کاهش مرتبه‌ی سیستم با استفاده از چند جمله ای های لاگر و الگوریتم جستجوی هارمونی

نوع مقاله: مقاله علمی فارسی

نویسندگان

1 کارشناس ارشد، بخش مهندسی برق- دانشگاه شهید باهنر- کرمان- ایران

2 دانشیار، بخش مهندسی برق- دانشگاه شهید باهنر - کرمان- ایران

چکیده

این مقاله، به ارائه‌ی رهیافتی جهت کاهش مرتبه‌ی سیستم ها ، مبتنی بر چند جمله‌ای متعامد لاگر و الگوریتم جستجوی هارمونی می پردازد. به همین منظور، ساختار ثابت مناسبی برای مدل مرتبه کاهشی در نظر گرفته می شود. سپس با استفاده از الگوریتم جستجوی هارمونی با کمینه کردن یک تابع برازش، پارامتر های مدل مرتبه کاهشی به طور همزمان تعیین می شوند که تابع برازش، اختلاف میان l ضریب اول بسط لاگر مدل مرتبه کامل و l ضریب اول بسط لاگر مدل مرتبه کاهشی به طور متناظر تعریف شده است. برای ارضاء شرط پایداری، از معیار روث استفاده می شود که به صورت قید در مسئله بهینه سازی وارد می گردد. روش پیشنهادی بر روی سه سیستم آزموده و با برخی روش های کاهش مرتبه موجود در مقالات مقایسه شده است. نتایج بدست آمده ضمن تایید روش پیشنهادی، افق تازه ای در کاهش مرتبه‌ی سیستم ها ترسیم می کند.

کلیدواژه‌ها


عنوان مقاله [English]

Model Order Reduction Using Laguerre Polynomials and Harmony Search

نویسندگان [English]

  • Malihe Maghfoori Farsangi 1
  • Hasan Nasiri Soloklo 2
1 Electrical Engineering Department, Shahid Bahonar University of Kerman, Kerman, Iran
2 Electrical Engineering Department, Shahid Bahonar University of Kerman, Kerman, Iran
چکیده [English]

A new method for model reduction of linear systems is presented based on Laguerre Polynomials using Harmony Search (HS) algorithm. First, a full order system is expanded and then a set of parameters in a fixed structure are determined, whose values define the reduced order system. The values are obtained by minimizing the errors between the first coefficients of Laguerre Polynomials of full and reduced systems using HS algorithm. To satisfy the stability, Routh criterion is used as constraints in optimization problem. To present the ability of the proposed method, three test systems are reduced. The results obtained are compared with other existing techniques. The results obtained show the accuracy and efficiency of the proposed method.

کلیدواژه‌ها [English]

  • Laguerre Polynomials
  • harmony search algorithm
  • Routh array
  • order reduction

امروزه به علت بزرگ شدن و پیچیدگی اغلب سیستم ها، مدل ریاضی که برای تحلیل آنها نیز در نظر گرفته می شود، دارای بُعد بالا و متعاقباَ پیچیدگی زیادی است. تحلیل و طراحی دقیق  سیستم های ابعاد وسیع، به پیچیدگی محاسبات، طولانی شدن زمان شبیه سازی و در نتیجه طولانی شدن زمان تحلیل و طراحی منجر می­گردد. همچنین علاوه بر این مشکلات، به علت بُعد بالای سیستم و کنترل کننده، پیاده سازی کنترل کننده، تعمیر و نگهداری آن نیز پر هزینه و پیچیده می شود.

یکی از بهترین و مؤثرترین رهیافت های ارائه شده برای غلبه بر چنین مشکل­هایی، کاهش مرتبه سیستم­هاست. در این رهیافت، سیستم ابعاد وسیع مورد نظر را با سیستمی از مرتبه پایین به گونه­ای تقریب می زنیم که اغلب مشخصه های اصلی سیستم ابعاد وسیع در مدل کاهش مرتبه یافته حفظ شود.

در 50 سال اخیر، کاهش مرتبه سیستم های ابعاد وسیع مورد توجه بسیاری از پژوهشگران قرار گرفته است.

کاهش مرتبه اولین بار توسط دیویسون در رهیافت "تحلیل مودال" با استفاده از تکنیک های فضای حالت ارائه شد[1]. سپس در سال های 1967 و 1969، چندین اصلاح برای رهیافت دیویسون ارائه شد[2,3].  در سال 1968، از بسط­های حوزه­ فرکانسی برای کاهش مرتبه­ سیستم­های ابعاد وسیع استفاده شد[4]. در این روش، تابع تبدیل سیستم ابعاد وسیع را به شکل نردبانی بسط داد و سپس مدل کاهش مرتبه یافته­ای با همان ساختار تقریب زده شد.

در سال 1970، ویلسون به کاهش مرتبه­ بهینه سیستم‌های ابعاد وسیع پرداخت که اولین روش کاهش مرتبه­ای بود که بهینه کردن مدل را در نظر می­گرفت. ویلسون از رهیافت بهینه سازی مبتنی بر کمینه سازی انتگرال مربع خطا استفاده نمود که خطا در آنجا اختلاف میان پاسخ ضربه­ مدل مرتبه کامل و پاسخ ضربه­ مدل کاهش مرتبه یافته­اش بود[5,6]. در [7] از رهیافت روث برای تقریب فرکانس بالا استفاده شد که بعدها ، این رهیافت بهبود داده شد[8]. در [9] ازتقریب پید برای کاهش مرتبه سیستم های ابعاد وسیع استفاده شد.

سپس در [10] با کمینه نمودن نرم                          و  روشی برای کاهش مرتبه­ سیستم­های ابعاد وسیع ارائه شد.

در اوایل دهه­1980، ایتلبرگ در[11] و آبینتا در[12] با کمینه کردن معادله­ خطا، به مدل کاهش مرتبه­ بسیار مناسبی از سیستم ابعاد وسیع دست یافتند. در سال 1981، بیو به ارائه روشی ترکیبی پرداخت که در آن با استفاده از محک میهایلوف و تقریب پید به کاهش مرتبه­ سیستم های ابعاد وسیع به صورت پایدار پرداخت[13]. در همین سال، مور روش کاهش مرتبه مبتنی بر تعادل معمولی را ارائه نمود که مورد توجه بسیاری قرار گرفت[14]. در این روش با استفاده از مفهوم ساختار متعادل و مفاهیم گرامیان کنترل پذیری و رؤیت پذیری، راهی برای تشخیص حالت های کم اهمیت تر ارائه شد. پس از مور، گلوور با ارائه مفهومی مشابه به نام تقریب بهینه هانکل به کاهش مرتبه سیستم های ابعاد وسیع پرداخت[15]. در سال 1984، انس با استفاده از توابع وزنی ورودی- خروجی، کاهش مرتبه را در برخی فرکانس ها­ی خاص ارائه نمود[16]. ده سال بعد از ارائه روش انس، اسریرم و اندرسون کران بالایی برای خطای تقریب روش وزنی انس ارائه نمودند[17,18].

 در حد فاصل سال های 1984 تا 1990 روش­های ترکیبی بسیاری مورد توجه قرار گرفت که در آنها با استفاده از یک معیار پایداری به تضمین پایداری مدل کاهش مرتبه یافته پرداخته و سپس با استفاده از یکی از تکنیک های کمینه نمودن خطا و یا با کمینه کردن شاخص‌های عملکرد سیستم به تعیین مدل مرتبه کاهشی پرداختند[19-22].

در اواخر دهه 80 میلادی، اندرسون و لیو به ارائه روشی بسیار دقیق با نام SP یا انحراف تکین برای دستیابی به عملکرد مطلوب تر در فرکانس های پایین پرداختند[23]. 

در سال 1995، فلدمن و فروند به ارائه روشی نوین مبتنی بر تقریب پید پرداختند[24]. در سال 2003، کاهش مرتبه سیستم های ابعاد وسیع با استفاده از روش برش متعادل در محدوده فرکانسی در [25] ارائه گردید و در سال بعد بهبودهایی برای این روش ارائه گردید[26,27].

در دهه­ اخیر، استفاده از الگوریتم های تکاملی برای کاهش مرتبه­ سیستم های ابعاد وسیع به طور چشمگیری افزایش یافته است. در سال 2001، تقریب بهینه سیستم های خطی با استفاده از الگوریتم تکامل تفاضلی ارائه شد[28]. در سال 2005 با استفاده از الگوریتم وراثتی روشی برای کاهش مرتبه­ سیستم های گسسته ارائه­ شد[29]. در سال 2010، کومار و پراساد سیستم های بازه­ای خطی را با استفاده از الگوریتم وراثتی و الگوریتم انبوه ذرات کاهش مرتبه دادند[30]. در این دهه، استفاده از چند جمله ای لاگر برای کاهش مرتبه سیستم های ابعاد وسیع مورد توجه قرار گرفت [31،32].

همچنین، در [33، 34] روش­هایی برای کاهش مرتبه سیستم‌های ابعاد وسیع با استفاده از چند جمله­ای­های متعامد و الگوریتم های تکاملی ارائه شد.

در این مقاله، با استفاده از چند جمله ای متعامد لاگر و الگوریتم جستجوی هارمونی به ارائه روشی برای کاهش مرتبه­ سیستم ها پرداخته شده است. در این روش، سیستم مرتبه کامل توسط چند جمله ای های لاگر بسط داده شده است. سپس l ضریب اول بسط لاگر سیستم اصلی به­دست می­آید. در ادامه، ساختار ثابت مناسبی برای مدل مرتبه کاهشی در نظر گرفته می شود که پارامتر های صورت و مخرج این مدل مرتبه کاهشی مجهول هستند. این پارامتر های مجهول با کمینه کردن خطای میان l ضریب اول بسط لاگر مدل مرتبه کامل با l ضریب اول بسط لاگر مدل مرتبه کاهشی با استفاده از الگوریتم هارمونی، تعیین می شوند. برای ارضای شرط پایداری از محک روث استفاده شده است که این شرط به صورت قید در مسأله بهینه سازی بیان می‌شود و درنتیجه مسأله بهینه سازی به مسأله­ بهینه سازی مقید تبدیل می شود. برای نشان دادن کارایی و دقت روش پیشنهادی، سه سیستم با استفاده از روش پیشنهادی کاهش مرتبه داده شده و با برخی روش های کاهش مرتبه مقایسه شده اند.

ادامه این مقاله، این گونه سازماندهی شده است که در بخش دوم، توضیحاتی درباره چند جمله ای های متعامد لاگر ارائه می‌شود. بخش سوم به معرفی الگوریتم جستجوی هارمونی می‌پردازد. روش پیشنهادی در بخش چهارم ارائه گردیده است. در بخش پنجم شبیه سازی و نتایج ارائه می‌شود و در نهایت، بخش ششم به جمع بندی می پردازد.

 

1- چند جمله‌ای‌های لاگر

چند جمله ای های لاگر را که با  نشان داده می‌شوند، می توان با استفاده از فرمول رودریگوئز به صورت زیر تعریف نمود:

(1)

    

 

علاوه بر فرمول رودریگوئز، چند جمله ای‌های لاگر را می توان با استفاده از رابطه بازگشتی زیر نیز تعریف نمود[35]:

(2)

    

 

که در آن  و  به ترتیب برابر با 1 و  هستند.

چند جمله ای لاگر در بازه­  نسبت به تابع وزنی  یکه متعامد است؛ یعنی:

(3)

    

 

تابع  را که در بازه­  دوبار انتگرال پذیر است، می توان به صورت مجموع چند جمله ای‌های لاگر تقریب زد؛ یعنی:

(4)

    

که T نشان دهنده­ ترانهاده و m یک عدد است. بردار ضرایب لاگر  و بردار لاگر  به صورت زیر هستند:

(5)

    

(6)

    

ضرایب چند جمله ای لاگر، ، با کمینه کردن انتگرال مربع خطای وزن دار شده به صورت زیر به­دست می آیند :

(7)

    

 

و در نتیجه داریم:

(8)

    

 

بنابراین، با در نظرگرفتن l جمله اول (4) می توان تقریب مناسبی از  به­دست آورد.                

 

2- الگوریتم جستجوی هارمونی

الگوریتم جستجوی هارمونی[1] در سال 2001 توسط جیم و همکارانش ارائه شد[36، 37]. این الگوریتم در زمره الگوریتم­های ابتکاری است که برای بهینه سازی در فضای پیوسته استفاده می­شود. این الگوریتم از فرآیند نواخت موسیقی و تلاش برای یافتن یک هارمونی خارق العاده طی آن، الهام گرفته شده است. در این فرآیند در جستجوی یک هارمونی جذاب و دلنشین (یک حالت کامل از هارمونی ها) براساس معیار زیبایی هارمونی هستیم. به طور مشابه، در مسائل مهندسی و فرآیندهای بهینه سازی نیز جستجو برای پیدا کردن بهترین جواب براساس تابع هدف مورد نظر است. در ادوات موسیقی، نت انتخابی، تعیین کننده زیبایی هارمونی تولیدی است.

در فرآیند موسیقی نوازنده شروع به نواختن می­کند و در جستجوی یک هارمونی بهتر است. نوازنده، با توجه به کارهای قبلی خود، سعی می کند بهترین هارمونی قبلی خود را بنوازد یا آن را بهبود بخشد. همچنین، می­تواند موسیقی جدیدی تولید کند که هیچ تجربه­ای از قبل درباره آن ندارد.

در فرآیند نواخت موسیقی بدون هرگونه تجربه قبلی، نوازنده هر نتی را می­تواند در فاصله مجاز خود به صدا درآورد و این نت به همراه دیگر نت­ها یک بردار هارمونی تولید می کند. اگر هارمونی تولید شده مطلوب باشد، در ذهن نوازنده ذخیره شده، احتمال تولید هارمونی های بهتر را در تمرین­ها و نواخت های بعدی افزایش می­دهد.

مهمترین بخش در جستجوی هارمونی، حافظه هارمونیاست که شامل تعداد مشخصی بردار هارمونی و هر بردار نتیجه یک عمل نوازندگی است. برای مثال، به جاز که ترکیبی از سه ابزار موسیقی است، توجه کنید. اگر هر کدام ازاین ادوات یک مقدار نت مجاز انتخاب کنند، خروجی آن یک بردار از هارمونی­ها خواهد بود که اگر کیفیت و زیبایی آن از بدترین تجربه قبلی بهتر باشد، جایگزین آن در حافظه هارمونی می شود. عمل نوازندگی تکرار می شود تا یک هارمونی خارق العاده در حافظه هارمونی پیدا شود.

در بهینه سازی واقعی، هر نوازنده با یک متغیر و نت صوتی آن با مقدار نسبت داده شده به متغیر جایگزین می‌شود. چنانکه بیان شد، نوازنده برای نواختن یک نت سه انتخاب دارد: یکی از نت های موجود در حافظه خود را بنوازد، نتی نزدیک به یکی از نت های موجود در حافظه خود را بنوازد یا یک نت کاملا تصادفی در بازه تغییرات مجاز ایجاد کند.

در الگوریتم جستجوی هارمونی نیز برای تولید یک بردار جدید از متغیرها(بردار هارمونی) مقدار هر متغیر طبق یکی از سه قانون زیر تعیین می شود:

الف) انتخاب یکی از مقادیر موجود در حافظه هارمونی[2]؛

ب) انتخاب مقداری در همسایگی یکی از مقادیر حافظه هارمونی[3] ؛

ج) انتخاب مقداری برای متغیر از محدوده مجاز(خارج از حافظه هارمونی) به صورت تصادفی[4].

این الگوریتم شامل پنج مرحله است :

مرحله 1- تعریف مسأله بهینه سازی و مقداردهی اولیه پارامترهای الگوریتم. مسأله بهینه سازی به صورت کمینه یا بیشینه کردن تابع هدف  است؛ به گونه که متغیر های مسأله در محدوده مجاز خود قرار گیرند.

همچنین، پارامترهای الگوریتم که در این مرحله مقداردهی اولیه می شوند، عبارتند از: تعداد متغیرهای تصمیم(N) و بازه تغییرات آنها، اندازه حافظه هارمونی[5] (HMS)، احتمال انتخاب متغیر جدید از حافظه هارمونی[6](HMCR)، احتمال تعدیل متغیر انتخابی از حافظه هارمونی[7](PAR) و پهنای باند تعدیل[8](bw)،  و معیار اتمام الگوریتم (بیشترین تعداد تکرار).

مرحله2- مقداردهی اولیه حافظه هارمونی. مقداردهی اولیه حافظه کاملا تصادفی بوده، تعداد بردارهای تولید شده برابر با اندازه حافظه هارمونی است. حافظه هارمونی اولیه به همراه مقادیر متناظر تابع هدف ذخیره می­شوند. رابطه (9) ساختار حافظه هارمونی را نشان می دهد:

(9)

    

 

در رابطه (9)، هر سطر معرف یک هارمونی N متغیره و HMS اندازه حافظه هارمونی است.

 

مرحله 3- تولید یک هارمونی جدید از حافظه هارمونی بردار هارمونی جدید.

 براساس سه قانون الف) انتخاب از حافظه؛ ب) تعدیل مقدار انتخابی از حافظه و ج) انتخاب تصادفی تولید می شود. رابطه (10) نحوه اجرای این قوانین را نمایش می دهد:

(10)

    

 

در رابطه (10)، با احتمال[9]  HMCR یکی از مقادیر حافظه و با احتمال (1-HMCR) مقداری تصادفی در بازه تغییرات مجاز تولید می شود. به عبارت دیگر، ابتدا یک عدد تصادفی در بازه­ [0،1] تولید و در صورت کمتر بودن نسبت به HMCR  یکی از مقادیر موجود در حافظه انتخاب می شود؛ در غیر این صورت، مقداری تصادفی در بازه تغییرات آن متغیر تولید می شود. مقدار HMCR باید در بازه (0،1] انتخاب شود. مقدار یک برای HMCR باعث قرار گرفتن مسأله در یک بهینه محلی می شود. مقدار 1-HMCR مشابه عملگر جهش در الگوریتم وراثتی از قرار گرفتن در بهینه های محلی جلوگیری کرده، به تنوع حافظه کمک می‌کند.

هر مقداری که از حافظه انتخاب شود، می تواند طی یک جستجوی محلی در همسایگی خود، متغیری جدید تولید کند که این جستجو با شعاع bw و احتمال  PAR انجام می گیرد. مقدار انتخابی از حافظه با احتمال 1-PAR مستقیما و بدون هیچ گونه تغییری به هارمونی جدید منتقل می گردد. سپس مقدار به­دست آمده برای هر متغیر در بردار جدید بررسی می­شود تا در بازه مجاز باشد؛ در غیر این‌صورت، نزدیکترین مقدار مجاز جایگزین آن می‌گردد.

مرحله4- به روز رسانی حافظه هارمونی. اگر هارمونی جدید از بدترین هارمونی موجود در حافظه بهتر باشد، به همراه مقدار تابع هدف متناظر، جایگزین آن می شود و بدترین هارمونی حافظه، حذف می گردد.

مرحله 5- تکرار مراحل سوم و چهارم تا رسیدن به معیار پایان الگوریتم. معیار اتمام الگوریتم عموما به صورت برآورده شدن یک شرط یا رسیدن به بیشترین تعداد تکرار تعریف می شود.

 

3- روش پیشنهادی

سیستم مرتبه کامل اکیداَ سره و پایدار از درجه n زیر را در نظر بگیرید:

(11)

    

 

که در آن  و  ثابت های معلوم هستند. قصد داریم به مدل مرتبه کاهشی پایدار از درجه r (r کوچکتر از n) به گونه ای دست یابیم که مشخصه های اصلی و مهم سیستم مرتبه کامل حفظ شوند. فرض کنید مدل مرتبه کاهشی پایدار به صورت زیر است:

(12)

    

که در آن  و   ثابت های مجهول هستند.  

برای دستیابی به مدل مرتبه کاهشی به وسیله روش پیشنهادی، ابتدا سیستم مرتبه کامل (11) را به صورت مجموع چند جمله ای های لاگر بسط می دهیم. سپس l ضریب اول بسط سری لاگر مدل مرتبه کامل را در نظر می‌گیریم. ساختاری ثابت برای مدل مرتبه کاهشی همانند (12) در نظر می گیریم که در آن ضرایب صورت و مخرج، پارامترهای مجهول مدل مرتبه کاهشی هستند که توسط الگوریتم جستجوی هارمونی تعیین خواهند شد. هدف بهینه سازی، یافتن بهترین پارامترها برای  است. اگر  و  به ترتیب ضرایب بسط لاگر مدل مرتبه کامل و مدل مرتبه کاهشی باشند، پارامتر های مدل مرتبه کاهشی با کمینه کردن تابع برازش زیر تعیین خواهند شد: 

(13)

    

 

چون رهیافت پیشنهادی باید پایداری مدل مرتبه کاهشی را نیز تضمین کند، از محک روث برای تعیین شرط پایداری به صورت زیر استفاده شده است[38]:

مخرج مدل مرتبه کاهشی (12) را می توان به صورت زیر نشان داد:

     (14)    

که ضرایب دو سطر اول آرایه­ روث به همراه عناصر ستون اول را می توان به صورت زیر نمایش داد:

 (15)     

که k برای r زوج 1 و برای r فرد، 0 است.

با مقایسه­ درایه های سطر اول با  و سطر دوم با ، رابطه­ زیر به­دست می آید:

(16)

    

با قرار دادن روابط بالا در مخرج مدل مرتبه کاهشی، رابطه (14) به­دست می آید.

بنابراین، شرط لازم و کافی برای این که تمام قطب‌های مدل مرتبه کاهشی اکیداَ در نیم صفحه­ چپ باشند، عبارت است از:

(17)

    

و در نتیجه:

(18)

    

 

بنابراین، برای این که مدل مرتبه کاهشی پایدار باشد، پارامترهای مدل مرتبه کاهشی، با کمینه کردن (13) و رعایت شرط (18) تعیین می شوند که مسأله بهینه سازی به مسأله بهینه سازی مقید تبدیل می شود. به عبارت دیگر، مدل مرتبه کاهشی با کمینه کردن تابع برازش زیر به­دست می‌آید:

(19)

    

 

بنابراین، مدل مرتبه کاهشی به گونه ای به­دست می آید که l ضریب اول بسط لاگر مدل مرتبه کامل به طور متناظر با l ضریب اول بسط لاگر مدل مرتبه کاهشی برابر باشد. مدل مرتبه کاهشی که توسط این روش به­دست می آید، مشخصه های اصلی و مهم سیستم را حفظ می کند.

 

روش پیشنهادی در گام­های زیر خلاصه می­شود:

گام اول: بسط لاگر سیستم مرتبه کامل (11) را به­دست می آوریم.

گام دوم: ساختار ثابت مناسبی همانند (12) برای مدل مرتبه کاهشی در نظر می گیریم که در آن  و   پارامتر های مجهول هستند که در گام بعدی به­دست خواهند آمد.

گام سوم: از الگوریتم جستجوی هارمونی برای تعیین پارامتر های مجهول مدل مرتبه کاهشی استفاده می نماییم. هدف بهینه سازی، یافتن بهترین پارامترهای  است. بنابراین، هر هارمونی یک بردار d بعدی است که d برابر با  است. هر هارمونی یک جواب برای  است و برای هر هارمونی، بسط لاگر به­دست می آید. با استفاده از تابع هدف تعریف شده در (19)، هر هارمونی، ارزیابی می شود و الگوریتم برای یافتن هارمونی با بهترین تابع هدف،  ، تا زمان شرط پایان تحقق به جستجو می پردازد . در این مرحله، بهترین پارامتر که متناظر با  است، به عنوان پارامتر های مدل مرتبه کاهشی تعیین می شود.    

 

4- شبیه سازی و نتایج 

در این بخش برای نشان دادن کارایی و دقت رهیافت پیشنهادی، سه سیستم نمونه کاهش مرتبه داده شده­اند. برای سهولت در درک رهیافت ، روندی گام به گام برای مثال 1 ارائه شده است.

مثال 1: مدل مرتبه 8 ارائه شده توسط پارمر در [39] را در نظر بگیرید.

(20)

    

 

گام 1: با توجه به توضیحات بخش 2، بسط لاگر سیستم مرتبه کامل (20) را به­دست می آوریم:

(21)

    

 

گام 2: ساختار ثابت مناسبی برای مدل مرتبه کاهشی در نظر می گیریم:

(22)

    

که  و  پارامتر های مجهول مدل مرتبه کاهشی هستند.

گام 3: در این مرحله، از الگوریتم جستجوی هارمونی برای تعیین پارامترهای مجهول (22) استفاده می شود. چون هدف بهینه سازی یافتن بهترین پارامتر های  است، بنابراین، هر هارمونی یک بردار d بعدی است که  است. HMS برابر با 6، HMCR و عدد ارزیابی به ترتیب 0.9 و 1000 در نظر گرفته شده است. هر هارمونی جوابی برای  است و برای هر جواب (هارمونی)، بسط لاگر به­دست می آید. هر هارمونی با استفاده از تابع هدف تعریف شده در (19) برای یافتن بهترین J ارزیابی می شود تا شرط اتمام برقرار شود. در این مرحله، با استفاده از الگوریتم جستجوی هارمونی و کمینه کردن تابع برازش (19)، مدل مرتبه کاهشی زیر به­دست می آید:

(23)

    

 

بسط لاگر مدل مرتبه کاهشی به­دست آمده به صورت رابطه (24) است:

(24)

    

با مقایسه­ (21) و (24) به وضوح مشاهده می شود که تقریب بسیار مناسبی از مدل مرتبه کامل به­دست آمده است. برای نشان دادن دقت و کارایی روش پیشنهادی، پاسخ پله و پاسخ فرکانسی مدل مرتبه کاهشی با دیگر روش­های رایج کاهش مرتبه، از قبیل: برش متعادل(BT) [40] و روش هانکل (HSV)[40] و همچنین، روش کاهش مرتبه ارائه شده توسط پارمر[39] مقایسه شده است. شکل­های (1) و (2) نشان می­دهند که مدل مرتبه کاهشی به­دست آمده توسط روش پیشنهادی، نسبت به دیگر روش­های کاهش مرتبه به مدل اصلی نزدیکتر است. علاوه بر این، در جدول (1) برخی ویژگی­های مهم، از قبیل: مقدار حالت ماندگار، زمان صعود، زمان نشست و بیشینه فراجهش نشان داده شده است. همچنین، معیار انتگرال مربع خطا و مقدار نرم  خطا، که خطا اندازه­ اختلاف میان پاسخ پله­ سیستم مرتبه کامل با مدل مرتبه کاهشی آن است، در جدول (1) مقایسه شده است.

به وضوح مشاهده می شود که مشخصه های مدل مرتبه کاهشی پیشنهادی نسبت به دیگر روش های کاهش مرتبه، به مشخصه های سیستم اصلی بسیار نزدیکتر است.

همچنین، نمودار  در شکل (3) برای مدل های مرتبه کاهشی رسم شده است. این شکل نشان دهنده آن است که خطای به­دست آمده توسط روش پیشنهادی در این مقاله، بسیار کمتر از دیگر روش های کاهش مرتبه است.

 

 

شکل (1): پاسخ پله­ سیستم اصلی و مدل های کاهش مرتبه یافته توسط روش پیشنهادی و دیگر روش­های کاهش مرتبه برای مثال 1

 

 

 

شکل (2): پاسخ فرکانسی مدل اصلی و مدل‌های کاهش مرتبه یافته توسط روش پیشنهادی و دیگر روش‌های کاهش مرتبه برای مثال 1

 

 

 

شکل (3): نمودار اندازه خطا برای مدل‌های کاهش مرتبه یافته توسط روش پیشنهادی و دیگر روش‌های کاهش مرتبه برای مثال 1

 

جدول (1): مقایسه روش های کاهش مرتبه برای مثال 1

 

مقدار حالت   ماندگار به ورودی پله واحد

بیشینه   فراجهش(%)

زمان   صعود(ثانیه)

زمان   نشست(ثانیه)

انتگرال   مربع خطا

نرم       خطا

سیستم اصلی

1

120

0569/0

82/4

-

-

لاگر-   هارمونی

01/1

123

0627/0

9/4

002/0

0670/0

برش متعادل

94/0

134

0529/0

97/5

0314/0

0595/0

هانکل

944/0

132

0556/0

48/5

0326/0

0559/0

پیشنهاد شده   توسط پارمر

1

130

0439/0

4/4

0368/0

2668/0

 

 

 

مثال 2:

در [38]، با استفاده از تقریب روث- پید و با کمک الگوریتم لوس- جاکولا روشی برای کاهش مرتبه­ سیستم ارائه شده است. برای مقایسه­ روش پیشنهادی در این مقاله با روش پیشنهادی در [38]، مدل داده شده در [38] به عنوان سیستم دوم در نظر گرفته شده است:

(25)

    

 

با توجه به توضیحات ارائه شده برای مثال 1، مدل مرتبه کاهشی به­دست آمده به صورت رابطه­ (26) است:

(26)

    

 

پاسخ پله­ سیستم اصلی و مدل مرتبه کاهشی در شکل (4) نشان داده شده است. در این شکل، پاسخ پله سیستم اصلی با پاسخ پله­ مدل های به­دست آمده توسط روش پیشنهادی، روش برش متعادل، روش هانکل و روش پیشنهادی توسط سینغ مقایسه شده است. همچنین، در شکل (5) نمودار اندازه­ خطا که خطا اختلاف میان پاسخ پله مدل مرتبه کامل و مدل های مرتبه کاهشی است، نشان داده شده است. یک بار دیگر، مشخصه های مهم سیستم، از قبیل: بیشینه فراجهش، زمان صعود، زمان نشست، مقدار حالت ماندگار، شاخص انتگرال مربع خطا و نرم  خطا در جدول (2) میان روش های کاهش مرتبه مقایسه شده است. نتایج حاصله نشان دهنده دقت و کارایی بالاتر روش پیشنهادی نسبت به دیگر روش های کاهش مرتبه است.

 

 

 

شکل (4): پاسخ پله سیستم اصلی و مدل های کاهش مرتبه یافته توسط روش پیشنهادی و دیگر روش های کاهش مرتبه برای مثال 2

 

 

 

شکل (5): نمودار اندازه­ خطا برای مدل های کاهش مرتبه یافته توسط روش پیشنهادی و دیگر روش های کاهش مرتبه برای مثال 2

 

 

جدول (2): مقایسه­ روش های کاهش مرتبه برای مثال 2

 

مقدار حالت ماندگار به   ورودی پله واحد

بیشینه فراجهش(%)

زمان صعود(ثانیه)

زمان نشست(ثانیه)

انتگرال مربع خطا

نرم       خطا

سیستم اصلی

1

5/86

129/0

74/6

-

-

لاگر- هارمونی

998/0

9/85

11/0

71/2

0492/0

1356/0

برش متعادل

836/0

123

103/0

15/3

3802/0

1635/0

هانکل

836/0

115

118/0

44/3

4043/0

1635/0

پیشنهاد شده توسط سینغ

1

1/66

13/0

71/1

1404/0

3425/0

 

 

مثال 3:

سیستم سومی که در این مقاله کاهش داده شده ، برگرفته از مرجع [41] است. با توجه به توضیحات ارائه شده برای مثال 1، مدل مرتبه کاهشی به­دست آمده برای این سیستم به صورت زیر است:

(27)

    

 

 

نتایج به­دست آمده توسط روش پیشنهادی با برخی روش­های رایج کاهش مرتبه، از قبیل: روش برش متعادل، روش هانکل و روش ارائه شده در [41] در شکل‌های (6) و (7) و در جدول (3) مقایسه شده­اند. با توجه به شکل های (6) و (7) و جدول (3) به وضوح مشاهده می شود که نتایج حاصله توسط روش پیشنهادی نسبت به روش‌های دیگر کاهش مرتبه تشابه بیشتری به مدل اصلی دارد.

 

 

 

شکل (6): پاسخ پله­ سیستم اصلی و مدل­های کاهش مرتبه یافته توسط روش پیشنهادی و دیگر روش­های کاهش مرتبه برای مثال 3

 

 

شکل (7): نمودار اندازه­ خطا برای مدل های کاهش مرتبه یافته توسط روش پیشنهادی و دیگر روش های کاهش مرتبه برای مثال 3

 

جدول (3): مقایسه­ روش های کاهش مرتبه برای مثال 3

 

مقدار حالت   ماندگار به ورودی پله واحد

بیشینه   فراجهش(%)

زمان   صعود(ثانیه)

زمان   نشست(ثانیه)

انتگرال   مربع خطا

نرم       خطا

سیستم اصلی

09/0

6/68

79/3

5/95

-

-

لاگر- هارمونی

0907/0

3/65

68/3

7/93

4-10×53/7

0093/0

برش متعادل

0946/0

5/61

74/3

92

0044/0

0087/0

هانکل

135/0

6/39

87/2

2/38

3994/0

0697/0

پیشنهاد شده   توسط اسپانوس

0951/0

1/61

81/3

6/93

0051/0

0090/0

 

 

 

5- نتیجه‌گیری

در این مقاله، رهیافتی مبتنی بر چند جمله ای های متعامد لاگر و الگوریتم هارمونی برای کاهش مرتبه سیستم ها ارائه شده است که در آن از آرایه­ روث برای تعیین شرط پایداری استفاده شده است. برای نشان دادن دقت و کارایی روش پیشنهادی سه سیستم بررسی شده است. برای کمّی کردن برتری روش پیشنهادی،  نتایج  این روش با برخی روش های کاهش مرتبه موجود در مقالات مقایسه گردیده است. نتایج توانایی الگوریتم پیشنهادی را تایید می کند. این نتایج نشان می دهد که روش پیشنهادی دارای بیشینه فراجهش، زمان صعود، زمان نشست، مقدار حالت ماندگار، شاخص انتگرال مربع خطا و نرم  خطا بهتری نسبت به روش های دیگر است. نتایج به­دست آمده بیانگر آن است که روش پیشنهادی دارای  دقت بالاتر و توانایی رسیدن به پاسخ دقیقتر با درجه کمتر نسبت به روش‌های کلاسیک است.

 



 

[1]      Davison, E.J., “A method for simplifying linear dynamic systems”, IEEE Trans. Autom. Control, Vol. 11, pp. 93-101, 1966.

[2]      Chidambara, M.R., “Further comments by M.R. Chidambara”, IEEE Trans. Autom. Control, Vol. 1, pp. 799-800, 1967.

[3]      Chidambara, M.R., “Two simple techniques for the simplification of large dynamic systems”, Proc. JACC, pp. 669-674, 1969.

[4]      Chen, C.F., Shieh, L.S., “A novel approach to linear model simplification”, Int. J. Control, Vol. 8, pp. 561-570, 1968.

[5]      Wilson, D.A., “Optimal solution of model reduction problem”, Proc. IEE, Vol. 117, 1970.

[6]      Wilson, D.A., “Model reduction for multivariable systems”, Int. J. Control, Vol. 20, pp. 57-64, 1974.

[7]      Hutton, M., Friedland, B., “Routh approximations for reducing order of linear, time-invariant systems”, IEEE Trans. Autom. Control, Vol. 20, No. 3, pp. 329-337, 1975.

[8]      Langholz, G., Feinmesser, D., “Model reduction by routh approximations”, Int. J. Systems and Science, Vol. 9, No. 5, pp. 493-496, 1978.

[9]      Shamash, Y., “Model reduction using the Routh stability criterion and Pade approximation technique”, Int. J. Control, Vol. 21, No. 3, pp. 475-484, 1975.

[10]      El-Attar, R.A., Vidyasagar, M., “Order reduction by L1 and L norm minimization”, IEEE Trans. Autom. Control, Vol. 23, No. 4, pp. 731-734, 1978.

[11]      Eitelberg, E., “Model reduction by minimizing the weighted equation error”, Int. J. Control, Vol. 34, No. 6, pp. 1113-1123, 1981.

[12]      Obinata, G., Inooka, H., “Authors reply to comments on model reduction by minimizing the error”, IEEE Trans. Autom. Control, Vol. 28, pp. 124-125, 1984.

[13]      Wan, B.W., “Linear model reduction using Mihailov criterion and Pade approximation technique”, Int. J. Control, Vol. 33, pp. 1073-1089, 1981.

[14]      Moore, B.C., “Principal component analysis in linear systems: controllability, observability and model reduction”, IEEE Trans. Autom. Control, Vol. 26, pp. 17-32, 1981

[15]      Glover, K., “All optimal hankel norm approximation of linear multivariable systems and their L error bounds”, Int. J. Control, Vol. 39, pp. 1115-1193, 1984.

[16]      Ennes, D., “Model reduction with realizations: an error bound and a frequency weighted generalization” Proc. Of the 23 rd IEEE Conference on Decision and Control, Las Vegas, pp. 127-132, 1984.

[17]      Sreeram, V., Anderson, B.D.O., “Frequency weighted balanced reduction technique: A generalization and an error bound”, Proc. 34th IEEE conf. Decision and Control, New Orleans, LA, Vol. 4, pp. 3576-3581, 1995.

[18]      Kim, S.W., Anderson, B.D.O., Madievski, A.G., “Error bound for transfer function order reduction using frequency weighted balanced truncation”, System Control Letters, Vol. 24, No. 3, pp. 183-192, 1995.

[19]      Hwang, C., “Mixed method of Routh and ISE criterion approaches for reduced order modeling of continuos time systems”, Trans. ASME, J. Dynamic Systems and Measurement Control, Vol. 106, pp. 353-356, 1984.

[20]      Mukherjee, S., Mishra, R.N., “order reduction of linear systems using an error minimization technique”, Journal of Franklin Institute, Vol. 323, No. 1, pp. 23-32, 1987.

[21]      Puri, N.N., Lan, D.P., “Stable model reduction by impulse response error minimization using Mihailov criterion and Pade approximation”, Trans. ASME, J. Dyn. Syst. Meas Control, Vol. 110, pp. 389-394, 1988.

[22]      Vilbe, P., Calvez, L.C., “On order reduction of linear systems using an error minimization technique”, Journal of Franklin Institute, Vol. 327, pp. 513-514, 1990.

[23]      Liu, Y., Anderson, B.D.O., “Singular perturbation approximation of balanced systems”, Int. J. Control, Vol. 50, pp. 1379-1405, 1989. 

[24]      Feldman, P., Freund, R.W., “Efficient linear circuit analysis by Padé approximation via a Lanczos method”, IEEE Trans. Computer-Aided Des. Vol. 14, pp. 639-649, 1995.

[25]      Zadegan, A., Zilouchian, A., “Controller order reduction using frequency domain balanced structure”, Proc. World Auto. Congress, Orlando, pp. 163-168, 2002.

[26]      Zadegan, A., Zilouchian, A., “Controller order reduction using the neighborhood ofcrossover frequency approach” Proc. 17th FL. Conf. Recent Advances Robotics, CDROM, Orlando, 2004.

[27]      Zadegan, A., Zilouchian, A., “Model reduction of large-scale discrete plants with specified frequency-domain balanced structure, J. Dynamic Systems and Measurement Control, Vol. 127, No. 3, pp. 486-498, 2005.

[28]      Cheng, S.L., Hwang, C., “Optimal approximation of linear systems by a differential evolution algorithm”, IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, Part A: Systems and Humans, Vol. 31, No. 6, pp. 698-707, 2001.

[29]      Satakhshi, S., Mukherjee, S., Mittal, R.C., “Order reduction of linear discrete systems using a genetic algorithm” Applied Mathematical Modelling, Vol. 29, 565-578, 2005.

[30]      Kumar. D., Prasad, R., “Mixed evolutionary techniques to reduce order of linear interval systems using generalized routh array”, Int. J. Engineering Science and Technology, Vol. 2, No. 10, pp. 5197-5205, 2010.

[31]      Chen. Y, Balakrishnan. V, Koh. C-K, Roy. K, “Model Reduction in the Time-Domain using Laguerre Polynomials and Krylov Methods”, Proc. of Design, Automation and Test in Europe Conference and Exhibition, Paris, pp. 931-935, 2002.

[32]      Wang, X-L., Jiang, Y-L., “Model order reduction methods for coupled systems in the time domain using Laguerre polynomials”, Journal of Computers & Mathematics with Applications, V. 62 No. 8, pp. 3241-3250, 2011.

[33]      Nasiri Soloklo, N., Maghfoori Farsangi, M., “Multi-Objective Weighted Sum Approach Model Reduction by Routh-Pade Approximation Using Harmony Search”, Turkish journal of Electrical Engineering and Computer Science, Vol. 21, pp. 2283-2293, 2013.

[34]      Nasiri Soloklo, H., Maghfoori Farsangi, M., “Chebyshev Rational Functions Approximation for Model Order Reduction Using Harmony Search”, Scientia Iranica, Vol. 30, No. 3, pp. 771-777, 2013.

[35]      Hwang, C., Shin, Y.P., “Laguerre series direct method for variational problems” Journal of Optimization Theory and Applications, Vol. 39, No. 1, pp. 143-149, 1983.

[36]      Geem, Z.W., Kim, J.H., Loganathan, G.V., “A new heuristic optimization algorithm: harmony search”, Simulation, vol. 76, no. 2, pp. 60–68, 2001.

[37]      Geem, Z.W., “Music-inspired harmony search algorithm: theory and applications, Studies in Computational Intelligence, Springer, 2009.

[38]      Singh, V., “Obtaining Routh-Pade approximants using the Luus-Jaakola algorithm”, IEE Proc .Control Theory and Application, Vol. 152, No. 2, pp. 129-132, 2005.

Parmar, G., Mukherjee, S., Prasad, R., “Reduced Order Modeling of Linear Dynamic Systems using Particle Swarm Optimized Eigen Spectrum Analysis”, International Journal of Computer and Mathematic Science, Vol. 1, No. 1, pp. 45-