نویسندگان
1 دانشجو، گروه برق - دانشکده مهندسی - دانشگاه بوعلی‌سینا – همدان - ایران
2 استادیار، گروه برق - دانشکده مهندسی - دانشگاه بوعلی‌سینا – همدان - ایران
3 دانشیار، گروه برق - دانشکده مهندسی - دانشگاه بوعلی‌سینا – همدان - ایران
چکیده
کلیدواژه‌ها
عنوان مقاله [English]
نویسندگان [English]
In an electricity market, all market players, generating companies and large customers, submit their bids to market operator. Then using the aggregated supply/demand curve, the market operator determines the market prices and the schedules the supply of generating companies and the demand level of customers within the planning horizon to maximize the social profit. In this paper, a new hybrid optimization algorithm based on bacterial foraging and differential evolution algorithm is presented to solve the bid-based environmental-dynamic economic dispatch. The hybrid algorithm performs search through a stochastic gradient search with adaptive movement operation that has been coupled with differential evolution mutation and crossing over of the optimization agents. Simulation results on different case studies show that the performance of the purposed method is better than previous methods in convergence speed, stability and precision
کلیدواژه‌ها [English]
1- مقدمه
پخش بار اقتصادی یکی از مسائل مهم در بهره‌برداری از سیستم‌های قدرت است که در مراکز کنترل شبکه برای تعیین توان بهینة واحدهای تولیدی استفاده می‌شود. بسته به بازه زمانی، دو نوع پخش بار اقتصادی معرفی می‌شود: پخش بار اقتصادی استاتیکی که مسئلة مدّ نظر را برای یک میزان بار مشخص در یک بازة زمانی به‌صورت بهینة حل می‌کند و پخش بار اقتصادی دینامیکی که مسئله را برای میزان بارهای متفاوت و در چندین بازة زمانی بررسی می‌کند. بدیهی است فرآیند محاسبات در پخش بار اقتصادی دینامیکی، پیچیده‌تر از حالت استاتیکی است؛ اما نتایج محاسبات آن تطابق بیشتری با نیازهای واقعی سیستم قدرت دارد [1].
در سیستم‌های قدرت با نحوه مدیریت سنتی، مرکز کنترل شبکه پخش بار اقتصادی را با هدف حداقل‌کردن هزینة بهره‌برداری برای تأمین بار اجرا می‌کند. در زمینه پخش بار اقتصادی دینامیکی با قیود عملیاتی همچون ناحیه ممنوعه در بهره‌برداری ژنراتورها، امنیت شبکه، اثر شیرهای بخار، و ...تحقیقات بسیار گسترده‌ای صورت گرفته است و انواع روش‌های بهینهسازی (دربردارندة روش‌های مبتنی بر برنامه‌ریزی ریاضی و الگوریتم‌های زیستی الهام‌گرفته از طبیعت) استفاده شده است. برای نمونه می‌توان به موارد زیر اشاره کرد: الگوریتم هوشمند مبتنی بر آموزش و یادگیری [2]، الگوریتم زیستی مبتنی بر جست‌وجوی فاخته [3]، الگوریتم ژنتیک رتبه‌بندی غیرِمغلوب [5-4]، الگوریتم بهبودیافته حرکت دسته‌جمعی ذرات [7-6]، الگوریتم کلونی زنبور عسل [8]، الگوریتم جست‌وجوی هارمونی [10-9]، الگوریتم رقابت استعماری [11]، الگوریتم تکامل تفاضلی [12]، و روش‌های بهینهسازی مبتنی بر کنترل پیش‌بین [14-13]. بخش دیگری از تحقیقات، پخش بار اقتصادی را با درنظرگرفتن عدم قطعیت منابع انرژی تجدیدپذیر (مانند انرژی بادی و ...) بررسی کرده است [17-15].
با تجدید ساختار در سیستم‌های قدرت و پیدایش بازار برق، علاوه بر تولیدکنندگان، سمت مصرف نیز امکان مشارکت در بازار را داشته است و می‌توانند سطح مصرف خود را با توجه به منفعت اقتصادی و قیمت برق تنظیم کنند [18]. در این محیط، اپراتور مستقل سیستم (و یا اپراتور بازار) با دریافت پیشنهادهای فروش تولیدکنندگان و پیشنهادهای خرید مشتریان، پخش بار اقتصادی را با هدف حداکثرکردن منفعت شرکت‌کنندگان بازار اجرا می‌کند. درواقع، هدف از پخش بار اقتصادی حداکثرکردن رفاه اجتماعی است که حاصل تفاضل منفعت مصرف‌کنندگان و هزینه بهره‌برداری تولیدکنندگان در نظر گرفته می‌شود [19].
در زمینة پخش بار اقتصادی دینامیکی مبتنی بر حداقل هزینه بهره‌برداری، تحقیقات بسیار گسترده‌ای صورت گرفته است [22-20]؛ در زمینه پخش بار اقتصادی و «در مدار قرارگرفتن نیروگاه‌ها» در محیط بازار نیز تحقیقات متعددی گزارش شده است. تحقیقات صورت‌گرفته در این زمینه را می‌توان به دو بخش تقسیم کرد: بخش اول (که عمده تحقیقات صورت‌گرفته را دربرمی‌گیرد) توان تولیدی نیروگاه‌ها را در بازه‌های زمانی برنامه‌ریزی (در مدار قرارگرفتن نیروگاه‌ها) با هدف حداکثرکردن سود آن‌ها در بازار برق تعیین می‌کند [25-23]. بخش دوم به پخش بار اقتصادی دینامیکی از دید اپراتور مستقل سیستم و با هدف حداکثرشدن رفاه اجتماعی می‌پردازد. در این بخش تحقیقات کمی صورت گرفته است [30-26]. مرجع [26]، اولین مطالعه صورت‌گرفته در این زمینه را گزارش می‌دهد که در آن حداکثرکردن رفاه اجتماعی جایگزین حداقل‌کردن هزینه بهره‌برداری در پخش بار اقتصادی شده است. مراجع [29-27] نیز تابع هدفی مشابه [21] در نظر گرفته‌اند و از الگوریتم‌های بهبودیافته ژنتیک ([28-27]) و تکامل تفاضلی ([29]) برای حل مسئلة مذکور استفاده کرده‌اند. در [30] نیز پخش بار اقتصادی با درنظرگرفتن پیشنهاد، سمت مصرف مطرح شده است و با استفاده از الگوریتم ژنتیک بهبودیافته، مسئله برای چند سیستم تست بررسی شده است.
در این مقاله پخش بار اقتصادی دینامیکی -زیست‌محیطی با درنظرگرفتن پیشنهادات، سمت مصرف بررسی می‌شود. برای حل مسئله از یک الگوریتم ترکیبی جدید مبتنی بر غذایابی باکتری و تکاملی تفاضلی استفاده شده است. در الگوریتم ارائه‌شده، تغییرات عمده‌ای در مراحل مختلف شامل مرحله حرکت، باز تولید و تولید نسل و حذف و پراکندگی پیشنهاد شده است که سبب شده است ویژگی مثبت الگوریتم غذایابی باکتری (جست‌وجوی وسیع برای یافتن پاسخ بهینه و توقف‌نداشتن در بهینه‌های محلی) حفظ شود و سرعت همگرایی آن نیز به‌صورت چشمگیری بهبود یابد (جزئیات تغییرات پیشنهادی در ادامه ذکر شده است). برای اثبات کارایی الگوریتم پیشنهادی چندین سیستم تست بررسی شده است و پاسخ‌های الگوریتم پیشنهادی با دیگر الگوریتم‌ها مقایسه شده است.
تابع هدفِ مسئلة پخش بار اقتصادی دینامیکی – زیست‌محیطی مبتنی بر حداکثر رفاه، ماکزیمم‌کردن منفعت اجتماعی است. این تابع هدف مطابق است با آنچه در ادامه بیان شده است.
در روابط فوق، : حداکثر نرخ کاهش توان؛ و : حداکثر نرخ افزایش توان هستند.
پاسینو (Passino)، اولین‌بار الگوریتم غذایابی باکتری را در سال 2002 مطرح کرد [31]. روش این الگوریتم بر پایة غذایابی و تکثیر گونة خاصی از باکتری است که در بدن انسان زندگی می‌کند و قادر است با جهش و گام‌های کوتاه به سمت مناطقی که غذا وجود دارد، حرکت کند. این الگوریتم به‌علت دامنه گسترده جست‌وجو، احتمال توقف آن در نقاط بهینه محلی کم است و توانایی مناسبی در رسیدن به نقطه بهینه کلی دارد ]34-32[. با این وجود، نسخة اصلی الگوریتم مذکور نواقصی نیز دارد؛ ازجمله: پایین‌بودن سرعت همگرایی در مرحله تولید نسل جدید و همچنین ثابت‌بودن اندازه حرکت هر باکتری در هر مرحله از تکرار؛ همچنین عملکرد الگوریتم و کارایی آن با رشد و توسعه فضای جست‌وجو تحت تأثیر قرار می‌گیرد ]33[. برای بهبود عملکرد الگوریتم، ترکیب الگوریتم غذایابی باکتری با ژنتیک الگوریتم و حرکت دسته جمعی ذرات پیشنهاد شده است ]36-35[. در ]37 [از الگوریتم‌های غذایابی باکتری و تکاملی تفاضلی (به‌صورت مجزا) برای حل مسئله پخش بار اقتصادی با درنظرگرفتن واحدهای بادی استفاده شده است. در الگوریتم پیشنهادشده در ]38[ از الگوریتم غذایابی باکتری برای بهبود همگرایی الگوریتم تکامل تفاضلی استفاده شده است. در مراجع ]42-39[ الگوریتم جدیدی برای حل مسائل بهینهسازی (همچون تخمین بهترین مقادیر پارامترها در مسائل بهینهسازی، اندازه‌گیری و تعیین فاصله بین دو رشته، مدیریت تراکم در بازار برق و پخش بار اقتصادی دینامیکی) مبتنی بر ترکیب الگوریتم غذایابی باکتری و تکامل تفاضلی ارائه شده است. در الگوریتم ارائه‌شده که الگویتم تفاضلی حرکتی (Chemotactic Differential Evolution) نامیده شده است، در مرحله حرکت باکتری به‌جای استفاده از گام ثابت از گام متغیر و در مرحله بازتولید از برخی عملگرهای الگوریتم تفاضلی استفاده شده است. در ]43[ از الگوریتم بهبودیافته غذایابی باکتری برای تخمین هارمونیک‌ها در شبکه قدرت استفاده شده است. در این الگوریتم به‌جای استفاده از گام‌های ثابت در مرحله حرکت باکتری، از گام‌های با اندازه متغیر (که مطابق معیار فازی تاکاگی - سوگونو تعیین میشوند) استفاده شده است.
در الگوریتم ترکیبی پیشنهادی در این مقاله، تغییرات عمده‌ای در مراحل مختلف الگوریتم غذایابی باکتری صورت گرفته است. در الگوریتم پیشنهادی (1): در مرحله حرکت از قدم‌های متغیر کاهشی استفاده شده است؛ به‌طوری‌که در ابتدای کار طول قدم‌ها بزرگ و با افزایش تعداد تکرارها، طول گام‌ها کاهش می‌یابد؛ (2): در مرحله تولید نسل از استراتژی‌های تکامل تفاضلی برای تولید نسل جدید باکتری‌ها استفاده شده است؛ و (3): در مرحلة حذف و پراکندگی، باکتری انتخابی به‌صورت کاملاً تصادفی پراکنده نخواهد شد؛ بلکه با توجه به ابعاد مسئله، قسمتی از موقعیت آن به‌صورت تصادفی ایجاد می‌شود و بخشی دیگر را از موقعیت بهترین باکتری موجود در بین کل کاندیداهای جواب می‌گیرد و قسمتی از آن بدون تغییر باقی می‌ماند.
در این بخش، ابتدا دو الگوریتم غذایابی باکتری و تکامل تفاضلی به‌صورت مختصر بیان میشوند؛ سپس الگوریتم ترکیبی غذایابی باکتری و تکامل تفاضلی شرح داده می‌شود.
الگوریتم غذایابی باکتری دربردارندة سه مرحلة حرکت، تولید نسل و حذف و پراکندگی است. در ادامه، توضیح مختصری برای هر سه مرحله بیان شده است.
مرحلة حرکت، جزء اصلی فرآیند الگوریتم غذایابی باکتری است [33] که دربردارندة یک یا دو جهش و چند شنا است. در مرحله حرکت، موقعیت باکتری‌ها مطابق رابطة (10) به‌روز می‌شود.
در تمامی مراحل حرکت، ابتدا برای هر باکتری جهت حرکت تعیین می‌شود؛ سپس باکتری با استفاده از رابطة (10) شروع به حرکت می‌کند. اگر موقعیت جدید از موقعیت قبلی بهتر باشد، موقعیت جدید جایگزین موقعیت قبلی می‌شود. این حرکت برای هر باکتری تا زمانی ادامه می‌یابد که مقدار تابع هدفِ موقعیت جدید از مقدار تابع هدفِ موقعیت قبلی بهتر باشد و یا الگوریتم به مقدار بیشینة تعیین‌شده برای تعداد حرکت رسیده باشد. تعداد بیشینة حرکت با استفاده از متغیر تعیین می‌شود.
هنگامی که همة باکتری‌های موجود در یک نسل، تمامی مراحل حرکت خود را طی کردند، مرحله تولید نسل اجرا می‌شود. در این مرحله تمامی باکتری‌ها براساس تابعِ ارزیابی، رتبه‌بندی میشوند (باکتری‌های دارای شایستگی بیشتر در ابتدا قرار می‌گیرند). سپس نصف باکتری‌هایی که در نیمة اول جمعیت قرار دارند، تولید مثل می‌کنند و به دو باکتری مشابه تبدیل میشوند و جایگزین باکتری‌هایِ نیمة دوم جمعیت میشوند؛ بنابراین اندازة جمعیت در طول فرآیند تولید نسل ثابت می‌ماند. تعداد مراحل تولید نسل با متغیر نمایش داده می‌شود.
در طبیعت برخی از وقایع طبیعی مانند تغییرات دما، تغییرات غلظت غذا و جریان آب باعث مرگ و میر و یا جابه‌جایی باکتری‌ها به نقاط دیگر می‌شود [34]. برای شبیه‌سازی این واقعیت، مرحلة حذف و پراکندگی به الگوریتم غذایابی باکتری افزوده شده است. این مرحله، بعد از اینکه تمامی مراحل تولید نسل به پایان رسید، آغاز می‌شود. بدین صورت که برای هر باکتری یک مقدار تصادفی بین صفر و یک ایجاد می‌شود. اگر این مقدار تصادفی از متغیر از پیش تعیین شده (که با نمایش می‌دهند) کوچک‌تر بود، باکتری حذف می‌شود و یک باکتری دیگر به‌صورت تصادفی جایگزین آن می‌شود.
الگوریتم تکامل تفاضلی جزء دسته الگوریتم‌های تکاملی است که storn و price آن را برای حل مسائل بهینهسازی مطرح کردند [44]. از مزایای این الگوریتم می‌توان به ساختار ساده، استفاده آسان و سرعت بالای این الگوریتم اشاره کرد [45]. این الگوریتم، سه مرحلة اصلی تولید نسل، ارزیابی و انتخاب دارد که تا زمان پایان یافتن الگوریتم در هر مرحله از تکرار اجرا میشوند. الگوریتم تکامل تفاضلی به جای استفاده از عملگرهای بازترکیب و جهش سنتی، از استراتژی‌های خاص خودش استفاده می‌کند که برخی از آن‌ها در جدول (1) نشان داده شده است.
جدول (1): استراتژی‌های DE برای انجام مرحله جهش
در یک الگوریتم بهینهسازی هوشمند، ایجاد تعادل بین قابلیت جست‌وجو و سرعت همگرایی امری مهم است. وجود قدم‌های ثابت در مرحلة حرکت الگوریتم مرسوم غذایابی باکتری، باعث کاهش سرعت همگرایی الگوریتم می‌شود؛ بنابراین در الگوریتم ترکیبی ارائه‌شده، به جای استفاده از قدم‌های ثابت در مرحله حرکت، از قدم‌های کاهشی استفاده می‌شود. مطابق رابطة (13) در ابتدای الگوریتم این قدم‌ها بزرگ هستند و به تدریج کوچک میشوند. درخور ذکر است، این قدم‌ها متناسب با مقدار کمینه و بیشینة متغیرهای فضای مسئله انتخاب میشوند.
حد بالای جواب‌های مسئله
حد پایین جواب‌های مسئله
همانگونه که در بخش (3-1) توضیح داده شد، در مرحله تولید نسل الگوریتم مرسوم غذایابی باکتری، موقعیت نیمی از کاندیدهای جواب مسئله از دست می‌رود و امکان جست‌وجوی فضای مسئله کاهش می‌یابد. در الگوریتم ترکیبی پیشنهادی، مرحله تولید نسل حذف می‌شود و در عوض از استراتژی‌های الگوریتم تکامل تفاضلی برای تولید نسل جدید استفاده می‌شود. درخور ذکر است که برخلاف الگوریتم اصلی تکامل تفاضلی که تنها از یک استراتژی خود برای انجام جهش استفاده می‌کند، الگوریتم ترکیبی مطرح‌شده از هر سه استراتژی نشان داده شده در جدول (1) بهره می‌گیرد (نحوة استفاده از هر سه استراتژی در ادامه توضیح داده می‌شود). به این صورت که برای هر باکتری یک بردار آزمایشی ایجاد می‌شود. پس از آن، این بردار مطابق رابطة (15) با باکتری متناظر مقایسه می‌شود و در صورت بهتربودن، جایگزین آن می‌شود.
در ابتدای الگوریتم، هر سه استراتژی دارای احتمال یکسان هستند. برای هر سه استراتژی، شمارندة در نظر گرفته می‌شود. مقدار اولیة این شمارنده برابر صفر است. در هر مرحله از تکرار الگوریتم، باکتری‌ها با توجه به شایستگی براساس تابعِ ارزیابی، مرتب میشوند و مطابق رابطة (16) مقادیر وزنی برای آن‌ها در نظر گرفته می‌شود.
مطابق رابطة (16)، باکتری بهتر ضریب بالاتری را دریافت می‌کند. سپس شمارنده براساس رابطة (17) به‌روز می‌شود.
تعداد باکتری‌های است که از استراتژی B استفاده می‌کنند. با استفاده از شمارنده احتمال هر سه استراتژی مطابق رابطة (18) به‌روز میشوند.
ضریب ثابتی است که تعادل بین هر سه احتمال را در مرحلة آخر برقرار می‌سازد. سپس هر سه احتمال مطابق رابطة (19) نرمالیزه میشوند.
به این ترتیب در هر تکرار، هر باکتری مناسب‌ترین استراتژی را برای انجام جهش انتخاب می‌کند.
در مرحلة حذف و پراکندگی، هر باکتری با احتمال حذف می‌شود. برای اینکه جمعیت در یک نسل ثابت بماند، یک باکتری دیگر که در بازة فضای مسئله قرار دارد، به‌صورت تصادفی جایگزین آن می‌شود. درواقع، مرحلة حذف و پراکندگی باعث می‌شود که احتمال گیرافتادن الگوریتم در مینیمم‌های محلی کاهش یابد. این مرحله از الگوریتم نواقصی نیز دارد. اگر باکتری انتخابی نزدیک به جواب بهینه مسئله باشد، حذف و پراکندگی آن باعث دورشدن الگوریتم از جواب بهینة مسئله می‌شود و درنتیجه کاهش سرعت و دقت در همگرایی الگوریتم را در پی خواهد داشت. برای جلوگیری از این مشکل در الگوریتم ترکیبی ارائه‌شده، باکتری انتخابی در مرحلة حذف و پراکندگی به‌صورت کاملاً تصادفی پراکنده نخواهد شد؛ بلکه با توجه به ابعاد مسئله، قسمتی از موقعیت آن به‌صورت تصادفی ایجاد می‌شود و بخشی دیگر را از موقعیت بهترین باکتری موجود در بین کل کاندیداهای جواب می‌گیرد و قسمتی از آن بدون تغییر باقی می‌ماند. فرمولبندی این روش در رابطه (20) انجام شده است.
عددی تصادفی بین صفر و یک؛
احتمال حرکت باکتری در حال پراکندگی به سمت بهترین باکتری موجود.
درواقع، رابطة (21) نشان می‌دهد که در ابتدای تکرار حلقة حذف و پراکندگی بزرگ است و به‌تدریج کوچک می‌شود. فلوچارت الگوریتم ترکیبی ارائه‌شده در شکل (1) نشان داده شده است.
مراحل اجرای الگوریتم برای حل مسئله به‌شرح زیر است.
تنظیم پارامترها (گام اول): در این گام پارامترهای الگوریتم بهینهسازی همچون تعداد جمعیت باکتری، ابعاد مسئله، تعداد گام‌های مراحل حرکت، باز تولید و تولید نسل و حذف و پراکندگی، مقادیر اولیه و نهایی، احتمال‌های مرتبط به جهش و حذف و پراکندگی، ضرایب تابع هدف، قیود عملیاتی مسئله (دربردارندة حدود پایین و بالای متغیرها و نرخ‌های مجاز کاهش و یا افزایش توان تولیدی ژنراتورها و بارها) و تعداد تکرارها انتخاب میشوند.
مقدار دهی جمعیت اولیه باکتری‌ها (گام دوم): در این گام برای جمعیت باکتری، باکتری‌ها به‌صورت کاملاً تصادفی، تولید و نسبت به حداقل و حداکثر توان تولیدی نیروگاه‌ها و سطوح بار مشتری مطابق رابطه زیر نرمالیزه میشوند. باکتری iام به‌صورت زیر تعریف می‌شود.
در رابطه فوق، به‌ترتیب سطح بار خریدار oام و ژنراتور mام هستند.
بعد mام باکتری از روابط زیر به دست می‌آید.
در روابط فوق rand تابع توزیع تصادفی یکنواخت در [1-0] است. برای درنظرگرفتن شیب مجاز کاهش و یا افزایش توان، می‌توان از رابطه زیر، مقادیر حداقل و حداکثر بازه مجاز توان تولیدی ژنراتورها (و بارها) را اصلاح کرد.
رابطه فوق به‌ازائ بازه زمانی خاصی محاسبه می‌شود؛ همچنین ضریب عدد بسیار بزرگی انتخاب می‌شود.
انجام عملگر حرکت روی باکتری‌ها (گام چهارم): هر باکتری (برداری از توان‌های بهینه ژنراتورها و بارها) مطابق روابط (10)، (11)، (13)، و (14) حرکتی تصادفی انجام می‌دهد. اگر موقعیت قبلی بهتر از موقعیت جدید باشد، موقعیت قبلی حفظ می‌شود (از نظر تابع ارزیابی)؛ در غیر این‌صورت موقعیت جدید حفظ می‌شود و باکتری در همان جهت، قدم بعدی را برمی‌دارد و اگر موقعیت جدید از موقعیت قبلی بهتر باشد، جایگزین موقعیت قبلی می‌شود.
عملیات باز تولید و تولید نسل (گام پنجم): در این مرحله به‌ازای هر باکتری، یک بردار آزمایشی (مطابق آنچه که در الگوریتم ترکیبی پیشنهادی ارائه شد) براساس روابط (16) تا (19) و عملگرهای جدول (1) ایجاد می‌شود؛ سپس بردار آزمایشی تولید می‌شود و باکتری مربوطه مطابق رابطه (25) ارزیابی می‌شود و درصورتی‌که شایستگی بردار آزمایشی بیشتر باشد، جایگزین باکتری می‌شود. عملیات باز تولید برای همه باکتری‌ها انجام می‌شود.
عملیات حذف و پراکندگی (گام ششم): در مرحلة حذف و پراکندگی، هر باکتری با احتمال حذف می‌شود و برای اینکه جمعیت در یک نسل ثابت بماند، یک باکتری دیگر که در بازة فضای مسئله قرار دارد، جایگزین آن می‌شود. با استفاده از رابطه (20)، قسمتی از باکتری به‌صورت تصادفی ایجاد می‌شود و بخشی دیگر را از موقعیت بهترین باکتری موجود در بین کل کاندیداهای جواب می‌گیرد و قسمتی از آن بدون تغییر باقی می‌ماند.
انجام گام‌های دوم تا ششم برای همه بازه زمانی مورد مطالعه (گام هفتم):
معیار توقف (گام هشتم): گام‌های دوم تا هفتم تا رسیدن تعداد تکرارها به مقدار حداکثر تکرار مشخص‌شده انجام می‌شود و بهترین پاسخ، ذخیره و انتخاب می‌شود.
سیستم تست 1: در این سیستم تست الگوریتم ترکیبی غذایابی باکتری و تکامل تفاضلی برای حل مسئلة پخش بار اقتصادی دینامیکی – زیست‌محیطی مبتنی بر حداکثر رفاه، بر روی سیستم 30 باسة IEEE به کار گرفته شده است. پیشنهادات (مناقصه) پرداخت خریداران براساس ضرایب تابع سود ارائه‌شده، به سه دستة پیشنهاد پرداخت کم، متوسط و زیاد تقسیم شده‌اند [44]. داده‌های مربوط به تولیدکنندگان در جدول (2)، داده‌های مربوط به خریداران در جدول (3) و ضرایب هزینة آلودگی که ژنراتورها ایجاد کرده‌اند در جدول (4) و همچنین ماتریس ضرایب تلفات نیز در شکل (2) نشان داده شده است. گفتنی است، داده‌های مذکور از [30] و [45] اخذ شده‌اند.
فرض شده است در هر سه حالت پیشنهاد (مناقصه) پرداخت خریداران، دو مصرف‌کننده در سیستم وجود دارد که پیشنهاد خود را به اپراتور مستقل سیستم ارائه می‌دهند. مطابق جدول (3) برای هر سه حالت، مقدار ضریب adj متفاوت، اما مقدار bdj ثابت است؛ به‌طوری‌که برای خریدار اول و در سه حالت، مقدار adj 01/0 ، 07/0 ، 06/0- و bdj 20 است.
همچنین در بازة زمانی اول، میزان بار درخواستی مشتری اول بین 100 تا 150 مگاوات و مشتری دوم بین 50 تا 100 مگاوات است. با استفاده از الگوریتم ترکیبی ارائه‌شده، پخش بار اقتصادی بر روی سیستم مدّ نظر اعمال شده است و مقدار بهینة خروجی ژنراتورها، بار مصرف‌کنندگان و میزان منفعت اجتماعی به دست آمده است. جداول (5) و (6) نتیجة پخش بار را برای هر سه حالت و به ترتیب در بازه زمانی اول و دوم نشان می‌دهند. همچنین در جدول (7) منفعت اجتماعی به‌دست‌آمده در هر سه حالت درج شده است.
مطابق جداول ارائه‌شده، مشاهده می‌شود میزان توان تولیدی ژنراتورها با افزایش پیشنهاد پرداخت خریداران افزایش می‌یابد. به این صورت که در بازة زمانی اول از مقدار 39/171 مگاوات در حالت پیشنهادِ پرداختی کم به مقدار 80/276 مگاوات در حالت پیشنهادِ پرداختی زیاد، افزایش یافته است. این مقادیر نشان می‌دهند در حالت پیشنهاد پرداخت زیاد، خریداران پول بیشتری را بابت خرید توان پرداخت می‌کنند. همچنین اگرچه در این حالت میزان هزینة توان تولیدی ژنراتورها نسبت به حالت‌های قبل افزایش یافته است، اما به دلیل اینکه خریداران پول بیشتری برای خرید توان پرداخت می‌کنند، منفعت اجتماعی افزایش یافته است. شکل‌های (3)، (4) و (5) نیز همگرایی الگوریتم ترکیبی ارائه‌شده برای به‌دست‌آوردن بیشترین منفعت اجتماعی را در سه حالت پیشنهاد پرداختی نشان می‌دهد. جدول (8) نیز مقایسة بین الگوریتم‌های مختلف در حل مسئلة پخش بار اقتصادی دینامیکی – زیست‌محیطی مبتنی بر حداکثر رفاه در 20 مرتبه اجرای الگوریتم‌ها را نشان می‌دهد. مقایسة الگوریتم‌ها نیز در شرایط یکسان توقف صورت گرفته است. گفتنی است، مؤلفان به غیر از موارد ذکرشده در جدول (8)، نتایج مابقی الگوریتم‌ها (با برنامه‌نویسی) را به دست آورده‌اند.
با توجه به جدول (8)، مشاهده می‌شود الگوریتم ترکیبی مطرح‌شده، عملکرد بهتری نسبت به بقیة الگوریتم‌ها در هر سه حالت پیشنهاد پرداخت خریداران دارد. همچنین میزان انحراف معیار کم الگوریتم مطرح‌شده نسبت به بقیه الگوریتم‌ها در اجرای 20 بار نشان می‌دهد که الگوریتم ترکیبی غذایابی باکتری و تکامل تفاضلی الگوریتمی کارا برای حل مسئلة پخش بار اقتصادی دینامیکی – زیست‌محیطی مبتنی بر حداکثر رفاه است.
جدول (2): اطلاعات تولیدکنندگان سیستم 1
|
DRi |
URi |
Pmax |
Pmin |
bpi |
api |
G |
|
85 |
65 |
200 |
50 |
2 |
0/00375 |
1 |
|
20 |
12 |
80 |
20 |
1/75 |
0/0175 |
2 |
|
15 |
12 |
50 |
15 |
1 |
0/00625 |
3 |
|
16 |
8 |
35 |
10 |
3/25 |
0/00834 |
4 |
|
9 |
6 |
30 |
10 |
3 |
0/025 |
5 |
|
16 |
8 |
40 |
12 |
3 |
0/025 |
6 |
جدول (3): اطلاعات خریداران سیستم 1
|
خریدار دوم |
خریدار اول |
|
||||
|
high |
med |
low |
high |
med |
low |
adj($/MWh2) |
|
0.09 |
0.05 |
-0.08 |
0.01 |
0.07 |
-0.06 |
|
|
15 |
20 |
bdj($/MWh) |
||||
|
Min=50 Max=100 |
Min=100 Max=150 |
Load at period 1 (MW) |
||||
|
Min=100 Max=200 |
Min=20 Max=70 |
Load at period 2 (MW) |
||||
جدول (4): ضرایب آلودگی
|
|
|
|
|
|
|
587/2 |
2 |
490/6 |
554/5- |
091/4 |
|
333/3 |
5 |
638/5 |
047/6- |
543/2 |
|
8 |
01/0 |
586/4 |
094/5- |
258/4 |
|
2 |
20 |
380/3 |
550/3- |
326/5 |
|
8 |
01/0 |
586/4 |
094/5- |
258/4 |
|
667/6 |
10 |
151/5 |
555/5- |
131/6 |
شکل (2): ماتریس ضرایب تلفات سیستم
جدول (5): نتایج پخش بار در سه حالت پیشنهاد (مناقصه) پرداخت خریداران در بازة زمانی اول
|
High |
Medium |
Low |
Bid |
|
34/167 |
93/131 |
59/105 |
G1 (MW) |
|
26 |
98/45 |
66/31 |
G2 (MW) |
|
15 |
55/44 |
98/49 |
G3 (MW) |
|
63/17 |
03/10 |
83/10 |
G4 (MW) |
|
97/11 |
02/10 |
10 |
G5 (MW) |
|
08/18 |
12 |
94/13 |
G6 (MW) |
|
150 |
99/149 |
44/142 |
Cus1 (MW) |
|
100 |
100 |
59/76 |
Cus2 (MW) |
|
05/256 |
54/254 |
03/222 |
Total.G |
|
250 |
99/249 |
03/219 |
Total.D |
|
03/6 |
56/4 |
99/2 |
Loss |
|
04/659 |
27/597 |
86/498 |
Total cost ($) |
|
7650 |
7/6574 |
04/2311 |
Income ($) |
جدول (6): نتایج پخش بار در سه حالت پیشنهاد (مناقصه) پرداخت خریداران در بازة زمانی دوم
|
High |
Medium |
Low |
Bid |
|
73/173 |
16/133 |
64 |
G1 (MW) |
|
87/37 |
31/42 |
21/25 |
G2 (MW) |
|
41/16 |
18/48 |
05/47 |
G3 (MW) |
|
62/16 |
45/17 |
57/11 |
G4 (MW) |
|
47/17 |
89/13 |
15/10 |
G5 (MW) |
|
67/14 |
65/19 |
39/13 |
G6 (MW) |
|
70 |
70 |
70 |
Cus1 (MW) |
|
200 |
200 |
100 |
Cus2 (MW) |
|
80/276 |
66/274 |
39/171 |
Total.G |
|
270 |
270 |
170 |
Total.D |
|
79/6 |
66/4 |
38/1 |
Loss |
|
95/717 |
90/662 |
16/372 |
Total cost ($) |
|
8490 |
6743 |
1806 |
Income ($) |
جدول (7): مقادیر منفعت اجتماعی برای سه حالت پیشنهاد پرداخت (مناقصه) خریداران
|
High |
Medium |
Low |
Bid |
|
90/14716 |
35/12057 |
89/3245 |
Social profit ($) |
جدول (8): مقایسة نتایج روش‌های مختلف سیستم 1
|
SD |
Social profit $ (average) |
algorithm |
strategy |
|
8/128 |
3/3098 |
PSO [30] |
L O W |
|
1/30 |
5/3168 |
DE [30] |
|
|
2/99 |
2/3202 |
Biogeography optimization |
|
|
4/16 |
3128 |
Artificial Bee Colony |
|
|
9/36 |
3/3148 |
Bactrial Foraging |
|
|
3/249 |
7/2756 |
Cultural Algorithm |
|
|
2/82 |
5/2973 |
Harmony Search |
|
|
3/134 |
7/2971 |
Hybrid SA and GA |
|
|
6/2 |
2/3243 |
Hybrid BF and DE |
|
|
0/37 |
9/11984 |
PSO |
M E D I U M |
|
3/28 |
8/11996 |
DE |
|
|
2/207 |
2/12013 |
Biogeography optimization |
|
|
5/30 |
4/11942 |
Artificial Bee Colony |
|
|
7/47 |
3/11954 |
Bactrial Foraging |
|
|
5/333 |
4/11227 |
Cultural Algorithm |
|
|
1/149 |
3/11533 |
Harmony Search |
|
|
4/430 |
1/11638 |
Hybrid SA and GA |
|
|
9/13 |
9/12045 |
Hybrid BF and DE |
|
|
6/60 |
5/14598 |
PSO |
H I G H |
|
2/44 |
1/14610 |
DE |
|
|
3/103 |
4/14639 |
Biogeography optimization |
|
|
9/64 |
9/14602 |
Artificial Bee Colony |
|
|
3/54 |
5/14703 |
Bactrial Foraging |
|
|
4/762 |
4/13887 |
Cultural Algorithm |
|
|
3/296 |
3/3098 |
Harmony Search |
|
|
4/456 |
6/13947 |
Hybrid SA and GA |
|
|
6/11 |
2/14708 |
Hybrid BF and DE |
سیستم تست 2: در این سیستم تست، الگوریتم ترکیبی پیشنهادشده در حالت پیشنهاد پرداختی زیاد خریداران بر روی سیستمی با 10 تولیدکننده و 6 خریدار در 12 بازة زمانی اعمال شده است. اطلاعات مربوط به تولیدکنندگان و خریداران این سیستم از مرجع [30] اخذ شده است و به ترتیب در جداول (9) و (10) درج شده است. نتایج حاصل از این پخش بار نیز در جدول (11) نشان داده شده است.
جدول (9): اطلاعات تولیدکنندگان سیستم 2
|
DRi |
URi |
Pmax |
Pmin |
cpi |
bpi |
api |
G |
|
80 |
80 |
470 |
150 |
20/958 |
60/21 |
00043/0 |
1 |
|
80 |
80 |
460 |
135 |
60/131 |
05/21 |
00063/0 |
2 |
|
80 |
80 |
340 |
73 |
97/604 |
81/20 |
00039/0 |
3 |
|
50 |
50 |
300 |
60 |
60/471 |
90/23 |
00070/0 |
4 |
|
50 |
50 |
243 |
73 |
29/480 |
62/21 |
00079/0 |
5 |
|
50 |
50 |
160 |
57 |
75/601 |
87/17 |
00056/0 |
6 |
|
30 |
30 |
130 |
20 |
70/502 |
51/16 |
00211/0 |
7 |
|
30 |
30 |
120 |
47 |
40/639 |
23/23 |
00480/0 |
8 |
|
30 |
30 |
80 |
20 |
60/455 |
58/19 |
10908/0 |
9 |
|
30 |
30 |
55 |
55 |
40/692 |
54/22 |
00951/0 |
10 |
جدول (10): اطلاعات خریداران سیستم 2
|
D6 |
D5 |
D4 |
D3 |
D2 |
D1 |
خریدار |
|
|
12 |
15 |
16 |
17 |
19 |
20 |
adj($/MWh2) |
|
|
12 |
15 |
16 |
17 |
19 |
20 |
bdj($/MWh) |
|
|
110 |
116 |
200 |
130 |
180 |
300 |
1 |
بیشترین بار درخواستی در هر بازة زمانی (MW) |
|
250 |
150 |
200 |
100 |
220 |
190 |
2 |
|
|
250 |
100 |
300 |
250 |
150 |
208 |
3 |
|
|
160 |
300 |
200 |
256 |
230 |
270 |
4 |
|
|
250 |
150 |
260 |
240 |
280 |
300 |
5 |
|
|
300 |
208 |
230 |
170 |
320 |
400 |
6 |
|
|
200 |
400 |
300 |
350 |
192 |
250 |
7 |
|
|
250 |
150 |
406 |
350 |
250 |
370 |
8 |
|
|
234 |
420 |
350 |
200 |
400 |
320 |
9 |
|
|
250 |
300 |
350 |
400 |
300 |
472 |
10 |
|
|
306 |
360 |
240 |
250 |
490 |
500 |
11 |
|
|
300 |
360 |
350 |
380 |
420 |
410 |
12 |
|
همانند سیستم تست 1، برای نشان‌دادن برتری الگوریتم ترکیبی غذایابی باکتری و تکامل تفاضلی، نتایج حاصل از این سیستم تست نیز با دیگر الگوریتم‌ها مقایسه شده است و نتایج حاصل در جدول (12) درج شده است. درخور ذکر است، مقایسة الگوریتم‌ها تحت شرایط یکسانِ توقف، با تعداد تکرار 500 و تعداد مشخص محاسبة تابع هدف (پانصد هزار)، انجام شده است.
جدول (11): نتایج پخش بار در حالت پیشنهاد (مناقصه) پرداختی زیاد خریداران در 12 بازة زمانی
|
Income |
Tot. demand |
Tot. cost |
Tot. Gen |
hour |
|
31/37167 |
60/1014 |
71/26864 |
61/1014 |
1 |
|
91/38706 |
61/1103 |
48/28675 |
62/1103 |
2 |
|
79/45709 |
09/1156 |
39/30196 |
98/1156 |
3 |
|
93/56679 |
53/1406 |
05/36020 |
60/1406 |
4 |
|
62/60903 |
24/1472 |
39/38137 |
26/1472 |
5 |
|
46/64633 |
74/1395 |
90/36455 |
81/1395 |
6 |
|
42/64157 |
71/1353 |
59/35142 |
75/1353 |
7 |
|
48/71887 |
42/1383 |
30/35295 |
72/1383 |
8 |
|
18/71161 |
20/1372 |
53/35789 |
43/1372 |
9 |
|
09/74911 |
23/1383 |
63/35918 |
41/1383 |
10 |
|
14/85924 |
37/1372 |
91/35081 |
73/1372 |
11 |
|
07/77817 |
12/1419 |
95/36676 |
89/1419 |
12 |
|
$ 49/339483 |
Social profit |
|||
جدول (12): مقایسة نتایج روش‌های مختلف سیستم 1
|
average |
Max .social profit |
Min. social profit |
Algorithm |
|
226760 |
246499 |
209796 |
Harmony Search |
|
208760 |
229886 |
180749 |
Cultural Algorithm |
|
320390 |
329987 |
307542 |
Artificial Bee Colony |
|
270820 |
288459 |
250604 |
Hybrid SA and GA |
|
322010 |
337283 |
303879 |
BBO |
|
299070 |
314760 |
285832 |
PSO |
|
315360 |
322928 |
300197 |
DE |
|
241510 |
298690 |
190110 |
Bactrial Foraging |
|
330960 |
339483 |
314755 |
Hybrid BF and DE |
مطابق جدول (12) مشاهده می‌شود الگوریتم ترکیبی مطرح‌شده، عملکرد بهتری نسبت به بقیة الگوریتم‌ها در حل مسئلة پخش بار اقتصادی دینامیکی مبتنی بر حداکثر هزینه دارد.
در این مقاله، الگوریتم ترکیبی جدیدی مبتنی بر الگوریتم غذایابی باکتری و تکامل تفاضلی برای حل مسئلة پخش بار اقتصادی دینامیکی – زیست‌محیطی مبتنی بر حداکثر رفاه ارائه شد. در الگوریتم ارائه‌شده، به‌جای استفاده از گام‌های ثابت حرکت باکتری، از گام‌های متغیر استفاده شده است که در طول شبیه‌سازی کاهش می‌یابند. همچنین از الگوریتم‌های مبتنی بر تکامل تفاضلی برای تولید نسل جدید باکتری استفاده شده است. در مرحلة حذف و پراکندگی، باکتری انتخابی در مرحلة حذف و پراکندگی به‌صورت کاملاً تصادفی پراکنده نمی‌شود؛ بلکه با توجه به ابعاد مسئله، قسمتی از موقعیت آن به‌صورت تصادفی ایجاد می‌شود و بخشی دیگر را از موقعیت بهترین باکتری موجود در بین کل کاندیداهای جواب می‌گیرد و قسمتی از آن بدون تغییر باقی می‌ماند.
درنتیجة بهبودهایِ صورت‌گرفته، الگوریتم علاوه بر جست‌وجو در یک فضای گسترده (برای جلوگیری از توقف در پاسخ‌های بهینه محلی) سرعت همگرایی مناسبی دارد. برای نشان‌دادن کارایی آن، مطالعات عددی روی چندین سیستم تست صورت گرفته است و نتایج به‌دست‌آمده با دیگر الگوریتم‌های هوشمند مقایسه شده است. نتایج، بیانگر برتری الگوریتم پیشنهادی نسبت به دیگر الگوریتم‌ها در حل مسئله پخش بار اقتصادی دینامیکی – زیست‌محیطی با درنظرگرفتن پیشنهادات سمت مصرف است.
[1] X. Xia and A. Elaiw, "Optimal dynamic economic dispatch of generation: A review", Electric Power Systems Research, Vol. 80, No. 8, pp. 975-986, 2010.
[2] M. Basu, “Teaching – learning - based optimization algorithm for multi-area economic dispatch", Energy, Vol. 68, pp. 21-28, 2014.
[3] M. Basu and A. Chowdhury, “Cuckoo search algorithm for economic dispatch”, Energy, Vol. 60, pp. 99-108, 2013.
[4] S. Dhanalakshmi, S. Kannan, K. Mahadevan, and S. Baskar, “Application of modified NSGA-II algorithm to combined economic and emission dispatch problem”, International Journal of Electrical Power & Energy Systems, Vol. 33, No. 4, pp. 992–1002, 2016.
[5] M. Basu, “Fuel constrained economic emission dispatch using nondominated sorting genetic algorithm-iI”, Energy, Vol. 78, pp. 649–664, 2014.
[6] X. Yuan, A. Su, Y. Yuan, H. Nie, and L. Wang, “An improved PSO for dynamic load dispatch of generators with valve-point effects”, Energy, Vol. 34, No. 1, pp. 67–74, 2009.
[7] T. Niknam, and F. Golestaneh, “Enhanced adaptive particle swarm optimisation algorithm for dynamic economic dispatch of units considering valve-point effects and ramp rates”, IET Generation, Transmission & Distribution, Vol. 6, No. 5, pp. 424–435, 2012.
[8] M. Basu, “Hybridization of bee colony optimization and sequential quadratic programming for dynamic economic dispatch”, International Journal of Electrical Power & Energy Systems, Vol. 44, No. 1, pp. 591–596, 2013.
[9] Q. Niu, H. Zhang, K. Li, and G.W. Irwin, “An efficient harmony search with new pitch adjustment for dynamic economic dispatch”, Energy, Vol. 65, pp. 25–43, 2014.
[10] R. Arul, G. Ravi, and S. Velusami, “Non-convex economic dispatch with heuristic load patterns, valve point loading effect, prohibited operating zones, ramp-rate limits and spinning reserve constraints using harmony search algorithm”, Electrical Engineering, Vol. 95, No. 1, pp. 53–61, 2012.
[11] B. Mohammadi-ivatloo, A. Rabiee, A. Soroudi, and M. Ehsan, “Imperialist competitive algorithm for solving non-convex dynamic economic power dispatch”, Energy, Vol. 44, No. 1, pp. 228–240, 2012.
[12] M. Basu, “Economic environmental dispatch using multi-objective differential evolution”, Applied Soft Computing, Vol. 11, No. 2, pp. 2845–2853, 2016.
[13] A.M. Elaiw, X. Xia, and A.M. Shehata, “Application of model predictive control to optimal dynamic dispatch of generation with emission limitations”, Electric Power Systems Research, Vol. 84, No. 1, pp. 31–44, 2012.
[14] X. Xia, J. Zhang, and A. Elaiw, “An application of model predictive control to the dynamic economic dispatch of power generation”, Control Engineering Practice, Vol. 19, No. 6, pp. 638–648, 2011.
[15] K. Chaiamarit and S. Nuchprayoon, "Economic dispatch solution considering demand and wind speed uncertainties based on Newton's method," 2013 IEEE PES Asia-Pacific Power and Energy Engineering Conference (APPEEC), Kowloon, pp. 1-6, 2013
[16] M. Younes, F. Khodja, and R.L. Kherfane, “Multi-objective economic emission dispatch solution using hybrid FFA (firefly algorithm) and considering wind power penetration”, Energy, Vol. 67, pp. 595–606, 2014.
[17] M. Abdoli, and A.R. Hatami, “Dynamic economic emission dispatch incorporating wind farms using modified co-evolutionary particle swarm optimization meta-heuristic algorithm”, Computational Intelligence in Electrical Engineering, Vol. 5, No. 4, pp. 31-43, 2015, (in Persian).
[18] C. Harris, “Electricity markets: Pricing, structures and economics”, Wiley-Finance, 2006.
[19] FERC, “Security constrained economic dispatch: Definition, practices, issues and recommendations”, 2006.
[20] X. He, Y. Rao, and J. Huang, “A novel algorithm for economic load dispatch of power systems”, Neurocomputing, Vol. 171, pp. 1454–1461, 2016.
[21] U. krishnasamy, and D. Nanjundappan, “Hybrid weighted probabilistic neural network and biogeography based optimization for dynamic economic dispatch of integrated multiple-fuel and wind power plants”, International Journal of Electrical Power & Energy Systems, Vol. 77, pp. 385–394, 2016.
[22] R. Arul, S. Velusami, and G. Ravi, “A new algorithm for combined dynamic economic emission dispatch with security constraints”, Energy, Vol. 79, pp. 496–511, 2015.
[23] P.K. Singhal, R. Naresh, and V. Sharma, “Binary fish swarm algorithm for profit-based unit commitment problem in competitive electricity market with ramp rate constraints”, IET Generation, Transmission & Distribution, Vol. 9, No. 13, pp. 1697–1707, 2015.
[24] A. Shukla, V.N. Lal, and S.N. Singh, “Profit-based unit commitment problem using PSO with modified dynamic programming”, 18th International Conference on Intelligent System Application to Power Systems (ISAP), pp. 1-6, 2016.
[25] T. Venkatesan, and M.Y. Sanavullah, “SFLA approach to solve PBUC problem with emission limitation”, International Journal of Electrical Power & Energy Systems, Vol. 46, pp. 1–9, 2013.
[26] W.-M. Lin, and S.-J. Chen, “Bid-based dynamic economic dispatch with an efficient interior point algorithm”, International Journal of Electrical Power & Energy Systems, Vol. 24, No. 1, pp. 51–57, 2002.
[27] G.-C. Liao, and J.-C. Lee, “Application novel immune genetic algorithm for solving bid-based dynamic economic power load dispatch”, IEEE International Conference In Power System Technology (POWERCON), pp 1-7, 2010.
[28] G.-C. Liao, “Bid-based economic electrical load dispatch using improved genetic algorithm”, 8th Asian Control Conference (ASCC), pp. 1387-1392, 2011.
[29] B. Rampriya, K. Mahadevan, and S. Kannan, "Application of differential evolution to dynamic economic dispatch problem with transmission losses under various bidding strategies in electricity markets." Journal of Electrical Engineering and Technology, Vol. 7, No. 5, pp. 681-688, 2012.
[30] S. Orike, and D. Corne, “An evolutionary algorithm for bid-based dynamic economic load dispatch in a deregulated electricity market”, 13th UK Workshop on Computational Intelligence (UKCI), pp. 313-320, 2013.
[31] K.M. Passino, “Biomimicry of bacterial foraging for distributed optimization and control”, IEEE Control Systems, Vol. 22, No. 3, pp. 52–67, 2002.
[32] S. Dasgupta, S. Das, A. Abraham, and A. Biswas, “Adaptive computational Chemotaxis in bacterial foraging optimization: An analysis”, IEEE Transactions on Evolutionary Computation, Vol. 13, No. 4, pp. 919–941, 2009.
[33] S. Das, S. Dasgupta, A. Biswas, A. Abraham, and A. Konar, “On stability of the Chemotactic dynamics in bacterial-foraging optimization algorithm”, IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics - Part A: Systems and Humans, Vol. 39, No. 3, pp. 670–679, 2009.
[34] Y. Liu, and K.M. Passino, “Biomimicry of social foraging bacteria for distributed optimization: models, principles, and emergent behaviors” Journal of Optimization Theory and Applications, Vol. 115, No. 3, pp. 603–628, 2002.
[35] D.H. Kim, A. Abraham, and J.H. Cho, “A hybrid genetic algorithm and bacterial foraging approach for global optimization”, Information Sciences, Vol. 177, No. 18, pp. 3918–3937, 2007.
[36] A. Biswas, S. Dasgupta, S. Das, and A. Abraham, "Synergy of PSO and bacterial foraging optimization—a comparative study on numerical benchmarks." Innovations in Hybrid Intelligent Systems, Springer Berlin Heidelberg, pp. 255-263, 2007.
[37] U. Meyyappan, and K.D.R. Pandu, “Wavelet neural network-based wind-power forecasting in economic dispatch: A differential evolution, bacterial foraging technology, and primal dual-interior point approach”, Electric Power Components and Systems, Vol. 43, No. 13, pp. 1467–1477, 2015.
[38] J. X. Yeoh, C. K. Chong, Y. W. Choon, L. E. Chai, S. Deris, R. M. Illias, , and M. S. Mohamad, “Parameter estimation using improved differential evolution (ide) and bacterial foraging algorithm to model tyrosine production in mus musculus (Mouse)”, Pacific-Asia Conference on Knowledge Discovery and Data Mining, Springer Berlin Heidelberg, pp. 179-190, 2013.
[39] A. Biswas, S. Dasgupta, S. Das, and A. Abraham, “A Synergy of differential evolution and bacterial foraging algorithm for global optimization”, Neural New World, Vol. 17, No. 6, pp. 607–626, 2007.
[40] M.M.M. Fuad, “A hybrid of bacterial foraging and differential evolution -based distance of sequences”, Procedia Computer Science, Vol. 35, pp. 101–110, 2014.
[41] V.R. Pandi, A. Biswas, S. Dasgupta, and B.K. Panigrahi, “A hybrid bacterial foraging and differential evolution algorithm for congestion management”, European Transactions on Electrical Power, Vol. 20, PP. 862–871, 2010.
[42] K. Vaisakh, P. Praveena, R.M.S. Rao, and K. Meah, “Solving dynamic economic dispatch problem with security constraints using bacterial foraging PSO-DE algorithm”, Electrical Power & Energy Systems, Vol. 39, No. 1, pp. 56–67, 2012.
[43] S. Mishra, “A hybrid least square-fuzzy bacterial foraging strategy for harmonic estimation”, IEEE Transactions on Evolutionary Computation, Vol. 9, No. 1, pp. 61-73, , 2005.
[44] D. Zhang, Y. Wang, and P.B. Luh, “Optimization based bidding strategies in the deregulated market”, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 15, No. 3, pp. 981-986, 2000.
[45] M.A. Abido, “A niched Pareto genetic algorithm for multiobjective environmental/economic dispatch”, International Journal of Electrical Power & Energy Systems, Vol. 25, No. 2, pp. 97–105, 2003.
)