کنترل تطبیقی - عصبی دسته‌ای از سیستم‌های غیرخطی تأخیردار در حضور خرابی عملگر

نویسندگان

1 کارشناسی ارشد مهندسی برق (کنترل)، دانشکدة مهندسی برق و کامپیوتر - دانشگاه صنعتی اصفهان - اصفهان - ایران

2 استادیار، دانشکدة مهندسی برق و کامپیوتر - دانشگاه صنعتی اصفهان - اصفهان - ایران

3 دانشیار، دانشکدة مهندسی برق و کامپیوتر - دانشگاه صنعتی اصفهان - اصفهان - ایران

10.22108/isee.2019.100345.1003

چکیده

هدف اصلی این پژوهش، کنترل تطبیقی - عصبی سیستم‌های غیرخطی تأخیردار در حضور خرابی عملگر با استفاده از روش کنترل سطح دینامیکی (DSC) است. سیستم‌های بررسی‌شده، سیستم‌هایی به فرم فیدبک اکید و در حضور اغتشاش‌های نامعین خارجی‌اند. در این سیستم‌ها از شبکه‌های عصبی توابع پایه‌ای شعاعی (RBF) برای تقریب توابع نامعین استفاده می‌شود که قوانین تطبیق پارامترها براساس طراحی لیاپانوف به دست می‌آیند. اغتشاش‌های نامعین، توابع غیرخطی نامشخصی‌اند که اطلاعات جزئی از کران آنها در دسترس است؛ بنابراین، از جملة مقاوم پیوسته برای حداقل‌کردن اثر آنها استفاده شده است. همچنین به‌دلیل وجود تأخیرهای زمانی نامشخص در معادلات سیستم، در روند طراحی کنترل‌کننده و اثبات پایداری از تابعی‌های لیاپانوف - کراسوفسکی استفاده شده است. کنترل‌کننده نیز به‌گونه‌ای طراحی شده است که در صورت بروز خرابی عملگر، از نوع کاهش عملکرد، سیستم همچنان به عملکرد مطلوب خود ادامه دهد. برای کنترل‌کنندۀ طراحی‌شده در این پژوهش، پایداری سیستم و همگرایی خطای ردیابی به یک مقدار کوچک دلخواه اثبات شده است.
 

کلیدواژه‌ها


عنوان مقاله [English]

Adaptive-Neural Control of Time Delay Nonlinear Systems in the Presence of Actuator Failure

نویسندگان [English]

  • Mahshid Rahimifard 1
  • Marzieh Kamali 2
  • Maryam Zekri 3
1 MSc, Dept. of Electrical and Computer Engineering, Isfahan University of Technology, Isfahan, Iran
2 Assistant Professor, Dept. of Electrical and Computer Engineering, Isfahan University of Technology, Isfahan, Iran
3 Associate Professor, Dept. of Electrical and Computer Engineering, Isfahan University of Technology, Isfahan, Iran
چکیده [English]

The main purpose of this paper is to present an adaptive-neural controller for strict-feedback nonlinear systems with unknown time delays and in the presence of external disturbances and actuator failure. The proposed adaptive-neural controller is constructed based on DSC design technique. Radial Basis Functions (RBF) networks are utilized to approximate unknown nonlinear functions. Adaptive rules are obtained based on Lyapunov design for updating the parameters of neural networks. Disturbances are unknown functions which their bounds are partially known. Therefore, continuous robust terms are applied in order to minimize their effects. Furthermore, due to the existence of unknown time delays in the system, Lyapunov–Krasovskii functionals are utilized in the process of designing the controller and proofing the stability of the system. In addition, the controller is designed so that it can compensate its effect if the considered actuator failure happens. For the designed controller, the boundedness of all the closed-loop signals is guaranteed and the tracking error is proved to converge to a small neighborhood of the origin.

کلیدواژه‌ها [English]

  • Unknown Time Delay
  • Actuator Failure
  • Nonlinear Systems
  • RBF Neural Network
  • Adaptive-neural Control
  • Dynamic Surface Control

1- مقدمه[1]

پژوهش دربارۀ کنترل تطبیقی سیستم‌های غیرخطی مختلف با نامعینی پارامتریزه‌شده به‌صورت خطی در اواخر دهۀ 1980 بسیار با اقبال مواجه شد [1-3]؛ اما در بسیاری از کاربردهای عملی برای کنترل سیستم‌های غیرخطی نامشخص، روش‌های کنترل براساس شبکه‌های عصبی در مقایسه با دیگر تکنیک‌های کنترل مدرن، مانند کنترل تطبیقی کلاسیک کارآمدتر بوده است [4]؛ زیرا در تکنیک‌های کنترل مدرن، به دانستن اطلاعات زیادی از مدل سیستم نیاز است که ممکن است در عمل امکان‌پذیر نباشد. بنابراین در دهه‌های گذشته، کنترل تطبیقی - عصبی سیستم‌های غیرخطی نامعین با کمک ویژگی تقریب‌زنی عمومی شبکه‌های عصبی، پیشرفت چشمگیری داشته و نتایج درخور قبولی به دست آمده است. در بسیاری از این نتایج [5, 6]، سیستم‌ها باید فرض‌هایی از قبیل شرایط انطباق[i] را برآورده کنند. با توسعۀ یک روند طراحی بازگشتی قدرتمند به نام تکنیک گام به عقب تطبیقی[ii]، پیشرفت چشمگیری در کنترل تطبیقی عصبی دسته‌ای از سیستم‌های غیرخطی نامعین تک‌ورودی - تک‌خروجی (SISO)[iii]، بدون نیاز به فرضیات ذکرشده به وجود آمد [7]؛ اما در روش گام به عقب، مشکلی به نام انفجار پیچیدگی[iv] وجود دارد. این انفجار پیچیدگی با مشتق‌های مکرر توابع غیرخطی معین به وجود می‌آید؛ بنابراین، پیچیدگی کنترل‌کننده به‌تدریج با افزایش درجۀ سیستم، افزایش می‌یابد. روش کنترل سطح دینامیکی (DSC)[v] برای از بین بردن این مشکل، با معرفی فیلتر درجة یک برای ورودی ساخته‌شده در هر گام از روش گام به عقب پیشنهاد شده است. با ترکیب‌کردن این تکنیک طراحی با چارچوب طراحی کنترل تطبیقی بر پایۀ شبکۀ عصبی یا فازی، طراحی کنترل‌کننده براساس گام به عقب را برای سیستم‌هایی با نامعینی دلخواه، توسعه می‌دهند [8-14]. این امر باعث از بین بردن انفجار پیچیدگی می‌شود. در طراحی ذکرشده، شبکه‌های عصبی به‌عنوان مدل‌های تقریب توابع غیرخطی نامشخص استفاده می‌شوند.

در [15-18] روندهای گام به عقب تطبیقی - عصبی برای سیستم‌های غیرخطی به فرم فیدبک اکید[vi] و فیدبک خالص[vii] پیشنهاد شده است. در این روش‌ها عبارت‌های کسری به قوانین تطبیق اضافه می‌شوند که به‌دلیل خطاهای حاصل از تقریب شبکۀ عصبی از حذف‌شدن پارامترها جلوگیری می‌کند.

در [6]، یک روش طراحی کنترل برای دستۀ خاصی از سیستم‌های غیرخطی توسعه داده شده است. این روند طراحی برای سیستم درجۀ دو ارائه شده، اما دربارۀ تعمیم آن برای سیستم‌های با درجۀ بالاتر نیز صحبت شده است. سپس در [8] از روش DSC برای کنترل سیستم‌های غیرخطی با مرتبة بالاتر از دو استفاده شده است. همچنین، در این دو مقاله از شبکه‌های عصبی توابع پایه‌ای شعاعی (RBF)[viii] برای تقریب توابع غیرخطی نامشخص استفاده شده است.

تأخیرهای زمانی معمولاً در سیستم‌های مختلف روی می‌دهند و مسئلۀ پایداری را پیچیده‌تر می‌کنند. مثال‌های معمول از سیستم‌های کاربردی با تأخیر زمانی، شبکه‌های الکتریکی، سیستم‌های رآکتور شیمیایی، سیستم‌های انتقال از راه دور و ... هستند. یک مشکل اصلی کنترل سیستم‌های غیرخطی با تأخیر زمانی این است که تأخیرها کاملاً مشخص نیستند. در [9, 12, 19-23]، با فرض وجود تأخیر زمانی در معادلات سیستم غیرخطی از تابعی‌های لیاپانوف -کراسوفسکی[ix] برای طراحی کنترل‌کننده و اثبات پایداری استفاده شده است. در [24]، کنترل تطبیقی براساس شبکۀ عصبی به روش DSC، برای دسته‌ای از سیستم‌های غیرآفاین به فرم فیدبک خالص با توابع تأخیر زمانی نامشخص و در حضور نامعینی‌ها ارائه شده است. در [25]، یک کنترل‌کنندۀ تطبیقی - عصبی برای سیستم‌های با تأخیر زمانی و توابع غیرخطی نامشخص ارائه شده و از شبکه‌های موجک[x] برای تقریب توابع غیرخطی نامشخص استفاده شده است.

همچنین، خرابی‌های عملگر می‌تواند اثرات تخریبی جدی بر عملکرد سیستم‌های کنترل داشته باشند. خرابی‌های عملگر، ایجاد رفتار ناخواستۀ سیستم و گاهی ناپایداری یا حتی حوادث خطرناک را سبب می‌شوند؛ بنابراین، خرابی‌های عملگر باید جبران شوند. یک کنترل‌کننده برای بالابردن کارایی سیستم باید بتواند در زمان بروز خرابی، اثر حاصل از آن را به‌صورت مناسبی جبران کند. در [26, 27] مسئلۀ جبران‌ خرابی عملگر تطبیقی برای سیستم‌های پارامتری به فرم فیدبک اکید مطالعه شده است. در [28] روند طراحی تطبیقی - فازی برای یک دسته از سیستم‌های غیرخطی فیدبک اکید و آشفته[xi] و دارای خرابی عملگر پیشنهاد شده است. طراحی گام به عقب با روش DSC انجام شده و جملة مقاوم پیوسته برای حداقل‌کردن اثر خطای مدل‌کردن یا اغتشاش تطبیق داده شده است.

با توجه به اینکه بیشتر سیستم‌های عملی، تأخیر زمانی دارند و لازم است احتمال وجود خرابی عملگر نیز در نظر گرفته شود، دسته‌ای از سیستم‌های فیدبک اکید که هم‌زمان دارای تأخیر زمانی نامشخص، خرابی عملگر و نیز اغتشاش‌ها یا خطای مدل‌کردن‌اند، به کنترل با روش ساده‌کنندۀ DSC نیاز دارند. این روش بسیار ساده‌تر از روش گام به عقب کلاسیک است؛ بنابراین در عمل، پیاده‌سازی آن امکان‌پذیرتر است.

این مقاله، طراحی کنترل‌کنندة تطبیقی - عصبی را برای دسته‌ای از سیستم‌های غیرخطی نامعین تأخیردار و در حضور اغتشاش‌های نامعین خارجی ارائه می‌دهد. این سیستم‌ها به فرم فیدبک اکید و در حضور خرابی عملگرند. خرابی عملگر از نوع کاهش عملکرد است. کنترل‌کنندۀ تطبیقی - عصبی پیشنهادی با به‌کارگیری روش DSC در تکنیک گام به عقب طراحی می‌شود. از شبکه‌های عصبی RBF به‌منظور تقریب توابع غیرخطی نامشخص استفاده شده است.

در مقایسه با نتایج موجود، نوآوری‌های اصلی این مقاله به شرح زیر است:

- در این مقاله در مقایسه با مقالات مطرح‌شده در بخش مقدمه، طراحی کنترل‌کننده برای دستۀ عمومی‌تری از سیستم‌های غیرخطی نامعین به فرم فیدبک اکید انجام شده است. درواقع این مقاله، تأخیرهای زمانی نامعین، اغتشاش‌های خارجی و خرابی عملگر نامشخص را به‌طور هم‌زمان در نظر می‌گیرد.

- به‌دلیل وجود تأخیرهای زمانی نامشخص در مدل سیستم، یک تابعی لیاپانوف - کراسوفسکی جدید به‌منظور اثبات پایداری سیستم استفاده می‌شود.

- از شبکه‌های عصبی RBF به‌منظور تقریب توابع غیرخطی نامشخص استفاده شده است. پارامترهای شبکه برای اهداف کنترلی از قبیل پایداری سیستم کنترلی و همگرایی خطای ردیابی به یک مقدار کوچک دلخواه، با قوانین تطبیق به‌روزرسانی می‌شوند.

روش طراحی DSC پیشنهادی، محدودبودن تمام سیگنال‌های حلقه بسته و همگرایی خطای ردیابی به یک مقدار کوچک دلخواه را تضمین می‌کند.

در ادامة این مقاله در بخش 2، سیستم بررسی‌شده، تعریف و قیود لازم برای طراحی کنترل‌کننده نیز بیان می‌شود. بخش 3، روش پیشنهادی را برای ارائة کنترل‌کننده شرح می‌دهد و پایداری سیستم و همگرایی خطای ردیابی به یک مقدار کوچک دلخواه نیز اثبات می‌شود. در بخش 4، نتایج حاصل از شبیه‌سازی روش بالا روی سیستم غیرخطی مدنظر به‌منظور نشان‌دادن اثربخشی روش کنترلی پیشنهادی ارائه شده‌اند. بخش آخر نیز خلاصه و نتیجه‌گیری را بیان می‌کند.

2- بیان مسئله

سیستم غیرخطی به فرم فیدبک اکید تک‌ورودی - تک‌خروجی را در نظر بگیرید که خرابی عملگر، تأخیر زمانی و اغتشاش‌های نامعین دارد.

(1)

                                                                     

    

    

    

    

                           

در این سیستم،  بردار متغیرهای حالت سیستم است. همچنین،  است. ، ورودی کنترلی و  خروجی سیستم است. ها و ها توابع غیرخطی نامشخص‌اند. ها تأخیرهای زمانی نامشخص حالت‌های سیستم و ها توابع پیوستة لیپشیتز نامشخص‌اند.  تابع غیرخطی پیوسته‌ای است که بهرة کنترل نام دارد.

توجه 1: با توجه به اینکه سیستم مدنظر دستۀ خاصی از سیستم‌های غیرخطی را در بر می‌گیرد که به فرم فیدبک اکید هستند، توابع تأخیر زمانی در هر حالت به متغیرهای همان حالت و حالت‌های قبل وابسته‌اند.

خرابی عملگر در نظر گرفته شده از نوع کاهش عملکرد است که به‌صورت زیر مدل می‌شود:

(2)

    

    

 یک پارامتر ثابت نامشخص است که با  تخمین زده می‌شود.  نشان دهندة سیگنالی است که از عملگر می‌آید و  ورودی کنترلی است که طراحی می‌شود.
 و  به‌ترتیب بیان‌کنندة کران پایین و بالای  هستند؛ بنابراین، زمانی که ، هیچ خرابی عملگری وجود ندارد.

هدف کنترل: طراحی کنترل‌کننده، مستقل از تأخیر زمانی است؛ به‌گونه‌ای‌که باوجود خرابی عملگر و اغتشاش‌های نامعین، خروجی سیستم، مسیر مطلوب  را در  دنبال کند.  تابعی هموار از  است؛ به‌گونه‌ای‌که ،  و  برای  کران‌دار باشند.

در طی طراحی کنترل‌کننده، فرض می‌شود سیستم (1) قیود زیر را برآورده می‌کند.

قید 1: برای ، ثابت نامشخص  و توابع هموار مثبت و مشخص  وجود دارند؛ به‌گونه‌ای‌که به‌ازای ، رابطة زیر برقرار باشد:

(3)

    

که  نامشخص است و تخمین آن با  نمایش داده خواهد شد.

قید 2: تابع تأخیر زمانی  در نامساوی زیر صدق می‌کند:

(4)

    

که .  و ، به‌ترتیب بیان‌کنندة بردار سطح خطا و قوانین کنترل عبورکرده از فیلترهای درجه یک‌اند که در طی طراحی کنترل‌کننده به دست می‌آیند. همچنین، ها  و  توابع پیوستة مشخص‌اند.

توجه 2: استفاده از قیود مشابه قید 1 در ادبیات مسئلة مدنظر متداول است ([16, 29-30]). همچنین قید 2، تغییریافتۀ قید بیان‌شده در [31] و [32] دربارة تابع تأخیر زمانی است و دلیل استفاده از آن در بخش 3 توضیح داده خواهد شد.

3- طراحی کنترل‌کننده

برای طراحی کنترل‌کننده‌ برای سیستم مورد نظر، از روش DSC استفاده می‌شود. در هر گام از این روش، به کمک تابع لیاپانوف مناسب یک ورودی مجازی  طراحی می‌شود و برای جلوگیری از مشکل انفجار پیچیدگی موجود در روش گام به عقب، ورودی از فیلتر پایین‌گذر درجة یک عبور می‌کند و خروجی فیلتر که ورودی در گام بعد است با  نمایش داده می‌شود. طراحی به این دلیل بازگشتی است که برای محاسبة ، ابتدا به محاسبة  نیاز است؛ درنهایت، در مرحلة ، قانون کنترل طراحی می‌شود.

در ابتدا با تعریف پارامتر جدید

(5)

    

و در نظر گرفتن انتقال حالت‌ها با روابط زیر، سیستم تغییر مختصات داده می‌شود.

(6)

    

    

توجه 3: قید 2 همانند قیدهای مربوط به توابع تأخیر در [31] و [32] هستند. برای بیان قید 2، سیستم انتقال‌یافتۀ (6) براساس روش DSC استفاده شده است؛ درحالی‌‌که قیود موجود در [31] و [32] روی سیستمی ارائه شده‌اند که با روش گام به عقب انتقال یافته است. یعنی این مقاله ازسیگنال‌های کنترل مجازی فیلترشدة  به‌جای قوانین کنترل مجازی  برای مختصات تغییریافته در (6) استفاده می‌کند. این امر به‌دلیل روند طراحی DSC اتفاق می‌افتد که در آن، قوانین کنترل مجازی  در خطاهای سطح (6) استفاده می‌شوند.

حال سیستم در مختصات جدید به‌صورت زیر به دست می‌آید:

(7)

    

    

    

    

  • · گام اول: در این گام، نخستین معادله در (7) در نظر گرفته می‌شود.

 

مجموعة فشردة معلوم  را در نظر بگیرید، فرض کنید  و  به‌گونه‌ای است که برای هر ، تابع f1(x1) به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

 

که در آن،  است. تابع نامشخص ، با شبکة عصبی RBF تقریب زده می‌شود که  بردار وزن است و با کنترل تطبیقی به‌صورت روی خط تخمین زده و تخمین آن با  نمایش داده خواهد شد؛ بنابراین،  تعریف می‌شود. ، بردار تابع پایة گوسین و  تعداد نرون‌های شبکه است.

تابع لیاپانوف اصلی به‌صورت زیر در نظر گرفته می‌شود:

(8)

    

که در آن،  و  به‌ترتیب به‌صورت

(9)

    

و

(10)

    

تعریف شده‌اند که ، ، ،  و  هستند و Q1(s1(ta)+z1(ta)) به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

(11)

.     

رابطة (10) تابعی لیاپانوف - کراسوفسکی است که برای جبران تأخیرهای زمانی نامشخص از آن استفاده می‌شود.

مشتق تابع لیاپانوف (8) به‌صورت زیر است:

(12)

    

با جایگزین‌کردن  در (12)،  به‌صورت زیر درمی‌آید:

(13)

    

با استفاده از قید 2 و نامساوی یانگ[xii]، داریم:

(14)

    

براساس این، کنترل مجازی گام نخست به‌صورت زیر طراحی می‌شود:

(15)

    

با استفاده از قید 1، تابع  برای رفع اثر اغتشاش‌های نامعین طراحی می‌شود.

(16)

    

    

که  ثابت‌های طراحی و مثبت‌اند. با جایگذاری (3) و (16) و (16) در (14) و استفاده از نامساوی یانگ، نامساوی زیر به دست می‌آید:

(17)

    

بنابراین، قانون تطبیق  به‌صورت زیر طراحی می‌شود:

(18)

    

که ، ثابت طراحی است.

لم 1 [33]: نامساوی زیر برای هر  و  برقرار است:

 

با استفاده از لم 1، نامساوی زیر به‌سادگی به دست می‌آید:

(19)

    

با جایگزینی (18) و (19) در (17)، نامساوی زیر به دست می‌آید:

(20)

    

با در نظر گرفتن پارامتر

 

و استفاده از رابطة معلوم

 

نامساوی (20) به‌صورت زیر در می‌آید:

((21)

    

بنابراین،  به‌صورت زیر ساده می‌شود:

(22)

    

که در آن، پارامترها به‌صورت زیر تعریف می‌شوند:

 

 

درنهایت،  از فیلتر درجة یک پایین گذر با ثابت زمانی  عبور داده می‌شود و  حاصل می‌شود.

(23)

    

  • · گام ام (برای ): در این گام، -امین معادله در (7) در نظر گرفته می‌شود.

 

همانند آنچه در قسمت قبل گفته شد، رابطة  به‌صورت زیر به دست می‌آید:

 

که در آن،  است و خطای تخمین وزن‌های شبکة عصبی به‌صورت  در نظر گرفته می‌شود.

تابع لیاپانوف اصلی به‌صورت زیر است:

(24)

    

که در آن،  و  به‌ترتیب در

(25)

    

و

(26)

    

تعریف شده‌اند که ، ، ،  و  هستند و

(27)

.     

مشتق تابع لیاپانوف (24) به‌صورت زیر است:

(28)

    

حال، با توجه به (23)، تساوی زیر صادق است:

(29)

    

بنابراین، بر اساس (5) و (29)، روابط

(30)

    

(31)

    

صادق‌اند که برای ،

 

یک تابع پیوسته است و برای ،

 

یک تابع پیوسته است؛ بنابراین، با جایگزینی  در (32))  به‌صورت زیر به دست می‌آید:

(32)

    

حال، با استفاده از نامساوی یانگ، (32) و قید 2،  به‌صورت زیر درمی‌آید:

(33)

    

براساس این، کنترل مجازی گام -ام به‌صورت زیر طراحی می‌شود:

 

(34)

    

 

با استفاده از قید 1، تابع  برای رفع اثر اغتشاش‌های نامعین طراحی می‌شود.

 

(35)

    

    

 

که  ثابت‌های طراحی و مثبت‌اند. با جایگذاری (3)، (34) و (35) در (33) و استفاده از نامساوی یانگ، مشتق تابع لیاپانوف به‌صورت زیر است:

 

(36)

    

 

بنابراین، قانون تطبیق  به‌صورت زیر طراحی می‌شود:

(37)

    

که ، ثابت طراحی است.

با استفاده از لم 1، نامساوی زیر به‌سادگی حاصل می‌شود:

 

(38)

    

با جایگذاری (37) و (38) در (36) نامساوی زیر حاصل می‌شود:

 

(39)

    

 

لم 2 [7]:با در نظر گرفتن مجموعة فشردة

 

و

 

به‌ازای هر  و ، اندازة تابع  به روی ، کوچک‌تر از مقدار کران‌دار  است.

 

با استفاده از رابطه‌های معلوم

 

 

و با در نظر گرفتن پارامترهای

 

و

لم 2، نامساوی (39) به‌صورت زیر می‌شود:

(40)

    

 

حال، با توجه به اینکه  است، می‌توان جملة  را از (40) حذف کرد؛ بنابراین،  به‌صورت زیر درمی‌آید:

 

(41)

    

که در آن، پارامترها به‌صورت زیر تعریف می‌شوند:

 

 

درنهایت،  از فیلتر درجة یک پایین گذر با ثابت زمانی  عبور داده می‌شود و  حاصل می‌شود.

(42)

    

  • · گام ام: در این گام، -امین معادله در (7) در نظر گرفته می‌شود.

 

همانند آنچه در قسمت قبل گفته شد، رابطة زیر برای تابع  برقرار است:

 

که در آن،  است و خطای تخمین وزن‌های شبکة عصبی به‌صورت  در نظر گرفته می‌شود.

تابع لیاپانوف اصلی به‌صورت زیر است:

(43)

    

که در آن، ،  و  به‌ترتیب در روابط

(44)

    

و

(45)

    

و

(46)

    

تعریف شده‌اند که ، ، ، ، ،  و

(47

.     

هستند.

مشتق تابع لیاپانوف (43) به‌صورت زیر است:

(48)

    

 

حال، با توجه به رابطة (42)، تساوی زیر صادق است:

 

(49)

    

بنابراین، براساس (5) و (49)، روابط

(50)

    

(51)

    

صادق‌اند که

 

یک تابع پیوسته است؛ بنابراین، با جایگزینی  در (51)،  به‌صورت زیر به دست می‌آید:

(52)

    

حال، با استفاده از نامساوی یانگ، (52) و قید 2 مشتق تابع لیاپانوف به‌صورت زیر درمی‌آید:

(53)

    

براساس این، ورودی به سیستم باید به‌صورت زیر باشد:

(54)

    

بنابراین، کنترل‌کنندة  به‌صورت زیر طراحی می‌شود:

(55)

    

با استفاده از قید 1، تابع  برای رفع اثر اغتشاش‌های نامعین طراحی می‌شود.

(56)

    

    

 ثابت‌های طراحی و مثبت‌اند.

با جایگذاری (3)، (55) و (56) در (53) و استفاده از نامساوی یانگ، نامساوی زیر حاصل می‌شود:

(57)

    

بنابراین، قانون تطبیق  و  به‌صورت زیر طراحی می‌شود:

(58)

    

(59)

    

که , ، ثابت طراحی‌اند. برای تخمین ، تصویرسازی در بازة  استفاده می‌شود.

با استفاده از لم 1، نامساوی زیر به‌سادگی حاصل می‌شود:

(60)

    

با جایگذاری (58)، (59) و (60) در (57)، نامساوی زیر به دست می‌آید:

(61)

    

 جملة مثبتی است که براثر تصویرسازی به دست آمده است و می‌توان آن را حذف کرد.

 

لم 3 [7]:با در نظر گرفتن مجموعة فشردة

 

و

 

به‌ازای هر  و ، اندازة تابع  به روی ، کوچک‌تر از مقدار کران‌دار  است.

 

با استفاده از رابطه‌های معلوم

 

 

و با در نظر گرفتن پارامترهای

 

و لم 3، نامساوی (61) به‌صورت زیر درمی‌آید:

(62)

    

حال، با توجه به اینکه  است، می‌توان جملة  را از (62) حذف کرد؛ بنابراین،  به‌صورت زیر ساده می‌شود:

(63)

    

 

که در آن، پارامترها به‌صورت زیر تعریف می‌شوند:

 

 

می‌توان از (63) دریافت که برای ثابت دلخواه ، اگر

 

باشد، آنگاه روی مجموعة ،  خواهد بود؛ درنتیجه، اگر  باشد، آنگاه برای ،  خواهد بود. بنابراین، تمام سیگنال‌های سیستم حلقة بسته که شامل ، ، ،  و  هستند، کران‌دار یکنواخت نهایی می‌شوند. همچنین، با افزایش مقدار ، خطای ردیابی  به مقدار دلخواه می‌تواند کوچک شود.

روش طراحی توضیح داده شده در قالب یک قضیه در زیر بیان می‌شود.

قضیة 1: سیستم (1) باوجود قید‌های 1 و 2 و در حضور خرابی عملگر (2) در نظر گرفته شده است. استفاده از قانون کنترل (55) و قوانین تطبیق (56)، (58) و (59) تضمین ‌می‌کنند همة سیگنال‌های سیستم حلقة بسته کران‌دار یکنواخت نهایی‌اند و خطای ردیابی نیز با انتخاب مناسب پارامترهای طراحی، به مقدار دلخواه می‌تواند کوچک شود.

به‌منظور جمع‌بندی و شفاف‌سازی بیشتر، روند طراحی کنترل‌کنندة پیشنهادی در زیر به‌صورت یک بلوک دیاگرام ترسیم شده است.

 

 

             

   
   

1

   
   

         

   
   

2

   
   

         

   
   

3

   
   

                                                                                                         

 

 

                           

 

شکل (1): الگوریتم روند طراحی کنترل‌کنندة پیشنهادی

4- شبیه‌سازی

دینامیک سیستم غیرخطی زیر را برای بررسی عملکرد کنترل‌کنندة پیشنهادی در نظر بگیرید:

(64)

    

    

    

 

توابع و پارامترها به‌منظور شبیه‌سازی به‌صورت زیر در نظر گرفته می‌شوند:

 

(65)

    

    

    

    

    

    

    

خرابی عملگر به‌صورت زیر اعمال می‌شود:

(66)

    

هدف، طراحی کنترل‌کننده‌ای است که با آن، خروجی سیستم، ورودی مرجع  را دنبال کند.

توابع ،  توابع غیرخطی نامشخص‌اند که با استفاده از شبکة عصبی RBF، با تابع فعال‌ساز گوسین تقریب زده می‌شوند. تعداد نرون‌ها برای تابع ، 17 و برای تابع ، 28 در نظر گرفته می‌شوند. درواقع،  و  هستند که ها اندازة بردارهای اند. مراکز این توابع نیز با الگوریتم k-means به‌صورت روی خط به‌روزرسانی می‌شوند.

قانون کنترل به‌صورت زیر انتخاب می‌شود:

(67)

    

در انتخاب پارامترهای طراحی باید قیود زیر در نظر گرفته شوند:

قید 3: با توجه به روابط (20) و (21)، باید  باشد.

قید 4: با توجه به روابط (39) و (40)، باید  ‌باشد.

قید 5: با توجه به روابط (61) و (62)، باید  ‌باشد.

بنابراین، پارامترها به‌صورت زیر طراحی می‌شوند:

(68)

    

    

که در آنها ها با توجه به های مشخص‌شده و با اندکی ساده‌سازی به دست می‌آیند.

نتایج شبیه‌سازی در شکل (2) تا شکل (6) نشان داده شده‌اند. با توجه به شکل‌ها، روش پیشنهادی هدف کنترل را برآورده می‌کند. خطای ردیابی در شکل (2) نمایان است که به مقدار کمتر از 02/0 همگرا می‌شود. شکل (3) ورودی کنترل‌کنندة طراحی‌شده را نشان می‌دهد. از شکل (3) دریافت می‌شود کنترل‌کنندة پیشنهادشده عملکرد مطلوبی دارد و کران‌دار است. در شکل (4) خطای تقریب تابع  نشان داده شده است. همچنین در شکل (5)، خطای تقریب تابع  نشان داده شده است. همان‌طور که مشخص است، شبکة عصبی RBF، توابع  و  را به‌خوبی و با خطای کوچکی تقریب می‌زند. شکل (6) نشان‌دهندة تخمین پارامتر  است. اغتشاش‌های موجود در شکل‌ها در زمان 10 ثانیه به‌سبب بروز خرابی عملگرند که پس از تخمین  از بین ‌می‌روند.

 

شکل (2): خطای بین خروجی سیستم و خروجی مطلوب با کنترل‌کنندة پیشنهادی

 

شکل (3): سیگنال کنترل با کنترل‌کنندة پیشنهادی

 

شکل (4): خطای تقریب تابع  با شبکة عصبی RBF

 

شکل (5): خطای تقریب تابع  با شبکة عصبی RBF

 

شکل (6): تخمین پارامتر

5- نتیجه‌گیری

در این مقاله، کنترل‌کنندة تطبیقی - عصبی، براساس روش DSC، برای سیستم‌های غیرخطی تأخیردار در حضور خرابی عملگر طراحی شد. در روند طراحی کنترل‌کننده، برای تقریب توابع نامشخص، از شبکه‌های عصبی RBF استفاده شده است. با معرفی یک تابع لیاپانوف مناسب، قانون کنترل و قوانین تطبیق تعریف شد و در این راستا برای طراحی کنترل‌کننده، باوجود تأخیر زمانی، از تابعی لیاپانوف - کراسوفسکی بهره گرفته شده است. همچنین، خرابی عملگر از نوع کاهش عملکرد است که کنترل‌کننده در راستای بهبود اثر خرابی طراحی شده است. در پایان، پایداری سیستم و نیز همگرایی خطای ردیابی به یک مقدار کوچک دلخواه در حضور کنترل‌کنندة طراحی‌شده اثبات شده است. نتایج شبیه‌سازی‌ها پایداری سیستم و همگرایی خطای ردیابی به یک مقدار کوچک را باوجود خرابی عملگر نشان می‌دهد.



[1]تاریخ ارسال مقاله: 12/09/1395

تاریخ پذیرش مقاله: 09/05/1398

نام نویسندۀ مسئول: مرضیه کمالی

نشانی نویسندۀ مسئول: ایران - اصفهان - دانشگاه صنعتی اصفهان - دانشکدة مهندسی برق و کامپیوتر



[i] Matching conditions

[ii] Adaptive backstepping

[iii] Single Input-Single Output

[iv] Complexity explosion

[v] Dynamic Surface Control

[vi] Strict-feedback

[vii] Pure-feedback

[viii] Radial Basis Functions

[ix] Lyapunov-Krasovskii Functionals

[x] Wavelet

[xi] Perturbed

[xii] Young’s inequality

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[1] Kanellakopoulos, I., Kokotovic, P., Marino, R., "Robustness of adaptive nonlinear control under an extended matching condition", IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems Design, pp. 245-250, 1989.

[2] Nam, K., Araposthathis, A., "A model reference adaptive control scheme for pure-feedback nonlinear systems", Automatic Control, IEEE Transactions on, vol. 33, pp. 803-811, 1988.

[3] Sastry, S. S., Isidori, A., "Adaptive control of linearizable systems", Automatic Control, IEEE Transactions on, vol. 34, pp. 1123-1131, 1989.

[4] Erfanian O. A.,  Pooyan, M., khalighfard, M., " Neuro-Terminal Sliding Control in arm movement using online routing algorithm", Computational Intelligence in Electrical Engineering, vol. 6, pp. 0-35,2016.Yeşildirek, A., Lewis, F. L., "Feedback linearization using neural networks", Automatica, vol. 31, pp. 1659-1664, 1995.

[5] Polycarpou, M. M., "Stable adaptive neural control scheme for nonlinear systems", Automatic Control, IEEE Transactions on, vol. 41, pp. 447-451, 1996.

[6] Liu, Y. J., Tong, S., Li, Y., "Adaptive neural network tracking control for a class of non-linear systems", International Journal of Systems Science, vol. 41, pp. 143-158, 2010.

[7] Wang, D., Huang, J., "Neural network-based adaptive dynamic surface control for a class of uncertain nonlinear systems in strict-feedback form", Neural Networks, IEEE Transactions on, vol. 16, pp. 195-202, 2005.

[8] Yoo, S. J., Park, J. B., Choi, Y. H., "Adaptive dynamic surface control for stabilization of parametric strict-feedback nonlinear systems with unknown time delays", Automatic Control, IEEE Transactions on, vol. 52, pp. 2360-2365, 2007.

[9] Tong, S., Li, Y., Wang, T., "Adaptive fuzzy backstepping fault-tolerant control for uncertain nonlinear systems based on dynamic surface", International Journal of Innovative Computing, Information and Control, vol. 5, pp. 3249-3261, 2009.

[10] Li, T. S., Wang, D., Feng, G., Tong, S. C., "A DSC approach to robust adaptive NN tracking control for strict-feedback nonlinear systems", Systems, Man, and Cybernetics, Part B: Cybernetics, IEEE Transactions on, vol. 40, pp. 915-927, 2010.

[11] Yoo, S. J., Park, J. B., Choi, Y. H., "Adaptive neural control for a class of strict-feedback nonlinear systems with state time delays", Neural Networks, IEEE Transactions on, vol. 20, pp. 1209-1215, 2009.

[12] Zhai, D., AN, L., Li, J., Zhang, Q., "Simplified filtering-based adaptive fuzzy dynamic surface control approach for non-linear strict-feedback systems", IET Control Theory & Applications, vol. 11, pp. 493-503, 2016.

[13] Wang, N., Tong, S., Li, Y., "Observer-based adaptive fuzzy dynamic surface control of non-linear non-strict feedback system", IET Control Theory & Applications, vol. 13, pp. 3315-3121, 2017.

[14] Park, J. H., Park, G. T., "Robust adaptive fuzzy controller for nonaffine nonlinear systems with dynamic rule activation", International Journal of Robust and Nonlinear Control, vol. 13, pp. 117-139, 2003.

[15] Park, J. H., Huh, S. H., Kim, S. H., Seo, S. J., Park, G. T., "Direct adaptive controller for nonaffine nonlinear systems using self-structuring neural networks", Neural Networks, IEEE Transactions on, vol. 16, pp. 414-422, 2005.

[16] Ge, S. S., Wang, J., "Robust adaptive neural control for a class of perturbed strict feedback nonlinear systems", Neural Networks, IEEE Transactions on, vol. 13, pp. 1409-1419, 2002.

[17] Sun, G., Wang, D., Wang, M., "Robust adaptive neural network control of a class of uncertain strict-feedback nonlinear systems with unknown dead-zone and disturbances", Neurocomputing, vol. 145, pp. 221-229, 2014.

[18] Ge, S. S., Hong, F., Lee, T. H., "Adaptive neural network control of nonlinear systems with unknown time delays", Automatic Control, IEEE Transactions on, vol. 48, pp. 2004-2010, 2003.

[19] Yousef, H. A., Hamdy, M., Shafiq, M., "Adaptive fuzzy-based tracking control for a class of strict-feedback SISO nonlinear time-delay systems without backstepping", International Journal of Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based Systems, vol. 20, pp. 339-353, 2012.

[20] Ge, S. S., Hong, F., Lee, T. H., "Robust adaptive control of nonlinear systems with unknown time delays", Automatica, vol. 41, pp. 1181-1190, 2005.

[21] Kamali, S., Tabatabaei, S. M., Arefi, M. M., Jahed‐Motlagh, M. R., "Prescribed performance adaptive neural output control for a class of switched nonstrictfeedback nonlinear timedelay systems: Statedependent switching law approach", International Journal of Robust and Nonlinear Control, vol. 29, pp. 1734-1757, 2019.

[22] Li, D., Li, D., "Adaptive tracking control for nonlinear time-varying delay systems with full state constraints and unknown control coefficients", Automatica, vol. 93, pp. 444-453, 2018.

[23] Wang, M., Liu, X., Shi, P., "Adaptive neural control of pure-feedback nonlinear time-delay systems via dynamic surface technique", Systems, Man, and Cybernetics, Part B: Cybernetics, IEEE Transactions on, vol. 41, pp. 1681-1692, 2011.

[24] Ho, D. W., Li, J., Niu, Y., "Adaptive neural control for a class of nonlinearly parametric time-delay systems", Neural Networks, IEEE Transactions on, vol. 16, pp. 625-635, 2005.

[25] Tang, X., Tao, G., Joshi, S. M., "Adaptive actuator failure compensation for parametric strict feedback systems and an aircraft application", Automatica, vol. 39, pp. 1975-1982, 2003.

[26] Su, X., Liu, Z., Lai, G., Chen, C. P., Chen, C. "Direct adaptive compensation for actuator failures and dead-Zone constraints in tracking control of uncertain nonlinear systems", Information Sciences, vol. 417, pp. 328-343, 2017.

[27] Li, Y., Tong, S., "Adaptive Fuzzy Fault-Tolerant Control for Uncertain Nonlinear Systems", Innovative Computing Information and Control, 2008. ICICIC'08. 3rd International Conference on, pp. 118-118, 2008.

[28] Jiang, Z. P., Hill, D. J. "A robust adaptive backstepping scheme for nonlinear systems with unmodeled dynamics", IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 44, pp. 1705–1711, 1999.

[29] Jiang, Z. P., Praly, L. "Design of robust adaptive controllers for nonlinear systems with dynamic uncertainties", Automatica, vol. 34, pp. 825-840, 1998.

[30] Nguang, S. K., "Robust stabilization of a class of time-delay nonlinear systems", IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 45, p.p. 756-762, 2000.

[31] Ho, D.W., Li, J. and Niu, Y., "Adaptive neural control for a class of nonlinearly parametric time-delay systems", IEEE Transactions on Neural Networks, vol. 16, p.p. 625-635, 2005.

[32] Polycarpou, M. M., Ioannou, P. A., "Robust adaptive nonlinear control design", American Control Conference, p.p. 1365-1369, 1993.