پخش بار اقتصادی نیروگاه‏های حرارتی با در نظر گرفتن اثر شیر بخار و با استفاده از الگوریتم بهینه‏سازی ‏یادگیری ردیابی بازگشتی

نویسندگان

1 دانش ‏آموختۀ کارشناسی‏ارشد، گروه مهندسی برق قدرت- دانشگاه آزاد اسلامی واحد دزفول – دزفول - ایران

2 استادیار، گروه مهندسی برق قدرت- دانشگاه آزاد اسلامی واحد دزفول – دزفول - ایران

چکیده

چکیده: یکی از مهم‌ترین موضوع‏های سیستم‏های مدرن امروزی، تولید انرژی الکتریکی برای سیستم‏های قدرت به‌منظور بهینه‌کردن هزینه تولیدی برای واحدهای فعال موجود در شبکه قدرت است. پخش بار اقتصادی[1] برنامه‌ریزی مناسب برای واحدهای تولیدی است که محدودیت‏های غیرخطی شبکۀ قدرت و واحدهای تولیدی را در نظر می‏گیرد. پخش بار اقتصادی، ‏مسئلۀ بهینه‏سازی غیرخطی، غیرمحدب و چالش‌برانگیز است که برای حل آن، با توجه به مشخصات پیچیدۀ موجود در مسئله، از الگوریتم‏های ابتکاری استفاده می‌شود. در این مقاله مسئلۀ پخش بار اقتصادی با محدودیت‏های غیرخطی، به ‏مسئلۀ بهینه‏سازی تبدیل شده است و با استفاده از الگوریتم بهینه‏سازی ‏یادگیری ردیابی بازگشتی (LBSA)، به حل آن پرداخته می‌شود. الگوریتم پیشنهادی، ترکیبی از الگوریتم ردیابی بازگشتی (BSA) و الگوریتم آموزش و یادگیری (TLBO) است. برای ارزیابی کارایی روش پیشنهادی از دو سیستم‏ تست به‌عنوان مطالعات موردی استفاده شد و نتایج حاصل از این روش، تجزیه و تحلیل و با نتایج دیگر الگوریتم‏های موجود در مقالات مقایسه شده‌اند. این نتایج، کارایی و عملکرد مناسب الگوریتم پیشنهادی را در مقایسه با سایر الگوریتم‏ها نشان می‌دهد.
 



[1] Economic Dispatching

کلیدواژه‌ها

موضوعات


عنوان مقاله [English]

Economic Dispatch of Thermal Units considering Valve-point Effect using Learning Backtracking Search Optimization Algorithm

نویسندگان [English]

  • Behnam Golestani Mehr 1
  • Afshin Lashkar Ara 2
1 Dept. of Electrical Engineering, Dezful Branch, Islamic Azad University, Dezful, Iran
2 Dept. of Electrical Engineering, Dezful Branch, Islamic Azad University, Dezful, Iran
چکیده [English]

The production of electric energy for power systems with the goal of minimizing the total production cost for existing active units in the power network is one of the most important issues of modern systems. In other words, the purpose of economic dispatching is proper and optimized planning for production units, by taking into account the existing nonlinear factors and limitations in the power network and manufacturing units. The issue of economic dispatch is a challenging, non-linear, and non-convex optimization problem, which due to its intricate characteristics, heuristic algorithms are utilized as the resolution. In this paper, the issue of economic dispatch has become an optimization issue considering non-linear constraints and it has been solved using learning backtracking search algorithm (LBSA). The proposed algorithm is hybrid of backtracking search algorithm (BSA) and teaching-learning based optimization (TLBO). In order to evaluate the efficiency of the proposed algorithm, two test systems are used as case studies and the obtained results are compared to that of other algorithms in the literature. Based on numerical results, the LBSA algorithm is capable of offering better solutions and, in some cases, solutions identical to other reported methods regarding the fuel cost.

کلیدواژه‌ها [English]

  • Economic Dispatch
  • Non-convex Optimization
  • Learning Backtracking Search Algorithm (LBSA)
  • Valve-point Effect

1- مقدمه[1]

در دهه‏های اخیر یکی از مهم‌ترین منابع تولید برق، مربوط به واحدهای حرارتی بوده است. منابع اصلی تأمین این نیروگاه‏ها استفاده از سوخت‏های فسیلی است؛ اما با توجه به فناپذیری و همچنین میزان آلایندگی و هزینۀ زیاد استفاده از آنها پژوهشگران را در پی کشف روش‏هایی برای بهینه‌کردن استفاده از این سوخت‏های فسیلی وا‌داشت ]1[. در ابتدا هزینۀ سوخت، متغیر اصلی در توزیع اقتصادی در نظر گرفته می‌شد و با گسترش قوانین زیست‌محیطی، انتشار آلاینده‏ها بخشی از هزینه برای توزیع اقتصادی شد. سپس توزیع اقتصادی، مشکل چندمنظوره برای به حداقل‌رساندن هزینه و انتشار آلاینده‏ها شد ]2[.

هزینه تولید، به‌ویژه در نیروگاه‌های حرارتی، بیش‌ازحد است؛ بنابراین برنامه‌ریزی مناسب خروجی واحدهای نیروگاهی به صرفه‌جویی در هزینه‌های عملیاتی کمک چشمگیری می‌کند ]3[. بهره‏برداری مناسب از سیستم قدرت، برای برگشت سود سرمایه‏گذاری، بسیار مهم است و هزینه‏هایی که ارگان‏های دولتی تعیین می‏کنند و همچنین اهمیت صرفه‌جویی در سوخت و هزینه آن، شرکت‏های برق را برای به دست آوردن حداکثر بازدهی ممکن، وادار می‏کند ]4[.

این مقاله به دنبال کم‌کردن هزینۀ سوخت تولید نیروگاه‏های حرارتی با استفاده از مسئلۀ توزیع اقتصادی است. در سال‏های گذشته، تکنیک‌های بهینه‌سازی زیادی برای پخش بار اقتصادی استفاده شده‌اند. در برخی از این تکنیک‌ها از روش‌های بهینه‌سازی متعارف مانند روش تکرار لامبدا[1]، روش نقطۀ پایه و عوامل مشارکتی[2] و روش گرادیان[3] استفاده ‌شده است ]6،5،1 [. روش‌های ذکرشده در ماهیت منحنی هزینه محدودیت‌هایی دارند. علاوه بر این، با توجه به وجود چند مینیمم نسبی در تابع هدف، مسائل نوسانی به وجود می‌آیند که زمان محاسباتی بیشتری نیاز دارند. برنامه‌نویسی پویا هیچ شرطی بر منحنی هزینه تحمیل نمی‌کند؛ اما مشکل، چندبعدی‌بودن تابع هزینه است که اعمال این روش‏ها به سیستم‌های بزرگ، به زمان محاسباتی بیشتری منجر می‌شود ]3[.

در دهه گذشته متدهای ابتکاری بسیاری با استفاده از هوش مصنوعی برای حل مشکل پیچیده توزیع نیرو به کار رفته است؛ ازجمله الگوریتم‏های بهینه‌سازی‏ ژنتیک[4] (GA) ]7[، انتشار ذرات[5] ]2[، کلونی زنبورعسل[6] (ABC) ]8،9[، ازدحام ذرات[7](PSO)  ]10[، کرم شب‏تاب[8] (FA) ]11[، کلونی مورچه‏ها[9] (ACO) ]12[، خفاش بی‌نظم[10] ]13[. برای بهبود کارایی جستجوی این متدها، تعدادی الگوریتم تغییر داده‌ شده که از مدل اصلی آنها مشتق شده‏اند نیز پیشنهاد شده است که الگوریتم‌های بهینه‌سازی ژنتیک بهبودیافته[11] ]14[، روش ‏ تکامل‌یافتۀ ازدحام ذرات[12] ( ) ]3[، کلونی زنبورعسل مصنوعی بهبودیافته[13] ]4[ را شامل می‌شوند. این تکنیک‌های مدرن با محدودیت‌هایی در فرم منحنی هزینه مواجه نیستند؛ اما پارامترهای وابسته زیادی دارند که باید به‌درستی تعیین شوند.

الگوریتم جستجوی عقب‌گرد یا ردیابی بازگشتی[14] (BSA) ]15[، الگوریتم تکاملی[15] (EA) است که برای حل مسائل بهینه‏سازی استفاده می‏شود. ساختار این الگوریتم ساده است و تنها یک پارامتر کنترلی دارد که باید تعیین شود. برای بهبود عملکرد همگرایی و گسترش دامنۀ استفاده از آن، با الگوریتم آموزش و یادگیری[16] (TLBO) ]16[ ترکیب شد و الگوریتم جدیدی به نام الگوریتم بهینه‏سازی ‏یادگیری ردیابی بازگشتی[17] (LBSA) ]17[ به دست آمد که اساس بهینه‌سازی در این مقاله است.

در دنیای امروز و در مراکز تولید، پخش بار اقتصادی، مهم‌ترین هدف توزیع انرژی بوده است و نقش مهمی در عملکرد اقتصادی سیستم قدرت دارد. در صنعت، زمانی که ژنراتورهای دارای بارهای مختلف، به‌هم‌پیوسته شوند، ظرفیت تولیدی آنها بسیار بزرگ‌تر از بارها می‏شود؛ به همین دلیل، اختصاص‌دادن بار برای ژنراتورها می‏تواند متنوع شود و به سبب اینکه کاهش هزینۀ تولید برق مهم است، تقسیم بار اقتصادی، مدنظر قرار می‏گیرد.

هزینۀ سوخت، بیشتر هزینۀ تولید در نیروگاه‌ها را به خود اختصاص می‏دهد. سایر هزینه‌ها مانند هزینۀ کار، تعمیر و نگهداری، عوامل اقتصادی‌اند؛ درنتیجه، متخصصان توزیع انرژی باید کنترل تولید نیروگاه‏ها را برای کم‌کردن هزینه به دست گیرند که در این صورت مسئلۀ پخش بار اقتصادی به‌عنوان مسئلۀ بهینه‏سازی، شامل تابع هدف و قیود، بیان می‌شود ]3،2[.

در این مقاله برای حل مسئلۀ پخش بار اقتصادی برای اولین بار از الگوریتم بهینه‏سازی یادگیری ردیابی بازگشتی (LBSA) استفاده ‌شد. ابتدا به بیان مسئلۀ پخش بار اقتصادی و فرمول‌بندی آن پرداخته و در ادامه، الگوریتم بهینه‏سازی یادگیری ردیابی بازگشتی (LBSA) و شیوۀ کار آن بررسی شده است. سپس با استفاده از این الگوریتم مسئلۀ پخش بار اقتصادی، برای سیستم‏های آزمایشیِ ذکرشده، حل شده است و نتایج حاصل، تحلیل و بررسی و با نتایج حاصل از سایر الگوریتم‏ها، مقایسه و نتیجه‌گیری شده‌‌اند.

 

2- فرمول‌بندی مسئله

2-1- توصیف مسئلۀ پخش بار

پخش بار اقتصادی در مراکز مدرن کنترل انرژی و به‌منظور تعیین توان بهینه واحدهای تولیدی، یکی از مسائل مهم در بهره‌برداری از سیستم‌های قدرت است. با توجه به بازۀ زمانی، دو نوع پخش بار اقتصادی معرفی می‌شود: پخش بار اقتصادی استاتیکی که در آن برای یک میزان بار مشخص و در یک بازۀ زمانی، مسئله را به‌صورت بهینه حل می‌کند و پخش بار اقتصادی دینامیکی که مسئله را برای میزان بارهای مختلف و در چندین بازۀ زمانی بررسی می‌کند. بدیهی است فرایند محاسبات در پخش بار دینامیکی، پیچیده‌تر از حالت استاتیکی است؛ اما نتایج محاسبات آن تطابق بیشتری با نیازهای واقعی سیستم قدرت دارد ]18[. پخش بار اقتصادی دینامیکی، مسئلۀ بهینه‏سازی برای تعیین برنامۀ زمان‏بندی توان خروجی واقعی واحدهای تولید، با در نظر گرفتن تعادل توان واقعی با بار مصرفی و همچنین محدودیت‏های خروجی ژنراتورها است.

تورم سالانه و افزایش قیمت مواد سوختی باعث می‏شود همواره به بهره‏برداری مناسب از سیستم‏های تولید انرژی الکتریکی توجه شود ]1[. هدف از توزیع اقتصادی، به حداقل رساندن مجموع هزینۀ تولید سیستم قدرت در یک بازۀ زمانی تعریف‌شده (معمولاً 1 ساعت) است؛ درحالی‌که محدودیت‌های عملیاتی سیستم قدرت رعایت شود؛ بنابراین، می‌توان این هزینه را به‌صورت ریاضی، مانند یک مسئلۀ بهینه‌سازی با تابع هدف و دو محدودیت (معادله و نامعادله) فرمول‌بندی کرد ]3[.

2-2- تابع هدف بدون اثر شیر بخار

عامل اصلی در توزیع اقتصادی بار، تابع هزینۀ ژنراتورها است و هزینه‏های دیگر به‌صورت درصد ثابتی از هزینۀ سوخت در نظر گرفته می‏شوند. بدیهی است تابع هزینه، تنها برای نیروگاه‏های حرارتی مفهوم دارد.

معمولاً تابع هزینۀ سوخت برای مشخص‌کردن توان تولیدی در یک نیروگاه را با تقریب مناسب، با تابع درجه 2 مشخص می‏شود؛ درنتیجه، برای تولید انرژی الکتریکی ( ) در نیروگاه  ام، هزینه‏ای به‏دست می‏آید که با  مشخص می‏کنند. واضح است که هزینۀ کل سیستم، برابر با مجموع هزینه‏های همه واحدها است. در این صورت، مسئلۀ توزیع اقتصادی بار به‌صورت رابطه (1) تعریف خواهد شد:

(1)

 

(2)

 

در این رابطه  هزینۀ سوخت کل نیروگاه، ،  و  ضرایب مربوط به هزینۀ واحد نیروگاهی  ام و  تعداد نیروگاه‏های سوخت فسیلی موجود در شبکه است.

در تحلیل پخش بار اقتصادی، با ایجاد تغییر در توان تولیدی هر یک از نیروگاه‏ها، باید روشی را انتخاب کرد که تابع هزینۀ ارائه‌شده به‌صورت رابطه (2) مینیمم شود ]19[.

2-3- تابع هدف با اثر شیر بخار

مجموع هزینۀ تولید معمولاً با همان تابع درجه دوم از توان خروجی واحد تولیدی تقریب زده می‌شود. ازطرفی معمولاً در پخش بار اقتصادی تابع هزینه دارای نقاط زانویی مشتق‌ناپذیر است ]19[ که به دلیل در نظر گرفتن بارگذاری نقطۀ دریچه (تخلیه) ]3[ و یا در نظر گرفتن اثرات موقعیت شیر ورودی ]4[، تابع هزینۀ نیروگاه را به‏صورت حاصل جمع تابع هزینه درجه 2 و قدر مطلق تابع سینوسی در نظر می‏گیرند.

در این مقاله، مدل والتر- شب ]20[ برای نشان‌دادن این خاصیت‌ها استفاده می‌شود؛ بنابراین، تابع هزینه اصلاح و تابع سینوسی تصحیح‌شده در تابع درجه دوم گنجانده می‌شوند. با توجه به این اثر، تابع هدف توزیع اقتصادی به‌عنوان یک مسئله بهینه‌سازی محدود به‌صورت رابطه ریاضی (3) توصیف می‌شود.

(3)

 

(4)

 

که  و  ضرایب مربوط به اثر شیر بخار ژنراتورها هستند. اگر بارگذاری نقطۀ دریچه یا شیر ورودی در نظر گرفته شود و به دنبال آن، واحد تولیدی تابع هزینه‌ای غیرصاف (غیریکنواخت) داشته باشد؛  برابر با یک و در غیر این صورت  برابر صفر و تابع هزینۀ این واحد صاف (یکنواخت) است ]3[.

 

2-4- محدودیت‏های معادله (تساوی)

محدودیت‏هایی مانند تعادل توان یا محدودیت تقاضا را با عنوان محدودیت‏های معادله (تساوی) مشخص می‏کنند؛ به این صورت که مجموع توان تولیدی سیستم ( ) باید مانند رابطه (5) با حاصل جمع بارهای کل سیستم ( ) و تلفات ( ) برابر باشد ]3[.

(5)

 

در این رابطه، تلفات خطوط به‏وسیلۀ تابعی از توان حقیقی و ماتریس ضرایب B که فرمول تلفات Korn هستند، با استفاده از معادله (6) به دست می‌آید.

(6)

 

که در آن پارامترهای  ضرایب اتلاف نام دارند. این رابطه را به‏صورت برداری با رابطه (7) بیان می‌شود.

(7)

 

ضرایب اتلاف را با ماتریس متقارن B نشان داده و  بردار ستونی و  ثابت اسکالر این ضرایب است ]21[.

شکل (1) تابع هزینۀ واحد حرارتی را با اثر شیر بخار و بدون اثر آن نشان می‌دهد.

 

شکل (1): تابع هزینۀ واحد حرارتی ]4[

2-5- محدودیت‌های نامعادله (نامساوی)

محدودیت‏های نامعادله یا نامساوی شامل محدودیت ظرفیت تولید، محدودیت سرعت تولید، میزان‌های افزایشی کاهشی، منطقۀ عملیاتی ممنوع، محدودیت‏های قابلیت اطمینان و امنیت شبکه و ... است.

محدودیت ظرفیت تولید: قدرت خروجی هر ژنراتور باید بین محدودۀ خودش باشد؛ یعنی ازطرفی نباید بیشتر از مقدار نامی و از طرف دیگر، نباید کمتر از مقداری باشد که برای بهره‏برداری مناسب دیگ بخار لازم است؛ بنابراین، خروجی توان حقیقی هر ژنراتور، باید بین حد بالا و پایین مانند رابطه (8) باشد.

(8)

 

که  و  کمترین و بیشترین تولید واحد i ام هستند. این حدود، علاوه بر اینکه ناشی از محدودیت‏های فنی هر واحد است، باعث می‏شوند واحدهای با هزینه کمتر، بیش از حداکثر توان مجاز خود و واحدهای با هزینه بیشتر، کمتر از حد مجاز خود تولید نداشته باشند ]18[.

محدودیت سرعت تولید: یکی از فرض‌های غیرعملی ساده‌سازی مسئله در بسیاری از پژوهش‌های قبلی، تنظیمات توان خروجی هم‌زمان است؛ اما در شرایط عملی، در خروجی واحد تولید، محدودیت دامنۀ (اندازه) تغییرات وجود دارد؛ بنابراین، خروجی ژنراتور باید بین حد بالا و پایین اندازه تغییرات باشد. اعمال این کران‌ها محدودیت عملکرد ژنراتور را به‌صورت رابطه (9) اصلاح می‌کند.

(9)

 

که  توان خروجی قبلی واحد i ام و  میزان‏ کاهشی[18] واحد است ]3[.

میزان‌های افزایشی کاهشی: نیروگاه‏های حرارتی به دلایل فنی نباید به‌صورت آنی توان خود را تغییر دهند و این افزایش یا کاهش باید با شیب ملایمی همراه باشد. به عبارت دیگر، هر نیروگاه محدودیت‏هایی در شیب تغییرات توان تولیدی خود دارد که تجاوز از این محدودیت‏ها ایجاد خسارت به روتور و افزایش هزینۀ عملکرد را باعث می‏شود. در شرایط واقعی تغییر تولید در هر ساعت از شبانه روز نسبت به ساعت قبل محدودیت‏هایی دارد؛ یعنی محدودیت حداکثر افزایش و یا حداقل تولید در تحلیل سیستم، وارد و به شرایط واقعی نزدیک‌تر خواهد ‏شد. این شرایط با رابطه (10) نشان داده شده است.

(10)

 

که در آن  و  حداکثر افزایش و کاهش تولید نسبت به ساعت قبل نیروگاه i ام،  تعداد نیروگاه‏ها و  ساعتی از شبانه‌روز هستند ]19[.

منطقه عملیاتی ممنوعه: مناطق عملیاتی (کاری) ممنوعه ژنراتور مناطقی از توان خروجی‌اند که در آن، کارکرد ژنراتور با توجه به محدودیت‌های فیزیکی و یا ناپایداری محدود شده است. به سبب دشواربودن تعیین مناطق دقیق ممنوعه، معمولاً از کار در چنین مناطقی ممانعت به عمل می‌آید ]22[. مناطق عملیاتی مناسب واحد تولید در توزیع اقتصادی با رابطه‏های (11) به دست می‏آیند.

(11)

 

که  و  به‌ترتیب مرزهای پایین و بالای مناطق ممنوعه،  تعداد واحدهایی که در منطقه ممنوعه‌اند و  شماره واحد i ام در منطقه ممنوعه است ]3[.

محدودیت‏های قابلیت اطمینان و امنیت شبکه: معیار قابلیت اطمینان و امنیت شبکه که محدودیت‏های فنی مسئلۀ توزیع بار اقتصادی‌اند، در حل مسئلۀ پخش بار اقتصادی گنجانده نمی‏شوند و بیشتر موارد، این محدودیت‏ها در سایر مطالعات یا برنامه‌ریزی‌ها در نظر گرفته و توزیع اقتصادی بار بدون این محدودیت‏ها حل می‏شود.

 

3- الگوریتم بهینه‏سازی یادگیری ردیابی بازگشتی (LBSA)

دبائوچن (Debaochen) و همکارانش، اولین بار در سال 2017 الگوریتم LBSA را برای حل مسائل ریاضی معرفی کردند که یک الگوریتم بهینه‌سازی تصادفی بر اساس جمعیت است و با استفاده از ترکیب دو روش بهینه‌سازی ردیابی بازگشتی (BSA) و آموزش و یادگیری (TLBO) ساخته شده است.

3-1- BSA بنیادی

BSA الگوریتم تکاملی مبتنی بر جمعیت است. پنج مرحله از BSA به شرح زیرند و جزئیات بیشتر آن در مرجع ]15[ بیان شده است.

مقداردهی اولیه: جمعیت اولیه ( ) و تاریخچه جمعیت ( ) با توجه به رابطه‏های (12) مقداردهی می‏شوند که U توزیع یکنواخت است و  و  مرزهای پایین و بالای متغیرها بوده‌اند و i فرد i ام جمعیت است.

(12)

 

گزینش 1: در هر تکرار، تاریخچه جمعیت ( ) با توجه به رابطه (13) معرفی می‏شود.

(13)

 

جهش: فرم اولیه جمعیت آزمایشی با عملیات جهش از رابطه (14) و با استفاده از مزیت تجربیات نسل‌های قبلی و استفاده از ماتریس جستجوی جهت‌دار F تولید می‏شود. مقدار مشترک F برابر با 3•randn است.

(14)

 

ترکیب: ماتریسی با داده‌های صحیح باینری (نگاشت)، مسیرهای ترکیب‌شده الگوریتم را با رابطۀ (15) هدایت می‏کند؛ به‌طوری‌که افرادی با برازش بهتر برای تکامل افراد جامعه هدف استفاده می‏شوند.

(15)

 

گزینش 2: جمعیت نسل بعدی با توجه به مکانیسم گزینش حریصانه تولید می‏شود. طبق رابطه (16) اگر برازش  نسبت به  کوچک‌تر باشد،  جایگزین  می‏شود.

(16)

 

3-2- مراحل اصلی TLBO

الگوریتم TLBO نیز مبتنی بر جمعیت است که آموزش و یادگیری را تقلید می‏کند. دو مرحله اصلی آن عبارت‌اند از: مراحل آموزش‌دهنده و یادگیرنده. در الگوریتم پیشنهادی LBSA از این دو مرحله استفاده شده است. جزئیات بیشتر در مرجع ]16[ بیان شده است.

مرحله آموزش‌دهنده: آموزش‌دهنده دانش خود را برای همۀ یادگیرنده‌ها مانند رابطه (17) در گروه توزیع می‏کند.

(17)

 

که  و  موقعیت‌های جدید و قبلی یادگیرنده i و rand(•) عددی تصادفی در بازۀ [0,1] است. ضریب آموزش ، مقدار میانگین را برای تغییر داده‌شدن تعیین می‌کند و به‌صورت ابتکاری روی 1 یا 2 تنظیم می‌شود که با احتمال برابر با رابطه (18) بیان می‌شود.

(18)

 

مرحله یادگیرنده: در هر تکرار، یادگیرنده k ام به‌صورت تصادفی، هدف یادگیری، یادگیرنده i ام انتخاب می‏شود. روش یادگیری، یادگیرنده i ام به‌صورت ریاضی با رابطه (19) بیان می‌شود.

 

(19)

 

که ، موقعیت جدید فرد i ام است و  و ، موقعیت‌های پیشین i ام و k ام یادگیرنده‌ها هستند. علاوه بر این، اگر برازش  نسبت به  بهتر باشد،  پذیرفته می‏شود.

3-3- عملیات جهش در LBSA

برای بهبود توانایی الگوریتم LBSA، هدایت‌کننده‏ای، یادگیری بهترین فرد را در فرآیند جهش الگوریتم با رابطه (20) معرفی می‏کند.

(20)

 

عملیات جهش اصلاح‌شده به‌صورت رابطۀ (21) خلاصه می‌شود:

اگر فرد i ام نسبت به فرد k ام بهتر باشد

 

 

 

در غیر این صورت

 

 

 

(21)

 

 از جامعه به‌صورت تصادفی انتخاب می‌شود و  بعد از عملگر جهش به کار می‏رود. آموزش‌دهنده و بدترین فرد، بهترین و بدترین موقعیت از نسل حاضرند.

 

4- روش حل مسئله پخش بار اقتصادی با استفاده از LBSA

اجرای الگوریتم LBSA برای حل مسئلۀ پخش بار اقتصادی نشان داده شده در شکل (2) مراحل زیر را شامل می‌شود:

مقداردهی اولیه الگوریتم: در این مرحله تعداد جمعیت (PopSize) برابر با 50 نفر در نظر گرفته می‏شود. بُعد مسئله (DimSize)، تعداد ژنراتورهای سیستم مطالعه‌شده است و همچنین شمارندۀ تکرار الگوریتم معرفی می‌شود.

مقداردهی اولیه مسئله: حداقل و حداکثر توان ژنراتورها ( )، ضرایب تابع هزینه ( ،  و ) و ضرایب اثر شیر بخار (  و )، مقداردهی می‌شوند.

تولید تصادفی جمعیت اولیه (Pop) و تاریخچه جمعیت (OldPop): به‌صورت تصادفی با اعدادی بین حداقل و حداکثر توان ژنراتورها ساخته می‌شود.

محاسبه اولیه: با توجه به روابط پخش بار اقتصادی حداکثر بار به‌دست‌آمده، هزینه و تلفات، محاسبه و به‌صورت ماتریس ذخیره می‌شود.

همان‌طور که در فلوچارت مشخص است مراحل انتخاب 1، جهش، ترکیب و انتخاب 2 با توجه به روابط ارائه‌شده انجام می‏شوند. پارامترهای کنترل‌کننده مربوط به الگوریتم در جدول (1) آورده شده‌‌اند.

 

جدول (1): پارامترهای کنترل‌کننده الگوریتم LBSA

پارامتر

مقدار تنظیم شده

iteration

50

N

50

map

ماتریسی با ابعاد N • D و اعداد صفر و یک که مسیرهای ترکیب الگوریتم را هدایت می‌کند

 

ضریب آموزش برای هدایت مقدار میانگین که به‌صورت ابتکاری روی 1 یا 2 تنظیم می‌شود

 

 

شکل (2): فلوچارت اجرای LBSAبرای پخش بار اقتصادی


5- نتایج شبیه‌سازی

برای بررسی امکان‌پذیری و کارایی الگوریتم بهینه‏سازی پیشنهادی، حل مسئلۀ پخش بار اقتصادی، روی سیستم‌ آزمایشی 6 واحده و سیستم 30-BUS IEEE، اصلاح و با در نظر گرفتن محدودیت‌های مختلف در MATLAB R2014a اجرا شده است.

5-1- سیستم مطالعه‌شدۀ اول

سیستم شامل 30 شین، 46 خط انتقال و 6 واحد تولید حرارتی است که کل تقاضای بار سیستم برابر با 1263 مگاوات است. ضرایب تابع هزینه، حدود واحدهای تولیدی، میزان‌های افزایشی و کاهشی و نواحی ممنوعه سیستم در جداول (2،3) و شیوۀ اتصال شبکه و دیاگرام تک‌خطی برای این سیستم در شکل (3) نشان داده شده‌‌اند ]13،22[.

 

شکل (3): دیاگرام تک‌خطی سیستم 6 نیروگاهی ]4[

جدول (2): ضرایب هزینه و حدود واحدها *]13،22[

         

Unit

240

0/7

0070/0

500

100

1

200

0/10

0095/0

200

50

2

220

5/8

0090/0

300

80

3

200

0/11

0090/0

150

50

4

220

5/11

0080/0

200

50

5

190

0/12

0075/0

120

50

6

 

جدول (3): میزان افزایشی، کاهشی و نواحی ممنوع * ]13،22[

Prohibited Zones

     

Unit

]380 350[   ]240  210[

120

80

440

1

]160 140[   ]110  90[

90

50

170

2

]240 210[   ]170  150[

100

65

200

3

]115 110[   ]90  80[

90

50

150

4

]150 140[   ]110  90[

90

50

190

5

]105  100[   ]85  75[

90

50

110

6

* در جدول‏های (2 و 3) توان بر حسب (MW)، ضریب  بر حسب ،  برحسب  و   بر حسب  است.

 

شبیه‌سازی برای سیستم 6 واحده با استفاده از الگوریتم پیشنهادی LBSA انجام شد. نتایج عددی این شبیه‌سازی‌ها در جدول (4) دیده می‏شود. این نتایج با روش بهینه‏سازی -PSO ]3[، الگوریتم بهبودیافته کلونی زنبورعسل (IABC) ]4[ و الگوریتم خفاش بی‌نظم (Bat.A) ]13[ مقایسه شد که در جدول (4) آورده شده‌اند. در شکل (4) نیز توان تلف‌شده و هزینۀ نهایی سیستم مطالعه‌شده در این الگوریتم‌ها مقایسه شده است.

جدول (4): مقایسه نتایج به‌دست‌آمده از الگوریتم‌های مختلف روی سیستم موردمطالعه اول (6 واحده) *

LBSA

Bat.A

[13]

IABC

[4]

 

[3]

Unit

771/451

418/447

657/440

355/447

1P

899/163

825/172

667/186

257/173

2P

719/270

075/264

101/254

384/263

3P

258/117

246/139

161/125

044/139

4P

384/172

652/165

141/153

331/165

5P

160/87

765/89

458/103

059/87

6P

194/1263

98/1278

18/1263

43/1275

 

1944/0

984/15

18/0

4429/12

 

2/15280

2/15450

6/15257

9/15442

Min Cost

8/15290

7/15454

3/15299

9/15442

Mean Cost

5/15307

6/15518

7/15398

9/15442

Max Cost

50/0

704/0

0438/0

4429/5

Time (S)

* در این جدول هزینه‏ها بر حسب ($/h)، همه توان‏ها بر حسب MW)) و زمان بر حسب Second است.

 

با توجه به شکل (4) و جدول (4)، هزینۀ نهایی در روش LBSA نسبت به روش Bat Algorithm در حدود 174 واحد، کاهش و نسبت به الگوریتم  در حدود 162 واحد کاهش داشته است؛ اما نسبت به روش IABC حدود 22 واحد افزایش داشته است. همچنین مقدار تلفات نهایی برای الگوریتم LBSA در مقایسه با بهترین جواب از سایر الگوریتم‌های مربوط به الگوریتم IABC و مقدار آن 18/0 مگاوات است؛ حدود 0144/0 واحد افزایش داشته است. گفتنی است در تعداد دفعات شبیه‌سازی، همواره تلفات در روش LBSA، کمتر از یک واحد به‌دست‌آمده است که یکی از مزیت‌های الگوریتم پیشنهادی خواهد بود. با توجه به جدول (4)، زمان لازم برای به نتیجه رسیدن نهایی در الگوریتم پیشنهادی، کمتر از یک ثانیه است که بعد از روش IABC در رتبه دوم قرار دارد. روند بهینه‌سازی این سیستم در شکل (5) نشان داده شده است که روند صحیح بهینه‌سازی را نشان می دهد. نتایج نشان می‏دهند روش پیشنهادی برای این مطالعه‌شده، روش کارآمد و سریعی است و جواب‌هایی درخور ‌مقایسه با سایر الگوریتم‌های مشابه به دست می‌آورد.

 

 

شکل (4): نمودار مقایسه‌ای هزینۀ نهایی و توان تلف‌شده بین الگوریتم‌های مختلف روی سیستم مطالعه‌شدۀ اول

 

شکل (5): روند بهینه‌سازی هزینه در تکرارهای مختلف برای سیستم مطالعه‌شدۀ اول

5-2- سیستم مطالعه‌شدۀ دوم

سیستم مطالعه‌شدۀ دوم، سیستم 30-BUS IEEE اصلاح‌شده است که ژنراتورهای آن شامل سه واحد سوخت زغالی، دو واحد سوخت گازی، یک واحد سوخت نفتی و دو واحد توربین بادی است. ضرایب تابع هزینه و حدود واحدهای تولیدی سیستم در جدول (5) مشخص است ]2،23[. شیوۀ اتصال و دیاگرام تک‌خطی سیستم مطالعه‌شدۀ دوم نیز در شکل (6) نشان داده شده است ]23[.

شبیه‌سازی این سیستم بدون در نظر گرفتن ژنراتورهای بادی، برای تقاضای بارهای 1200، 1400 و 1600 مگاوات با محدودیت شیر بخار انجام شده است که بهترین جواب‌های به‌دست‌آمده در جدول (6) آورده شده‌‌اند.

در شکل (7) روند بهینه‌سازی در تکرارهای مختلف برای این مورد مطالعه نشان داده شده است که با توجه به جواب به‌دست‌آمده روند صحیح بهینه‌سازی را نشان می‏دهد.

نتایج به‌دست‌آمده از این شبیه‌سازی با روش‌های بهینه‏سازی انتشار ذرات[19] (DPO)، الگوریتم کلونی زنبور مصنوعی[20] (GABC) و الگوریتم ذرات کوانتومی الهام‌بخش[21] (QPSO) که همین سیستم را مطالعه کرده ]2[، مقایسه شده‌اند. روش DPO بدون اثر شیر بخار و روش‌های GABC و QPSO با در نظر گرفتن اثر شیر بخار، شبیه‌سازی شده‌اند.

 

 

 

شکل (6): دیاگرام تک‏خطی و شیوۀ اتصال سیستم 30-BUS IEEE اصلاح‌شده ]23[

 

 

 

(الف)

 

(ب)

 

(ج)

شکل (7): روند بهینه‌سازی هزینه در تکرارهای مختلف برای سیستم مطالعه‌شدۀ دوم در دو حالت با و بدون اثر شیر بخار در بارهای الف) 1200 مگا وات ب) 1400 مگاوات ج) 1600 مگا وات

بار 1200 مگاوات: جدول (7) نتایج شبیه‏سازی را در بار درخواستی 1200 مگاوات نشان می‌دهد. با در نظر گرفتن اثر شیر بخار،  هزینه در الگوریتم پیشنهادی، نسبت به الگوریتم GABC و QPSO در حدود 52  و 460 واحد کاهش داشته است. بدون اثر شیر بخار نیز در حدود 62 واحد کاهش نسبت به الگوریتم DPO وجود دارد.

در این شبیه‌سازی توان تلف‌شده در حالتی که اثر شیر بخار در نظر گرفته شده، برای هر دو الگوریتم GABC و QPSO مقدار صفر به دست آمده است و در حالتی که اثر شیر بخار در نظر گرفته نشده، در الگوریتم DPO مقدار 35/0 مگاوات است که در هر دو حالت در روش LBSA نسبت به الگوریتم‌های مقایسه‌شده با اینکه افزایش را نشان می‌دهد، این افزایش کمتر از 4 واحد است.

بار 1400 مگاوات: جدول (8) مقایسه نتایج حاصل از شبیه‏سازی را در بار درخواستی 1400 مگاوات نشان می‌دهد. در اینجا نیز الگوریتم پیشنهادی نتایج بهتری نسبت به دیگر الگوریتم‌ها به دست آورده است.

بار 1600 مگاوات: با توجه به جدول (9)، نتیجه می‌گیریم در بار درخواستی 1600 مگاوات، نیز الگوریتم پیشنهادی عملکرد بهتری نسبت به دیگر الگوریتم‌ها به دست آورده است.

بررسی شبیه‌سازی ازنظر زمان محاسبات فقط با روش DPO مقایسه می‌شود؛ زیرا اطلاعاتی دربارۀ زمان شبیه‌سازی برای الگوریتم GABC و QPSO در منبع ]2[ که از اطلاعات آن استفاده شده، موجود نبوده است.

با توجه به زمان انجام شبیه‏سازی در همه حالت‏ها، با درنظر گرفتن اثر شیر بخار یا بدون این اثر و در بارهای 1200، 1400 و 1600 مگاوات با توجه به جدول‏های (5، 6 و 7) مشخص است که عملکرد الگوریتم پیشنهادی ازنظر زمانی در حدود 1 ثانیه بهتر از روش DPO بوده است.

 

جدول (5): ضرایب هزینه و حدود واحدهای تولیدی سیستم IEEE 30-BUSاصلاح‌شده ]2،23[

 

($)

 

($)

 

($)

 

($/MM)

 

($/MW2)

 (MW)

 

(MW)

Type

Unit (BUS)

08/0

200

2000

10

0020/0

110

20

Coal

(01) 1 G

04/0

300

2500

15

0025/0

100

20

Coal

(02) 2 G

04/0

400

6000

9

0018/0

600

120

Coal

(13) 3 G

06/0

150

4/923

18

00315/0

520

110

Gas

(22) 4 G

08/0

100

950

20

0032/0

500

110

Gas

(23) 5 G

10/0

80

8/124

4/23

003432/0

200

40

Oil

(27) 6 G

0

0

0

0

0

90

0

Wind

(14) 7 G

0

0

0

0

0

60

0

Wind

(19) 8 G

 

جدول (6): نتایج به‌دست‌آمده از شبیه‌سازی الگوریتم LBSAروی سیستم مطالعه‌شدۀ دوم (IEEE 30-BUS اصلاح‌شده)

با در نظر گرفتن اثر شیر بخار

بدون اثر شیر بخار

Unit

MW 1600

MW 1400

MW 1200

MW 1600

MW 1400

MW 1200

0903/106

0876/109

2283/107

0613/108

5438/109

2597/107

(MW) 1 P

4673/98

5198/99

7541/94

2989/98

5175/98

5850/94

(MW) 2 P

4185/598

8604/597

4515/599

7039/599

5049/598

8490/598

(MW) 3 P

6355/485

1154/432

1416/248

1933/484

2748/405

1928/227

(MW) 4 P

7649/267

7863/117

3525/112

1091/263

1407/145

7614/124

(MW) 5 P

8192/45

2003/44

7694/40

3477/48

9262/44

1165/49

(MW) 6 P

1956/1602

5698/1400

6975/1203

7142/1601

9079/1401

7645/1201

Total Power (MW)

1956/2

5698/0

6975/3

7142/1

9079/1

7645/1

 (MW)

9112/37394

9965/33066

9078/29095

5430/37222

7342/32991

8112/29024

Min Cost ($/h)

60/11

85/44

62/35

92/11

59/10

77/11

CPU Time (S)

جدول (7): مقایسه نتایج به‌دست‌آمده از الگوریتم‌های مختلف روی سیستم مطالعه‌شدۀ دوم برای بار

 

با در نظر گرفتن اثر شیر بخار

بدون اثر شیر بخار

 

 

LBSA

GABC [2]

QPSO [2]

LBSA

DPO [2]

Unit

 

2283/107

65/98

73/107

2597/107

12/102

(MW) 1 P

 

7541/94

89/99

92/99

5850/94

26/96

(MW) 2 P

 

4515/599

14/592

54/582

8490/598

97/596

(MW) 3 P

 

1416/248

32/259

03/259

1928/227

71/193

(MW) 4 P

 

3225/112

110

42/110

7614/124

98/170

(MW) 5 P

 

7694/40

40

36/40

1165/49

31/40

(MW) 6 P

 

6975/1203

1200

1200

7645/1201

35/1200

Total P. (MW)

 

6975/3

0

0

7645/1

35/0

(MW)

 

9078/29095

00/29147

72/29555

8112/29024

79/29086

Min Cost ($/h)

 

62/35

-

-

77/11

794/11

CPU Time (S)

 

                         

 

جدول (8): مقایسه نتایج به‌دست‌آمده از الگوریتم‌های مختلف روی سیستم مطالعه‌شدۀ دوم برای بار

با در نظر گرفتن اثر شیر بخار

بدون اثر شیر بخار

 

LBSA

GABC [2]

QPSO [2]

LBSA

DPO [2]

Unit

0876/109

09/99

60/108

5438/109

99/108

(MW) 1 P

5198/99

76/98

63/99

5175/98

61/99

(MW) 2 P

8604/597

46/591

73/588

5049/598

96/597

(MW) 3 P

1154/432

24/419

16/416

2748/405

65/322

(MW) 4 P

7863/117

45/151

86/146

1407/145

95/228

(MW) 5 P

2003/44

40

01/40

9262/44

88/41

(MW) 6 P

5698/1400

1400

99/1399

9079/1401

04/1400

Total P. (MW)

5698/0

0

01/0-

9079/1

04/0

(MW)

9965/33066

00/33187

80/33686

7342/32991

90/33022

Min Cost ($/h)

85/44

-

-

59/10

089/12

CPU Time (S)

 

جدول (9): مقایسه نتایج به‌دست‌آمده از الگوریتم‌های مختلف روی سیستم مطالعه‌شدۀ دوم برای بار

با در نظر گرفتن اثر شیر بخار

بدون اثر شیر بخار

 

LBSA

GABC [2]

QPSO [2]

LBSA

DPO [2]

Unit

0903/106

00/110

94/109

0613/108

98/109

(MW) 1 P

4673/98

00/110

34/99

2989/98

27/97

(MW) 2 P

4185/598

93/599

78/578

7039/599

48/599

(MW) 3 P

6355/485

11/477

34/509

1933/484

72/428

(MW) 4 P

7649/267

96/272

72/259

1091/263

21/291

(MW) 5 P

8192/45

00/40

88/42

3477/48

72/72

(MW) 6 P

1956/1602

1600

1600

7142/1601

38/1599

Total P. (MW)

1956/2

0

0

7142/1

62/0-

(MW)

9112/37394

00/37502

88/37841

5430/37222

13/37253

Min Cost ($/h)

9780/37779

-

-

2991/37697

-

Mean Cost ($/h)

2270/38110

-

-

5470/37871

-

Max Cost ($/h)

60/11

-

-

92/11

976/11

CPU Time (S)


6- نتیجه‏گیری

الگوریتم‌های الهام‌گرفته از طبیعت و الگوریتم‌های فراابتکاری، در سال‌های اخیر به کانونی در محاسبات بهینه‌سازی تبدیل شده‌اند. این مقاله یک الگوریتم بهینه‌سازی جدید، به نام الگوریتم بهینه‌سازی یادگیری ردیابی بازگشتی (LBSA) را مطرح کرده است و به کمک آن، مسئلۀ پخش بار اقتصادی برای سیستم‏های 6 واحده و 30-BUS IEEE اصلاح‌شده، با محدودیت‌های مشخص، حل شده است تا کارایی الگوریتم را بررسی و عملکردش را با تکنیک‏های به‌تازگی چاپ‌شده، آزمایش و بررسی کند.

در حالت‌های مختلف در نظر گرفته شده برای شبیه‌سازی، عملکرد مناسب الگوریتم پیشنهادی را نشان داده است و هزینۀ نهایی و تلفات توان به‌دست‌آمده از این روش، نسبت به روش‌های مشابه، بهتر، سریع‌تر وپذیرفتنی بوده است؛ اما الگوریتم پیشنهادی معایبی نیز دارد. با توجه به نتایج حاصل از شبیه‌سازی‌ها، مشاهده می‌شود تعداد تکرارهای الگوریتم پیشنهادی، روند منظمی ندارند. به نظر می‌رسد دلیل این مشکل، انتخاب‌های تصادفی جمعیت اولیه مربوط به الگوریتم است. زمانی که جمعیت تصادفی اولیه مناسب باشد، بهینه‌سازی با تعداد تکرارهای کم و در زمان کوتاهی به نتیجه می‌رسد. زمانی که جمعیت اولیه مناسب نباشد با اینکه جواب پذیرفتنی به دست می‌آید، گاهی با تعداد تکرارهای زیاد نیز جواب بهینه‌تری به دست نمی‌آید.

اما به‌طورکلی با توجه به نتایج شبیه‌سازی و آماری موجود در این پژوهش، برای حل مسئله پخش بار اقتصادی، الگوریتم LBSA، نتایج بهتری نسبت به سایر الگوریتم‏ها ارائه می‌دهد.



[1]تاریخ ارسال مقاله: 19/08/1396

تاریخ پذیرش مقاله: 07/12/1396

نام نویسندۀ مسئول: افشین لشکر آرا محمره

نشانی نویسندۀ مسئول: ایران – دزفول – کوی آزادگان – دانشگاه آزاد اسلامی واحد دزفول – گروه برق



[1] Lambda iteration method

[2] Base point and Participation factors method

[3] The Gradient method

[4] Genetic Algorithm

[5] Particle Diffusion

[6] Artificial Bee Colony Optimization

[7] Particle Swarm Optimization

[8] Firefly Algorithm

[9] Ant Colony Optimisation

[10] Chaotic Bat Algorithm

[11] Improved Genetic Algorithm

[12] Teta-Particle Swarm Optimization

[13] Improved Artificial Bee Colony Optimization

[14] Backtracking Search Algorithm

[15] Evolutionary Algorithms (EA)

[16] Teaching-Learning Based Optimization (TLBO)

[17] Learning Backtracking Search Algorithm (LBSA)

[18] Up-Ramp And Ramp-Down Limits

[19] Diffusion Particle Optimization

[20] Gbest Guided Artificial Bee Colony Algorithm

[21] Quantum-Inspired Particle Swarm Optimization

[1] Wood AJ, Wollenberg BF, "Power generation, operation and control", New York: John Wiley & Sons Press, 1984.

[2] Li Han, Carlos E. Romero, Zheng Yao, "Economic dispatch optimization algorithm based on particle diffusion", Energy Conversion and Management, Vol. 105, pp. 1251–1260, 2015.

[3] Hosseinnezhad, Babaei, "Economic load dispatch using Theta-PSO", Electrical Power and Energy Systems, Vol. 49, pp. 160–169, 2013.

[4] Ghasemi Marzbali A, Seyd Shenava SJ, Bazyar R, Abedi Niya O, Yosefi A, GholamAli Tabar H, "Economic load dispatch solution using improved ABC procedure Considering nonlinear Constraints" ,Iranian Electric Industry Journal of Quality and Productivity, Vol. 1, No 1, pp. 1-9, 2012.

[5] Chen CL, Wang SC, "Branch and bound scheduling for thermal generating units", IEEE Trans Energy Convers, Vol. 8, No. 2, pp. 184–189, 1993.

[6] Lee KY, Park YM, Ortiz JL, "Fuel cost minimization for both real and reactive power dispatches", IEE Proc C Gener Transm Distrib, Vol. 131, No. 3, pp. 85–93, 1984.

[7] Chiang C-L, "Genetic-based algorithm for power economic load dispatch", IET Gener Trans Distrib, Vol. 1, No. 2, pp. 261–269, 2007.

[8] Basu M, "Artificial bee colony optimization for multi-area economic dispatch", Int J Electr Power Energy Syst, Vol. 49, pp. 181–187, 2013.

[9] Hemamalini S, Simon SP, "Artificial bee colony algorithm for economic load dispatch problem with non-smooth cost functions", Electric Power Compon Syst, Vol. 38, No. 7, pp. 786–803, 2010.

[10] Kennedy J, Eberhart R, "Particle swarm optimization", Proceedings of the IEEE international conference neural networks, pp. 1942–8, 1995.

[11] Yang X-S, Hosseini SSS, Gandomi AH, "Firefly algorithm for solving non-convex economic dispatch problems with valve loading effect", Appl Soft Comput, Vol. 12, No. 3, pp. 1180–1186, 2012.

[12] Pothiya S, Ngamroo I, Kongprawechnon W, "Ant colony optimisation foreconomic dispatch problem with non-smooth cost functions", Int J Electr Power Energy Syst, Vol. 32, No. 5, pp. 478–87, 2010.

[13] B.R. Adarsh, T. Raghunathan, T. Jayabarathi, Xin-She Yang, "Economic dispatch using chaotic bat algorithm", Energy, Vol. 96, pp. 666-75, 2016.

[14] Chiang C-L, "Improved genetic algorithm for power economic dispatch of units with valve-point effects and multiple fuels", IEEE Trans Power Syst, Vol. 20, No. 4, pp. 1690–1699, 2005.

[15] Civicioglu P, "Backtracking search optimization algorithm for numerical optimization problems", Appl. Math. Comput, Vol. 219, No. 15, pp. 8121–8144, 2013.

[16] Rao RV, Savsani VJ, Vakharia DP, "Teaching learning based optimization: an optimization method for continuous non-linear large scale problems", Inf. Sci, Vol. 183, No. 1, pp. 1–15, 2012.

[17] Debao Chen, Feng Zou, Renquan Lu, Peng Wang, "Learning backtracking search optimisation algorithm and its application", Information Sciences, Vol. 376, pp. 71–94, 2017.

[18] H. Amiri, A.R. Hatami, A. Deihimi, "Solving Bid-based Environmental-Dynamic Economic Dispatch Using a Hybrid Algorithm Based on Bacterial Foraging and Differential Evolution Algorithm", Computational Intelligence in Electrical Engineering, Vol. 7, No. 3, pp. 1-14, September 2016.

[19] R. Hooshmand, M. Parastegari, "Application of PSO Algorithm in Economic and Emission Dispatch with Non-Smooth Cost Functions by Considering Transmission Losses and System Constraints", Journal of Electrical and Computer Engineering of Iran, Vol. 6, No. 3, pp. 191-198, 2008.

[20] Walters DC, Sheble GB, "Genetic algorithm solution of economic dispatch with valve point loading",  IEEE Trans Power Syst, Vol. 8, No. 3, pp. 1325–1332, 1993.

[21] E. Afzalan, M. Jorabiyan, "A hybrid Bacterial Foraging Optimization Algorithm and sequential quadratic programming method for dynamic economic dispatch considering the valve-point effects", Computational Intelligence in Electrical Engineering, Vol. 5, No. 1, pp. 13-26, Spring 2014.

[22] Gaing ZL, "Particle swarm optimization to solving the economic dispatch considering the generator constraints", IEEE Trans Power Syst, Vol. 18, No. 3, pp. 1187–1195, 2003.

[23] Yao F, Dong ZY, Meng K, Xu Z, Iu HH, Wong KP, "Quantum-inspired particle swarm optimization for power system operations considering wind power uncertainty and carbon tax in Australia", IEEE Trans Ind Inform, Vol. 8, No. 4, pp. 880–888, 2012.