طراحی بهینه کنترل‌کنندۀ NL-PIDF و SMES برای کنترل بار فرکانس سیستم قدرت هیبریدی غیرخطی با استفاده از الگوریتم کریل‌ها

نویسندگان

1 دانشجوی کارشناسی ارشد، دانشکده مهندسی برق - دانشگاه زنجان - زنجان - ایران

2 دانشیار، دانشکده مهندسی برق – دانشگاه زنجان - زنجان - ایران

3 استاد، دانشکده مهندسی برق - دانشگاه محقق اردبیلی - اردبیل - ایران

چکیده

در این مقاله مسئلۀ پایداری فرکانس در سیستم قدرت سه‌ناحیه‌ای با توربین‌های بخاری و گازی با در نظر گرفتن قیود غیرخطی ناشی از واحد بازگرمکن توربین بخار، محدودیت میزان تولید (GRC)، باند مرده گاورنر (GDB) و الگوی دینامیکی دیگ بخار (BD) بررسی شده‌اند. برای کنترل بار فرکانس، سیستم قدرت کنترل‌کنندۀ جدیدی به‌صورت تناسبی انتگرال‌گیر مشتق‌گیر - فیلتر نویزگیر غیرخطی (NL-PIDF) معرفی و بهینه شده است. برای بهبود پایداری دینامیکی، ابررسانای ذخیره‌ساز میدان مغناطیسی (SMES) در ناحیه اول نصب شده و از خط انتقال موازی HVDC بین برخی نواحی استفاده شده است. برای طراحی بهینه مقادیر کنترل خودکار تولید هر ناحیه (AGC)، کنترل‌کنندۀ تناسبی و بهرۀ فیدبک جریان القاگر SMES و کنترل‌کنندۀ NL-PIDF از الگوریتم بهینه‌سازی کریل‌ها (KH) با تابع هدفی ترکیبی استفاده شده است. نتایج حاصل از شبیه‌سازی‌های انجام‌گرفته در حوزۀ زمان و مطالعات مقادیر ویژه، نشان‌دهندۀ عملکرد سریع، پایدار، مقاوم و همچنین برتری استراتژی کنترلی بهینه پیشنهادی در میرایی نوسانات فرکانس و توان اکتیو مبادله‌شده بین نواحی هنگام مواجهه با تغییرات پله‌ای تصادفی و سینوسی بار، تغییرات GRC، تغییرات GDB و عدم‌قطعیت‌های ناشی از تغییرات گسترده مقادیر دینامیکی است.

کلیدواژه‌ها

موضوعات


عنوان مقاله [English]

Optimal design of NL-PIDF and SMES as load frequency controller in a hybrid nonlinear power system using krill herds algorithm

نویسندگان [English]

  • Mina Heshmati 1
  • Saeed Jalilzadeh 2
  • Hossein Shayeghi 3
  • Reza Noroozian 2
1 Master of Electrical Engineering Student, University of Zanjan, Zanjan, Iran
2 Faculty of Electrical and Computer Engineering, University of Zanjan, Zanjan, Iran
3 Faculty of Electrical and Computer Engineering, University of Mohaghegh Ardabili, Ardabil, Iran
چکیده [English]

This paper investigates frequency stability in a three area power system including steam and gas turbines by taking into physical nonlinear constraints due to reheat steam turbine, generation rate constraint (GRC), governor dead band (GDB) and boiler dynamics (BD). A new load frequency controller based on nonlinear PID controller with derivative filter (NL-PIDF) is proposed and optimized. In order to improve dynamic stability, superconducting magnetic energy storage (SMES) is considered in first area and parallel HVDC links are used between some interconnected areas. Krill Herds optimization algorithm with hybrid cost function is used to optimally design integral control (AGC), proportional control and inductor current feedback gain of SMES and NL-PIDF controlling parameters. Simulation results in time domain and Eigen values studies demonstrate fast, stable, robust and also desirable performance of proposed control strategies in damping frequency and active power oscillations in the face with random step and sinusoidal load perturbations, variation in nonlinear GRC and GDB constraints and wide uncertainty in dynamic parameters.

کلیدواژه‌ها [English]

  • LFC
  • Three area realistic power system
  • Nonlinear PIDF controller
  • SMEs
  • HVDC
  • KH algorithm

1- مقدمه[1]

پایداری توان اکتیو و فرکانس یا کنترل بار فرکانس[1] (LFC) برای حفظ پایداری دینامیکی سیستم‌های قدرت و تأمین توان موردنیاز بارهای شبکه به‌صورت مطمئن، بی‌وقفه و با کیفیتی مطلوب امری ضروریست.

این کنترل باعث تطبیق میزان توان تولیدی با توان تقاضاشده در نقطۀ کار جدید می‌شود و نتایجی همچون حفظ فرکانس در حد مجاز، تقسیم بار بین ژنراتورها و کنترل برنامه‌های تبادل توان در خطوط ارتباطی بین ناحیه‌ها را به دنبال خواهد داشت [2,1]. از طرفی دیگر، گرایش تازه برای ایجاد بازار رقابت، بهره‌برداری از کنترل بار فرکانس سنتی را دگرگون کرده است؛ به‌طوری‌که در محیط رقابتی آزاد، کنترل بار فرکانس هر واحد تولیدکننده به‌صورت کالایی در آمده است که دادوستد می‌شود؛ بنابراین اهمیت تحلیل آن پررنگ‌تر شده است [6-3].

در سال‌های اخیر پژوهش‌های بسیاری مبنی بر بهبود پایداری فرکانس سیستم‌های قدرت با بهینه‌سازی پارامترهای کنترلی انجام شده است [15-5]. همچنین استفاده از ادوات ذخیره‌ساز توان ازجملهابررسانای ذخیره‌ساز میدان مغناطیسی[2] (SMES) راهکاری جدید است که برای کاهش نوسانات فرکانس و توان مبادله‌شده بین نواحی ارائه شده است. این ادوات به همراه ذخیره چرخان سیستم موجب تولید توان بی‌وقفه می‌شوند [10-3]. در [3] سیستم قدرت تجدید ساختاریافته‌ای با کنترل مقاوم[3] و SMES، شبیه‌سازی و برتری عملکرد سیستم کنترلی با حضور SMES گزارش شده است. استفاده از تریستور کنترل‌شدۀ شیفت‌دهندۀ فاز[4] (TCPS) در خطوط ارتباطی بین نواحی در سیستم تجدید ساختاریافته خطی چندمنبعی با SMES و کنترل‌کنندۀ[5]ANFIS [4] و SMES با الگوی مرتبه یک ساده‌سازی‌شده به همراه دو جبران‌ساز فاز با کنترل خودکار تولید[6] (AGC) [5] نشان‌دهندۀ بهبود پایداری گذرای سیستم با حضور SMES است. بهینه‌سازی سیستم کنترل خودکار تولید خطی با SMES با استفاده از الگوریتم  کلونی زنبور عسل[7] (ABC) [6] و الگوریتم فاخته[8] (CSA) [7] بر عملکرد مطلوب SMES تأکید دارند. در [8] سیستم قدرت دو ناحیه‌ای هیبریدی خطی با کنترل خودکار تولید، شبیه‌سازی و برای افزایش پایداری سیستم از SMES و ذخیره‌ساز انرژی خازنی[9] (CES) استفاده شده است. این مقاله نشان‌دهندۀ برتری عملکرد SMES در میرایی نوسانات سیستم مطالعه‌شده است. در [9] از کنترل فازی و SMES مرتبه یک برای بهبود پایداری دینامیکی سیستم قدرت دو ناحیه‌ای استفاده شده ‌است. در [10] سیستم قدرت هیبریدی شبیه‌سازی شده و کنترل‌کنندۀ فازی هر واحد با الگوریتم کرم شبتاب[10] (FA) بهینه شده است. همچنین برای بهبود پاسخ‌های دینامیکی سیستم از SMES مرتبه یک و کنترل‌کنندۀ یکپارچه توان[11] (UPFC) استفاده شده ‌است. علاوه بر ادوات ذخیره‌ساز، استفاده از خطوط انتقال موازی HVDC به علت کاهش حساسیت به تغییرات فرکانس و افزایش پایداری دینامیکی سیستم قدرت امری مطلوب تلقی می‌شود [15,14].

در این مقاله سیستم قدرت سه‌ناحیهای هیبریدی غیرخطی مبتنی بر توربینهای گازی و بخاری، شبیهسازی شده است. برای دستیابی به عملکرد واقعی‌تر، ویژگی‌های غیرخطی ناشی از قیود فیزیکی محدودیت میزان تولید[12] (GRC)، باند مرده گاورنر[13] (GDB)، الگوی دینامیکی دیگ بخار[14] (BD) و واحد بازگرمکن بخار در نظر گرفته شده‌اند. برای بهبود پایداری دینامیکی، ذخیره‌ساز بهینه‌شدۀ SMES در ناحیه اول نصب شده و از خط انتقال موازی HVDC بین نواحی اول و دوم و نواحی اول و سوم استفاده شده است. برای دستیابی به عملکرد مطلوب سیستم کنترل بار فرکانس، کنترل‌کنندۀ جدیدی به‌صورت PID غیرخطی با فیلتر نویزگیر معرفی شده است و پارامترهای کنترلی SMES و NL-PIDF [15]با الگوریتم هوشمند کریل‌ها[16] (KH) با تابع هدف ترکیبی بهینه شده‌اند. برخلاف تحقیقات قبلی [10-3] در این مقاله از الگوسازی دقیق SMES در سیستم LFC با در‌ نظر‌ گرفتن قیود غیرخطیGRC, GDB BD استفاده شده است. همچنین سیگنال خطای کنترل ناحیه[17] (ACE) برای میرایی نوسانات فرکانس و توان مبادله‌شده بین نواحی به جای سیگنال نوسانات فرکانس تنها [10,9,5] به‌عنوان ورودی لحاظ شده ‌است. نتایج حاصل از شبیه‌سازی‌های انجام‌گرفته در حوزۀ زمان مبتنی بر نمودارها و شاخص‌های کمی فراجهش[18] (OS)، فروجهش[19] (US)، پیک تا پیک[20] (PP)، زمان نشست[21] (Ts)، انتگرال خطا[22] (IAE)، انتگرال خطا در زمان[23] (ITAE)، انتگرال مربع خطا[24] (ISE) و انتگرال مربع خطا در زمان[25] (ITSE) و مطالعات مقادیر ویژه با معیار کمترین نسبت میرایی[26] (MDR) بین تمامی مقادیر ویژه نشان‌دهندۀ عملکرد سریع، پایدار، مقاوم و همچنین برتری استراتژی‌ کنترلی بهینه پیشنهادی در میرایی نوسانات سیستم قدرت هنگام مواجهه با تغییرات پله‌ای تصادفی و سینوسی بار، تغییرات GRC، تغییرات GDB و عدم‌قطعیت‌های ناشی از تغییرات گسترده مقادیر دینامیکی است.

 

2- الگوی دینامیکی سیستم قدرت

نمای کلی سیستم قدرت با واحدهای بخاری و گازی، خط انتقال HVDC و ذخیره‌ساز SMES برای بررسی عملکرد استراتژی‌های کنترلی بهینه پیشنهادی و مقایسۀ آن در شکل (1) نمایش داده شده‌‌‌اند. شکل (2) بلوک دیاگرام کنترل بار فرکانس سیستم شبیه‌سازی‌شده را نمایش می‌دهد [15,12,7]. در واحدهای بخاری GRC برابر با 3 الی 10% پریونیت مگاوات در دقیقه مطابق شکل (2) لحاظ می‌شود [12-9]. دراین مقاله محدودیت میزان تولید واحدهای بخاری برابر با 0017/0±=∂ پریونیت مگاوات در ثانیه در نظر گرفته شده است و سپس برای نمایش مقاوم‌بودن استراتژی‌های کنترلی پیاده‌سازی‌شده تا 03/0 پریونیت مگاوات در دقیقه محدودتر شده است. در گاورنرهای بخاری GDB به‌صورت باند هیسترزیس با پهنای  05/0 یا 06/0 فرکانس نامی (036/0 هرتز) لحاظ می‌شود [11]. در مقالات اخیر برای شرکت GDB در مطالعات مقادیر ویژه، از الگوی تابع تبدیل آن به‌صورت چندجمله‌ای خطی‌سازی‌شده با ضرایب سری فوریه N1=0.8 و N2=-0.2/ᴨ استفاده شده است [13,12]. معادله (1) تابع تبدیل گاورنر بخار همراه با باند مرده را نشان می‌دهد.

(1)

 

در مقاله حاضر BD به‌صورت شکل (3) لحاظ شده است. این الگو گویای دینامیک بلندمدت سوخت، جریان بخار و سیستم کنترل احتراق است [13,11,9].

 

شکل (1): سیستم قدرت سه‌ناحیه‌ای هیبریدی متصل به‌هم با SMES و خطوط انتقال HVDC و HVAC

 

در شکل (2)، ∆f تغییرات فرکانس، ∆PL تغییرات بار، ∆Ptie نوسانات توان عبوری بین‌نواحی، ∆Pm تغییرات توان مکانیکی، R ضریب تنظیم سرعت گاورنر، B ضریب بایاس فرکانس هر ناحیه، D ضریب میرایی، H اینرسی، Tij ضریب سنکرونیسم خط انتقال HVAC، Kdc بهرۀ خط انتقال HVDC، Tg ثابت زمانی گاورنر ناحیه بخاری، Tt ثابت

 

 

 

شکل (2): بلوک دیاگرام الگوی تابع تبدیل سیستم قدرت سه‌ناحیه‌ای هیبریدی شبیه‌سازی‌شده با قیود غیرخطی، SMES و HVDC

 

 

شکل (3): بلوک دیاگرام الگوی دینامیکی دیگ بخار [11]

 

زمانی توربین بخار، Kr ثابت بازگرمکن توربین بخار، Tr ثابت زمانی بازگرمکن توربین بخار، Cg موقیت دریچه توربین گازی، Bg ثابت موقعیت دریچه گاز، Xg ثابت زمانی پیشفاز گاورنر گازی، Yg ثابت زمانی پسفاز گاورنر گازی، Tcr تأخیر زمانی واکنش سیستم احتراق توربین گازی،Tf ثابت زمانی سوخت توربین گازی و Tcd ثابت زمانی دشارژ کمپروسور گازی‌اند. مقادیر در پیوست آورده شده‌اند.
K ضریب شرکت‌پذیری هر واحد است و برای هر ناحیه داریم ∑K=1. ضرایب شرکت‌پذیری با توجه به نیروگاه‌های بخاری و گازی مرسوم و موجود با توان تقریبی یکسان 2000 مگاوات به دست آمده‌اند. ناحیۀ اول شامل شش واحد بخاری با توان متوسط 330 مگاوات، ناحیۀ دوم شامل چهار توربین بخار250 مگاواتی، سه توربین بخار 100  مگاواتی و شش توربین گازی 125 مگاواتی و ناحیۀ سوم نیروگاهی با هشت واحد گازی250 مگاواتی است.

با فرض فواصل زیاد بین نواحی اول و دوم و نواحی اول و سوم از خط انتقال HVDC بین آنها استفاده شده است. نحوۀ اتصال HVDC در شکل (2) نشان داده شده است. ∆Ptie با وجود خطوط انتقال HVAC و HVDC به‌صورت معادلات (5-2) بیان می‌شود [14].

(2)

 

(3)

 

(4)

 

(5)

 

خطای کنترل ناحیه (ACE) به عنوان ورودی کنترل‌کننده سیستم قدرت برابر با مجموع خطی ∆f و ∆Ptie بوده و به‌صورت معادله (7) تعریف می‌شود.

 

(6)

 

(7)

 

 

با توجه به معادلات دینامیکی حاکم بر الگوی LFC سیستم قدرت [1]، الگوی فضای حالت برای هر ناحیه بخاری خطی i با طراحی غیرمتمرکز به‌صورت دسته معادلات (8) توصیف می‌شود که در آن X بردار متغیرهای حالت، u بردار ورودی، d بردار اغتشاش وارده و Y بردار خروجی‌های دلخواه است. به‌طور مشابهی دسته معادلات (9) دربارۀ الگوی دینامیکی ناحیه گازی صادق‌اند.

 

 

(8)

 

 

(9)

 

 

در بحث پایداری سیستم قدرت، ذخیره‌ساز SMES با هدف تزریق سریع توان در لحظات بروز ناگهانی افزایش بار، کاهش خطای کنترل ناحیه و درنتیجه، کاهش نوسانات و حفظ پایداری نصب می‌شود. در این مقاله بنا به دلایل اقتصادی، SMES تنها در ناحیۀ اول نصب شده که وضعیت بحرانی‌تری در نظر گرفته شده‌ است [8,5]. شکل (4) بلوک دیاگرام دقیق واحد SMES شبیه‌سازی‌شده با ورودی ACE را نشان می‌دهد. تغییرات ولتاژ دو سر القاگر ‌SMES( ) به‌صورت معادله (10) بیان می‌شوند.

(10)

 

که در آن  ضریب بهره کنترل تناسبی، Tdc زمان تأخیر کانورتر، ∆Id تغییرات جریان القاگر و  بهره فیدبک منفی جریان القاگر برای بازسازی سریع Id پس از تغییرات بار بوده است و مطابق رابطه (11) تعریف می‌شود:

(11)

 

L اندوکتانس سیم ‌پیچ است؛ بنابراین تغییرات توان خروجی SMES به‌صورت معادله (12) بیان می‌شود:

(12)

 

پس از تنظیم نقطه کار جدید با اعمال ولتاژ مثبت کوچکی مجدداً جریان اولیه القاگر (Id0)، ایجاد و سپس با شروع هدایت، SMES به‌سرعت تا توان نامی خود شارژ می‌شود [7,4]. در این مقاله برای بهبود میرایی ACE علاوه بر بهینه‌سازی پارامترهای کنترل تکمیلی، مقادیر حلقه‌های کنترلی SMES یعنی KpSMES و KId  نیز بهینه‌سازی شده‌اند که در بخش (6) توضیح داده شده‌اند.

 

شکل (4): بلوک دیاگرام الگوی تابع تبدیل SMES [4]

 

3- طراحی کنترل‌کنندۀ NL-PIDF

کنترل‌کننده‌های PID از سه قسمت مجزا به نام تناسبی با ضریب Kp، انتگرال‌گیر با ضریب Ki و مشتق‌گیر با ضریب Kd تشکیل شده‌اند. این کنترل‌کننده‌ها به دلیل ساختار ساده و پیاده‌سازی آسان به‌طور وسیعی در صنعت به کار گرفته می‌شوند. به علت حساسیت جمله مشتق‌گیر نسبت به نویز و حتی تشدید آن، کنترل‌کننده‌های PID بیشتر به‌صورت PI استفاده می‌شوند. در این مقاله برای رفع این مشکل، کنترل‌کننده PID با فیلتر نویزگیر پیاده‌سازی شده است. ازطرفی، سیستم‌های قدرت مانند بیشتر سیستم‌های صنعتی غیرخطی است و برای پایداری این سیستم‌ها کنترل‌کننده‌های خطی ممکن است در تمامی شرایط پاسخگو نباشند؛ بنابراین در این مقاله برای مقابله با قیود غیرخطی و ایجاد پایداری دینامیکی بلندمدت، از استراتژی کنترلی غیرخطی به‌صورت NL-PIDF، استفاده و با کنترل خودکار تولید (Ki/s) مقایسه شده است. این کنترل‌کننده ساختاری جدید با افزودن توابع غیرخطی به ساختار PID کلاسیک را دنبال می‌کند. شکل (5) بلوک دیاگرام و معادله (13) تابع تبدیل استراتژی کنترلی در حوزۀ لاپلاس را بیان می‌کند [16]. u سیگنال کنترل‌شدۀ خروجی، e خطای کنترل ناحیه، N ضریب فیلتر نویزگیر برای بهبود عملکرد جمله مشتق‌گیر و پارامتر α به‌صورت معادله توانی غیرخطی (14) برای تغییر وزن خطای ورودی و بهبود عملکرد سیستم کنترلی برای هر جمله از کنترل‌کنندۀ PIDF تعریف می‌شود. ضرایب کنترل‌کننده NL-PIDF با استفاده از بهینه‌سازی در رنج مطلوب با الگوریتم KH به دست آمده‌اند (بخش 6).

 

شکل (5): استراتژی کنترلی NL-PIDF

(13)

 

(14)

 

 

4- الگوریتم کریل‌ها

الگوریتم کریل الگوریتمی الهام‌گرفته از طبیعت است که در سال 2012 ارائه شده است. این الگوریتم براساس نحوۀ حرکت دسته‌جمعی جانداران آبزی سخت‌پوستی به نام کریل برای یافتن غذا است. برتری عملکرد الگوریتم KH در مقایسه با برخی الگوریتم‌های مطرح ازجمله
GA[27]، ES[28]، BBO[29]، ACO[30]، DE[31]، HDE[32]، PSO[33] و APSO[34] در [17] گزارش شده است. در الگوریتم KH فاصلۀ بین هر کریل تا غذا و فاصله تا جمعیت متمرکز دسته کریل‌ها به‌عنوان تابع هدف برای حرکت کریل‌ها در نظر گرفته می‌شود. موقعیت وابسته به زمان هر کریل در صفحه مختصات دو بعدی با سه اصل کنترل می‌شود: حرکت القایی دیگر کریل‌ها، حرکت کاوشی برای یافتن غذا و حرکت تصادفی. معادله (15) الگوی لاگرانژ این سه رفتار را نشان می‌دهد.

(15)

 

که در آن Ni حرکت القایی دیگر کریل‌ها، Fi حرکت برای یافتن غذا و Di حرکت فیزیکی تصادفی کریل iام است. Ni برای هر کریل به‌صورت معادله‌های (16) و (17) بیان می‌شود.

(16)

 

(17)

 

Nmax بیشترین سرعت القاشده، ωn وزن اینرسی حرکت القایی در محدودۀ [1و0]، Niold آخرین حرکت القاشده، αilocal فاکتور تأثیر محلی ایجادشده از همسایه‌ها و αitarget فاکتور تأثیر برای بهترین حرکت فردی هر کریل است. حرکت برای یافتن غذا با توجه به دو پارامتر مؤثر مطابق معادله‌های (18) و (19) فرمول‌بندی می‌شود. پارامتر نخست در ارتباط با موقعیت غذا و پارامتر دوم، تجربۀ قبلی درباره موقعیت غذا است.

(18)

 

(19)

 

Vf سرعت جستجوی غذا، ωf وزن اینرسی حرکت القایی برای یافتن غذا در محدودۀ [1و0]، Fiold آخرین حرکت برای یافتن غذا، βifood جذابیت غذا و βibest فاکتور تأثیر بهترین مقدار تابع هدف کریل iام تا زمان فعلی است. همچنین حرکت تصادفی هر کریل به‌صورت معادله (20) تعریف می‌شود.

(20)

 

که در آن Dmax بیشترین سرعت حرکت تصادفی و δ بردار جهت حرکت تصادفی بوده و آرایه‌های آن به‌صورت تصادفی بین 1- تا 1 قرار می‌گیرند. بردار موقعیت هر کریل در بازۀ t تا t + ∆t با معادله (21) بیان می‌شود.

(21)

 

t ثابت بسیار مهمی است و باید به‌طور دقیق با توجه به مسئلۀ بهینه‌سازی تعریف شود. همچنین ∆t کاملاً به فضای جستجو وابسته است و می‌تواند با معادله (22) به دست آید.

(22)

 

NV تعداد متغیرهای بهینه‌سازی، LBj و UBj به‌ترتیب محدودۀ پایین و بالای متغیر jام و Ct عدد ثابتی در بازۀ [2 0] است [17]. نحوۀ تنظیم پارامترهای این الگوریتم در جدول (1) آورده شده است.

 

5- تابع هدف

در مقاله حاضر از توابع هدف IAE، ITAE، ISE، ITSE و تابع هدف ترکیبی J5 استفاده شده و سپس تابع J5 برابر با ترکیبی از ITSE به علت داشتن مزایای هر سه تابع قبلی، Ts وPP  به‌عنوان بهترین تابع هدف برای بهینه‌سازی پارامترها معرفی شده است. با در نظر گرفتن پارامتر خطا به‌صورت رابطه (23)، توابع هدف J1-J5 به‌صورت روابط (28-24)تعریف می‌شوند.

(23)

 

(24)

 

(25)

 

(26)

 

(27)

 

(28)

 

t برابر با مدت زمان شبیه‌سازی و w ضریبی برای هم‌وزن‌ساختن جمله‌های تابع هدف ترکیبی پیشنهادی J5 و ایجاد فرصت رقابتی یکسان است. رنج مقادیر پارامترهای کنترلی مطابق با جدول (1) در نظر گرفته شده است.

جدول (1): نحوۀ تنظیم پارامترها در الگوریتم KH

10

Npop

200

itermax

0.01

Nmax

0.02

Vf

0.05

Dmax

[Kp  Ki  Kd  N  α  KpSMES  KId]

Variable

 

LB

 

UB

 

UB

 

6- نتایج شبیه‌سازی

برای برآورد اهداف کنترلی در سیستم کنترل بار فرکانس شکل (2)، از پنج استراتژی کنترلی بهینه‌سازی‌شده به شرح زیر استفاده شده است. پارامترهای کنترلی به‌ازای تغییرات پله‌ای بار %pu.MW1 در s2 t=در ناحیه اول با مقادیر نامی پیوست‌شده بهینه شده‌اند.

6-1- استراتژی‌های کنترلی

  • کنترل خودکار تولید با خطوط انتقال HVAC
  • کنترل‌کننده NL-PIDF با HVAC
  • کنترل‌کننده NL-PIDF با HVAC و HVDC
  • NL-PIDF با SMES و HVAC
  • NL-PIDF با SMES، HVAC و HVDC

در استراتژی اول، ضرایب کنترل انتگرال‌گیر هر ناحیه با استفاده از توابع هدف J1-J4 بهینه شده‌اند. در شکل (6) روند همگرایی و کاهش توابع خطا در 200 تکرار نشان داده شده است.

 

شکل (6): روند کاهش توابع هدف J1-J4 با الگوریتم KH

با توجه به شکل (6)، تابع ISE کمترین مقدار خطا دارد. ضرایب کنترل انتگرالگیر هر ناحیه با تابع هدف ISE به‌صورت جدول (2) بهینه شده‌اند. برای بهینه‌سازی پارامترهای کنترلی NL-PIDF از توابع هدف متداول J1-J4 و تابع هدف پیشنهادی J5 استفاده شده و برای حصول اطمینان از عملکرد توابع هدف یادشده اغتشاش بار متفاوتی به‌صورت puMW01/0 در ناحیه اول،puMW  03/0 در ناحیه دوم و puMW 02/0 در ناحیه سوم اعمال شده است. انحرافات فرکانس ناحیه اول به‌صورت شکل (7) حاصل شده است که نشان‌دهندۀ برتری تابع هدف ترکیبی پیشنهادی J5 به سبب به دست دادن کمترین ریپل نوسانات و کوتاه‌ترین زمان نشست است.

جدول (2): ضرایب  بهینه‌شده پنج استراتژی مختلف

 

AGC

 

Ki3

Ki2

Ki1

0.0100

0.0101

0.3559

NL-PIDF (J5)

واحد گازی

i=3

واحد گازی

i=2

واحد بخاری i=2

واحد بخاری i=1

 

1.2006

1.7367

0.7780

1.4663

Kp

0.8359

0.9401

0.3289

0.7266

Ki

1.9831

1.9994

1.1643

0.9533

Kd

99.357

97.712

64.190

84.733

N

1.0315

1.0162

1.0346

1.0236

αp

1.2048

1.0094

1.1848

1.2136

αi

1.0000

1.0007

1.1825

1.1351

αd

NL-PIDF+HVDC (J5)

1.1962

1.2549

0.7959

1.1764

Kp

0.0741

1.3022

0.7957

0.5172

Ki

0.8523

1.3879

1.0427

0.7939

Kd

85.691

139.67

141.40

145.15

N

1.0709

1.1522

1.0736

1.0066

αp

1.1208

1.1289

1.0466

1.1494

αi

1.1689

1.1503

1.1675

1.1145

αd

NL-PIDF+SMES (J5)

1.0725

0.4138

0.7647

14.055

Kp

1.4294

1.6893

0.9538

3.8043

Ki

1.6384

1.9768

0.8853

3.1384

Kd

170.48

138.20

173.04

107.50

N

1.0007

1.0005

1.0765

1.1150

αp

1.1372

1.0004

1.0469

1.1879

αi

1.0001

1.0029

1.1621

1.0163

αd

-

-

-

93.912

KpSMES

-

-

-

10.854

KId

NL-PIDF+HVDC+SMES (J5)

0.6216

1.8431

1.8886

24.259

Kp

0.9365

0.6607

1.5070

2.1644

Ki

1.5452

0.4438

0.8190

1.4346

Kd

123.07

135.59

131.65

122.58

N

1.0687

1.0002

1.0311

1.1797

αp

1.1368

1.1687

1.1648

1.1021

αi

1.2056

1.1197

1.1522

1.1326

αd

-

-

-

92.446

KpSMES

-

-

-

6.9367

KId

           

 

 

شکل (7): ∆f1 با کنترل‌کننده NL-PIDF با توابع هدف J1-J5

 

6-2- سناریوهای بررسی‌شده

سناریو اول

در این سناریو عملکرد استراتژی‌های کنترلی پیاده‌سازی‌شده به‌ازای افزایش پله‌ای pu.MW01/0 بار در ناحیه اول ارزیابی شده است. نمودارهای حاصل از مقایسه پنج استراتژی کنترلی مبنی بر میرایی انحرافات فرکانس و توان اکتیو مبادله شده ‌و شاخص‌های کمی در حوزۀ زمان و فرکانس در شکل (8) و جدول (3) درج شده‌اند. نتایج نشان‌دهندۀ تأثیر مطلوب کنترل‌کنندۀ پیشنهادی NL-PIDF در میراسازی سریع‌تر و نرم‌تر نوسانات به علت کاهش شدید فراجهش، کاهش نزدیک به یک ششم برابر زمان نشست و کاهش تمامی مقادیر معیارهای خطا در مقایسه با کنترل‌کنندۀ I و درنتیجه، بهبود پایداری دینامیکی سیستم قدرت‌اند. همچنین مشاهده می‌شود نبود کنترل‌کننده تکمیلی در سیستم قدرت مطالعه‌شده (فقط حلقۀ LFC) سبب ایجاد مقدار نسبتاً زیاد خطای ماندگار می‌شود و برای حفظ انحرافات فرکانس در رنج مجاز (Hz2/0±) طراحی کنترل‌کننده امری ضروریست.

وجود خط انتقال HVDC بین نواحی سیستم قدرت شبیه‌سازی‌شده، تأثیر چشمگیری در کاهش OS، US، Ts و کاهش شاخص‌های ISE و ITSE و افزایش چشمگیر MDR (مقایسۀ استراتژی‌های دوم و سوم) دارد و بدین‌وسیله پایداری دینامیکی مطلوب‌تری به دست می‌آید.

‌مقایسه نتایج حاصل از اعمال استراتژی‌های دوم و چهارم، عملکرد تقریباً ایدئال سیستم قدرت مجهز به ذخیره‌ساز SMES هنگام مواجهه با اغتشاشات بار به علت تزریق سریع توان لازم و درنتیجه، کاهش نزدیک به صفر نوسانات را نشان می‌دهد.

‌با توجه به نتایج به‌دست‌آمده، بدیهی است استراتژی کنترلی پیشنهادی NL-PIDF+HVDC+SMES به علت کاهش همزمان تمامی معیار‌های مقایسه‌ای کمی در حوزۀ زمان و افزایش معیار MDR در حوزۀ فرکانس نسبت به تمامی استراتژی‌های کنترلی بررسی‌شده برتری دارد و به لحاظ سرعت پاسخ‌های دینامیکی، پایداری و مقاوم‌بودن (سه شاخص مهم عملکرد کنترل‌کننده‌ها) عملکرد مؤثری به دست می‌دهد.

 

   
   
   

(الف)

(ب)

شکل (8): الف. نوسانات فرکانس ,∆f1, ∆f2, ∆f3 ب. توان مبادله‌شده بین نواحی ∆ptie12, ∆ptie13, ∆ptie23

به ازای 1٪ اغتشاش بار در ناحیه اول (سناریو اول)

 

 

جدول (3): نتایج کمی حاصل از مقایسه عملکرد استراتژی‌های کنترلی به‌ازای 1% اغتشاش بار در ناحیه اول (F1)

MDR

ITSE

ISE

ITAE

IAE

Ts

PP

US

OS

استراتژی کنترلی

0.0171

0.0154

0.0024

2.2132

0.1854

41.265

0.0488

-0.0360

0.0127

AGC

0.0175

0.0035

0.0012

0.2781

0.0573

7.3583

0.0382

-0.0360

0.0021

NL-PIDF

0.2199

0.0029

0.0007

0.2990

0.0578

6.9170

0.0207

-0.0203

0.0003

NL-PIDF+HVDC

0.0205

0.0001

0.0000

0.0741

0.0133

7.0799

0.0097

-0.0095

0.0001

NL-PIDF+SMES

0.1238

0.0000

0.0000

0.0745

0.0133

7.3733

0.0056

-0.0055

0.0000

NL-PIDF+HVDC+SMES

 


سناریو دوم

اغتشاش بار نامساوی پله‌ای تصادفی، پله‌ای و سینوسی به‌صورت شکل (9.الف) به ترتیب در نواحی اول تا سوم اعمال شده‌اند و نتایج مبنی بر نوسانات فرکانس ناحیه اول به‌صورت شکل (9.ب) به دست آمده‌اند که نشان‌دهندۀ عدم‌میرایی سیستم AGC و عملکرد موفقیت‌آمیز استراتژی‌های کنترلی بهینه مبنی برNL-PIDF است. همچنین حضور HVDC و به‌ویژه SMES موجب بهبود پایداری دینامیکی سیستم قدرت به لحاظ ایجاد پاسخ زمانی سریع و میرا حتی به‌ازای تغییرات سریع اغتشاش وارده است.

 

 

شکل (9): الف. تغییرات تصادفی پیوسته بار در هر سه ناحیه ب. f1 (سناریو دوم)

سناریو سوم

برای نمایش عملکرد موفقیت‌آمیز استراتژی کنترلی پیشنهادی در بدترین شرایط ناشی از قیود غیرخطی، میزان تولید واحدهای بخاری تا کمترین مقدار خود یعنی pu.MW 0005/0±=∂ در ثانیه محدود شده و تغییرات توان مکانیکی تولیدی و تغییرات فرکانس ناحیه اول به‌ازای 1% اغتشاش بار در شکل (10) نمایش داده شده است. نتایج نشان‌دهندۀ حفظ پایداری دینامیکی سیتم قدرت مطالعه‌شده و تأمین بی‌وقفه بارند. همچنین مشاهده می‌شود کاهش محدودۀ GRC سبب افزایش ریپل نوسانات و به‌ویژه افزایش زمان نشست می‌شود.

افزایش باند مرده گاورنر موجب افزایش زمان نشست، افزایش ریپل نوسانات و ایجاد خطای ماندگار در مقادیر وسیع GDB خواهد شد. شکل (11) انحرافات فرکانس ناحیه اول هنگام مواجهه با تغییرات GDB متناسب با تغییر جملات N1 و N2 حول نقطه کار را به‌ازای اغتشاش بار %1 در ناحیه اول نشان می‌دهد که گویای مقاوم‌بودن استراتژی کنترلی پیاده‌سازی‌شده در این شرایط است.

 

 

شکل (10): ∆Pm1 و ∆f1 هنگام تغییرات GRC (سناریو سوم)

 

 

شکل (11): f1 هنگام تغییرات GDB(سناریو سوم)

سناریو چهارم

در این سناریو برای نمایش عکس‌العمل سریع ذخیره‌ساز SMES در استراتژی کنترلی پیشنهادی، اغتشاش بار پله‌ای به‌صورت pu.MW [-0.015:0.005:0.015] در ناحیه اول اعمال شده و توان تزریقی یا جذبی SMES در شکل (12) نمایش داده شده است که ماهیت فیزیکی عملکرد سریع آن هنگام مواجهه با اغتشاشات بار، اعمال استراتژی کنترلی مناسب در راستای تطایق میزان توان خروجی با تغییرات ناگهانی بار در اولین لحظات رخداد و تزریق یا جذب توان معادل را به‌خوبی نمایش می‌دهد.

 

شکل (12): ∆Psmes  هنگام مواجهه با اغتشاشات بار

(سناریو چهارم)

6-3- آنالیز حساسیت

برای نمایش مقاوم‌بودن استراتژی کنترلی پیشنهادی، عدم‌قطعیت گسترده‌ای مطابق با جدول (4) در مقادیر دینامیکی هر سه ناحیه اعمال شده است. نتایج کمی به‌ازای pu.MW1% اغتشاش بار در ناحیۀ اول درج شده‌اند. مطالعات مقادیر ویژه مبتنی بر کمترین نسبت میرایی و مدهای نوسانی مرتبط نشان‌دهندۀ حفظ پایداری و مقاوم‌بودن استراتژی کنترلی پیشنهادی هنگام مواجهه با تغییرات گسترده مقادیر دینامیکی و نیازنداشتن به تنظیم مجدد پارامترهای کنترلی است؛ زیرا مقدار MDR تقریباً ثابت باقی مانده است؛ با این حال عملکرد سیستم بیش از سایر پارامترها به تغییرات پارامترهای H و Tij حساس است. همچنین تغییرات فرکانس ناحیه اول به‌ازای 50%± عدم‌قطعیت در مقادیر دینامیکی ناحیه اول در شکل (13) نشان داده شده‌اند که بر تغییرات ناچیز پاسخ زمانی و مقاوم‌بودن استراتژی کنترلی پیشنهادی تأکید دارد.

 

شکل (13): f1 هنگام مواجهه با 50%± عدم‌قطعیت

 

7- نتیجه‌گیری

در این مقاله کنترل‌کنندۀ غیرخطی جدیدی به‌صورت NL-PIDF برای کنترل بار فرکانس در سیستم قدرت سه‌ناحیه‌ای هیبریدی با واحد‌های بخاری بازگرمکن و گازی با در نظر گرفتن قیود فیزیکی غیرخطی GRC، GDB و BD ارائه شد. از خطوط انتقال موازی HVDC و ذخیره‌ساز SMES برای بهبود پایداری دینامیکی استفاده شد. برای به دست آوردن پارامترهای کنترلی NL-PIDF و ضریب کنترل تناسبی و بهرۀ فیدبک جریان القاگر SMES از الگوریتم بهینه‌سازی KH با تابع هدف هیبریدی وزن‌داری مبتنی بر انتگرال مربع خطا در زمان، زمان نشست و پیک تا پیک نوسانات فرکانس و توان مبادله‌شده بین نواحی استفاده شد. ارزیابی استراتژی‌ کنترلی پیشنهادی و مقایسۀ عملکرد آن در چند سناریو به‌صورت مواجهه با اغتشاشات پله‌ای تصادفی و سینوسی بار، تغییرات GRC، GDB و عدم‌قطعیت گسترده در مقادیر دینامیکی انجام شد. نتایج حاصل از شبیه‌سازی‌های انجام‌گرفته در حوزۀ زمان و مطالعات مقادیر ویژه نشان‌دهندۀ عملکرد برتر و مطلوب‌تر استراتژی کنترلی پیشنهادی به علت کاهش همزمان تمامی معیارهای مقایسه‌ای کمی در حوزۀ زمان و افزایش معیار MDR نسبت به سایر استراتژی‌های کنترلی بررسی شده‌اند. تأثیر درخور توجه خطوط HVDC در افزایش کمترین نسبت میرایی و عملکرد سریع SMES هنگام مواجهه با اغتشاشات ناگهانی بار و اعمال استراتژی کنترلی مناسب در راستای تطایق توان خروجی با تغییرات بار و درنتیجه، بهبود پایداری دینامیکی و گذرا نیز در نتایج نشان داده شد. آنالیز حساسیت استراتژی کنترلی پیشنهادی بر عملکرد مؤثر و مطلوب آن به لحاظ سرعت پاسخ‌های دینامیکی، پایداری، مقاوم‌بودن هنگام رویارویی با عدم‌قطعیت‌ها، نیازنداشتن به تنظیم مجدد پارامترهای کنترلی و درنتیجه، بهبود میرایی نوسانات فرکانس و توان اکتیو تأکید دارد.


جدول (4): آنالیز حساسیت استراتژی کنترلی پیشنهادی

MDR

مدهای نوسانی

ITSE´10-4

(e)

PP´10-3

Ts (s)

درصد تغییرات

پارامتر دینامیکی تغییر یافته

∆f3

∆f2

∆f1

∆f3

∆f2

∆f1

0.1238

-2.18 ± 17.5i

1.808

4.265

4.685

5.595

12.29

12.09

7.373

0

نامی

0.1247

-2.20 ± 17.5i

1.820

4.313

4.724

5.648

12.14

11.93

7.374

+50%

Tg

0.1224

-2.16 ± 17.5i

1.903

4.373

4.795

5.854

10.74

10.42

9.234

-50%

0.1227

-2.16 ± 17.5i

1.755

4.219

4.637

5.682

12.28

12.01

8.683

+50%

Kr

0.1249

-2.21 ± 17.5i

1.917

4.369

4.810

5.679

23.56

11.66

23.04

-50%

0.1238

-2.18 ± 17.5i

2.027

4.349

4.768

5.680

33.31

31.24

30.64

+50%

Tr

0.1238

-2.18 ± 17.5i

1.811

4.659

5.107

6.260

10.41

10.39

12.32

-50%

0.1246

-2.20 ± 17.5i

1.834

4.315

4.740

5.633

12.04

11.80

7.408

+50%

Tt

0.1213

-2.14 ± 17.5i

1.804

4.251

4.672

5.620

12.38

12.07

7.383

-50%

0.1238

-2.18 ± 17.5i

2.129

4.596

4.805

5.819

8.440

8.481

20.91

+50%

Cg

0.1239

-2.18 ± 17.5i

3.780

4.295

5.086

5.952

32.23

27.66

23.13

-48%

0.1238

-2.18 ± 17.5i

1.838

4.262

4.772

5.639

12.31

12.04

7.356

+50%

Bg

0.1238

-2.18 ± 17.5i

1.778

4.270

4.586

5.621

12.26

12.11

7.382

-50%

0.1238

-2.18 ± 17.5i

1.744

4.127

4.627

5.778

12.07

11.87

7.536

+50%

Xg

0.1238

-2.18 ± 17.5i

2.079

4.548

4.933

5.793

12.18

11.89

8.505

-50%

0.1238

-2.18 ± 17.5i

2.064

4.502

4.820

5.785

12.68

12.48

8.668

+50%

Yg

0.1238

-2.18 ± 17.5i

1.826

4.153

4.661

5.934

11.87

11.50

7.704

-50%

0.1238

-2.18 ± 17.5i

1.816

4.268

4.708

5.607

12.28

12.06

7.370

+50%

Tcr

0.1238

-2.18 ± 17.5i

1.802

4.265

4.665

5.608

12.27

12.07

7.376

-50%

0.1238

-2.18 ± 17.5i

1.911

4.370

4.844

5.715

12.30

12.01

8.193

+50%

Tf

0.1237

-2.18 ± 17.5i

1.738

4.280

4.509

5.769

12.11

12.00

7.416

-50%

0.1238

-2.18 ± 17.5i

1.899

4.352

4.843

5.712

12.30

12.01

7.325

+50%

Tcd

0.1237

-2.18 ± 17.5i

1.742

4.283

4.505

5.750

12.13

12.03

7.411

-50%

0.1545

-2.23 ± 14.2i

1.851

3.900

4.121

4.747

12.21

12.11

8.543

+50%

H

0.0846

-2.10 ± 24.8i

1.934

5.036

5.960

8.751

11.03

10.07

7.273

-50%

0.1254

-2.21 ± 17.5i

1.775

4.183

4.604

5.549

12.63

12.44

7.403

+50%

D

0.1222

-2.15 ± 17.5i

1.845

4.352

4.770

5.705

11.90

11.63

7.350

-50%

0.1227

-2.16 ± 17.5i

1.750

3.785

4.435

5.548

15.27

15.12

9.909

+50%

R

0.1250

-2.21 ± 17.5i

2.276

4.907

5.076

6.022

8.834

8.844

22.10

-50%

0.1168

-2.08 ± 17.7i

1.841

4.434

4.714

5.630

11.70

11.67

7.353

+50%

Tij

0.1311

-2.29 ± 17.3i

1.798

4.099

4.635

5.645

12.56

12.02

19.73

-50%

 

 

ضمایم

مقادیر سیستم قدرت [15,12,7]  

مقادیر واحد بخاری [15,12]

 مقادیر دیگ بخار [11]

 

مقادیر واحد گازی [15]

 

مقادیر SMES [4]

مقادیر HVDC  [14]

 

 

 



[1]تاریخ ارسال مقاله: 02/12/1395

تاریخ پذیرش مقاله: 25/08/1396

نام نویسنده مسئول: سعید جلیل‌زاده

نشانی نویسنده مسئول: ایران – زنجان – دانشگاه زنجان – دانشکده مهندسی – گروه مهندسی برق



[1] Load Frequency Control

[2] Superconducting Magnetic Energy Storage

[3] Robust Control

[4] Thyristor Controlled Phase Shifter

[5] Adaptive Neuro Fuzzy Interface System

[6] Automatic Generation Control

[7] Artificial Bee Colony

[8] Cuckoo Search Algorithm

[9] Capacitive Energy Storage

[10] Firefly Algorithm

[11] Unified Power Flow Controller

[12] Generation Rate Constraint

[13] Governor Dead band

[14] Boiler Dynamics

[15] Nonlinear PID Controller with Derivative Filter

[16] Krill Herd Algorithm

[17] Area Control Error

[18] Over Shoot

[19] Under Shoot

[20] Peak to Peak

[21] Settling Time

[22] Integral of the Absolute Error

[23]  Integral of Time Multiplied by Absolute Error

[24] Integral of the Squared Error

[25] Integral of Time Multiplied by Squared Error

[26] Minimum Damping Ratio

[27] Genetic Algorithm

[28] Evolutionary Strategy

[29] Biogeography-Based Optimization

[30] Ant Colony Optimization

[31] Differential Evolution

[32] Hybrid DE With Eagle Strategy

[33] Particle Swarm Optimization

[34] Accelerated PSO

[1]     P. Kundur, Power system stability and control, New York: McGraw-Hill, 1994.

[2]     H. Shayeghi, H.A. Shayanfar and A. Jalili, "Load frequency control strategies: A state-of-the-art survey for the researcher," Energy Conversion and Management, Vol. 50, No. 2, pp. 344-353, 2009.

[3]     H. Shayeghi, A. Jalili and H.A. Shayanfar, "A robust mixed H2/H∞ based LFC of a deregulated power system including SMES," Energy Conversion and Management, Vol. 49, No. 10, pp. 2656-2668, 2008.

[4]     A. Pappachen and A. Peer Fathima, "Load frequency control in deregulated power system integrated with SMES–TCPS combination using ANFIS controller," International Journal of Electrical Power and Energy Systems, Vol. 82, No. 1, pp. 519-534, 2016.

[5]     P. Bhatta, S.P. Ghoshalb and R. Royc, "Coordinated control of TCPS and SMES for frequency regulation of interconnected restructured power systems with dynamic participation from DFIG based wind farm," Renewable Energy, Vol. 40, No. 1, pp. 40-50, 2012.

[6]     S.A. Taher, S.M. Nosratabadi and M.R. Shibani, "Optimal Load Frequency Control Method Using Artificial Bee Colony Algorithm in Deregulated Power Systems Including SMES," Computational Intelligence in Electrical Engineering, Vol. 1, No. 1, pp. 23-42, 2011.

[7]     S. Chaine and M. Tripathy, "Design of an optimal SMES for automatic generation control oftwo-area thermal power system using Cuckoo search algorithm," Journal of Electrical Systems and Information Technology, Vol. 2, No. 1, pp. 1-13, 2015.

[8]     J. Gholinrzhad, M. Reza Safari Tirtashi and R. Noroozian, "SMES and CES Controllers Design for Load Frequency Stabilization in two-area Interconnected System," in Iranian Conference on Electrical Engineering, 2011.

[9]     K.R. Sudha and R. Vijaya Santhi, "Load Frequency Control of an Interconnected Reheat Thermal system using Type-2 fuzzy system including SMES units," International Journal of Electrical Power and Energy Systems, Vol. 43, No. 1 pp. 1383-1392, 2012.

[10]  P. Chandra Pradhan, R. Kumar Sahu and S. Panda, "Firefly algorithm optimized fuzzy PID controller for AGC of multi-area multi-source power systems with UPFC and SMES," Engineering Science and Technology, Vol. 19, No. 1, pp. 338-354, 2015.

[11]  M. Elsisi, M. Soliman, M.A.S. Aboelela and W. Mansour, "Bat inspired algorithm based optimal design of model predictive load frequency control," International Journal of Electrical Power and Energy Systems, Vol. 83, No. 1, pp. 426-433, 2016.

[12]  R. Kumar Sahu, S. Panda and P. Chandra Pradhan, "Design and analysis of hybrid firefly algorithm-pattern search based fuzzy PID controller for LFC of multi area power systems," International Journal of Electrical Power and Energy Systems, Vol. 69, No. 1, pp. 200-212, 2015.

[13]  B. Mohanty, S. Panda and P.K. Hota, "Differential evolution algorithm based automatic generation control for interconnected power systems with non-linearity," Alexandria Engineering Journal, Vol. 53, No. 3, pp. 537-552, 2014.

[14]  G. Shankar and V. Mukherjee, "Quasi oppositional harmony search algorithm based controller tuning for load frequency control of multi-source multi-area power system," International Journal of Electrical Power and Energy Systems, Vol. 75, No. 1, pp. 289-302, 2016.

[15]  B. Kumar Sahu, T. Kumar Pati, J. Ranjan Nayak, S. Panda and S. Kumar Kar, "A novel hybrid LUS–TLBO optimized fuzzy-PID controller for load frequency control of multi-source power system," International Journal of Electrical Power and Energy Systems, Vol. 74, No. 1, pp. 58-69, 2016.

[16]  G. Zaidner, S. Korotkin, E. Shteimberg, A. Ellenbogen, M. Arad and Y. Cohen, "Non Linear PID and its application in Process Control," in IEEE 26-th Convention of Electrical and Electronics Engineers, Israel, 2010.

[17]  A. H. Gandomi and A. H. Alavi, "Krill herd: A new bio-inspired optimization algorithm," Communication in Nonlinear Science and Numerical Simulation, Vol. 17, No. 12, pp. 4831-4845, 2012.