حل مسأله‌ی پخش بار اقتصادی- آلودگی دینامیکی با مشارکت مزارع بادی با استفاده از الگوریتم فرا ابتکاری ازدحام ذرات هم‌تکاملی اصلاح شده

نوع مقاله: مقاله علمی فارسی

نویسنده

- استادیار، گروه برق، دانشکده ‏مهندسی، دانشگاه بوعلی سینا، همدان، ایران

چکیده

یکی از مباحث مهم در زمینه‌ مدیریت تولید و بهره‌برداری سیستم‌های قدرت، پخش بار اقتصادی دینامیکی است. هدف از حل مسأله‌ مورد نظر، برنامه‌ریزی توان تولیدی ژنراتورهای فعال در سرتاسر یک افق زمانی مشخص است؛ به‏طوری‌که در هر بازه‌ ‏زمانی مشخص، بار مورد تقاضا تأمین و قیود بهره‌برداری رعایت شوند. در سال‌های اخیر، مزارع بادی به دلیل هزینه‌ پایین تولید توان (نسبت به دیگر منابع انرژی تجدیدپذیر) و همچنین، آلایندگی کمتر مورد توجه قرار گرفته است و گسترش زیادی داشته است. در این مقاله، مسأله‌ پخش بار اقتصادی دینامیکی سیستم قدرت شامل: واحدهای حرارتی و مزارع بادی و با در نظر گرفتن هزینه‌ آلودگی بررسی شده است. به‌منظور حل مسأله‌ بهینه‌سازی مورد نظر از یک روش ابتکاری کارآمد با نام الگوریتم بهینه‌سازی ازدحام ذرات هم‌تکاملی اصلاح شده استفاده شده است. همچنین، به‌منظور بهبود عملکرد الگوریتم مورد نظر، اصلاحاتی از جمله استفاده از یک ضریب اینرسی که به طور خطی در طول شبیه‌سازی کاهش می‌یابد بر روی آن اعمال شده است. در نهایت، کارآیی و برتری روش پیشنهادی روی سه سیستم نمونه‌ IEEE (دو سیستم بدون مشارکت مزارع بادی و یک سیستم شامل دو مزرعه‌ بادی) نشان داده شده است.

کلیدواژه‌ها


عنوان مقاله [English]

Dynamic economic emission dispatch incorporating wind farms using modified co-evolutionary particle swarm optimization meta-heuristic algorithm

نویسنده [English]

  • A. Hatami
Dept. of Electrical Engineering, University of Bu-Ali Sina, Hamedan, Iran
چکیده [English]

The dynamic economic load dispatch is one of the main problems of power systems generation and operation. The objective is to schedule power generation for units over a certain period of time, while satisfying operating constraints and load demand in each interval. Wind farms, as renewable energy resources are playing an increasing role in electricity generation. In this paper, a computational framework is presented to solve the dynamic economic emission dispatch problem with inclusion of wind farms considering their associated constraints. An optimization algorithm called modified co-evolutionary particle swarm optimization (MCPSO) is proposed to solve the problem. In the proposed algorithm, two kinds of swarms evolve interactively where one of them is used to calculate the penalty factors (constraints handling) and the other is used for searching good solutions (optimization process). In addition, some modifications such as using an inertia weight that decreases linearly during the simulation are made to improve the performance of the algorithm. Finally, the validity and superiority of the proposed method are demonstrated by simulation results on a modiï‌ed IEEE benchmark system including six thermal units and two wind farms.

کلیدواژه‌ها [English]

  • Dynamic economic load dispatch
  • modified co-evolutionary particle swarm optimization algorithm
  • wind farms
  • modified co
  • evolutionary particle swarm optimization algorithm

[1]پخش بار اقتصادی یکی از مسائل مهم در بهره‌برداری از سیستم‌های قدرت است که در مراکز کنترل انرژی به‌منظور‌ تعیین خروجی بهینه‌ واحدهای تولیدی (ژنراتورها) استفاده می‏شود. هدف از حل این مسأله‌ بهینه‌سازی، کمینه کردن هزینه‌ تولید توان و در نتیجه بالا بردن سود سرمایه‌گذاری است. پخش بار اقتصادی از دسته مسائل بهینه‌سازی غیرخطی است که شامل قیدهای متعددی از جمله تعادل توان تولیدی و مصرفی، حدود بالا و پایین توان تولیدی ژنراتورها، نرخ شیب تغییرات توان و نواحی ممنوعه‌ تولید است ]1[.

پخش بار اقتصادی در سیستم قدرت دارای دو مبحث متداول پخش بار اقتصادی استاتیکی و پخش بار اقتصادی دینامیکی است. پخش بار اقتصادی استاتیکی به حل بهینه‌ مسأله‌ مورد نظر در یک بازه‌ زمانی خاص می‌پردازد ]2[؛ در حالی‌که پخش بار اقتصادی دینامیکی مسأله را در فواصل زمانی پیوسته و متعدد حل می‌کند. در نتیجه فرآیند محاسبات در حالت دینامیکی پیچیده‌تر از حالت استاتیکی است؛ اما نتایج محاسبات تطابق بیشتری با نیازهای واقعی در سیستم‌های قدرت امروزی دارد ]4-3[.

به دلیل چالش‌های زیست محیطی به وجود آمده در سال‌های اخیر و به‌تبع آن گرم شدن کره ‏زمین، در بسیاری از کشورها کوشش‌های بسیاری به‌منظور کاهش آلاینده‌های زیست محیطی انجام شده‏ است. یکی از مهمترین این فعالیت‌ها جایگزینی انرژی‌های تجدیدپذیر به‌جای سوخت‌های فسیلی است. یکی از منابع انرژی‌های تجدیدپذیر که در سال‌های اخیر توجه بسیاری را به سمت خود جلب نموده است انرژی باد است. از فواید انرژی باد می‌توان به آلوده نکردن محیط زیست، هزینه تعمیر و نگهداری بسیار کم و همچنین، هزینه سرمایه‌گذاری مناسب و تا حدودی کم برای احداث این نوع نیروگاه‌ها (در مقایسه با دیگر منابع انرژی تجدیدپذیر) اشاره کرد. گرچه به‌دلیل ماهیت تصادفی و عدم قطعیت سرعت باد، حل مسأله ‏پخش بار اقتصادی در شبکه ‏قدرت با مشارکت واحدهای بادی با مشکلات و پیچیدگی‌هایی همراه است.

اولین مشکل مرتبط با مسأله ‏مورد نظر (پخش بار اقتصادی دینامیک با مشارکت واحدهای بادی) مدل‌سازی ماهیت تصادفی سرعت باد و پیش‌بینی توان نیروگاه بادی در بازه‌های زمانی مختلف است. تاکنون روش‌های مختلفی به‌منظور‌ پیش‌بینی سرعت باد از جمله منطق فازی ]5[، شبکه‌های عصبی ]6[، سری‌های زمانی ]7[ و سایر آن استفاده شده است. خطای پیش‌بینی نیز معمولاً از قانون گاوس ]10- 8[ یا توزیع بتا ]12-11[ پیروی می‌کند.

دومین مشکل، مدل کردن و گنجاندن خطای پیش‌بینی واحدهای بادی در پخش بار اقتصادی دینامیکی است. روش‌های متعددی در پژوهش‏های‏ انجام شده‏ برای مسأله ‏یاد شده‏ پیشنهاد شده است. مراجع ]13[ روش تولید سناریو (و کاهش آن)، ]14[ از یک مدل فازی و ]15[ از برنامه‌ریزی تصادفی مبتنی بر شانس برای مدل‌سازی عدم قطعیت نیروگاه‌های بادی استفاده کرده‌اند. در مرجع ]16[ نیز عدم قطعیت تولید واحدهای بادی را با وارد کردن عامل‏هایی در مدل پخش بار اقتصادی برای تخمین مازاد/ کمبود تولید واحدهای بادی مدل نموده است. مرجع یاد شده‏ به‌ طور گسترده‌ای در پژوهش‏های انجام شده‏ در پخش بار اقتصادی دینامیکی مشتمل بر واحدهای بادی (و از جمله در مقاله حاضر) استفاده شده است. مرجع ]17[ نیز یک توزیع احتمالی جدید و غیر متداول "Versatile probability distribution" برای مدل‌سازی دقیق‌تر عدم قطعیت واحد‌های بادی معرفی کرده است.

در مقالات بسیاری نشان داده شده است که سرعت باد از تابع توزیع احتمالی ویبول پیروی می‌کند ]18[.در این مقاله نیز مدل استفاده شده برای سرعت باد، بر مبنای توزیع احتمالی ویبول است که با استفاده از یک تبدیل، تابع توزیع احتمالی سرعت باد به تابع توزیع احتمالی توان باد تبدیل شده است.

در حل مسأله ‏پخش بار اقتصادی روش‌های بهینه‌سازی را می‌توان به سه دسته ‏اصلی طبقه‌بندی کرد: دسته ‏اول روش‌های مبتنی بر برنامه‌ریزی ریاضی است که از جمله آن می‌توان به روش برنامه‌ریزی دینامیکی ]19[، روش لاگرانژ ]20[، روش نقطه ‏میانی ]21[ و سایر آن اشاره کرد. این روش‌ها تنها درصورتی قادر به حل مسأله‌ پخش بار اقتصادی هستند که تابع هزینه‌ سوخت،‌ دارای منحنی خطی پیوسته باشد. اما در عمل خطی بودن تابع هزینه سوخت که شرط لازم برای استفاده از این روش‌هاست،‌ برقرار نیست.

دسته ‏دوم روش‌های مبتنی بر هوش مصنوعی از قبیل شبکه‌های عصبی مصنوعی ]22[ و روش‌های بهینه‌سازی احتمالی از جمله الگوریتم ژنتیک ]23[، الگوریتم ازدحام ذرات ]24[، الگوریتم زنبورعسل ]25[ و سایر آن است. از توانایی بارز این الگوریتم‌ها می‌توان به استفاده از جستجوی احتمالی به جای روش‌های صریح، بدون کم‏ترین محدودیتی روی شکل تابع هدف و در نتیجه به دست آوردن راه حل‌های بهینه ‏سراسری اشاره کرد. ویژگی ‏خاصی که این‌گونه الگوریتم‌ها در حل مسائل بهینه‌سازی دارند آن است که این روش‌ها بدون داشتن اطلاعات خاص از مسأله و یا نیاز به شرایط خاصی از فضای جواب مانند همواری، محدب و تک مقدار بودن، کارایی بالایی در حل مسائل دارند. همچنین، از معایب این‌گونه روش‌ها می‌توان به طولانی‌تر شدن زمان محاسبات و دارا بودن شاخص‏های وابسته به مسأله نام برد.

دسته ‏سوم شامل روش‌های ترکیبی است که در آن از ترکیب دو یا چند روش به‌منظور رسیدن به ویژگی‌های بهتر استفاده می‌شود که از جمله آن می‌توان به‌ترکیب روش‌های تکاملی با برنامه‌ریزی درجه دوم ترتیبی ]26[، بهینه‌سازی ازدحام ذرات با برنامه‌ریزی درجه دوم ترتیبی ]27[، شبکه ‏عصبی هاپفیلد با برنامه‌ریزی درجه دوم ]28[ و سایر آن اشاره کرد. در روش‌های مبتنی بر برنامه‌ریزی ریاضی، تابع هزینه مسطح و محدب فرض می‌شود. بنابراین، این روش‌ها برای حل بهینه ‏پخش بار اقتصادی با در نظر گرفتن آثار شیر بخار یا نواحی ممنوعه ‏تولید مناسب نیستند؛ بنابراین، به‌منظور توسعه روش‌های مناسب‌تر در مسأله ‏پخش بار اقتصادی با توابع غیرمسطح و غیرمحدب، روش‏های هوش مصنوعی از جمله شبکه‌های عصبی مصنوعی، روش‌های بهینه‌سازی هوشمند و روش‌های ترکیبی به کار گرفته شده‌اند.

در این مقاله برای حل مسأله ‏پخش بار اقتصادی دینامیکی با مشارکت واحدهای بادی، الگوریتم بهینه‌سازی ازدحام ذرات هم‌تکاملی اصلاح شده[1] (MCPSO) پیشنهاد شده است. در روش پیشنهادی، الگوریتم PSO هم‌زمان 2 جمعیت را برای فرآیند حل مسأله به کار می‌گیرد؛ طوری‌که یکی از جمعیت‌ها برای محاسبه ‏ضرایب جریمه (فرآیند مقیدسازی) و دیگری برای یافتن پاسخ‌های مسأله (فرآیند بهینه‌سازی) استفاده می‌شود. همچنین، الگوریتم پیشنهادی با اصلاحاتی از جمله استفاده از یک ضریب اینرسی که به‌طور خطی در طول شبیه‌سازی کاهش می‌یابد معرفی شده است.

مقاله ‏حاضر، در ادامه به‌ شکل زیر تدوین شده است: در بخش دوم، مدل‌سازی هزینه ‏واحدهای حرارتی و واحدهای بادی بیان شده است. در بخش سوم قیود مسأله ‏بهینه‌سازی بحث شده‌است. در بخش چهارم، الگوریتم بهینه‌سازی ازدحام ذرات هم‌تکاملی اصلاح شده معرفی شده است. در بخش پنجم نتایج به‌دست آمده بیان و با دیگر روش‌ها مقایسه شده و در بخش ششم نیز به نتیجه‌گیری پرداخته شده است.

 

1- مدل‌سازی مسأله

1-1- مدل‌سازی هزینه ‏سوخت واحدهای حرارتی

در مسأله‌ پخش بار اقتصادی هزینه‌ کل واحدهای حرارتی به‌ شکل تابعی درجه دوم برحسب توان حقیقی تولید شده توسط هر واحد طبق رابطه ‏1 بیان می‌شود:

(1)

 

که در آن: هزینه‌ی کل تولید توان در بازه ‏زمانی مورد مطالعه ()؛ تعداد واحدهای حرارتی نیروگاهی و ، و ضرایب هزینه‌ واحدام هستند.

اگر در واحدهای حرارتی اثر شیر بخار در نظر گرفته شود تابع هزینه‌ تولید ماهیتی ناصاف به خود می‌گیرد ]29[. اثر شیر بخار به‌ شکل زیر نمایش داده می‌شود:

 

(2)

که در آن و ضرایب مربوط به اثر شیر بخار و  حد پایین توان تولیدی ژنراتورام است.

 

1-2- مدل‌سازی هزینه ‏آلودگی واحدهای حرارتی

مقدار آلودگی ایجاد شده واحدهای حرارتی به میزان توان تولید شده و شرایط واحد تولیدی بستگی دارد. هزینه‌ کل آلودگی واحدهای حرارتی در بازه ‏زمانی مورد مطالعه () به شکل زیر بیان می‌شود ]30[:

 

(3)

که در آن ، ، ،  و  ضرایب آلودگی مربوط به واحد حرارتیام هستند.

 

1-3- مدل‌سازی هزینه ‏واحدهای بادی

با توجه به اثرات ایجاد شده در سیستم قدرت به واسطه ‏عدم قطعیت انرژی باد، هزینه ‏واحدهای بادی را می‌توان در سه حالت بررسی کرد ]16[:

حالت اول: اگر توربین‌های بادی در مالکیت اپراتور سیستم نباشد، هزینه ‏پرداخت شده به مالک توربین بادی می‌تواند به عنوان هزینه ‏مورد انتظار در نظر گرفته شود. هزینه ‏مورد انتظار با خروجی برنامه‌ریزی شده ‏واحد بادی متناسب است و مقدار آن () در بازه ‏زمانی برنامه‌ریزی (T) از رابطه ‏زیر محاسبه می‌شود ]16[:

(4)

 

که در آن تعداد واحدهای بادی؛ و به‌ترتیب ضریب هزینه‌ و توان برنامه‌ریزی شده ‏واحد بادیام هستند. اگر توربین‌های بادی به اپراتور سیستم تعلق داشته باشند ضریب  صفر در نظر گرفته می‌شود.

حالت دوم: در صورتی که توان خروجی واحد بادی در بازه ‏زمانیام از مقدار تخیمن زده شده بیشتر باشد، از تمام توان باد نمی‌توان استفاده کرد. بنابراین، ناگزیر مقداری از توان تولیدی تلف خواهد شد. به علت حفظ تعادل توان در شبکه با پخش بار مجدد سریع می‌توان تولید واحدهای دیگر را کاهش داد، در غیر این‌صورت باید با اتصال مقاومت‌های مجازی توان اضافی را تلف کرد. هزینه ‏این حالت می‌تواند با اضافه کردن تابع هزینه ‏ به تابع هزینه ‏کل نشان داده شود. تابع هزینه ‏جریمه در این حالت به طور مستقیم به اختلاف بین توان بادی برنامه‌ریزی شده و توان خروجی واقعی واحد بادی مرتبط است. تابع هزینه ‏مورد نظر () را به ‌شکل زیر می‌توان در نظر گرفت]16[:

(5)

 

 

که در آن ، ، و به‌ترتیب ضریب جریمه (به علت تولید بیش از مقدار برنامه‌ریزی شده)، توان نامی، توان برنامه‌ریزی شده‌ و تابع چگالی احتمال واحد بادی ام در بازه ‏زمانی مورد مطالعه () هستند.

همچنین، تابع چگالی احتمال توان خروجی توربین بادی () از رابطه ‏زیر محاسبه می‌شود ]16[:

(6)

 

 

که در آن توان خروجی واحد بادی؛  سرعت باد؛  نسبت توان خروجی به توان نامی باد و  نیز نسبت محدوده‌ی خطی سرعت باد به سرعت وصل توربین بادی است.

حالت سوم: در صورتی که توان خروجی واحد بادی از مقدار تخیمن زده شده کمتر باشد، به‌منظور تعادل توان تولیدی و مصرفی به ناچار میزان استفاده از ظرفیت توان رزرو گردان افزایش خواهد یافت، این هزینه که با  نشان داده می‌شود. به اختلاف بین توان بادی برنامه‌ریزی شده و توان خروجی واقعی واحد بادی مرتبط است و طبق رابطه ‏زیر قابل محاسبه است ]16[:

(7)

 

 

که در آن ضریب جریمه ‏توربین بادیام (به علت تولید کمتر از مقدار برنامه‌ریزی شده) است.

با توجه به مطالب مطرح شده در مورد هزینه ‏واحدهای حرارتی و بادی، تابع بهینه‌سازی مسأله در بازه ‏زمانی برنامه‌ریزی (T) به‌شکل زیر خواهد بود ]32و31[:

(8)

 

 

2- قیود مسأله

2-1- قید تعادل توان تولیدی و مصرفی

لازم است در هر لحظه از فعالیت سیستم قدرت، مجموع توان مصرفی و تلفات برابر با توان تولید شده توسط ژنراتورها باشد.

(9)

 

که در آن  توان مورد تقاضا و  تلفات سیستم است. تلفات سیستم تابعی از توان تولیدی ژنراتورهاست که مقدار آن با استفاده از رابطه ‏زیر قابل محاسبه است:

(10)

 

 

که در آن ،  و  ضرایب تابع تلفات شبکه‌ هستند.

 

2-2- قید حد بالا و پایین توان تولیدی

در هر لحظه از فعالیت سیستم قدرت توان تولیدی هر واحد تولیدی نباید از حد بالا و پایین آن تجاوز کند، این محدودیت با نامساوی زیر بیان می‌شود:

 

(11)

 

که در آن  و  به‌ترتیب حد بالا و پایین توان تولیدی واحدهای حرارتی است.

 

2-3- قید مربوط به نرخ شیب تغییر تولید

برای جلوگیری از فشار به دیگ بخار و سایر تجهیزات محفظه‌ی احتراق، نرخ تغییر توان خروجی هر ژنراتور باید در محدوده‌ قابل قبولی باشد ]33[. معادله‌‌ مربوط به این قید به‌شکل زیر بیان می‌شود:

(12)

 

که در آن  توان تولیدی واحدام در زمان  و  و  به‌ترتیب شیب پایین و بالای تغییر توان واحدام هستند.

 

2-4- نواحی ممنوعه‌ی تولید

در برخی ژنراتورها به علت محدودیت‌های اجزای ماشین و نگرانی از ناپایداری، ژنراتورها نمی‌توانند در تمامی بازه‌ بین حداقل و حداکثر خود توان تولید کنند ]34[، این محدودیت به‌شکل زیر بیان می‌شود:

 

(13)

 

که در آن  و  به ترتیب حد بالا و پایینامین ناحیه‌ ممنوعه‌ تولید مربوط به ژنراتورام و نیز تعداد نواحی ممنوعه ‏تولید است.

 

3- الگوریتم بهینه‌سازی ازدحام ذرات هم‌تکاملی اصلاح شده (MCPSO)

3-1- الگوریتم استاندارد بهینه‌سازی ازدحام ذرات (PSO)

الگوریتم بهینه‌سازی ازدحام ذرات (PSO) از جمله ‏الگوریتم‌های ابتکاری محسوب می‌شود که در سال 1995 توسط راسل ابرهارت و جیمز کندی ارایه شد ]35[. نحوه ‏عملکرد الگوریتم بدین شکل است که ابتدا الگوریتم با یک گروه از جواب‌های تصادفی (ذره‌ها) که به‌شکل نقاطی در فضای جستجو پخش شده‌اند شروع به کار می‌کند. در مرحله ‏بعد هر ذره مقدار تابع را در موقعیتی از فضا که در آن قرار دارد محاسبه می‌کند و با استفاده از ترکیب اطلاعات محل فعلی و بهترین محلی که تاکنون در آن بوده () و همچنین، بهترین موقعیت کشف شده در کل ذرات ()، برای حرکت خویش را تعیین می‌کند. این مرحله تا رسیدن به هدف چندین بار تکرار می‌شود. در هر تکرار، الگوریتم بعد از یافتن دو مقدار و‏، سرعت و مکان جدید هر ذره را طبق روابط 14 و 15 به‌روز می‌کند و این عمل تا زمانی که شرایط خاتمه (از جمله زمان، تعداد تکرار و اندازه ‏خطا) محقق شود ادامه می‌یابد.

(14)

 

(15)

 

طوری‌که،: سرعت ذره‌یام در تکرارام؛ و: عدد تصادفی بین 0و 1؛ : مکان ذره‌یام در تکرار ام ؛  و : ضرایب تسریع و ضریب اینرسی است.

 

3-2- اصلاحات انجام شده روی الگوریتم PSO

الگوریتم PSO دارای انعطاف‌پذیری بالا در جستجوی نقاط بهینه ‏محلی و سراسری است. در نسخه ‏اصلی PSO، الگوریتم به ویژه در مسائلی با بهینه‌های ‏محلی متعدد از همگرایی زودهنگام رنج می‌برد. بنابراین، در این مقاله اصلاحاتی روی نسخه ‏اصلی به‌منظور بهبود عملکرد آن اعمال شده است.

یکی از مهم‌ترین اصلاحات انجام شده روی الگوریتم PSO معرفی شده، ضریب وزن اینرسی (w) اعمال شده روی الگوریتم است. ضریب وزن اینرسی نقشی مهم در همگرایی الگوریتم PSO دارد و شاخصی است که به‌منظور تاثیر سوابق سرعت‌های پیشین بر سرعت‏های جاری استفاده می‏شود. بنابراین، شاخص  w قابلیت ذرات را در اکتشاف مناطق بهینه ‏محلی و سراسری و به تبع آن استخراج جواب بهینه تنظیم می‌کند. در نسخه ‏اصلی PSO به‌روز نمودن سرعت ذرات با قرار دادن  حاصل می‌شود. اما نتایج تجربی نشان داده است که در ابتدای فرآیند بهینه‌سازی، برای بهبود اکتشاف سراسری در فضای جستجو مقادیر بزرگ‌تری برای در نظر گرفته شود و به تدریج برای به‌دست آوردن پاسخ بهینه از مقدار آن کاسته شود ]36[. برای حصول ضریب اینرسی (w) که به طور خطی در طول شبیه‌سازی از 9/0 به 4/0 کاهش یابد از رابطه‏ زیر استفاده شده است:

(16)

 

 

طوری‌که در آن، : تعداد تکرار؛ : ضریب اینرسی در تکرارام؛ : ضریب اینرسی مینیمم (نهایی)؛ : ضریب اینرسی ماکزیمم (ابتدایی) و : ماکزیمم تکرار هستند.

همچنین، یکی دیگر از اصلاحات انجام شده در این مقاله، استفاده از ضریب انقباض است، که در نسخه ‏اصلی الگوریتم PSO وجود ندارد و طبق رابطه ‏زیر تعریف شده است ]37[:

(17)

 

 

طوری‌که:

      &     05/2    1/4

بنابراین، معادله 15 به‌شکل زیر بازنویسی می‌شود:

(18)

 

 

3-3- الگوریتم بهینه‌سازی ازدحام ذرات هم‌تکاملی (CPSO)

در حل مسائل مقید، روش تابع جریمه به علت سادگی و اجرای آسان یکی از پرکاربردترین روش‌هاست، بر همین اساس در این مقاله، از روش تابع جریمه به‌منظور مدیریت قیود مسأله استفاده شده است. با توجه به اینکه در این روش یافتن ضرایب جریمه ‏مناسب دشوار است، در اکثر مطالعات ضرایب جریمه به‌شکل سعی و خطا تعیین می‌شود. در این مقاله، از روش هم‌تکاملی که روی الگوریتم اجرا شده به‌منظور مدیریت قیود مسأله استفاده شده است ]38[. در روش پیشنهادی (الگوریتم بهینه‌سازی ازدحام ذرات هم‌تکاملی اصلاح شده) به‌منظور حل مسأله ‏بهینه‌سازی، هم‌زمان از دو جمعیت جهت فرآیند حل مسأله استفاده می‌شود. اصول عملکرد روش پیشنهادی در شکل 1 نشان داده شده است. همان‌طور که در شکل 1 مشخص است یکی از جمعیت‌ها که به وسیله ‏ نشان داده شده است و دارای  عنصر تکی است، برای ایجاد ضرایب جریمه ‏مناسب به کار می‌رود. دیگر جمعیت که با  نمایش داده شده است و هر کدام از آن‌ها دارای اندازه‌ هستند، به‌شکل موازی برای یافتن پاسخ‌های مناسب به کار گرفته می‌شوند. هر ذره‌ در  معرف مجموعه‌ای از ضرایب جریمه برای ذرات  است که هرکدام از آن‌ها معرف یک پاسخ هستند.

در هر مرحله از فرآیند، جمعیت  به وسیله ‏الگوریتم  برای تعداد مشخصی تکرار () با جمعیت ذرات در  به عنوان ضرایب جریمه ارزیابی می‌شود. سپس، برازندگی هر ذره‌ در تعیین خواهد شد. پس از اینکه تمام ذرات در  ارزیابی شدند،  به وسیله ‏الگوریتم  برای ایجاد  جدید ارزیابی خواهد شد. فرآیند هم‌تکاملی تا زمانی که یکی از شرایط خاتمه (زمان، تعداد تکرار، اندازه ‏خطا و ...) محقق شود ادامه می‌یابد.

 

 

شکل 1- نمایش گرافیکی فرآیند هم‌تکاملی ]38[

 

3-4- تابع ارزیابی

در این مقاله، به‌منظور طراحی تابع تابع جریمه از روش پیشنهاد شده در مرجع ]39[ استفاده شده است. در این روش ذره‌ام در  در الگوریتم CPSO توسط فرمول 24 ارزیابی می‌شود.

(19)

 

 

طوری‌که  مقدار ذره‌یام؛  مجموع همه ‏مقادیر تخطی شده از قیود؛  تعداد تخطی قیود؛  و  ضرایب جریمه ‏متناظر با ذره ‏ در  هستند.

مقدار از رابطه ‏زیر قابل محاسبه است:

 

(20)

 

طوری‌که تعداد قیود نامساوی مسأله است.

 

3-5- تابع ارزیابی

هر ذره در  به وسیله ‏مجموعه‌ای از ضرایب جریمه معرفی می‌شود‌ پس از اینکه  برای تعداد مشخصی تکرار () ارزیابی شد، ذره‌یام در  به‌شکل زیر محاسبه می‌شود:

1- اگر حداقل یک پاسخ قابل قبول در  وجود داشته باشد، ذره‌ که ذره‌ای معتبر (موجه) نامیده می‌شود از رابطه ‏‌زیر قابل محاسبه است:

(21)

 

 

طوری‌که  نشان دهنده ‏مجموع مقادیر تابع هدف برای پاسخ‌های معتبر در  و  تعداد پاسخ‌های موجه در  است.

2- اگر پاسخ معتبری در  وجود نداشته باشد، ذره‌ در  که ذره‌ای نامعتبر (ناموجه) نامیده می‌شود از رابطه ‏‌زیر قابل محاسبه است:

(22)

 

 

طوری‌که نشان دهنده ‏برازندگی ماکزیمم همه ‏ذرات موجه در ؛  نشان دهنده ‏مجموع تخطی قیود برای همه ‏ذرات  و  تعداد کل تخطی قیود برای همه ‏ذرات در  است.

 

4- نتایج عددی سیستم‌های مورد مطالعه

در این قسمت نتایج حاصل از اعمال الگوریتم پیشنهادی روی سه سیستم آزمون‏ ارایه شده است. تمام شبیه‌سازی‌ها با استفاده از نرم‌افزار R2012a MATLAB روی رایانه ‏شخصیPentium IV با ویژگی‏های
 Core 2 Duo-2.9GHz CPU: و 3.25GB RAM:
انجام شده است.

 

4-1- سیستم 1: شامل 13 واحد حرارتی

اولین سیستم مورد بررسی دارای 13 ژنراتور است ]40[. در این سیستم اثر شیرهای بخار و محدودیت بالا و پایین توان تولیدی هر واحد در نظر گرفته شده‌اند. در جدول 1، توان خروجی هریک از واحدها برحسب مگاوات و هزینه ‏کل گزارش شده است. در جدول (2)، نتایج به دست آمده از لحاظ هزینه ‏مینیمم، هزینه ‏میانگین و هزینه ‏ماکزیمم در 50 بار اجرای الگوریتم با چندین روش دیگر در مقالات اخیر مقایسه شده است. نمودار همگرایی الگوریتم پیشنهادی در حل مسأله ‏موردنظر نیز در شکل (2) نشان داده شده است.

 

جدول (1): نتایج به‌دست آمده (سیستم 1)

Proposed

ORCCRO [42]

SDE [41]

Unit (MW)

32/628

32/628

32/928

1

20/299

20/299

20/299

2

20/299

20/299

20/299

3

7331/159

73/159

73/159

4

7331/159

73/159

73/159

5

7331/159

73/159

73/159

6

7331/159

73/159

73/159

7

7331/159

73/159

73/159

8

7331/159

73/159

73/159

9

3991/77

40/77

40/77

10

062/112

14/112

12/113

11

40/92

40/92

40/92

12

40/92

40/92

40/92

13

2520

2520

2520

Total (MW)

8941/24513

91/24513

88/24514

Cost ($)

3796/39

43/39

43/40

Loss (MW)

 

جدول (2): مقایسه ‏نتایج (سیستم 1)

Maximum cost ($)

Average cost ($)

Minimum cost ($)

Algorithm

45/24589

06/24540

06/24540

ICA-PSO [43]

98/24515

97/24514

97/24514

DE-BBO [44]

-

31/24516

88/24514

SDE [41]

91/24513

91/24513

91/24513

ORCCRO [42]

9087/24513

9013/24513

8941/24513

Proposed

 

4-2- سیستم 2: شامل 40 واحد حرارتی

دومین سیستم آزمون‏ مورد بررسی دارای 40 ژنراتور است ]45[. در این سیستم اثر شیرهای بخار، محدودیت بالا و پایین توان تولیدی هر واحد و نواحی ممنوعه ‏تولید در نظر گرفته شده‌اند. در جدول (3)، توان خروجی هریک از واحدها برحسب مگاوات و هزینه ‏کل گزارش شده است. در جدول (4)، نتایج به‌دست آمده از لحاظ هزینه ‏مینیمم، هزینه ‏میانگین و هزینه ‏ماکزیمم در 100 بار اجرای الگوریتم با چندین روش دیگر در مقالات اخیر مقایسه شده است. نمودار همگرایی الگوریتم پیشنهادی در حل مسأله ‏مورد نظر نیز در شکل (3) نشان داده شده است.

 

جدول (3): نتایج به‌دست آمده (سیستم 2)

Generation (MW)

Unit

Generation (MW)

Unit

279/523

21

81/110

1

279/523

22

81/110

2

279/523

23

4/97

3

279/523

24

733/179

4

279/523

25

798/87

5

279/523

26

14/140

6

10

27

57/259

7

10

28

599/284

8

10

29

599/284

9

7999/87

30

130

10

190

31

94

11

190

32

94

12

190

33

7595/214

13

7998/164

34

2799/394

14

27/194

35

2799/394

15

200

36

2799/394

16

110

37

285/489

17

110

38

285/489

18

110

39

279/511

19

2776/511

40

279/511

20

09/121412

Cost ($)

 

 

 

 

 

 

 

جدول (4): مقایسه ‏نتایج (سیستم 2)

Maximum cost ($)

Average cost ($)

Minimum cost ($)

Algorithm

52/121842

093/121783

73/121719

FAPSO [46]

047/124663

4819/124126

45/123861

PSO [46]

4582/121477

9822/121468

4156/121460

KHA-I [47]

3895/121461

6799/121453

3643/121448

KHA-II [47]

5631/121433

2263/121428

4557/121423

KHA-III [47]

0042/121415

1454/121413

5991/121412

KHA-IV [47]

5329/121414

8624/121412

09/121412

Proposed

 

 

شکل (2): نمودار همگرایی الگوریتم پیشنهادی (سیستم 1)

 

 

 

شکل (3): نمودار همگرایی الگوریتم پیشنهادی (سیستم 2)

 

4-3- سیستم 3: شامل 6 واحد حرارتی و 2 مزرعه ‏بادی

در این قسمت، الگوریتم MCPSO پیشنهاد شده روی سیستم نمونه ‏IEEE با 6 واحد حرارتی، 2 مزرعه ‏بادی، 30 باس و 41 خط انتقال، اعمال شده است] 32[.

 

نتایج پخش بار اقتصادی با و بدون در نظر گرفتن هزینه ‏آلودگی با مشارکت واحدهای بادی

در این قسمت، با استفاده از ویژگی‏های سرعت باد که در جدول (5) یاد شده است (مرجع ]32[)؛ از نتایج پیش‌بینی توان باد که توسط تابع ویبول در این پژوهش به‌دست آمده استفاده شده است. نتایج پیش‌بینی توان هریک از مزارع بادی نیز در جدول (6) یاد شده است. همچنین، به‌منظور به دست آوردن پاسخ‌های پخش‌بار اقتصادی برای حل مسأله، در الگوریتم پیشنهادی اندازه ‏جمعیت 100 و تعداد تکرار نیز 500 قرار داده شده است. نتایج به دست آمده نیز در جدول‌ (7) یاد شده‌ است.

 

 

 

جدول (5): شاخص‏های مربوط به واحدهای بادی

                 

No

Model

Plant

30

5

0

3

16

25

4

8862/1

6024/4

30

Vestas

 

20

5

0

3

13

25

3

7128/1

4363/4

20

Sinovel

 

 

جدول (6): مقادیر پیش‌بینی شده ‏توان خروجی مزرعه‌های بادی با استفاده از تابع ویبول

حالت سوم و ششم و نهم

حالت دوم و پنجم و هشتم

حالت اول و چهارم و هفتم

 

5/16

21

5/13

 

14

5/7

11

 

 

جدول(7): پاسخ‌های پخش بار اقتصادی با مشارکت واحدهای بادی با و بدون در نظر گرفتن هزینه ‏آلودگی

حالت 3:

حالت 2:

حالت 1:

 

با آلودگی

بدون آلودگی

با آلودگی

بدون آلودگی

با آلودگی

بدون آلودگی

54/30

03/102

29/60

05/95

12/50

15/105

 

97/20

12/91

14/21

58/97

23/20

78/99

 

16/599

51/579

27/572

21/597

70/569

28/580

 

25/464

74/449

74/474

14/332

09/340

04/207

 

25/365

25/264

32/130

47/159

65/110

35/127

 

02/40

86/44

07/43

55/45

72/40

47/41

 

74/28

04/15

28/47

53/20

24/9

08/10

 

07/51

45/53

89/50

47/52

04/45

85/28

 

1600

1600

1400

1400

1200

1200

Total (MW)

35/57621

98/36818

41/52597

71/32259

17/48319

13/29013

Cost ($)


پخش بار اقتصادی با مشارکت واحدهای بادی با در نظر گرفتن هزینه ‏آلودگی و بدون آن

در این قسمت به‌منظور مقایسه ‏پاسخ‌های به دست آمده از روش پیشنهاد شده با نتایج مرجع ]32[، از نتایج پیش‌بینی شده ‏توان بادی در مرجع یاد شده‏ استفاده شده است. همچنین، به‌منظور اجرای الگوریتم پیشنهادی اندازه ‏جمعیت 100 و تعداد تکرار نیز 500 قرار داده شده است. نتایج به دست آمده که در جدول‌های (8) و (9) یاد شده‌اند گویای برتری الگوریتم پیشنهادی نسبت به الگوریتم مورد مقایسه در حل مسأله است. همان‌طور که مشخص است در این حالت (با مشارکت واحدهای بادی) قسمتی از توان تولیدی واحدهای حرارتی کاسته شده است و در نهایت، هزینه‌ و آلودگی کم‌تر نسبت به حالت بدون مشارکت واحدهای بادی داشته باشیم.

 

 

جدول (8): پاسخ‌های پخش بار اقتصادی با مشارکت واحدهای بادی بدون در نظر گرفتن هزینه ‏آلودگی

حالت 6:

حالت 5:

حالت 4:

Unit

QPSO [32]

MCPSO

QPSO [32]

MCPSO

QPSO [32]

MCPSO

27/95

12/100

39/94

36/98

56/103

13/108

 

95/97

45/95

53/96

30/95

09/99

08/99

 

87/568

03/575

24/594

34/599

66/567

13/575

 

13/452

13/458

46/319

86/330

64/211

94/209

 

23/266

50/259

16/177

72/161

05/138

35/125

 

52/49

70/41

95/43

12/40

25/40

53/42

 

91/10

32/25

80/15

80/15

318/8

565/6

 

12/59

78/44

47/58

47/58

42/31

311/33

 

1600

1600

1400

1400

1200

1200

Total (MW)

71/37601

36477

63/33259

32299

46/29513

29218

Cost ($)


 

 

 

جدول (9): پاسخ‌های پخش بار اقتصادی با مشارکت واحدهای بادی با در نظر گرفتن هزینه ‏آلودگی

حالت 9:

حالت 8:

حالت 7:

Unit

QPSO [32]

MCPSO

QPSO [32]

MCPSO

QPSO [32]

MCPSO

98/28

07/25

64/63

23/58

50/55

12/50

 

30/20

27/20

21/20

19/21

92/20

23/20

 

65/573

16/599

87/568

12/599

36/563

70/589

 

16/463

25/463

08/472

26/470

12/355

09/350

 

84/374

46/370

48/132

32/124

44/110

60/110

 

16/43

02/40

88/42

07/40

74/47

32/40

 

61/36

69/32

83/40

61/35

25/5

08/10

 

30/59

08/49

01/59

23/51

68/41

85/28

 

1600

1600

1400

1400

1200

1200

Total (MW)

21/57699

57326

70/52689

52368

42/48527

48323

Cost ($)

 

 

مقایسه ‏نتایج به‌دست آمده از روش پیشنهاد شده (MCPSO) با سایر روش‌ها

به‌منظور اثبات کارایی الگوریتم پیشنهادی نسبت به سایر الگوریتم‌ها (GA، PSO و QPSO) اندازه ‏جمعیت با گام‌های 25 تایی از 50 تا 150 تغییر داده و میانگین پاسخ‌های به دست آمده در 100 اجرای مستقل در جدول (10) نشان داده شده است. شایان ذکر است نتایج مربوط به حالت هفتم (با در نظر گرفتن هزینه ‏آلودگی هوا) است. همان‌طور که مشخص است به کمک الگوریتم پیشنهادی می‌توان به پاسخ‌های بهتری (هزینه ‏کم‌تر) دست یافت.

 

جدول (10): مقایسه‌ نتایج به دست آمده از روش پیشنهاد شده با سایر روش‌ها

MCPSO

QPSO [32]

PSO [32]

GA [32]

Population

size

25/48856

17/48900

99/49115

77/49623

50

13/48756

66/48852

37/49081

52/49570

75

32/48698

94/48795

34/49054

65/49502

100

58/48679

53/48777

20/49031

93/49461

125

09/48654

38/48772

76/49022

91/49467

150

 

5- نتیجه‌گیری

در سال‌های اخیر، پژوهش‏ در زمینه ‏انرژی‌های نو به ویژه انرژی باد به دلیل هزینه ‏پایین تولید توان و همچنین، آلایندگی کمتر مورد توجه بسیاری از پژوهشگران قرار گرفته است. در این مقاله، روش جدیدی با ‌نام الگوریتم بهینه‌سازی ازدحام ذرات هم‌تکاملی اصلاح شده (MCPSO) برای یافتن پاسخ‌های سریع‌ و مناسب‌تر پخش بار اقتصادی دینامیک در یک سیستم قدرت مشتمل بر واحدهای حرارتی و مزارع بادی ارایه شد. در مسأله ‏مورد نظر قیود و شاخص‏هایی مانند نرخ شیب تغییرات توان واحدهای حرارتی، اثرات شیر بخار، نواحی ممنوعه ‏تولید، تلفات سیستم، هزینه آلودگی و نواحی ممنوعه تولید واحدهای حرارتی بررسی شده اند. عدم قطعیت تولید واحدهای بادی نیز با استفاده از توزیع احتمالی ویبول و تولید مازاد/کمبود واحدهای بادی از مقادیر مورد انتظار با در نظر گرفتن توابع جریمه مدل‌سازی شد.

کارآیی الگوریتم پیشنهادی روی 3 سیستم آزمون‏ IEEE که 2 سیستم آزمون‏ بدون مشارکت مزارع بادی و یک سیستم شامل شش واحد حرارتی و دو مزرعه ‏بادی است، نشان داده شده است. مقایسه نتایج بدست آمده از روش پیشنهادی با نتایج حاصل از روش‌های کلاسیک نظیر PSO، GA و QPSO بیانگر پاسخ‌های بهتر و سریع‌تر روش پیشنهادی در حالت‌های مختلف مانند در نظر گرفتن واحدهای بادی و هزینه آلودگی و بدون آن‏هاست.

شایان ذکر است از نتایج به‌دست آمده چنین استنباط می‌شود؛ اگرچه هزینه ‏جریمه ‏خطای پیش‌بینی توان بادی قابل توجه است اما با مشارکت مزارع بادی، هزینه ‏آلایندگی ناشی از واحدهای حرارتی و در نتیجه مجموع هزینه‌های سیستم کاهش می‌یابد. به‌علاوه خروجی متغیر واحدهای بادی بیانگر نیاز سیستم قدرت به توان ذخیره به ‌اندازه ‏کافی و یا تجهیزات ذخیره توان است و مؤلفین درصدد هستند در ادامه‌ کار به این موضوع بپردازند.



[1]تاریخ ارسال مقاله  : 24/2/1393

تاریخ پذیرش مقاله : 26/6/1393

نام نویسنده‌ی مسئول : علیرضا حاتمی

نشانی نویسنده‌ی مسئول : ایران – همدان – خیابان شهید فهمیده– دانشگاه بوعلی سینا – دانشکده‌ی مهندسی



1 Modified co-evolutionary particle swarm optimization

 

 

 

 

[1]          Wood, A. J., Wollenberg, B. F., Power generation operation and control, Wiley, New York, USA , 2nd edn, 1996.

[2]          Xia, X., Elaiw A., "Optimal dynamic economic dispatch of generation: a review", Elect. Power Syst. Res., Vol. 80, pp. 975–986, 2010.

[3]          Li, F., Morgan, R., Williams, D., "Hybrid genetic approaches to ramping rate constrained dynamic economic dispatch", Elect. Power Syst. Res., Vol. 43, pp. 97–103, 1997.

[4]          Pandi, V. R., Panigrahi, B. K., "Dynamic economic load dispatch using hybrid swarm intelligence based harmony search algorithm", Expert Syst. Appl., Vol. 38, pp. 8509–14, 2011.

[5]          Damousis, I. G., Alexiadis, M. C., Theocharis, J.B., Dokopoulos, P.S., "A fuzzy model for wind speed prediction and power generation in wind parks using spatial correlation", IEEE Trans. Energy Convers., Vol. 19, No. 2, pp. 3352–3361, 2004.

[6]          Li, S., Wunsch, D. C., O’Hair, E. A., Giesselmann, M. G., "Using neural networks to estimate wind turbine power generation", IEEE Trans. Energy Convers., Vol. 16, No. 3, pp. 276–282, 2001.

[7]          Brown, B. G., Katz, R. W., Murphy, A. H., "Time series models to simulate and forecast wind speed and wind power", J. Clim. Appl. Meterol., Vol. 23, pp. 1184–1195, 1984.

[8]          Doherty, R., O’Malley, M., "A new approach to quantify reserve demand in systems with significant installed wind capacity", IEEE Trans. Power Syst., Vol. 20, No. 2, pp. 587–595, 2005.

[9]          Bouffard, F., Galiana, F. D., "Stochastic security for operations planning with significant wind power generation", IEEE Trans. Power Syst., Vol. 23, No. 2, pp. 306–316, 2008.

[10]          Zhang, Z. S., Sun, Y. Z., Li, G. J., Cheng, L. Lin, J., "A solution of the economic dispatch problem considering wind power uncertainty", Autom. Elect. Power Syst., Vol. 35, No. 22, pp. 125–130, 2011.

[11]          Bofinger, S., Luig, A., Beyer, H. G., "Qualification of wind power forecasts", in Proc. Global Wind Power Conf., Paris, France, 2002.

[12]          Fabbri, A., Roman, T. G. S., Abbad, J. R., Quezada, V. H., "Assessment of the cost associated with wind generation prediction errors in a liberalized electricity market", IEEE Trans. Power Syst., Vol. 20, No. 3, pp. 1440–1446, 2005.

[13]          Pappala, V. S., Erlich, I., Rohrig, K., Dobschinski, J., "A stochastic model for the optimal operation of a wind-thermal power system", IEEE Trans. Power Syst., Vol. 24, No. 2, pp. 940–950, 2009.

[14]          Miranda, V., Hang, P. S., "Economic dispatch model with fuzzy wind constraints and attitudes of dispatchers", IEEE Trans. Power Syst., Vol. 20, No. 4, pp. 2143–2145, 2005.

[15]          Albadi, M. H., El-Saadany, E. F., "Comparative study on impacts of wind profiles on thermal units scheduling costs", IET Renew. Power Gener., Vol. 5, No. 1, pp. 26–35, 2011.

[16]          Hetzer, J., Yu, D. C., "An economic dispatch model incorporating wind power", IEEE Trans. Energy Convers., Vol. 29, pp. 603–611, 2008.

[17]          Zhang, Z. S., Sun, Y. Z., Gao, D. W., Lin, J., Cheng, L., "A Versatile Probability Distribution Model for Wind Power Forecast Errors and Its Application in Economic Dispatch", IEEE Trans. Power Syst., Vol.28, No.3, pp.3114-3125, 2013.

[18]          Patel, M. R., Wind and Solar Power Systems, Boca Raton, FL: CRC Press, 2006.

[19]          Shoults, R. R., Venkatesh, S. V., Helmick, S. D., Lolla, M. J., "A dynamic programming based method for developing dispatch curves when incremental heat rate curves are non-monotonically increasing", IEEE Trans. Power Syst., Vol. 1, No. 1, pp. 10-16 , 1986.

[20]          Hindi, K. S., Ghani, M. R., "Dynamic economic dispatch for large scale power systems: a Lagrangian relaxation approach", Int. J. Elect. Power Energy Syst., Vol. 13, No. 1, pp. 51–56, 1991.

[21]          Irisarri, G., Kimball, L. M., Clements, K.A., Bagchi, A. Davis, P. W., "Economic dispatch with network and ramping constraints via interior point methods", IEEE Trans. Power Syst., Vol. 13, No. 1, pp. 236–242, 1998.

[22]          Fukuyama, Y., Ueki, Y., "An application on neural network to dynamic dispatch using multi processors", IEEE Trans. Power Syst., Vol. 8, No. 4, pp. 1299–1307, 1994.

[23]          Li, F., Morgan, R., Williams, D., "Hybrid genetic approaches to ramping rate constrained dynamic economic dispatch", Elect. Power Syst. Res., Vol. 43, pp. 97–103, 1997.

[24]          Panigrahi, C. K., Chattopadhyay, P. K., Chakrabarti, R., "Load dispatch and PSO algorithm for DED control", Int. J. Autom. Control, Vol. 1, pp. 182–194, 2007.

[25]          Niknam, T., Mojarrad, H. D., Meymand, H. Z., Firouzi, B. B., "A new honey bee mating optimization algorithm for non-smooth economic dispatch", Energy, Vol. 36, pp. 896-908, 2011.

[26]          Attaviriyanupap, D., Kita, H., Tanaka, E., Hasegawa, J., "A hybrid EP and SQP for dynamic economic dispatch with nonsmooth incremental fuel cost function", IEEE Trans. Power Syst., Vol. 17, No. 2, pp. 411–416, 2002.

[27]          Victoire, T. A. A., Jeyakumar, A. E., "Deterministically guided PSO for dynamic dispatch considering valve-point effect", Elect. Power Syst. Res., Vol. 73, No. 3, pp. 313–322, 2005.

[28]          Abdelaziz, A. Y., Kamh, M. Z., Mekhamer, S.F., Badr, M. A. L., "A hybrid HNN-QP approach for dynamic economic dispatch problem", Elect. Power Syst. Res., Vol. 78, No. 10, pp. 1784–1788, 2008.

[29]          Hemamalini, S. Simon, S. P., "Dynamic economic dispatch using artificial immune system for units with valve-point effect", Elect. Power Energy Syst., Vol. 33, No. 4, pp. 868–874, 2011.

[30]          Gent, M. R., Lamont, J. W., "Minimum emission dispatch", IEEE Trans. PAS 90, pp. 2650–2660, 1971.

[31]          Peng, C., Sun, H., Guo, J., Liu, G., "Dynamic economic dispatch for wind-thermal power system using a novel bi-population chaotic differential evolution algorithm", International Journal of Electrical Power and Energy Systems, Vol. 42, No. 1, pp. 119-126, 2012.

[32]          Yao, F., Dong, Z. Y., Meng, K., Xu, Z., Iu, H. H. C. Wong, K. P., "Quantum-Inspired Particle Swarm Optimization for Power System Operations Considering Wind Power Uncertainty and Carbon Tax in Australia", IEEE Trans. Industrial Informatics, Vol. 8, No. 4, pp. 880-888, 2012.

[33]          Ross, D., Kim, S., "Dynamic economic dispatch of generation", IEEE Trans. Power Syst., Vol. 99, pp. 2060–2067, 1980.

[34]          Neto, J. X. V., de Andrade Bernert, D. L., dos Santos Coelho, L., "Improved quantum inspired evolutionary algorithm with diversity information applied to economic dispatch problem with prohibited operating zones", Energy Convers. Manage., Vol. 52, No. 1, pp. 8–14, 2011.

[35]          Kennedy, J., Eberhart, R., "Particle swarm optimization", In Proc. IEEE Int. Conf. Neural Netw., Perth, Australia, Vol. 4, pp. 1942–1948, 1995.

[36]          Abdelaziz, A. Y., Mohammed, F. M., Mekhamer, S. F., Badr, M. A. L., "Distribution Systems Reconfiguration using a modified particle swarm optimization algorithm", Electr. Power Syst. Res., Vol. 79, No. 11, pp. 1521-1530, 2009.

[37]          Clerc, M., Kennedy, J., "The particle swarm – explosion, stability, and convergence in a multidimensional complex space", IEEE Trans. Evol. Comput., Vol. 6, pp. 58–73, 2002.

[38]          He, Q., Wang, L., "An effective co-evolutionary particle swarm optimization for engineering optimization problems", Engineering Application of Artificial Intelligence, Vol. 20, pp. 89–99, 2007.

[39]          Richardson, J. T., Palmer, M. R., Liepins, G., Hilliard, M., "Some guidelines for genetic algorithms with penalty functions", In Proceedings of the Third International Conference on Genetic Algorithms, George Mason University, Morgan Kaufmann, pp. 191–197, 1989.

[40]          dos Santos Coelho, L., Mariani, V. C., "Combining of chaotic differential evolution and quadratic programming for economic dispatch optimization with valvepoint effect", IEEE Transactions on Power Systems. Vol. 21, No. 2, pp. 989–996, 2006.

[41]          Srinivasa Reddy, A., Vaisakh, K., "Shuffled differential evolution for large scale economic dispatch", Electric Power Syst Res. Vol. 96, pp. 237–245, 2013.

[42]          Bhattacharya, K., Bhattacharya, A., Sunita Halder nee Dey., "Oppositional Real Coded Chemical Reaction Optimization for different economic dispatch problems. Electrical Power and energy Systems", Vol. 55, pp. 378–391, 2014.

[43]          Vlachogiannis, J. G., Lee, K. Y., "Economic load dispatch – a comparative study on heuristic optimization techniques with an improved coordinated aggregation based PSO", IEEE Transactions on Power Systems. Vol. 24, No. 2, pp. 991–1001, 2009.

[44]          Bhattacharya, A., Chattopadhyay, P. K., "Hybrid differential evolution with biogeography-based optimization for solution of economic load dispatch", IEEE Transactions on Power Systems. Vol. 25, No. 4, pp. 1955–1964, 2010.

[45]          Sinha, N., Chakrabarthi, R., Chattopadhyay, P. K., "Evolutionary programming techniques for economic load dispatch", IEEE Transactions on evolutionary computation, Vol. 7, pp.83- 94, 2003.

[46]          Niknam, T., Mojarrad, H. D., Meymand, H. Z., "Non-smooth economic dispatch computation by fuzzy and self-adaptive particle swarm optimization", Appl Soft Compon, Vol. 11, No. 2, pp. 2805–2517, 2011.

[47]          Mandal, B., Kumar Roy, P., Mandal, S., "Economic load dispatch using krill herd algorithm. Electrical Power and energy Systems", Vol. 57, pp. 1–10, 2014.