ترکیب الگوریتم بهینه‌سازی کاوش باکتری با برنامه ریزی مربعی متوالی برای پخش بار اقتصادی دینامیکی با در نظر گرفتن اثرات نقطه شیر

نوع مقاله: مقاله علمی فارسی

نویسندگان

1 کارشناسی ارشد مهندسی برق قدرت

2 استاد، دانشکده فنی و مهندسی- دانشگاه شهید چمران- اهواز- ایران

چکیده

پخش بار اقتصادی دینامیکی با برنامه‌ریزی خروجی آنلاین ژنراتورها با تقاضاهای بار پیش‌بینی شده در بازه‌ی زمانی مشخص به منظور بیشترین عملکرد اقتصادی سیستم قدرت الکتریکی سر و کار دارد. این مقاله روشی ترکیبی الگوریتم بهینه‌سازی کاوش باکتری با برنامه‌ریزی مربعی متوالی برای حل مسئله‌ی پخش بار اقتصادی واحدهای تولیدی با در نظر گرفتن اثرات نقطه‌ی شیر را پیشنهاد می‌کند. این روش ترکیبی، بهینه‌سازی کاوش باکتری را به عنوان جستجوی سطح پایه که می‌تواند جهت‌یابی مناسبی به ناحیه‌ی بهینه داشته باشد و برنامه‌ریزی مربعی متوالی را به عنوان روال جستجوی محلی که برای تنظیم دقیق آن ناحیه برای رسیدن به حل نهایی به کار می‌رود، به کار می‌گیرد. نتایج عددی یک سیستم 10 واحدی برای نشان دادن عملکرد و کارایی روش پیشنهادی ارائه شده‌اند. نتایج به دست آمده از روش پیشنهادی با نتایج به دست آمده از ترکیب بهینه‌سازی جستجوی ذرات و برنامه‌ریزی مربعی متوالی و ترکیب برنامه‌ریزی تکاملی و برنامه‌ریزی مربعی متوالی مقایسه شده‌اند.

کلیدواژه‌ها


عنوان مقاله [English]

A hybrid Bacterial Foraging Optimization Algorithm and sequential quadratic programming method for dynamic economic dispatch considering the valve-point effects

نویسندگان [English]

  • Ehsan afzalan 1
  • mahmod Joorabian 2
1 1Department of electrical engineering, Faculty of Engineering, Shahid chamran University, Ahvaz, Iran
2 Department of electrical engineering, Faculty of Engineering, Shahid chamran University, Ahvaz, Iran
چکیده [English]

Dynamic economic dispatch deals with the scheduling of online generator outputs with predicted load demands over a certain period of time so that an electric power system operates most economically. This paper proposes a hybrid methodology integrating Bacterial Foraging Optimization Algorithm (BFOA) with sequential quadratic programming (SQP) for solving dynamic economic dispatch problem of generating units considering valve-point effects. This hybrid method incorporates Bacterial Foraging Optimization Algorithm as a base level search which can give a good direction to the optimal region and sequential quadratic programming as a local search procedure which is used to fine tune that region for achieving the final solution. Numerical results of a ten-unit system have been presented to demonstrate the performance and applicability of the proposed method. The results obtained from the proposed method are compared with those obtained from hybrid of particle swarm optimization and sequential quadratic programming and hybrid of evolutionary programming and sequential quadratic programming.

کلیدواژه‌ها [English]

  • A hybrid Bacterial Foraging Optimization Algorithm and sequential quadratic programming method for dynamic economic dispatch considering the valve
  • A hybrid Bacterial Foraging Optimization Algorithm and sequential quadratic programming method for dynamic economic dispatch considering the valve-point effects
  • point effects

پخش بار اقتصادی استاتیک [1](SED) تقاضای بار را برای بازه­ زمانی مشخص مابین واحدهای تولیدی در مدار به صورت اقتصادی اختصاص می­دهد و در عین حال، قیود مختلف را ارضا می­کند. پخش بار اقتصادی دینامیک [2](DED) که گسترشی از پخش بار اقتصادی استاتیک است، سهم بهینه­ تقاضای بار متغیر با زمان را مابین واحدهای در مدار تعیین می­کند. اپراتورهای نیروگاه­ها سعی می­کنند گرادیان­های دما و فشار درون بویلر و توربین را در حدود ایمن نگاه دارند تا از کاهش عمر تجهیزات جلوگیری نمایند. این قید مکانیکی حدی روی نرخ افزایش یا کاهش توان الکتریکی خروجی تحمیل می­نماید. این قید حد نرخ شیب نامیده می­شود که مساله­ DED را از SED متمایز می‌سازد. بنابراین، در DED تصمیم پخش بار در یک بازه زمانی بر تصمیم­ها در بازه­های زمانی بعدی تأثیر می­گذارد. پخش بار اقتصادی دینامیکی دقیق­ترین فرمول­بندی مسأله پخش بار اقتصادی است، ولی به دلیل ابعاد بالای خود، سخت­ترین مساله برای حل است. رقابت رو به افزایشی مابین بازارهای تولید عمده ایجاد شده است و نیاز است که بار هزینه افزایشی تحمیل شده بر روی عملکرد سیستم ناشی از حدود نرخ شیب ژنراتورها درک شود.

از زمان معرفی DED چندین روش کلاسیک [1-6] برای حل این مساله به کار بسته شده­اند. با وجود این، ممکن است همه­ این روش­ها قادر به پیدا کردن حل بهینه نباشند و اغلب  در یک حل بهینه­ محلی گیر می­کنند. روش‌های کلاسیک مبتنی بر حسابان، مساله­ DED را به تابع هزینه محدب ارجاع می­دهند، ولی در واقعیت توربین­های بخار بزرگ دارای تعدادی دریچه پذیرش بخار هستند که به سهم غیر محدب در تابع هزینه سوخت واحدهای تولیدی منجر می­شوند. برنامه­ریزی دینامیکی [3](DP) می­تواند چنین مسائلی را حل نماید، ولی از مشکل ابعاد بزرگ مسأله رنج می­برد.

اخیراً الگوریتم­های جستجوی تصادفی [7-11] از جمله: باز پخت شبیه­سازی شده [4](SA)، الگوریتم ژنتیک [5](GA)، برنامه­ریزی تکاملی [6](EP)، بهینه سازی جستجوی ذرات[7] (PSO) و تکامل دیفرانسیلی [8](DE) به دلیل توانایی خود برای یافتن حل نزدیک به پاسخ بهینه کلی مساله بهینه‌سازی غیر محدب، به صورت موفقیت آمیزی برای حل مسائل بهینه­سازی سیستم­های قدرت استفاده شده­اند. این روش­ها از قواعد احتمالی استفاده نموده، امکان بزرگی برای کاوش آزادانه­ فضای جستجو دارند. این روش‌ها همواره حل بهینه کلی را فراهم نمی­کنند، ولی اغلب حلی سریع و معقول فراهم می­آورند.

ازدحام اطلاعاتی [12-14] شاخه­ای از الگوریتم­های الهام گرفته از طبیعت است که روی عملکرد کلونی موجودات تمرکز می­کند تا برخی الگوریتم­های فرا اکتشافی را ایجاد نماید. الگوریتم بهینه­سازی مبتنی بر کاوش باکتری [9](BFOA) [15] عضو جدیدی از ازدحام اطلاعاتی است و از رفتار کاوشی اجتماعی باکتری Escherichia coli تقلید می­کند. روش BFOA به عنوان راه حلی به مشکلات و معایب ذکر شده پیشنهاد شده است. همچنین، به دلیل تکنیک­های پراکندگی و حذف منحصر به فرد خود می‌تواند نواحی مطلوب را هنگامی که جمعیت مورد بررسی کوچک است، پیدا کند. این قابلیت­های منحصر به فرد الگوریتم‌ها مشکل همگرایی نابهنگام را حل نموده و قابلیت جستجو را افزایش می­دهند. این الگوریتم ساده و مقاوم بوده ، قادر به حل مسائل ترکیبی مشکل است.

روش­های ترکیبی [18-20] که روش­های احتمالاتی و قطعی را ترکیب می­کنند، برای حل مسائل DED بسیار جذاب هستند. در روش­های ترکیبی، روش احتمالاتی به عنوان جستجوی سطح پایه به کار می­رود که جهت­یابی مناسبی به ناحیه­ بهینه کلی فراهم می­کند و روش قطعی برای تنظیم دقیق آن ناحیه به منظور رسیدن به حل نهایی به کار می­رود.

در این مقاله، روشی ترکیبی که الگوریتم مبتنی بر کاوش باکتری (BFOA) و برنامه­ریزی مربعی متوالی [10](SQP) را ترکیب می­کند، برای حل مسأله­ DED پیشنهاد شده است. هدف از ترکیب دو الگوریتم بهینه­سازی کاوش باکتری و برنامه­ریزی مربعی متوالی، یافتن روشی است که علاوه بر داشتن مزیت­های دو الگوریتم فوق، عیب ونقص­های این دو الگوریتم را نداشته باشد. قدرت بالا در جستجو و وابستگی زیاد عملکرد به انتخاب اولیه نقاط از مزایا و معایب الگوریتم برنامه­ریزی مربعی متوالی است. همچنین، از مزایا و معایب الگوریتم بهینه­سازی کاوش باکتری می­توان به یافتن بهترین جواب و سرعت پایین در رسیدن به همگرایی اشاره کرد. بنابراین، با ترکیب این دو الگوریتم، می­توان به روش هوشمندی دست یافت که علاوه بر عدم وابستگی به انتخاب اولیه نقاط، دارای قدرت و سرعت بالایی در همگرایی است. روش ترکیبی پیشنهادی از این قابلیت BFOA استفاده می­کند که می­تواند حتی زمانی که مسأله دارای تعداد زیادی حل­های بهینه­ محلی در شروع است، حل خوبی فراهم کند، و روش SQP که قابلیت جستجوی محلی دارد، برای یافتن حل نهایی به کار می­رود. برای نشان دادن کارایی روش ترکیبی پیشنهادی یک سیستم تست 10 واحدی با تابع هزینه­ سوخت ناهموار در این مقاله استفاده شده است. نتایج روش ترکیبی BFOA -SQP پیشنهادی با نتایج به دست آمده از ترکیب بهینه­سازی جستجوی ذرات و برنامه­ریزی مربعی متوالی (PSO-SQP) و ترکیب برنامه‌ریزی تکاملی و برنامه­ریزی مربعی متوالی (EP-SQP) مقایسه شده­اند.

 

1- فرمول‌بندی مسأله

به صورت نرمال مساله­ DED هزینه­ کل تولیدی زیر را برای واحدهای در مدار کمینه می­نماید:

(1)

                                                                     

 

که در آن Fit(Pit) تابع هزینه­ سوخت واحد i، Pti توان تولیدی واحدi،ai  ، bi و ci ضرایب هزینه­ سوخت واحد i هستند.

فرآیند باز شدن دریچه بخار در توربین­هایی که چندین دریچه بخار دارند، نمودار سرعت گرمایی توربین را موجدار می­کند و همچنین، موجب منفصل و غیرمحدب شدن تابع هدف می­شود. برای مدل کردن دقیق اثرات دریچه بخار، یک تابع سینوسی به تابع هزینه اضافه می­شود. بنابراین، تابع هزینه­ سوخت هر واحد با در نظر گرفتن اثر نقطه شیر [8] می­تواند به صورت زیر بیان شود:

(2)

    

 

که در آن di وei ضرایب ثابت هزینه­ سوخت واحد i با در نظر گرفتن اثرات نقطه­ شیر بوده و Pimin مینیمم توان تولیدی واحد i است.

به شرط قیود تساوی و نامساوی زیر برای t امین فاصله زمانی در افق برنامه­ریزی شده:

الف) تعادل توان اکتیو

(3)

    

 

که در آن PL کل تلفات توان حقیقی سیستم و PD تقاضای بار کل سیستم است.

ب) حدود عملکردی توان اکتیو

(4)

    

که در آن Pimax بیشینه­ توان تولیدی واحد i است.

ج) حدود نرخ شیب ژنراتورها

(5)

    

که در این روابط، URi و DRi  به ترتیب، حداکثر مقدار کاهش تولید و حد افزایش تولید نسبت به تولید ساعت قبل نیروگاه i ام است. همچنین،  مقدار توان تولیدی نیروگاه i ام در ساعت قبل است.

د) تلفات سیستم شبکه

تلفات خط انتقال به صورت تابعی از توان حقیقی و ماتریس ضرایب B بیان می­شوند [21].

(6)

    

 

که در آن پارامترهای Bij ضرایب اتلاف نامیده می­شوند. عبارت (6)را که به عنوان فرمول تلفات Korn شناخته می‌شود [22] می­توان به صورت برداری زیر بیان کرد [23].

(7)

    

 

که در آن B ماتریس متقارن ضرایب اتلاف، B0 بردار ستونی ضرایب اتلاف و B00 ثابت اسکالر ضریب اتلاف است.

 

3- مروری مختصر بر روش بهینه‌سازی کاوش باکتری

بقای گونه­ها در هر فرآیند تکاملی طبیعی وابسته به معیار متناسب بودن آنها بوده که خود مبتنی بر رفتار حرکتی و جستجوی غذای آنهاست. قانون تکامل تدریجی از گونه‌هایی که قابلیت جستجوی غذای بهتری دارند، حمایت نموده، آنهایی را که قابلیت جستجوی ضعیفی دارند، حذف کرده یا تغییر شکل می­دهد. ژن­های گونه­های قوی تر به دلیل توانایی تولید مثل گونه­های حتی بهتر در نسل های بعدی در زنجیره تکامل منتشر می­شوند. بنابراین، درک و مدل سازی صحیح رفتار کاوشی در هریک از گونه‌های تکاملی، به امکان اعمال آن در هر الگوریتم بهینه‌سازی سیستم غیر خطی منجر می‌شود. استراتژی کاوشی باکتری Escherichia coli در روده انسان را می‌توان با چهار فرآیند Chemotaxis، ازدحام، تولید مثل و حذف- پراکندگی توضیح داد [15، 16].

 

3-1- Chemotaxis

مشخصه­ حرکت باکتری در جستجوی غذا می­تواند به دو روش تعریف شود: شنا کردن یا چرخش، که به مجموعه این دو حرکت Chemotaxis می­گویند. گفته می­شود باکتری "شنا" می­کند؛ هرگاه در جهتی از پیش تعیین شده حرکت نماید و گفته می­شود "چرخش" می­کند؛ هرگاه در جهتی کاملاً متفاوت حرکت کند. از نظر ریاضی، چرخش هر باکتری می­تواند با طول واحد حرکت تصادفی  ضرب در طول پله­ آن باکتری  نمایش داده شود. در حالت شنا، این طول تصادفی از پیش تعیین شده است.

 

3-2- ازدحام

برای آن که باکتری­ها به غنی­ترین موقعیت غذایی خود برسند، مطلوب آن است که آن باکتری که دارای بهترین موقعیت است، سعی کند تا نقطه­ای از زمان در دوره جستجو، باکتری­های دیگر را به خود جذب نماید؛ به نحوی که همه با هم سریع­تر به موقعیت مطلوب برسند. بدین منظور، تابع جریمه­ای بر مبنای فواصل نسبی هر باکتری از مناسب­ترین باکتری در آن مدت جستجو به تابع هزینه اصلی افزوده می­شود. در نهایت، وقتی همه­ باکتری­ها در نقطه­ جواب با هم ترکیب شده­اند، این تابع جریمه برابر با صفر می­شود. تأثیر ازدحام آن است که باکتری­ها را مجبور می­کند در گروه­هایی اجتماع نموده و با چگالی باکتری بالا به صورت الگوهایی هم­مرکز حرکت نمایند.

 

3-3- تولید مثل

مجموعه اولیه باکتری­ها پس از تکامل تدریجی از طریق چندین مرحله Chemotactic به مرحله تولید مثل می‌رسند. در اینجا بهترین مجموعه­ باکتری­ها به دو قسمت تقسیم می‌شوند: نیمه­ سالم­تر جایگزین نیمه­ دیگر که به علت قابلیت‌های کاوشی ضعیف­تر خود حذف می‌گردند، خواهند شد. این امر موجب حفظ جمعیت باکتری‌ها در مقداری ثابت در طول فرایند تکامل تدریجی می­شود.

 

3-4- حذف و پراکندگی

در فرآیند تکامل تدریجی ممکن است رخدادی ناگهانی و پیش­بینی نشده روی دهد که می‌تواند فرایند آرام تکامل تدریجی را به شدت تغییر داده، موجب حذف مجموعه باکتری­ها ویا پراکندگی آنها به محیطی جدید شود. جالب اینجاست که این رخداد ناشناخته ممکن است به جای ایجاد اغتشاش در رشد Chemotaxis معمول مجموعه باکتری‌ها، موجب قرار داده شدن مجموعه­ جدیدی از باکتری­های نزدیکتر به محل غذا گردد. از دیدگاهی وسیع، حذف و پراکندگی اجزایی از رفتار حرکتی طولانی سطح جمعیتی هستند. در کاربرد آن به بهینه­سازی، این مرحله به کاهش رفتار ایستایی که غالباً در چنین الگوریتم‌های جستجوی موازی دیده می­شوند، کمک می­نماید. تفاصیل روابط ریاضی همچنین جنبه تئوری این مفهوم جدید در مراجع [16، 17] ارائه شده است.

 

4- برنامه‌ریزی مربعی متوالی

برنامه­ریزی مربعی متوالی (SQP) [24] به صورت گسترده‌ای برای حل مسایل بهینه‌سازی عملی به کار می‌رود. این روش از هر روش برنامه­ریزی غیر خطی دیگری از لحاظ کارایی، دقت و درصد حل‌های موفق بهتر است. این روش به میزان زیادی از روش نیوتن دقیقاً همان گونه که برای بهینه‌سازی نا مقید به کار می‌رود، برای بهینه‌سازی مقید تقلید می‌نماید.

از آنجا که تابع هدفی که قرار است کمینه شود نامحدب است، SQP نیازمند یک مینیمم محلی برای حل اولیه است. در این مقاله از SQP به عنوان بهینه‌کننده محلی برای تنظیم دقیق ناحیه بهتر کشف شده توسط BFOA استفاده می‌شود. در اینجا فرمول‌بندی SQP از مرجع [18] برداشت شده است.

برای هر تکرار یک QP حل می‌شود تا جهت جستجو برای به روز سازی متغیرهای کنترلی به دست آید. مسألهQP را می‌توان به شکل زیر توضیح داد:

مقدار زیر را کمینه کنید:

(8)

    

 

به شرط:

(9)

    

(10)

    

 

که Hk ماتریس هسیان تابع لاگرانژین در k امین تکرار، dk جهت جستجو در k امین تکرار، Pk بردار توان حقیقی در k امین تکرار g(Pk) قیود از (3) تا (5)، me تعداد قیود تساوی و m تعداد قیود است.

(11)

    

 

که  بردار ضرب کننده لاگرانژین است.

Hk با استفاده از فرمول شبه- نیوتن داده شده ازطریق رابطه زیر محاسبه می­شود:

(12)

    

 

که:

(13)

    

(14)

    

 

برای هر تکرار از زیر مساله QP جهت dk با استفاده از تابع هدف محاسبه می­شود. حل به دست آمده تکرار جدیدی به صورت زیر را تشکیل می­دهد:

(15)

    

 

مقدار طول گام  به شکل زیر برای ایجاد کاهش قابل ملاحظه در تابع شایستگی لاگرانژین تعمیم داده شده تعیین می­شود:

(16)

    

 

که  یک اسکالر نامنفی است. این روال تا زمانی که مقدار Sk به مقداری قابل تحمل برسد، تکرار می­شود.

 

5- پخش بار اقتصادی دینامیکی مبتنی برBFOA-SQP

فلوچارت این روش در شکل (1) نمایش داده شده است. در این فلوچارت در ابتدا در الگوریتم BFOA اجرای حلقه­های دفع و پراکندگی، تولیدمثل و حرکت به سمت ماده غذایی آغاز می­شود. سپس اعمال شنا و غلتیدن انجام می­گردد. در ادامه الگوریتم SQP فراخوانی می‌شود و بهترین مقدار به دست آمده از الگوریتم BFOA با جواب به دست آمده از الگوریتم SQP مقایسه می شوند. اگر مقدار به دست آمده از الگوریتم SQP از مقدار به دست آمده از الگوریتم BFOA کمتر باشد، مقدار به دست آمده از الگوریتم SQP به عنوان بهترین مقدار ذخیره می­گردد. پس از آن، در صورتی که حلقه حرکت به سمت ماده غذایی تمام شده باشد، وارد حلقه تولیدمثل می­شود؛ در غیر این صورت، حلقه حرکت به سمت ماده غذایی ادامه پیدا می‌کند. پس از اتمام حلقه­های حرکت به سمت ماده غذایی و تولیدمثل، حلقه دفع و پراکندگی اجرا می­شود که آخرین حلقه از الگوریتم ترکیبی است.

تکنیک الگوریتم پیشنهادی به صورت زیر است:

گام 1) مقداردهی اولیه پارامترهای زیر:

 : بعد فضای جستجو.

: تعداد باکتری­ها در جمعیت.

: تعداد گام­های chemotactic.

: طول شنا وقتی روی شیب (مماس) باشد.

: عداد گام­های تولید مثل.

: تعداد وقایع حذف/ پراکندگی.

: احتمال این که هر باکتری حذف یا پراکنده شود.

: واحد اولیه­ طول حرکت.

: واحد طول حرکت در پایان گام‌های chemotactic (j=Nc ).

: مکان تصادفی اولیه­ هر باکتری.

گام 2) حلقه­ حذف/ پراکندگی، .

گام 3) حلقه­ تولید مثل، .

گام 4) حلقه­ chemotaxis ، .

به ازای  گام chemotactic را برای هر باکتری به صورت زیر اجرا کن:

  • تابع هزینه  را با استفاده از(17)و(19) برآورد کن.

تابع هزینه­ هر باکتری در جمعیت متأثر است از نوع ایجاد ازدحام اجرا شده توسط ارتباط سلول به سلول آزاد شده توسط باکتری­ها برای شکل دادن به الگوهای ازدحامی عملیات هجوم آوردن به صورت زیر بیان می‌شود:

(17)

    

 

که در آن  و  و  و  ضرایب نمایانگر مشخصه­های سیگنال‌های جذبی و دفعی آزاد شده توسط سلول بوده و  مولفه m ام باکتری i ام است. مکان هر عضو جمعیت S باکتری بوده و به این صورت تعریف می­شود:

(18)

    

که S اندازه جمعیت باکتری­هاست.

تابع (17) که نمایانگر تأثیر ارتباط سلول به سلول است با تابع هزینه جمع می­شود:

(19)

    

 

  • قرار بده  طوری که هزینه­ کمتری بتواند به دست آید.
  • غلت خوردن: یک بردار تصادفی  تولید کن که و  عددی تصادفی در بازه است.
  • مقدار  را محاسبه کن.

(20)

    

 

  • با استفاده از رابطه (21) حرکت کن.

(21)

    

 

وقتی در تابع هزینه   بهتر (پایین­تر) از باشد، گام دیگری به اندازه­  در همان جهت طی می­شود. عمل شنا کردن تا زمانی که هزینه کمتری به دست آید و به تعداد بیشینه­ گام از قبل معین شده  برسیم، تکرار می­شود.

  • مقدار  را محاسبه کن و مقدار   را با استفاده از (17) محاسبه کن، سپس با استفاده از آن مقدار جدید را بیاب.
  • شنا کردن: قرار بده  (شمارنده برای طول شنا)

تا زمانی که  (تا مقدار بسیار طولانی مسیر طی نشود).

قرار بده: .

اگر  باشد، آنگاه قرار بده  سپس گامی دیگر را در همان جهت بردار و مقدار   جدید را محاسبه کن.

  • به سراغ باکتری بعدی برو (  if ).
  • واحد طول حرکت را به روز کن.
  • بهترین(کمترین)هزینه­ به دست آمده را محاسبه کن .
  •  تفاوت در هزینه به دست آمده در گام chemotactic  کنونی   را محاسبه کن:

 

 

  • اگر  (مثلاً n=2) ودر صورتی که:

 آنگاه  (یعنی عملیات chemotacticرا پایان بده).

گام 5) اگر  به گام چهار برو( ).

گام 6) تولید مثل.

برای k و l داده شده سلامتی هر باکتری i را به صورت زیر برآورد کن:

(22)

    

 

سلامتی باکتری i معیار این است که این باکتری در ظول زندگی خود چقدر مواد غذایی به دست آورده است.

  • باکتری­ها را بر حسب سلامتی خود  به ترتیب صعودی مرتب کن.
  • باکتری­هایی که بالاترین مقادیر  را دارند، با محاسبه توسط رابطه­ (23) می­میرند و بقیه Sr باکتری با کمترین مقادیر تکه شده ، همان جهت والدین خود را اختیار می­کنند.

فرایند تولید مثل پس از طی ماکزیمم تعداد گام‌های chemotactic، ، اجرا می‌شود. جمعیت به دو نیمه می‌شود؛ به گونه ای که نیمه کمتر سالم می­میرد و هر باکتری در آن نیمه دیگر سالم­تر به دو باکتری تقسیم می­شود که همان مکان را اختیار می­کنند.

 

(23)

    

 

پس از طی گام تولید مثل، فرایند حذف/ پراکندگی به تعداد بار اجرا می­شود. در این عملیات، هر باکتری می­تواند برای کاوش قسمت­های دیگر فضای جستجو حرکت کند. احتمال این که هر باکتری اتفاق حذف/ پراکندگی را تجربه کند، با نسبت از پیش تعیین شده­  تعیین می­شود.

گام 7) اگر  به گام 3 برو( ).

گام 8) حذف/ پراکندگی: با احتمال  به صورت تصادفی هر باکتری i را حذف و پراکنده کن؛ به نحوی که اندازه­ جمعیت ثابت بماند.

گام 9) اگر  به گام 2برو( )،در غیر این صورت متوقف شو.

گام 10) فرخوانی SQP و مقایسه بهترین مقدار به دست آمده از الگوریتم BFOA با پاسخ حاصل از آن.

گام 11) درصورتی که پاسخ الگوریتم SQP از پاسخ الگوریتم BFOA کمتر باشد، پاسخ الگوریتم SQP به عنوان بهترین مقدار ذخیره می­گردد. سپس اگر حلقه حرکت به سمت ماده غذایی تمام شده باشد، وارد حلقه تولیدمثل می‌شود؛ در غیر این صورت، حلقه حرکت به سمت ماده غذایی ادامه پیدا می­کند. پس از اتمام حلقه­های حرکت به سمت ماده غذایی و تولیدمثل، حلقه دفع و پراکندگی اجرا می­شود که آخرین حلقه از الگوریتم ترکیبی است.

گام 12) چاپ پاسخ بهینه حاصل از الگوریتم ترکیبی BFOA-SQP .

 

 

شکل (1): فلوچارت روش BFOA-SQP

 

 

6- نتایج شبیه‌سازی

برای نشان دادن عملکرد و قابل اعمال بودن روش BFOA-SQP پیشنهادی، یک سیستم تست 10 واحدی با تابع هزینه­ سوخت ناهموار استفاده شده است. تقاضای سیستم به 24 بازه­ زمانی تقسیم شده است. داده­های واحد و تقاضاهای بار به ترتیب در جدول­های A1 و A2 در ضمیمه A یافت می­شوند. روش پیشنهادی در MATLAB7 اجرا شده است.

مساله­ DED با استفاده از روش ترکیبی BFOA-SQP حل می­شود. در اینجا پارامترهای BFOA به صورت

، ، ، ، ، ، ، ، و  انتخاب شده اند. برنامه تولید تعیین شده، هزینه تولید و زمان CPU به دست آمده از روش پیشنهادی در جدول 1 نشان داده شده­اند.

به منظور تایید عملکرد الگوریتم ترکیبی BFOA-SQP پیشنهادی همان سیستم تست با استفاده از PSO-SQP و EP-SQP حل شده است. در مورد روش PSO-SQP ،پارامترهای کنترلی PSO عبارتند از:

، ، ، ، و . پارامترهای کنترلی EP در حالت EP-SQP عبارتند از: ، و  جدول­های 2 و 3 نتایج به دست آمده به ترتیب از PSO-SQP و EP-SQP را خلاصه می­کنند.

نتایج الگوریتم پیشنهادی(جدول1) با نتایج روش­های دیگر(جداول 2و3) مقایسه شده­اند. الگوریتم BFOA-SQP پیشنهادی به مقدار زیادی عملکرد بهتری از سایر روش‌ها دارد، زیرا به مینیمم هزینه­ 1.0319(*10^6 $) در مدت زمان CPU ،2.05(min) منتج شده است و این در حالی است که نتایج حاصل از الگوریتم PSO-SQP بر روی همین شبکه تست برابر1.0333(*10^6 $) در مدت زمان CPU ،3.24(min) و نتایج حاصل از الگوریتمEP-SQP بر روی همین شبکه مذکور برابر1.0341(*10^6 $) در مدت زمان CPU ،3.33(min) بوده است، که این امر به معنی مقدار قابل توجه صرفه­جویی سالانه در مقایسه با کمترین هزینه به دست آمده از سایر  روش­های مقایسه شده است.

 بنابراین، ملاحظه می­شود که روش BFOA-SQP پیشنهادی به پایین­ترین مینیمم هزینه­ تولید و کمترین زمان CPU دست یافته است.

 

7- نتیجه‌گیری

این مقاله روشی ترکیبی با ترکیب BFOA و SQP را برای حل مساله­ پخش بار اقتصادی دینامیکی با در نظر گرفتن نقطه­ شیر ارائه می­کند. در روش پیشنهادی BFOA احتمالاتی به صورت آزادانه فضای جستجو را می­پیماید.  هرگاه دره بهتری کشف شود، روش SQP با جهت گرادیان به سرعت در دره نزول می­کند و یک بهینه­ محلی را تضمین می‌نماید. مؤثر بودن روش پیشنهادی با استفاده از یک سیستم تست 10 واحدی نشان داده شده و با نتایج به دست آمده از روش‌های PSO-SQP و EP-SQP مقایسه شده است.

از مقایسه واضح است که رویکرد پیشنهادی بر مبنای BFOA-SQP نتایج بهتری از روش­های PSO-SQP و EP-SQP از دیدگاه کمترین هزینه­ تولید و زمان محاسباتی فراهم می‌کند.

 

 

 

جدول (1): مقداروهزینه تولید تعیین شده و زمان CPU با استفاده از روش پیشنهادی

Hour

P1(MW)

P2(MW)

P3(MW)

P4(MW)

P5(MW)

P6(MW)

P7(MW)

P8(MW)

P9(MW)

P10(MW)

1

150.0000

209.4260

182.0411

120.0703

73.0000

82.9898

96.4729

47.0000

20.00

55.00

2

150.0000

229.4023

186.0648

60.0703

73.0000

132.9898

126.4729

77.0000

20.00

55.00

3

225.1481

309.4023

179.2690

96.5506

73.0000

123.8792

128.7508

47.0000

20.00

55.00

4

302.9338

312.5140

174.1451

120.0000

128.2475

117.4089

98.7508

77.0000

20.00

55.00

5

299.3895

310.0648

199.4955

60.0000

170.2994

160.0000

128.7508

77.0000

20.00

55.00

6

302.5966

385.5424

279.4955

62.6077

189.0529

160.0000

126.7050

47.0000

20.00

55.00

7

375.5913

397.5815

280.0134

122.6077

183.8686

123.6326

96.7050

47.0000

20.00

55.00

8

455.5913

317.5815

300.1516

125.5198

179.7992

120.7168

124.6398

77.0000

20.00

55.00

9

375.5913

397.5815

322.2246

185.5198

235.0087

160.0000

126.0741

47.0000

20.00

55.00

10

453.6710

400.0467

303.6642

245.5198

230.7093

160.0000

126.3889

77.0000

20.00

55.00

11

466.2808

397.4902

315.8030

300.0000

224.4260

160.0000

130.0000

47.0000

50.00

55.00

12

457.6638

407.9095

340.0000

300.0000

243.0000

160.0000

129.4266

47.0000

80.00

55.00

13

455.5532

402.3638

292.5788

299.0723

218.4618

121.9700

130.0000

47.0000

50.00

55.00

14

375.5532

407.7359

304.2363

239.0723

181.4467

134.4464

129.5091

77.0000

20.00

55.00

15

368.4137

391.3272

271.1368

179.0723

166.6452

120.8833

126.5215

47.0000

50.00

55.00

16

370.3776

311.3272

191.1368

177.3838

122.4935

132.7596

96.5215

77.0000

20.00

55.00

17

386.9513

231.3272

219.2473

122.1180

117.3490

124.4856

126.5215

77.0000

20.00

55.00

18

466.9513

227.1515

299.2473

182.1180

73.0000

127.5319

130.0000

47.0000

20.00

55.00

19

463.6701

307.1515

295.1290

185.4122

113.6177

160.0000

129.0195

47.0000

20.00

55.00

20

459.8316

387.1515

333.9870

245.4122

173.6177

160.0000

130.0000

77.0000

50.00

55.00

21

379.8316

411.8171

302.4642

242.8762

175.0110

160.0000

130.0000

47.0000

20.00

55.00

22

306.2126

394.2563

229.5701

182.8762

136.2953

126.7896

100.0000

47.0000

50.00

55.00

23

231.3811

314.2563

182.5696

122.8762

115.8534

116.4702

96.5932

77.0000

20.00

55.00

24

228.9155

234.2563

103.5939

118.2416

73.0000

144.1148

126.5932

80.2848

20.00

55.00

Cost(*10^6 $)

1.0319

-

-

-

-

-

-

-

-

-

CPU time(min)

2.05

-

-

-

-

-

-

-

-

-

 

 

جدول (2): مقداروهزینه تولید تعیین شده و زمان CPU با استفاده از روش PSO-SQP

Hour

P1(MW)

P2(MW)

P3(MW)

P4(MW)

P5(MW)

P6(MW)

P7(MW)

P8(MW)

P9(MW)

P10(MW)

1

222.6137

143.4472

188.7122

60.0000

73.0000

57.0000

130.0000

86.2270

20.00

55.00

2

150.0000

223.4472

183.2114

60.0000

118.4811

57.0000

126.6333

116.2270

20.00

55.00

3

230.0000

303.4472

105.3892

120.0000

110.3395

65.1805

128.6435

90.0000

50.00

55.00

4

302.2057

383.4472

178.5230

60.0000

73.0000

115.1805

98.6435

120.0000

20.00

55.00

5

371.0181

319.0272

213.2879

60.0000

73.0000

120.0233

128.6435

120.0000

20.00

55.00

6

378.4377

390.7508

293.2879

60.0000

114.1373

70.0233

126.3630

120.0000

20.00

55.00

7

375.6938

393.9534

294.3296

120.0000

73.0000

120.0233

130.0000

90.0000

50.00

55.00

8

455.6938

319.0289

300.7612

127.0803

124.0072

124.4286

130.0000

120.0000

20.00

55.00

9

462.7446

399.0289

301.4602

120.3397

164.9071

125.2567

129.8244

115.4385

50.00

55.00

10

453.8910

460.0000

304.5385

180.0000

223.1320

160.0000

130.0000

85.4385

20.00

55.00

11

453.8910

460.0000

336.9320

240.0000

172.4889

160.0000

130.0000

115.4385

20.00

55.00

12

458.6118

460.0000

324.0923

300.0000

232.4889

160.0000

124.3685

85.4385

20.00

55.00

13

453.6567

399.7277

326.4081

250.2401

221.5288

160.0000

130.0000

55.4385

20.00

55.00

14

373.6567

385.2023

301.2075

241.4542

179.3390

160.0000

127.6547

80.4856

20.00

55.00

15

379.4079

305.2023

340.0000

240.5336

121.6237

133.7469

130.0000

50.4856

20.00

55.00

16

299.4079

225.2023

311.2204

180.7545

128.1672

131.8477

121.9144

80.4856

20.00

55.00

17

379.2105

145.2023

305.5514

120.7545

175.6061

129.3367

98.8529

50.4856

20.00

55.00

18

450.6598

140.1112

303.0060

175.3360

177.5145

123.5355

128.8529

53.9841

20.00

55.00

19

451.9945

220.1112

300.6138

180.0726

209.6900

127.1877

127.3462

83.9841

20.00

55.00

20

466.4626

300.1112

331.7817

240.0726

224.5879

160.0000

130.0000

113.9841

50.00

55.00

21

455.0342

220.1112

308.2920

239.6444

222.4686

160.0000

125.7337

117.7158

20.00

55.00

22

375.0342

140.1112

232.4133

242.3867

216.9794

132.6256

95.7337

87.7158

50.00

55.00

23

295.6468

135.8215

159.5744

182.3867

170.7971

118.8031

116.9704

77.0000

20.00

55.00

24

226.2366

215.8215

79.5744

122.3867

170.4420

117.5388

130.0000

47.0000

20.00

55.00

Cost(*10^6 $)

1.0333

-

-

-

-

-

-

-

-

-

CPU time(min)

3.24

-

-

-

-

-

-

-

-

-

 

 

جدول (3): مقداروهزینه تولید تعیین شده و زمان CPU با استفاده از روش EP-SQP

Hour

P1(MW)

P2(MW)

P3(MW)

P4(MW)

P5(MW)

P6(MW)

P7(MW)

P8(MW)

P9(MW)

P10(MW)

1

150.0000

137.6433

204.7269

60.0000

177.1351

57.0000

127.4947

47.0000

20.00

55.00

2

218.0924

217.6433

184.4007

60.0000

121.4978

58.8711

97.4947

77.0000

20.00

55.00

3

203.0938

224.1547

205.5020

60.0000

174.3901

108.8711

127.4947

79.4935

20.00

55.00

4

220.3438

301.3093

204.9357

120.0000

116.4632

158.8711

129.5833

49.4935

50.00

55.00

5

297.5479

381.3093

217.4121

60.0000

100.0077

139.2296

130.0000

79.4935

20.00

55.00

6

374.1834

310.7449

297.4121

60.0000

150.3867

151.9059

128.8735

49.4935

50.00

55.00

7

454.1834

390.7449

311.0392

66.7128

105.7741

120.1786

98.8735

79.4935

20.00

55.00

8

443.1769

397.5531

302.9448

126.7128

73.0000

148.7949

128.8735

79.9440

20.00

55.00

9

462.0598

396.8576

299.5618

186.7128

127.6262

160.0000

130.0000

86.1818

20.00

55.00

10

432.3937

427.9822

340.0000

181.2353

183.6408

160.0000

125.5662

116.1818

50.00

55.00

11

457.5612

460.0000

307.4954

241.2353

229.6543

160.0000

128.8719

86.1818

20.00

55.00

12

452.7904

460.0000

318.9605

300.0000

219.9294

160.0000

123.6250

79.6946

50.00

55.00

13

458.5151

389.1429

302.3061

300.0000

224.5202

147.4776

125.3436

49.6946

20.00

55.00

14

378.5151

401.8471

285.7622

240.0000

225.6409

144.8911

95.3436

77.0000

20.00

55.00

15

298.5151

394.0200

290.9130

180.0000

224.1367

131.2537

105.1614

47.0000

50.00

55.00

16

302.4212

314.0200

239.2008

120.0000

175.1214

160.0000

121.2366

47.0000

20.00

55.00

17

303.4463

320.5432

189.7485

60.0000

235.1214

119.5558

129.5848

47.0000

20.00

55.00

18

374.8211

314.1280

190.7880

120.0000

182.6834

134.9671

128.6124

77.0000

20.00

55.00

19

381.8864

394.1280

270.7880

180.0000

188.1604

140.4248

98.6124

47.0000

50.00

55.00

20

447.7975

460.0000

276.8927

240.0000

236.1858

130.5115

128.6124

77.0000

20.00

55.00

21

370.3686

387.3885

305.9268

188.0862

230.6086

160.0000

129.6214

47.0000

50.00

55.00

22

297.7705

307.3885

312.1334

128.0862

176.5495

124.0719

130.0000

77.0000

20.00

55.00

23

291.9411

227.3885

253.0649

68.0862

130.8726

116.3592

122.2874

47.0000

20.00

55.00

24

222.3226

147.3885

197.0125

60.0000

180.8726

124.7866

129.6172

47.0000

20.00

55.00

Cost(*10^6 $)

1.0341

-

-

-

-

-

-

-

-

-

CPU time(min)

3.33

-

-

-

-

-

-

-

-

-

 

 

ضمیمهA: جدول­های A1 و A2 :

 

جدول (A1): اطلاعات سیستم شامل 10 واحد تولیدی

Unit

Pmin (MW)

Pmax MW)

A ($/h)

b ($/MWh)

c ($/MW2 h)

d ($/h)

e (rad/MW)

UR (MW/h)

DR (MW/h)

1

150

470

958.20

21.60

0.00043

450

0.041

80

80

2

135

460

1313.60

21.05

0.00063

600

0.036

80

80

3

73

340

604.97

20.81

0.00039

320

0.028

80

80

4

60

300

471.60

23.90

0.00070

260

0.052

60

60

5

73

243

480.29

21.62

0.00079

280

0.063

60

60

6

57

160

601.75

17.87

0.00056

310

0.048

50

50

7

20

130

502.70

16.51

0.00211

300

0.086

30

30

8

47

120

639.40

23.23

0.00480

340

0.082

30

30

9

20

80

455.60

19.58

0.10908

270

0.098

30

30

10

55

55

692.40

22.54

0.00951

380

0.094

30

30

جدول (A2): تقاضای بار برای 24 ساعت

Hour

Load(MW)

Hour

Load(MW)

Hour

Load(MW)

1

1036

9

1924

17

1480

2

1110

10

2072

18

1628

3

1258

11

2146

19

1776

4

1406

12

2220

20

2072

5

1480

13

2072

21

1924

6

1628

14

1924

22

1628

7

1702

15

1776

23

1332

8

1776

16

1554

24

1184

 

 



1 -Static economic dispatch

[2] -Dynamic economic dispatch

[3] -Dynamic programming

[4] -simulated annealing

[5] -Genetic algorithm

[6] -evolutionary programming

[7] -particle swarm optimization

[8] - differential evolution

[9] - Bacterial Foraging Optimization Algorithm

[10] - Sequential quadratic programming

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dispatch of generation. IEEE Trans Power Apparatus Syst, Vol.99, No.6, pp. 2060–2068,1980.

[2] Van Den Bosch, P.P.J., Optimal dynamic dispatch owing to spinning-reserve and power-rate limits. IEEE Trans Power Apparatus Syst, Vol.104, No.12, pp.3395–3401,1985.

[3] Granelli, G.P., Marannino, P., Montagna, M., Silvestri, A., Fast and efficient gradient projection algorithm for dynamic generation dispatching.IEE Proc Gener Transm Distrib, Vol.136, No.5, pp.295–302,1989.

[4] Hindi, K.S., Ab Ghani, M.R., Dynamic economic dispatch for large scale power systems; a Lagrangian relaxation approach. Elect Power Syst Res, Vol.13, No.1, pp.51–56,1991.

[5] Travers, D.L., Kaye, R.J., Dynamic dispatch by constructive dynamic rogramming.IEEE Trans Power Syst, Vol.13, No.1, pp.71–76,1998.

[6] Han, X.S., Gooi, H.B., Kirschen, D.S., Dynamic economic dispatch: feasible and optimal solutions. IEEE Trans Power Syst, Vol.16, No.1, pp.22–28,2001.

[7] Wong, K.P., Fung, C.C., Simulated annealing based economic dispatch algorithm. IEE Proc Gener Transm Distrib, Vol.140, No.6, pp.509–515,1993.

[8] Walter, D.C., Sheble, G.B., Genetic algorithm solution of economic dispatch with valve point loading. IEEE Trans Power Syst, Vol.8, No.1, pp.1325–1332,1993.

[9] Yang, H.T., Yang, P.C., Huang, C.L., Evolutionary programming based economic dispatch for units with nonsmooth fuel cost functions. IEEE Trans Power Syst, Vol.11, No.1, pp.112–118,1996.

[10] Gaing, Z.L., Particle swarm optimization to solving the economic dispatch considering the generator constraints. IEEE Trans Power Syst, Vol.18, No.3, pp.1187–1195,2003.

[11] Lakshminarasimman, L., Subramanian, S., Short-term scheduling of hydrothermal power system with cascaded reservoirs by using modified differential evolution. IEE Proc – Gener Transm Distrib, Vol.153, No.6, pp.693–700,2006.

[12] Bonabeau, E., Dorigo, M., Theraulaz, G., Swarm intelligence: from natural to artificial systems. New York: Oxford University Press, 1999.

[13] Eberhart, R., Shi, Y., Kennedy, J., Swarm intelligence. San Francisco: Morgan Kaufmann, 2001.

[14] Camazine, S., Deneubourg, J., Franks, N.R., Sneyd, J., Theraula, G., Bonabeau, E., Selforganization in biological systems. Princeton: Princeton University Press,2003.

 [15] Passino, K.M., Biomimicry of bacterial foraging for distributed optimization and control. IEEE Contr Syst Mag , Vol.22, No.3, pp.52–67,2002.

[16] Kim, D.H., Abraham, A., Cho, J.H., A hybrid genetic algorithm and bacterial foraging approach for global optimization. Inf Sci, Vol.177, No.18, pp.3918–3937,2007.

[17] Mishra, S., Tripathy, M., Nanda, J., Multi-machine power system stabilizer design by rule based bacteria foraging. Int J Electr Power Syst Res, Vol.77, No.12, pp.1595–1607,2007.

[18] Attavriyanupp, P., Kita, H., Tanaka, T., Hasegawa, J., A hybrid EP and SQP for dynamic economic dispatch with nonsmooth fuel cost function. IEEE TransPower Syst, Vol.17, No.2, pp.411–416,2002.

[19] Victoire, T.A.A., Jeyakumar, A.E., Deterministically guided PSO for dynamic dispatch considering valve-point effect . Elect Power Syst Res, Vol.73, No.1, pp.313–322,2005.

[20] Abdelaziz, A.Y., Kamh, M.Z., Mekhamer, S.F., Badr, M.A.L., A hybrid HNN-QP approach for dynamic economic dispatch problem . Elect Power Syst Res, Vol.78, No.1, pp.1784–1788,2008.

[21] BERGEN, R., VITTAL, V., Power systems analysis (Prentice-Hall, Upper Saddle River, NJ, USA, 1999, 2nd edn.).

[22] ALHAJRI, M.F., EL-HAWARY, M.E., Pattern search optimization applied to convex and non-convex economic dispatch.IEEE Int. Conf. on Systems, Man and Cybernetics, pp. 2674-2678, 2007.

[23] EL-HAWARY, M.E., CHRISTENSEN, G.S., Optimal economic operation of electric power systems (Academic Press,New York, USA, 1979).

[24] Boggs, P.T., Tolle, J.W., Sequential quadratic programming . Acta Numerica, Vol.4 ,pp.1–52, 1995.