1.27

4.3587

1.1492

6.8199

0.96932

1.6089

1.3512

1.6672

0.87559

SPEA-II(A1)

0.78313

1.0543

11.1857

11.1929

6.7402

1.0141

1.7525

1.0594

1.7407

0.56936

MOEAD(D1)

1.2578

1.0079

7.8606

0.011011

9.1703

0.9221

1.4026

1.9484

1.583

0.88654

PESA-II(E1)

 

 

جدول (11): مقادیر اهداف پاسخ‌های بهینۀ به‌دست‌آمده با الگوریتم‌های چندهدفه برای TRMS-FOPID برای تابع اول

               

functions

4.8383

21.2483

4.0288

2.5672

33.5268

0.8095

7.3828

4.135

NSGA-II(C1)

5.4134

22.359

4.1921

2.8951

34.4692

1.2213

7.95421

4.6686

MOPSO(B1)

4.5372

15.148

3.833

1.7976

23.1178

0.7042

6.35

4.5332

SPEA-II(A1)

5.8836

19.594

5.1649

1.86631

34.0107

0.7187

6.7179

5.0841

MOEAD(D1)

4.9265

24.859

3.986

2.2982

40.506

0.9405

8.8958

5.0453

PESA-II(E1)

 

جدول (12): مقادیر پارامترهای پاسخ بهینۀ به‌دست‌آمده با الگوریتم‌های چندهدفه برای TRMS-FOPID برای تابع دوم

                   

 

0.77502

0.95582

13.794

6.3898

2.4304

0.93259

0.97517

0.94315

0.58393

0.65407

NSGA-II(C2)

0.25797

0.99824

12.4238

5.4524

5.7847

0.98188

0.82143

0.51001

0.28502

0.16129

MOPSO(B2)

0.14302

0.99615

9.5163

0.79959

2.426

0.99258

0.97646

0.30491

0.99139

0.11505

SPEA-II(A2)

0.79952

0.9406

12.0015

10.6932

5.4174

0.89943

0.70913

0.20644

0.16916

0.057232

MOEAD(D2)

0.19156

0.99607

14.8368

8.1303

14.473

0.9313

0.99024

0.09689

0.65442

0.19569

PESA-II(E2)

 

جدول (13): مقادیر اهداف پاسخ‌های بهینۀ به‌دست‌آمده با الگوریتم‌های چندهدفه برای TRMS-FOPID برای تابع دوم

           

functions

29.0184

79.879

7.015

58.5256

22.003

61.5954

NSGA-II(C2)

26.2151

78.899

4.459

60.807

21.756

60.294

MOPSO(B2)

19.981

73.5256

3.7792

49.9244

16.2018

76.5558

SPEA-II(A2)

38.212

77.997

17.3979

67.5419

20.8141

54.4612

MOEAD(D2)

22.1084

78.0239

6.2586

490339

15.8498

72.9422

PESA-II(E2)

 

 

شکل (23): دیاگرام بود مقادیر بهینه به‌دست‌آمده با الگوریتم‌های چندهدفه برای TRMS-PID1با تابع هدف اول

 

 

شکل (24): دیاگرام بود مقادیر بهینۀ به‌دست‌آمده با الگوریتم‌های چندهدفه برای TRMS-PID2با تابع هدف دوم

 

 

 

شکل (25): دیاگرام فاز مقادیر بهینۀ به‌دست‌آمده با الگوریتم‌های چندهدفه برای FOPID1با تابع هدف اول

 

 

شکل (26): دیاگرام فاز مقادیر بهینۀ به‌دست‌آمده با الگوریتم‌های چندهدفه برای FOPID2با تابع هدف دوم

 


8- نتیجه‌گیری و پیشنهاد‌های برای آینده

در این مقاله به بهینه‌سازی کنترل‌کننده FOPID که نمونۀ مرتبه کسری PID کلاسیک است، برای سیستم TRMS با استفاده از پنج الگوریتم بهینه‌سازی به‌صورت چندهدفه و با دو سری تابع هدف دو هدفه پرداخته شد.FOPID  به ‌دلیل داشتن پنج پارامتر کنترلی قدرت مانور بیشتری نسبت به PID کلاسیک دارد. در این بهینه‌سازی از ترکیب توابع هدف حوزۀ زمانی و حوزهۀ فرکانسی با توابع خطا در حوزۀ زمان استفاده شد. برای مقایسه‌ و تفسیر صحیح نتایج به‌دست‌آمده از الگوریتم‌ها از معیارهای ارزیابی عملکرد علاوه بر جبهۀ پرتو استفاده شد که بهترین مقدار برای معیارهای ارزیابی مربوط به الگوریتم SPEA-II بود. همین‌طور بهترین جبهۀ پرتو به این الگوریتم تعلق داشت. با استفاده از پارامترهای بهینه‌شدۀ به‌دست‌آمده برای یک پاسخ برای تابع اول پاسخ زمانی و برای تابع دوم دیاگرام بود رسم شد که بهترین نتیجه مربوط به SPEA-II بود. این مقاله می‌تواند قالبی برای تحقیقات بعدی بر روی کنترل‌کننده‌های چندهدفه باشد. بدین منظور، استفاده از ترکیبات مختلف توابع هدف براساس خصوصیات سیستم مدنظر، از کارهای آینده در این زمینه است.



[1]. تاریخ ارسال مقاله: 08/02/1398

تاریخ پذیرش مقاله: 08/04/1399

نام نویسنده مسئول: مهدی نصری

نشانی نویسنده مسئول: ایران – اصفهان – خمینی‌شهر – دانشگاه آزاد اسلامی - واحد خمینی‌شهر – دانشکده فنی‌و مهندسی.



[1] Twin Rotor MIMO System

[2] Real Genetic Algorithm

[3] Integral Time of Value of Error

[4] integral of the square error

[5] Fractional order PID

[6] Integral of the absolute error value

[7] Total variation of control action

[8] Non- dominated sorting Genetic algorithm-II

[9] Multi-objective Particle swarm Optimization

[10] Multi-Objective Evolutionary Algorithm based on Decomposition

[11] Strength Pareto Evolutionary Algorithm  

[12] Pareto envelope-based selection algorithm

[13] Propeller

[14] Pitch

[15] Main

[16] Yaw

[17] Tail

[18]  Repository

[19] Co-operation

[20] Competition

[21] Spacing Metric

[22] Non- uniformity of Pareto Front

[23] Pareto Front Number

 

 

[1]   G. R. Meza, X. B. Ferragud, J. S. Saez, and J. M. H. Durá, Controller Tuning with Evolutionary Multiobjective Optimization: A Holistic Multiobjective Optimization Design Procedure. Springer, 2016.

[2]   A. Rahideh and M. Shaheed, "Mathematical dynamic modelling of a twin-rotor multiple input-multiple output system," Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part I: Journal of Systems and Control Engineering, vol. 221, no. 1, pp. 89-101, 2007.

[3]   M. Chemachema and S. Zeghlache, "Output feedback linearization based controller for a helicopter-like twin rotor MIMO system," Journal of Intelligent & Robotic Systems, vol. 80, no. 1, pp. 181-190, 2015.

[4]   A. Ramalakshmi and P. Manoharan, "Non-linear modeling and PID control of twin rotor MIMO system," in Advanced Communication Control and Computing Technologies (ICACCCT), 2012 IEEE International Conference on, 2012, pp. 366-369: IEEE.

[5]   P. Kannan and P. Sheenu, "PID Control of Twin Rotor MIMO System," International Journal of Advanced Research in Basic Engineering Sciences and Technology, vol. 3, pp. 1-7, 2017.

[6]   G. D. Prasad, P. Manoharan, and A. Ramalakshmi, "PID control scheme for twin rotor MIMO system using a real valued genetic algorithm with a predetermined search range," in Power, Energy and Control (ICPEC), 2013 International Conference on, 2013, pp. 443-448: IEEE.

[7]   J. Sivadasan and M. Willjuice Iruthayarajan, "Tuning of Nonlinear PID Controller for TRMS Using Evolutionary Computation Methods," Tehnički vjesnik, vol. 25, no. Supplement 1, pp. 105-111, 2018.

[8]   M. s. T. MahsanTavakoli, Fractinal order systems and controllers. khaje nasiredin tousi university, 2015.

[9]   I. Podlubny, "Fractional-order systems and PI/sup/spl lambda//D/sup/spl mu//-controllers," IEEE Transactions on automatic control, vol. 44, no. 1, pp. 208-214, 1999.

[10]  C. A. Monje, B. M. Vinagre, V. Feliu, and Y. Chen, "Tuning and auto-tuning of fractional order controllers for industry applications," Control engineering practice, vol. 16, no. 7, pp. 798-812, 2008.

[11]  C. Yeroglu and N. Tan, "Note on fractional-order proportional–integral–differential controller design," IET control theory & applications, vol. 5, no. 17, pp. 1978-1989, 2011.

[12]  I. Petras, "The fractional-order controllers: Methods for their synthesis and application," arXiv preprint math/0004064, 2000.

[13]  M. Tabatabaei and R. Salehi, "Fractional order PID controller design based on Laguerre orthogonal functions," International Journal of Dynamics and Control, vol. 5, no. 3, pp. 542-550, 2017.

[14]  M. Tabatabaei and M. Haeri, "Design of fractional order proportional–integral–derivative controller based on moment matching and characteristic ratio assignment method," Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part I: Journal of Systems and Control Engineering, vol. 225, no. 8, pp. 1040-1053, 2011.

[15]  M. A. Aboelela, M. F. Ahmed, and H. T. Dorrah, "Design of aerospace control systems using fractional PID controller," Journal of Advanced Research, vol. 3, no. 3, pp. 225-232, 2012.

[16]  A. Djari, T. Bouden, and A. Boulkroune, "Design of a fractional order PID controller for a class of fractional order MIMO systems."

[17]  N. Sadati, M. Zamani, and P. Mohajerin, "Optimum design of fractional order PID for MIMO and SISO systems using particle swarm optimization techniques," in Mechatronics, ICM2007 4th IEEE International Conference on, 2007, pp. 1-6: IEEE.

[18]  J. Kennedy, "Particle swarm optimization," in Encyclopedia of machine learning: Springer, 2011, pp. 760-766.

[19]  S. K. Mishra and S. Purwar, "To design optimally tuned FOPID controller for twin rotor MIMO system," in Engineering and Systems (SCES), 2014 Students Conference on, 2014, pp. 1-6: IEEE.

[20]  J. J. DiStefano, A. J. Stubberud, and I. J. Williams, Schaum's outline of feedback and control systems. McGraw-Hill Professional, 1997.

[21]  K. Ogata, "Transient and steady-state response analysis," Modern control engineering, p. 172, 2010.

[22]  T. N. L. Vu and M. Lee, "Analytical design of fractional-order proportional-integral controllers for time-delay processes," ISA transactions, vol. 52, no. 5, pp. 583-591, 2013.

[23]  G. Reynoso-Meza, J. Sanchis, X. Blasco, and M. Martínez, "Design of continuous controllers using a multiobjective differential evolution algorithm with spherical pruning," in European Conference on the Applications of Evolutionary Computation, 2010, pp. 532-541: Springer.

[24]  K. Deb, A. Pratap, S. Agarwal, and T. Meyarivan, "A fast and elitist multiobjective genetic algorithm: NSGA-II," IEEE transactions on evolutionary computation, vol. 6, no. 2, pp. 182-197, 2002.

[25]  M. J. Reddy and D. Nagesh Kumar, "Multi‐objective particle swarm optimization for generating optimal trade‐offs in reservoir operation," Hydrological processes, vol. 21, no. 21, pp. 2897-2909, 2007.

[26]  Q. Zhang and H. Li, "MOEA/D: A multiobjective evolutionary algorithm based on decomposition," IEEE Transactions on evolutionary computation, vol. 11, no. 6, pp. 712-731, 2007.

[27]  E. Zitzler, M. Laumanns, and L. Thiele, "SPEA2: Improving the strength Pareto evolutionary algorithm," TIK-report, vol. 103, pp. 1-19, 2001.

[28]  D. W. Corne, N. R. Jerram, J. D. Knowles, and M. J. Oates, "PESA-II: Region-based selection in evolutionary multiobjective optimization," in Proceedings of the 3rd Annual Conference on Genetic and Evolutionary Computation, 2001, pp. 283-290: Morgan Kaufmann Publishers Inc.

[29]  B. Pratap, A. Agrawal, and S. Purwar, "Optimal control of twin rotor MIMO system using output feedback," in Power, Control and Embedded Systems (ICPCES), 2012 2nd International Conference on, 2012, pp. 1-6: IEEE.

[30]  W. L. Luyben, "Distillation decoupling," AIChE Journal, vol. 16, no. 2, pp. 198-203, 1970.

[31]  P. Chen and W. Zhang, "Improvement on an inverted decoupling technique for a class of stable linear multivariable processes," ISA transactions, vol. 46, no. 2, pp. 199-210, 2007.

[32]  K. J. Åström, K. H. Johansson, and Q.-G. Wang, "Design of decoupled PI controllers for two-by-two systems," IEE Proceedings-Control Theory and Applications, vol. 149, no. 1, pp. 74-81, 2002.

[33]  E. Gagnon, A. Pomerleau, and A. Desbiens, "Simplified, ideal or inverted decoupling?," ISA transactions, vol. 37, no. 4, pp. 265-276, 1998.

[34]  Z. Li and Y. Chen, "Ideal, simplified and inverted decoupling of fractional order TITO processes," IFAC Proceedings Volumes, vol. 47, no. 3, pp. 2897-2902, 2014.

[35]  H. L. Wade, "Inverted decoupling: a neglected technique," ISA transactions, vol. 36, no. 1, pp. 3-10, 1997.

[36]  B. T. Jevtović and M. R. Mataušek, "PID controller design of TITO system based on ideal decoupler," Journal of Process Control, vol. 20, no. 7, pp. 869-876, 2010.

[37]  B. Vroemen and B. De Jager, "Multiobjective control: An overview," in Decision and Control, 1997., Proceedings of the 36th IEEE Conference on, 1997, vol. 1, pp. 440-445: IEEE

[38]  S. E. Hamamci, "An algorithm for stabilization of fractional-order time delay systems using fractional-order PID controllers," IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 52, no. 10, pp. 1964-1969, 2007.

[39]  I. Pan and S. Das, "Frequency domain design of fractional order PID controller for AVR system using chaotic multi-objective optimization," International Journal of Electrical Power & Energy Systems, vol. 51, pp. 106-118, 2013

[40]  F. Rashidi, "Private Investor-based Transmission Expansion Planning in a Deregulated Environment Using Pareto Bat Inspired Algorithm," Computational Intelligence in Electrical Engineering, vol. 8, no. 3, pp. 25-46, 2017.

[41]  M. khakpoor, m. jafari nokandi, and A. a. abdoos, "Simultaneous Generation and Transmission Expansion Planning in the Power Market using Multi-objective Genetic Algorithm," Computational Intelligence in Electrical Engineering, vol. 6, no. 3, pp. 0-99, 2015.

[42]  S. Mohammadi Esfahrood and S.-H. Zahiri, "Comparing the Performance of Novel Swarm Intelligence Optimization Methods for Optimal Design of the Sense Amplifier-based Flip-Flops," Computational Intelligence in Electrical Engineering, vol. 11, no. 1, pp. 11-28, 2020.

[43]  M. Dehbashian and s. H. Zahiri, "A Novel Optimization Tool for Automated Design of Integrated Circuits based on MOSGA," Computational Intelligence in Electrical Engineering, vol. 2, no. 3, pp. 17-34, 2011.

[44]  K.-L. Du and M. Swamy, Search and optimization by metaheuristics. Springer, 2017.

[45]  M. Arjmand and A. A. Najafi, "Solving a multi-mode bi-objective resource investment problem using meta-heuristic algorithms," Advanced Computational Techniques in Electromagnetics, vol. 1, pp. 41-58, 2015.

[46]  G. G. Yen and Z. He, "Performance metric ensemble for multiobjective evolutionary algorithms," IEEE Transactions on Evolutionary Computation, vol. 18, no. 1, pp. 131-144, 2014.

[47]  D. Valério and J. S. Da Costa, "Ninteger: a non-integer control toolbox for MatLab," Proceedings of the Fractional Differentiation and its Applications, Bordeaux, 2004.