کاهش مرتبه سیستم‌های ناپایدار با استفاده از کمینه‌سازی تابع چندهدفه مجموع وزنی ITSE و نرم H با الگوریتم خفاش

نوع مقاله: مقاله علمی فارسی

نویسندگان

گروه مهندسی برق، دانشکده فنی و مهندسی - دانشگاه بین‌المللی امام خمینی قزوین - قزوین - ایران

چکیده

این کار، روشی برای کاهش مرتبۀ سیستم‌های ابعاد وسیع ناپایدار با استفاده از کمینه‌سازی تابع چندهدفه مجموع وزنی معیارهای ITSE و H با کمک الگوریتم خفاش ارائه شده است. ابتدا مدل ناپایدار به دو بخش پایدار و ناپایدار تفکیک شده، سپس با در نظر گرفتن بخش پایدار و با استفاده از نرم هانکل، مرتبة مناسب سیستم مرتبه کاهشی تعیین شده است. در ادامه، ساختار ثابتی با ضرایب مجهول برای مدل مرتبه کاهشی در نظر گرفته می‌شود. با کمینه‌سازی تابع چندهدفه مجموع وزنی معیارهای ITSE و H با کمک الگوریتم خفاش که خطا اختلاف پاسخ پله سیستم اصلی و مدل مرتبه کاهشی است، ضرایب مجهول مدل مرتبه کاهشی تعیین شده‌اند. از محک روث - هرویتز برای ارضای شرط پایداری استفاده شده است که به‌صورت قید در مسئلۀ بهینه‌سازی وارد شده و درنتیجه، مسئلۀ بهینه‌سازی به مسئلۀ بهینه‌سازی مقید تبدیل شده است. در آخر، بخش ناپایدار به بخش کاهش مرتبه یافته الحاق شده است. برای تأیید و نمایش توانمندی و کارایی روش پیشنهادی، سه سیستم ابعاد وسیع کاهش داده شده و با برخی روش‌های کاهش مرتبه از قبیل برش متعادل و تقریب بهینه هانکل مقایسه شده‌اند. نتایج به‌دست‌آمده نشان‌دهندة توانایی و قابلیت روش پیشنهادی نسبت به روش‌های کلاسیک است.

کلیدواژه‌ها


عنوان مقاله [English]

Order Reduction of Unstable Systems by Minimizing the Multi Objective Weighted Sum Function ITSE and H∞ Norm with Bat Algorithm

نویسندگان [English]

  • Hasan Nasiri Soloklo
  • Hassan Zarabadipour
Department of Electrical Engineering, Imam Khomeini International University, Qazvin, Iran
چکیده [English]

In this work, a method for order reduction of unstable systems by minimizing the multi-objective weighted sum function ITSE and H∞ norm with bat algorithm is investigated. At first, the unstable model is divided into two parts: stable and unstable. Then, the order of reduced model is determined by considering the stable part and using Hankel norm. In the following, a fixed structure with unknown coefficients is considered for a reduced order model. By minimizing the weighted sum multi-objective included ITSE and H∞ norm with bat algorithm, in which the error is the difference between the step response of original system and reduced order model, unknown parameters of the reduced order model are determined. The Routh-Hurwitz criterion has been used to satisfy the stability condition, which is introduced as a constraint in the optimization problem, and thus the unconstrained optimization problem is converted to constrained optimization problem. Finally, the unstable part is joined to the reduced order part. To confirm and demonstrate the capability and efficiency of the proposed method, three large systems have been reduced and compared with some order reduction methods such as balanced truncation and optimal Hankel approximation. The results show the capability of the proposed method over classical methods.

کلیدواژه‌ها [English]

  • Large Scale Systems
  • order reduction
  • Bat Algorithm

1- مقدمه[1]

تقریب سیستم‌های مرتبه بالا با مدل‌های مرتبه پایین یکی از مسائل مهم در تئوری سیستم است. استفاده از مدل‌های مرتبه کاهشی تحلیل، شبیه‌سازی و طراحی سیستم کنترلی را آسان‌تر می‌کند. همچنین بُعد پایین سیستم و کنترل‌کننده، پیاده‌سازی کنترل‌کننده، تعمیر و نگهداری آن را ارزان‌ و ساده می‌کند.

دیویسون، کاهش مرتبة سیستم را نخستین‌بار در سال 1966 پیشنهاد کرد [1]. چن و همکاران در سال 1968، با استفاده از بسط نردبانی تابع تبدیل سیستم ابعاد وسیع رهیافتی مبتنی بر بسط‌های حوزه فرکانسی برای کاهش مرتبه ارائه کردند [2]. ویلسون در سال 1970، با کمینه‌سازی انتگرال مربع خطا که در آن، خطا اختلاف میان پاسخ ضربة مدل ابعاد وسیع و مدل کاهش مرتبه یافتة آن بود، نخستین روش مبتنی بر بهینه‌سازی را در کاهش مرتبة سیستم‌های SISO و MIMO ارائه کرد [3,4]. شاماش در سال 1974، با استفاده از تقریب پید[1] برای کاهش مرتبة سیستم‌های پایدار استفاده کرد [5].

ال - عطار و ویدیاساگار در اواخر دهه 70، با کمینه‌کردن نرم  و  روشی برای کاهش مرتبة سیستم‌های ابعاد وسیع ارائه کردند [6]. آبیناتا و همکاران [7] در اوایل دهه‌1980، با کمینه‌کردن معادلة‌ خطا به فرم بسته‌ای از جواب دست یافت. تا پیش از سال 1981 روش‌های کاهش مرتبه عموماً بر پایة مفهوم مقادیر ویژه استوار بودند. در سال 1981 مور با ارائه روشی مبتنی بر مدل متعادل‌شده، انقلابی در کاهش مرتبه ایجاد کرد [8]. در این روش که به برش متعادل[2] معروف است، از مفهوم مدل متعادل و مفاهیم گرامیان کنترل‌پذیری و رؤیت‌پذیری برای تعیین مودهای کم اهمیت‌تر استفاده شده است. پس از مور، گلوور با ارائه مفهومی مشابه به نام تقریب بهینه هانکل[3] به کاهش مرتبة سیستم‌های ابعاد وسیع پرداخت [9].

اندرسون و لیو در اواخر دهه 80 روشی بسیار دقیق به نام انحراف تکین[4] ارائه کردند که در فرکانس‌های پایین، عملکرد بسیار مطلوبی داشت [10].

فلدمن و فروند در سال 1995 روشی بر پایة تقریب پید و مبتنی بر روش لانسوز[5] ارائه کردند که بسیاری از مشکلات محاسبة ممان‌ها[6] را حل کرد [11]. یکی دیگر از روش‌هایی که در کاهش مرتبه بسیار به آن توجه شد، استفاده از الگوریتم‌های تصویرسازی زیرفضای کریلوف[7] است [12]. در سال 1996 جمشیدی در [13] روش‌های کاهش مرتبة سیستم‌های ابعاد وسیع را بررسی و دسته‌بندی کرد. در اوایل قرن اخیر، بهبودهای بسیاری برای روش برش متعادل ارائه شدند [14-15].

در دهه اخیر، استفاده از الگوریتم‌های تکاملی در کاهش مرتبه بسیار درخور توجه قرار گرفته است. چن و همکاران از الگوریتم تفاضلی[8] برای کاهش مرتبة سیستم استفاده کردند [16]. پارمار و همکاران در سال 2007 از الگوریتم انبوه ذرات[9] برای کاهش مرتبة سیستم‌ها استفاده کردند [17]. استفاده از چندجمله‌ای‌های متعامد و الگوریتم‌های تکاملی از دیگر روش‌های کاهش مرتبة مدل است. در این روش‌ها سیستم مرتبه کامل با توابع متعامد بسط داده شد و با کمینه‌سازی تابع هدف با الگوریتم‌های هوشمند مدل مرتبه کاهشی تعیین شد [18-20]. در سال‌های اخیر به کاهش مرتبة سیستم‌های غیرخطی و سیستم‌های دوخطی بسیار توجه شده است. در این روش‌ها با تعمیم روش‌های کاهش مرتبة سیستم‌های خطی از قبیل برش متعادل [21-23]، بهینه‌سازی نرم H2 [24-25]، استفاده از بسط سری ولترا[10] [26] و روش‌های مبتنی بر زیرفضای کریلوف [27-28]، کاهش مرتبة مدل بررسی شده است.

در این مقاله، با استفاده از کمینه‌سازی تابع معیار چندهدفه مجموع ITSE و نرم H سیستم، کاهش مرتبة سیستم‌های ناپایدار بررسی شده است. به‌طور کلی در کاهش مرتبة سیستم‌های ناپایدار دو رهیافت وجود دارد؛ رهیافت تجزیه و رهیافت انتقال [13]. در روش انتقال، مودهای سیستم ناپایدار به‌گونه‌ای انتقال داده می‌شوند که سیستم پایدار شود. سپس کاهش مرتبة سیستم پایدار بررسی می‌شود و در آخر، با عکس انتقال لحاظ شده، مدل ناپایدار کاهش مرتبه یافته به دست می‌آید؛ درحالی‌که در روش تجزیه، مودهای پایدار و ناپایدار از یکدیگر تفکیک می‌شوند و سپس بخش پایدار کاهش مرتبه می‌یابد. با توجه به اینکه در روش انتقال مکان مودهای ناپایدار تغییر می‌کند، این روش نسبت به روش تجزیه محبوبیت کمتری دارد. در صورتی که در روش تجزیه، مودهای ناپایدار تغییر نمی‌کنند. در این مقاله، پس از تفکیک مودهای پایدار و ناپایدار با روش تجزیه، از مفهوم مقادیر تکین هانکل[11] برای تعیین تعداد مودهای کم اهمیت‌تر بخش پایدار استفاده شده است. در ادامه، ساختار ثابت مناسبی برای مدل مرتبه کاهشی در نظر گرفته می‌شود که پارامترهای صورت و مخرج این مدل مرتبه کاهشی مجهول‌اند. با کمینه‌سازی تابع مجموع وزنی انتگرال حاصل‌ضرب زمان در مجذور خطا و اختلاف نرم H، پارامترهای مجهول سیستم مرتبه کاهشی تعیین می‌شوند که در آن، خطا اختلاف پاسخ پله بخش پایدار سیستم اصلی و سیستم مرتبه کاهشی است. این کمینه‌سازی با کمک الگوریتم خفاش[12] انجام می‌شود. برای ارضای شرط پایداری از محک روث[13] استفاده شده است که این شرط به‌صورت قید در مسئلۀ بهینه‌سازی بیان می‌شود و درنتیجه، مسئلۀ بهینه‌سازی به مسئلۀ بهینه‌سازی مقید تبدیل می‌شود. در آخر، بخش ناپایدار تفکیک‌شده به بخش مرتبه کاهشی افزوده می‌شود. برای نشان‌دادن کارایی و دقت روش پیشنهادی، دو سیستم ناپایدار با استفاده از روش پیشنهادی کاهش مرتبه داده شده و با برخی روش‌های کاهش مرتبه مقایسه شده‌‌اند. از نوآوری‌های این مقاله، استفاده از ترکیب دو معیار مبتنی بر حوزة فرکانس و حوزة زمان، یعنی معیارهای ITSEو H، به‌عنوان معیار بهینه‌سازی چندهدفه‌ است. این معیار پیشنهادی قابلیت اثرگذاری در هر دو حوزة زمان و فرکانس را دارد. همچنین، استفاده از الگوریتم خفاش در کاهش مرتبة مدل به‌عنوان الگوریتم فرا ابتکاری از دیگر نوآوری‌های روش پیشنهادی است که یکی از مهم‌ترین ویژگی‌های آن، سرعت بالای همگرایی‌ آن نسبت به دیگر الگوریتم‌ها است. در بخش دوم الگوریتم خفاش، معرفی و در بخش سوم، روش پیشنهادی ارائه شده است. در بخش چهارم شبیه‌سازی و نتایج ارائه می‌شوند و درنهایت، در بخش پنجم جمع‌بندی صورت می‌گیرد.

2- الگوریتم خفاش

الگوریتم خفاش براساس رفتار شنوایی خفاش‌ها در مکان‌یابی طعمه‌هایشان توسعه داده شده است. نخستین‌بار یانگ، الگوریتم بهینه‌سازی خفاش را معرفی کرد [29]. خفاش‌ها یک‌سری پالس‌های‌ مافوق صوت را منتشر می‌کنند و به بازتاب این پالس‌ها از اشیای اطراف گوش می‌دهند. پهنای باند موج‌های مافوق صوت منتشرشده با توجه به نوع اشیا و گونه‌ها تغییر می‌کند و با استفاده از هارمونیک‌ها افزایش می‌یابد. این موج‌ها با تأخیر زمانی و سطوح مختلفی از صوت بازتاب داده می‌شوند و باعث می‌شوند خفاش طعمة مدنظرش را مکان یابی و شکار کند. در سال‌های اخیر، بهینه‌سازی با الگوریتم خفاش در علوم مهندسی بسیار شایان توجه قرار گرفته است. تنظیم بهینة پایدارساز سیستم قدرت غیرمتمرکز برای سیستم چند ماشین [30]، برنامه‌ریزی شبکة انتقال [31]، طراحی بهینة پارامترهای کنترل پیش‌بین مدل برای کنترل فرکانس بار [32] ازجمله کاربردهای اخیر الگوریتم خفاش‌اند. خلاصه‌ای از مراحل بهینه‌سازی الگوریتم خفاش در ادامه ارائه شده است [33].

گام 1. تمام خفاش‌ها برای سنجش فاصله و دسته‌بندی میان طعمه و مانع از شنوایی استفاده می‌کنند.

گام 2. هر خفاش با سرعت  در موقعیت ، با فرکانس ثابت ، طول موج متغیر  و بلندی صوت  برای شکار طعمه پرواز می‌کند. خفاش فرکانس پالس منتشرشدة خود را در محدودة  تنظیم می‌کند و نرخ انتشار پالس  را در محدوده  براساس نزدیکی به هدف تغییر می‌دهد.

گام 3. فرکانس، بلندی صوت و نرخ انتشار پالس هر خفاش تغییر می‌کند.

گام 4. بلندی صوت خفاش‌ها از مقدار بزرگ  به حداقل مقدار ثابت  تغییر می‌کند.

در طول فرایند بهینه‌سازی، موقعیت  و سرعت  به‌صورت (1) تا (3) به‌روز می‌شوند:

(1)

 

(2)

 

(3)

 

موقعیت  و سرعت‌های  به‌ترتیب موقعیت و سرعت هر خفاش iام در تکرار t و  بردار تصادفی به‌دست‌آمده از تابع توزیع یکنواخت است. همچین،  بهترین مکان فعلی است که در هر تکرار پس از مقایسه با موقعیت خفاش‌ها انتخاب می‌شود. در هر تکرار در جستجوی محلی، بهترین جواب، انتخاب و موقعیت جدید هر خفاش به‌طور محلی با گام تصادفی به‌صورت (4) به‌روز می‌شود:

(4)

 

 عددی تصادفی و  متوسط بلندی صوت تمام خفاش‌ها در هر تکرار است. همچنین، بلندی صوت  و نرخ پالس ارسالی r در هر تکرار به‌صورت (5) تا (6) به‌روز می‌شود:

(5)

 

(6)

 

بلندی صوت صفر نشان می‌دهد خفاش طعمه را یافته و به‌طور موقت ارسال پالس را متوقف کرده است. هنگامی که تعداد تکرار به بی‌نهایت میل کند، بلندی صوت به صفر می‌رسد و  است. فلوچارت الگوریتم خفاش در شکل (1) نشان داده شده است [34].

 

 

شکل (1): فلوچارت الگوریتم خفاش

3- روش پیشنهادی

فرض کنید  یک سیستم ابعاد وسیع ناپایدار باشد. ابتدا این سیستم ناپایدار به دو بخش پایدار  و ناپایدار  تفکیک شده است:

(7)

 

اکنون بخش پایدار  که از درجة n است را به‌صورت (8) در نظر بگیرید:

(8)

 

 و  ثابت‌های معلوم‌اند.

فرض کنید مدل مرتبه کاهشی پایدار به‌صورت (9) باشد:

(9)

 

 و  ثابت‌های مجهول و r مرتبة مدل کاهش یافته‌اند که r<n است. برای تعیین r از مفهوم مقادیر تکین هانکل استفاده شده است.

اگر گرامیان کنترل‌پذیری و رؤیت‌پذیری به‌ترتیب با P و Q نمایش داده شوند، با جذر مقادیر ویژه حاصل‌ضرب P و Q، یعنی  مقادیر تکین هانکل محاسبه می‌شوند. با استفاده از این تعریف می‌توان آن دسته از متغیرهای حالت که اثر ضعیفی بر کنترل‌پذیری و رؤیت‌پذیری دارند را مشخص کرد و متعاقباً مرتبة سیستم کاهش یافته را به دست آورد.

هدف، تعیین پارامترهای مجهول سیستم مرتبه کاهشی پایدار است؛ به‌گونه‌ای‌که سیستم  مشخصه‌های سیستم  را داشته باشد.

برای دستیابی به مدل مرتبه کاهشی با روش پیشنهادی، ابتدا بردار پاسخ پله سیستم ،  تعیین شده است. سپس همانند رابطة (9) ساختاری ثابت با ضرایب صورت و مخرج مجهول، بخش پایدار مدل مرتبه کاهشی در نظر گرفته شده است. این پارامترهای مجهول با استفاده از الگوریتم خفاش تعیین خواهند شد. هدف بهینه‌سازی، یافتن بهترین پارامترها برای  است. اگر  و  به‌ترتیب پاسخ پله سیستم  و  باشند، انتگرال حاصل‌ضرب زمان در مجذور خطا به‌صورت (10) تعریف می‌شود:

(10)

 

همچنین، نرم H به‌صورت (11) تعریف می‌شود:

(11)

 

که  و              می‌باشند.

با کمینه‌کردن تابع برازش مجموع وزنی معیار ITSE و نرم H پارامتر‌های مدل مرتبه کاهشی تعیین خواهند شد:

(12)

 

 و  ضرایب وزنی تابع برازش‌اند که به‌صورت تجربی تعیین می‌شوند. با توجه به تأثیر بیشتر معیار ITSE نسبت به نرم H ،  و  انتخاب شده‌اند.

رابطة (12) معیاری ترکیبی است که در هر دو حوزة زمان و فرکانس اثرگذار است. با کمینه‌سازی معیار (12) خطا در هر دو حوزة زمان و فرکانس شایان توجه قرار خواهد گرفت.

به‌دلیل اینکه بخش پایدار سیستم ابعاد وسیع ناپایدار باید کاهش داده شود، مدل مرتبه کاهشی نیز باید پایدار باشد؛ بنابراین، روش پیشنهادی باید پایداری مدل مرتبه کاهشی را نیز تضمین کند. به همین منظور، از محک روث برای تعیین شرط پایداری به‌صورت زیر استفاده شده است [19]:

مخرج مدل مرتبه کاهشی (9) را به‌صورت زیر می‌توان نشان داد [35]:

(13)

 

ضرایب دو سطر اول آرایة روث به‌همراه عناصر ستون اول را به‌صورت می‌توان زیر نمایش داد:

(14)

 

k برای r زوج، 1 و برای r فرد صفر است.

با مقایسة‌ درایه‌های سطر اول با  و سطر دوم با ، رابطة‌ زیر به دست می‌آید:

(15)

 

با قراردادن روابط بالا در مخرج مدل مرتبه کاهشی، رابطة (15) به دست می‌آید؛ بنابراین، شرط لازم و کافی برای اینکه تمام قطب‌های مدل مرتبه کاهشی اکیداً در نیم‌صفحة چپ باشند، عبارت است از:

(16)

 

و در نتیجه:

(17)

 

بنابراین، برای اینکه مدل مرتبه کاهشی پایدار باشد، پارامترهای مدل مرتبه کاهشی، با کمینه‌کردن (12) و رعایت شرط (17) تعیین می‌شوند که مسئلۀ بهینه‌سازی به مسئلۀ بهینه‌سازی مقید تبدیل می‌شود. به عبارت دیگر، مدل مرتبه کاهشی با کمینه‌کردن تابع برازش زیر به دست می‌آید:

(18)

 

با کمینه‌کردن تابع برازش مقید (18) با استفاده از الگوریتم خفاش، پارامترهای  به‌گونه‌ای تعیین می‌شوند که مشخصه‌های آن با مشخصه‌های  نزدیک به هم باشند.

پس از تعیین پارامترهای ، بخش ناپایدار  را به‌صورت (19) به بخش پایدار کاهش مرتبه یافته اضافه می‌کنیم تا مدل مرتبه کاهشی نهایی به دست آید:

(19)

 

گفتنی است در کاهش مرتبة سیستم‌های ناپایدار به‌طور کلی دو رهیافت وجود دارد؛ رهیافت تجزیه و رهیافت انتقال. در روش انتقال، مودهای سیستم ناپایدار به‌گونه‌ای انتقال داده می‌شوند که سیستم پایدار شود. سپس کاهش مرتبة سیستم پایدار بررسی می‌شود و در آخر، با عکس انتقال لحاظ‌شده، مدل ناپایدار کاهش مرتبه یافته به دست می‌آید؛ با این حال، با توجه به اینکه در روش انتقال مکان مودهای ناپایدار تغییر می‌کند، این روش نسبت به روش تجزیه از محبوبیت کمتری برخوردار است؛ در صورتی که در روش تجزیه مودهای ناپایدار تغییر نمی‌کنند.

روش پیشنهادی در گام‌های زیر خلاصه می‌شود:

گام اول: تفکیک سیستم ابعاد وسیع ناپایدار به دو بخش پایدار و ناپایدار؛

گام دوم: در نظر گرفتن بخش پایدار برای کاهش مرتبه؛

گام سوم: انتخاب مرتبة مناسب برای مدل مرتبه کاهشی پایدار با استفاده از مفهوم مقادیر تکین هانکل؛

گام چهارم: انتخاب ساختار ثابت مناسبی همانند (9) برای مدل مرتبه کاهشی که در آن  و  پارامترهای مجهول‌اند و باید تعیین شوند؛

گام پنجم: استفاده از الگوریتم خفاش برای تعیین پارامتر‌های مجهول مدل مرتبه کاهشی پایدار با کمینه‌سازی تابع برازش مقید (18)؛

گام ششم: افزودن بخش ناپایدار به بخش کاهش مرتبه پایدار برای دستیابی به مدل مرتبه کاهشی ناپایدار.

4- شبیه‌سازی و نتایج

در این بخش برای تأیید عملکرد و توانایی روش پیشنهادی، سه سیستم ناپایدار ابعاد وسیع کاهش مرتبه داده شده‌اند. به‌منظور فهم بهتر و آسان‌تر روش پیشنهادی، مثال اول به‌صورت مرحله به مرحله توضیح داده شده است.

مثال 1: سیستم ناپایدار از مرتبه 5 را در نظر بگیرید که در [36] ارائه شده است:

(20)

 

گام 1: تفکیک سیستم ابعاد وسیع ناپایدار (20) به دو بخش پایدار و ناپایدار.

(21)

 

گام 2: در نظر گرفتن بخش پایدار رابطة (20) به‌عنوان مدلی که قصد داریم مرتبة آن را کاهش دهیم.

(22)

 

گام 3: رسم مقادیر تکین بخش پایدار سیستم ابعاد وسیع برای تعیین مرتبة مناسب سیستم مرتبه کاهشی.

 

شکل (2): مقادیر تکین هانکل بخش پایدار سیستم نمونة 1

همان‌طور که مشاهده می‌شود مودهای 2 و 3 نسبت به مود 1 انرژی بسیار کمتری دارند و درنتیجه، از مودهای 2 و 3 می‌توان صرف‌نظر کرد؛ بنابراین، مرتبة مدل کاهش مرتبه یافته 1 است.

گام 4: انتخاب ساختار مناسبی با ضرایب مجهول با توجه به مرتبة به‌دست‌آمده.

(23)

 

گام 5: کمینه‌سازی تابع برازش (18) با استفاده از الگوریتم خفاش برای تعیین پارامترهای مجهول رابطة (23).

(24)

 

گام 6: افزودن بخش ناپایدار به بخش پایدار کاهش مرتبه یافته برای دستیابی به مدل کاهش مرتبه کل.

(25)

 

 

 

شکل (3): پاسخ پله بخش پایدار سیستم اصلی و بخش پایدار کاهش مرتبه یافته با روش پیشنهادی و برخی

روش‌های کلاسیک کاهش مرتبه

 

 

برای نشان‌دادن دقت و کارایی روش پیشنهادی، پاسخ پله بخش پایدار و بخش پایدار کاهش مرتبه یافته با روش پیشنهادی، با دیگر روش‌های رایج کاهش مرتبه از قبیل برش متعادل (BT) [37] و روش تقریب هانکل(HSV) [37] مقایسه شده است. با توجه به شکل‌های (3) و (4) مشاهده می‌شود مشخصه‌های مدل به‌دست‌آمده با روش پیشنهادی نسبت به روش‌های کلاسیک کاهش مرتبه به سیستم اصلی بسیار نزدیک‌تر است. در جدول (1) برخی مشخصه‌های مهم سیستم از قبیل مقدار حالت ماندگار، زمان صعود، زمان نشست و بیشینة فراجهش مقایسه شده‌اند. همچنین، معیار انتگرال حاصل‌ضرب زمان در مربع خطا و نرم  بررسی شدند که تابع هدف در کمینه‌سازی در نظر گرفته شده‌اند.

 

 

شکل (4): نمودار اندازة خطا برای بخش پایدار سیستم اصلی و بخش پایدار کاهش مرتبه یافته با روش پیشنهادی و روش‌های برش متعادل و روش تقریب هانکل برای مثال 1

جدول (1): مقایسة مشخصه‌های بخش پایدار سیستم ابعاد وسیع و مدل کاهش مرتبه یافتة آن برای مثال 1

 

مقدار حالت ماندگار به ورودی پله واحد

بیشینه فراجهش (%)

زمان صعود (ثانیه)

زمان نشست (ثانیه)

انتگرال حاصل‌ضرب زمان در مربع خطا (ITSE)

نرم

سیستم اصلی

86/1

0

9902/2

1970/5

-

8571/1

روش پیشنهادی

86/1

0

8142/2

0110/5

7004/23

8571/1

برش متعادل

64/1

0

7554/1

1258/3

8/1142

6403/1

هانکل

59/1

0

2662/2

0353/4

7/1752

5930/1

 

 

 

با توجه به شکل‌های (3) و (4) و همچنین، جدول (1) مشاهده می‌شود روش پیشنهادی نسبت به دیگر روش‌های کاهش مرتبه، عملکرد مشابه‌تر و مشخصه‌های نزدیک‌تری به بخش پایدار سیستم اصلی دارد.

در ادامه، با افزدون بخش ناپایدار به بخش پایدار کاهش مرتبه یافته با روش پیشنهادی و متعاقباً روش‌های کلاسیک کاهش مرتبه از قبیل BT و HSV، پاسخ پله سیستم ناپایدار مقایسه شده است.

شایان ذکر است که در [36] مرتبة سیستم ناپایدار به 4 کاهش داده شده است؛ درحالی‌که در روش پیشنهادی مرتبة مدل کاهش مرتبه یافته 3 شد و از همین رو در مقایسة عملکرد روش‌های کاهش مرتبه، روش پیشنهادشده در [36] بررسی نشد.

مثال 2: تابع انتقال ناپایدار و ناکمینة فاز از مرتبة 4 ارائه‌شده در [16] را در نظر بگیرید:

(26)

 

 

 

 

شکل (5): پاسخ پله سیستم ناپایدار ابعاد وسیع و مدل‌های کاهش مرتبه یافته برای مثال 1

 

 

با توجه به روش پیشنهادی باید سیستم ناپایدار (26) را به دو بخش پایدار و ناپایدار تفکیک کنیم.

(27)

 

سپس مقادیر تکین هانکل بخش پایدار سیستم ابعاد وسیع (26) را رسم می‌کنیم تا ابعاد بخش مرتبه کاهشی پایدار تعیین شود.

 

شکل (6): مقادیر تکین بخش پایدار سیستم مثال 2

با توجه به شکل (6) مشاهده می‌شود مود 3، انرژی کمی دارد و از آن چشم‌پوشی می‌شود؛ بنابراین، مرتبه مدل پایدار کاهشی 2 انتخاب می‌شود.

با انتخاب ساختار ثابت مناسب با ضرایب مجهول و اعمال گام‌های 4 تا 5 به مدل پایدار مرتبه کاهشی (28) دست می‌یابیم:

(28)

 

پاسخ پله‌ بخش پایدار سیستم ابعاد وسیع و مدل مرتبه کاهشی متناظر به‌دست‌آمده با روش پیشنهادی، روش‌های BT و HSV و روش پیشنهادی [16] در شکل (7) نشان داده شده‌اند. همچنین در شکل (8)، نمودار اندازة خطا برحسب زمان نشان داده شده است که با توجه به آن، به‌وضوح مشاهده می‌شود روش پیشنهادی نسبت به دیگر روش‌های کاهش مرتبه کلاسیک خطای بسیار کمتری دارد.

 

 

شکل (7): پاسخ پله بخش پایدار سیستم اصلی و بخش پایدار کاهش مرتبه یافته با روش پیشنهادی و برخی روش‌های کلاسیک کاهش مرتبه برای مثال 2

 

شکل (8): نمودار اندازة‌ خطا برای بخش پایدار سیستم اصلی و بخش پایدار کاهش مرتبه یافته با روش پیشنهادی و روش‌های برش متعادل (BT)، روش تقریب هانکل (HSV) و روش [16] برای مثال 2

 

در جدول (2)، مشخصه‌های بخش پایدار سیستم اصلی و مدل‌های کاهش مرتبه یافتة متناظر با بخش پایدار مقایسه شده‌اند. در ادامه، بخش ناپایدار تفکیک‌شده در رابطة (27)، به بخش پایدار کاهش مرتبه یافته افزوده می‌شود تا مدل کاهش مرتبه یافتة نهایی تعیین شود.

(29)

 

با توجه به جدول (2) و شکل‌های (7-8) مشاهده می‌شود روش پیشنهادی نسبت به دیگر روش‌های کاهش مرتبه، دقت و عملکرد بهتری دارد.

 

جدول (2): مقایسة مشخصه‌های بخش پایدار سیستم ابعاد وسیع و مدل کاهش مرتبه یافتة آن برای مثال 2

 

مقدار حالت ماندگار به ورودی پله واحد

بیشینه فراجهش (%)

زمان صعود (ثانیه)

زمان نشست (ثانیه)

انتگرال حاصل‌ضرب زمان در مربع خطا (ITSE)

نرم

سیستم اصلی

07/6

0

2775/0

5211/0

-

0701/6

روش پیشنهادی

07/6

0

1816/0

7715/0

1262/85

0701/6

برش متعادل

13/7

0

1313/1

5141/2

29894

1314/7

هانکل

13/7

0

5002/0

0238/1

31264

1314/7

روش [16]

09/7

0

2052/0

4044/0

30077

0942/7

 

 

 

مثال 3: سیستم ناپایدار از مرتبة 7 ارائه‌شده توسط یانگ در [38] را در نظر بگیرید.

(30)

 

 

با تفکیک سیستم (30) به دو بخش پایدار و ناپایدار، بخش پایدار و ناپایدار به‌ترتیب به‌صورت (31) و (32) خواهند بود.

 

(31)

 

(32)

 

 

در این بخش، مقادیر تکین هانکل رسم شده است تا مرتبة سیستم مرتبه کاهشی تعیین شود.

 

شکل (9): مقادیر تکین بخش پایدار سیستم مثال 2

با توجه به شکل (9) مشاهده می‌شود مرتبة مناسب بخش پایدار مرتبه کاهشی 2 است. با کمینه‌سازی تابع هدف ارائه‌شده در (18) با استفاده از الگوریتم خفاش به‌مدل مرتبه کاهشی از رابطة (31) دست می‌یابیم.

(33)

 

برای بررسی دقت و کارایی روش پیشنهادی، در شکل (10) پاسخ پله بخش پایدار به‌دست‌آمده با روش پیشنهادی و برخی روش‌های کلاسیک از قبیل BT و HSV و روش [38] مقایسه شده‌اند. برای بررسی بیشتر نیز نمودار اندازة خطا برحسب زمان در شکل (11) نشان داده شده است.

 

 

شکل (10): پاسخ پله بخش پایدار سیستم اصلی و بخش پایدار کاهش مرتبه یافته با روش پیشنهادی و برخی روش‌های
کلاسیک کاهش مرتبه برای مثال 3

 

شکل (11): نمودار اندازة‌ خطا برای بخش پایدار سیستم اصلی و بخش پایدار کاهش مرتبه یافته با روش پیشنهادی و روش‌های
برش متعادل
(BT)، روش تقریب هانکل (HSV) و روش [38] برای مثال 3

جدول (3): مقایسة مشخصه‌های بخش پایدار سیستم ابعاد وسیع و مدل کاهش مرتبه یافتة آن برای مثال 3

 

مقدار حالت ماندگار به ورودی پله واحد

بیشینه فراجهش (%)

زمان صعود (ثانیه)

زمان نشست (ثانیه)

انتگرال حاصل‌ضرب زمان در مربع خطا (ITSE)

نرم

سیستم اصلی

00241/0-

4371/171

1068/0

9207/8

-

0246/0

روش پیشنهادی

00235/0-

3890/112

1267/0

6088/11

0026/0

0248/0

برش متعادل

00329/0-

8276/86

1550/0

4591/8

0074/0

0240/0

هانکل

00351/0-

8559/84

1584/0

9240/7

0114/0

0239/0

روش [38]

0032/0-

6138/87

1560/0

6577/8

0062/0

0232/0

 

 

در جدول (3)، مشخصه‌های اصلی مدل‌های مرتبه کاهشی به‌دست‌آمده با بخش پایدار سیستم ابعاد وسیع مقایسه شده‌اند. با توجه به شکل‌های (10) و (11) و جدول (3) به‌وضوح مشاهده می‌شود نتایج به‌دست‌آمده با روش پیشنهادی نسبت به دیگر روش‌های کاهش مرتبه، دقت و کارایی بهتری دارند. در ادامه، با افزودن بخش ناپایدار به بخش پایدار مرتبه کاهشی، مدل نهایی سیستم مرتبه کاهشی به دست می‌آید. برای بررسی کارایی و دقت مدل مرتبه کاهشی نهایی، در شکل (12) پاسخ پله سیستم ابعاد وسیع و مدل‌های نهایی به‌دست‌آمده با روش پیشنهادی و برخی روش‌های کاهش مرتبه نشان داده شده‌اند. نتایج نشان می‌دهند روش پیشنهادی بیشترین تشابه با مدل ناپایدار اصلی را دارد.

 

 

شکل (12): پاسخ پله سیستم ناپایدار ابعاد وسیع و مدل‌های کاهش مرتبه یافته برای مثال 3

 

 

5- نتیجه‌گیری

در این مقاله، روشی مبتنی بر کمینه‌سازی تابع دو هدفه مجموع وزنی معیارهای ITSE و نرم H با استفاده از الگوریتم خفاش، برای کاهش مرتبة سیستم‌های ابعاد وسیع ناپایدار ارائه شد. پس از تفکیک سیستم ابعاد وسیع ناپایدار به دو بخش پایدار و ناپایدار، با بررسی مقادیر تکین هانکل بخش پایدار، مرتبة بخش پایدار مدل مرتبه کاهشی تعیین شده است. با انتخاب ساختاری ثابت با ضرایب مجهول و کمینه‌سازی تابع برازش با استفاده از الگوریتم خفاش، با توجه به محک روث به‌عنوان قید، مدل مرتبه کاهشی بخش پایدار تعیین شده است. در آخر، با افزودن بخش ناپایدار به بخش کاهش مرتبه یافته، مدل کاهش مرتبه یافتة نهایی به دست آمده است. توانمندی و کارایی روش پیشنهادی با مقایسة نتایج به‌دست‌آمده با برخی روش‌های رایج کاهش مرتبه از قبیل برش متعادل و روش تقریب هانکل نشان داده شده است.



[1]تاریخ ارسال مقاله: 15/11/1396

تاریخ پذیرش مقاله: 18/08/1398

نام نویسندۀ مسئول: حسن زرآبادی‌پور

نشانی نویسندۀ مسئول: ایران، قزوین، دانشگاه بین‌المللی امام خمینی قزوین، گروه برق



[1] Pade Approximation

[2] Balanced Truncation (BT)

[3] Hankel

[4] Singular Perturbation (SP)

[5] Lancsoz

[6] Moments

[7] Krylov Subspace

[8] Differential Algorithm

[9] Particle Swarm Optimization

[10] Volterra

[11] Hankel Singular Values (HSV)

[12] Bat Algorithm

[13] Routh Criteria

[1] E.J. Davison, “A Method for Simplifying Linear Dynamic Systems”, IEEE Trans. Autom. Control, Vol. 11, pp. 93-101, 1966.

[2] C.F. Chen, L.S. Shieh, “A Novel Approach to Linear Model Simplification”, Int. J. Control, Vol. 8, pp. 561-570, 1968.

[3] D.A. Wilson, “Optimal Solution of Model Reduction Problem”, Proceedings on IEE, Vol. 117, 1970.

[4] D.A. Wilson, “Model Reduction for Multivariable Systems”, International Journal of Control, Vol. 20, pp. 57-64, 1974.

[5] Y. Shamash, “Model Reduction Using the Routh Stability Criterion and Pade Approximation Technique”, Int. J. Control, Vol. 21, No. 3, pp. 475-484, 1975.

[6] R.A. El-Attar, M. Vidyasagar, “Order Reduction by L1 and L Norm Minimization”, IEEE Trans. Autom. Control, Vol. 23, No. 4, pp. 731-734, 1978.

[7] G. Obinata, H. Inooka, “Authors Reply to Comments on Model Reduction by Minimizing the Error”, IEEE Trans. Automati Control, Vol. 28, pp. 124-125, 1984.

[8] B.C. Moore, “Principal Component Analysis in Linear Systems: Controllability, Observability and Model Reduction”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 26, pp. 17-32, 1981.

[9] K. Glover, “All Optimal Hankel Norm Approximation of Linear Multivariable Systems and their L Error Bounds”, Int. J. Control, Vol. 39, pp. 1115-1193, 1984.

[10] Y. Liu, B.D.O. Anderson, “Singular Perturbation Approximation of Balanced Systems”, International Journal of Control, Vol. 50, pp. 1379-1405, 1989.

[11] P. Feldman, R.W. Freund, “Efficient Linear Circuit Analysis by Padé Approximation Via a Lanczos Method”, IEEE Trans. Computer-Aided Des. Vol. 14, pp. 639-649, 1995.

[12] E. Grimme, “Krylov Projection Methods for Model Reduction”, Ph.D. thesis, Department of Electrical Engineering, University of Illinois at Urbana Champaign, 1997.

[13] M. Jamshidi, “Large Scale Systems: Modeling, Control and Fuzzy Logic”, Prentice Hall, 1st edition, 1996.

[14] V. Sreeram, B.D.O. Anderson, “Frequency Weighted Balanced Reduction Technique: A Generalization and an Error Bound”, Proceedings of 34th IEEE conferences on Decision and Control, New Orleans, LA, USA, Vol. 4, pp. 3576-3581, 1995.

[15] A. Zadegan, A. Zilouchian, “Controller Order Reduction Using Frequency Domain Balanced Structure”, Proc. World Auto. Congress, Orlando, pp. 163-168, 2002.

[16] S.L. Cheng, C. Hwang, “Optimal Approximation of Linear Systems by a Differential Evolution Algorithm”, IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, Part A: Systems and Humans, Vol. 31, No. 6, pp. 698-707, 2001.

[17] G. Parmar, S. Mukherjee, R. Prasad, “Reduced Order Modelling of Linear Dynamic Systems using Particle Swarm Optimized Eign Spectrum Analysis”, International Journal Computational and Mathematical Science, Vol.1, No. 1, pp. 45-52, 2007.

[18] H. Nasiri Soloklo, M. Maghfoori Farsangi, “Chebyshev Rational Functions Approximation for Model Order Reduction Using Harmony Search”, Scientia Iranica, Vol. 30, No. 3, pp. 771-777, 2013.

[19] H. Nasiri Soloklo, R. HajMohammadi, M. Maghfoori Farsangi, “Model Order Reduction Based on Moment Mathching Using Legendre Wavelet and Harmony Search Algorithm”, Iraninan J of Science and Technology, Transactions of Electrical Engineering, Vol. 9, No. E1, pp. 39-54, 2015.

[20]  H. Nasiri Soloklo, M. M. Farsangi, " Model Order Reduction Using Laguerre Polynomials and Harmony Search" Computational Intelligence in Electrical Engineering, Vol.5, No.1, pp.27-40, 2014.

[21] P. Benner, P. Goyal, “Balanced Truncation Model Order Reduction for Quadratic Bilinear Control Systems”, arXiv e-prints, 1705.00160, 2017.

[22] S.S. Mohseni, M. J. Yazdanpanah, A. R. Noei, “Model Reduction of Nonlinear Systems by Trajectory Piecewise Linear Based on Output-Weighting Models: A Balanced Truncation Methodology”, Iran J Sci Technol Trans Electr Eng, Vol. 42, pp. 195-206, 2018.

[23] P. Duff, P. Goyal, P. Benner, “Balanced Truncation for a Special Class of Bilinear Descriptor Systems”, IEEE Control Systems Letters, Vol. 3, no. 3, pp. 535-540, 2019.

[24] S. Ibrir, “H2- Galerkin Projection Method for Model Order Reduction of Linear and Nonlinear Systems”, IEEE 56th Annual Conference on Decision and Control, Melbourne, Australia, pp. 3805-3810, 2017.

[25] S. Ibrir, “A Projection-Based Algorithm for Model-Order Reduction with H2 Performance: A Convex-Optimization Setting”, Automatica, Vol. 93, pp. 510–519, 2018.

[26] M. I. Ahmad, U. Baur, P. Benner, “Implicit Volterra Series Interpolation for Model Reduction of Bilinear Systems”, Journal of Computational and Applied Mathematics, Vol. 316, pp. 15-28, 2017.

[27] M.I. Ahmad, P. Benner, P. Goyal, “Krylov Subspace-Based Model Order Reduction for a Class of Bilinear Descriptor Systems”, Journal of Computational and Applied Mathematics, Vol. 315, pp. 303-318, 2017.

[28] M. Vakilzadeh, M. Eghtesad, R. Vatankhah, M. Mahmoodi, “A Krylov on Multi-Moment Matching for Model Order Reduction of Large Scale Second Order Bilinear Systems”, Applied Mathematical Modeling, Vol. 60, pp. 739-757, 2018.

[29] S. Yang Xin, “A New Methaheuristic Bat-Inspired Algorithm”, Nature Inspired Cooperative Strategies for Optimization, Berlin, Heidelberg, Springer, 2010, pp. 65-74.

[30] A. Es, “Optimization of Power System Stablizers Using BAT Search Algorithm”, Int. J. Electr Power Energy Systems, Vol. 6, No. 1, pp. 683-690, 2014.

[31] F. Rashidi, “Private Investor-based Transmission Expansion Planning in a Deregulated Environment Using Pareto Bat Inspired Algorithm”, Computational Intelligence in Electrical Engineering, Vol. 8, No. 3, pp. 25-45, 2017.

[32] M. Elsisi, M. Soliman, M.A.S. Aboelela, W. Mansour, “Bat Inspired Algorithm Based Optimal Design of Model Predictive Load Frequency Control”, Int. J. Electr Power and Energy Systems, Vol. 83, pp. 426-433, 2016.

[33] Q. Liu, L. Wu, W. Xiao, F. Wang and L. Zhang, “A Novel Hybrid Bat Algorithm for Solving Continuous Optimization Problems”, Applied Soft Computing Journal, 2018.

[34] R. Kotteeswaran and L. Sivakumar, “A Novel Bat Algorithm Based Re-Tuning of PI Controller of Coal Gasifier for Optimum Response,” in Mining Intelligence and Knowledge Exploration, vol. 8284, Lecture Notes in Computer Science, pp. 506–517, Springer, Allschwil, Switzerland, 2013.

[35] P.C. Parks, “A New Proof of the Routh-Hurwitz Stability Criterion Using the Second Method of Lyapunov”, Proc. Camb. Philos. Soc, Vol. 58, No. 4, pp. 694-702, 1962.

[36] S.K. Mittal, D. Chandra, B. Dwivedi, “Improved Routh-Pade’ Approximation Using Vector Evaluated Genetic Algorithm to Unstable Systems”, International Journal of Engineering and Applied Science, Vol. 1, No.2, pp. 1-14, 2009.

[37] S. Skogestad, I. Postethwaite, “Multivariable feedback control, analysis and design”, John Wiley, 1996.

[38] J. Yang, C.S. Chen, J.A. De Abreu-Garcia, Y. Xu, “Model Reduction of Unstable Systems”, International Journal of Systems Science, Vol. 24, No. 12, pp. 2407-2414, 1993.