طراحی بهینه موتور مغناطیس دائم جهت کاهش گشتاور دندانه‌ای با استفاده از روش طراحی آزمایش‌های تاگوچی و آنالیز اجزا محدود

نوع مقاله: مقاله علمی فارسی

نویسندگان

دانشکده مهندسی برق و کامپیوتر - دانشگاه صنعتی نوشیروانی بابل- بابل - ایران

چکیده

از موانع اصلی توسعه وکاربرد موتورهای آهنربای دائم بدون جاروبک علیرغم داشتن نسبت گشتاور به وزن بالا، قابلیت اطمینان و بازده بالا عوامل مزاحمی مانند گشتاور دندانه‌ای و ریپل گشتاور می‌باشد. در این مقاله از روش طراحی آزمایش‌های تاگوچی(TaguchiExperiment Design Method) برای کاهش گشتاور دندانه‌ای بهره‌گیری شده است. برای ارزیابی موثر بودن روش پیشنهادی، مطالعه موردی روی دو نوع متفاوت از موتورهای آهنربای دائم انجام گردید. نمونه اول یک موتور بدون جاروبک با آهنربای دائم سطحی با 4 قطب و 6 شیار و نمونه دوم یک موتور بدون جاروبک با آهن ربای دائم داخلی با 8 قطب و 48 شیار می‌باشد. از بررسی نتایج می‌توان دریافت که مقدار پیک تا پیک گشتاور دندانه‌ای برای هر دو نمونه به میزان قابل قبولی کاهش یافته است.

کلیدواژه‌ها


عنوان مقاله [English]

Optimum Design of Permanent Magnet Motor forCogging Torque Reduction Using the Taguchi and Finite Element Method

نویسندگان [English]

  • S. A. Gholamian
  • S. S. Rashidaee
Faculty of Electrical and Computer Engineering, Babol, University of Technology, Babol, Iran
چکیده [English]

In spite of high reliability, high torque to weight ratio and the efficiency of brushless permanent magnet motors, cogging torque and torque ripple are the main obstacles in development and application of these motors. In this paper, the Taguchi experiment design method is used for reduction of cogging torque. Case study upon two types of permanent magnet motor is applied for validation of this method. First type is surface brushless permanent magnet motor with 4 poles and 6 slots and second type is Interior Permanent Magnet (IPM) motor with 8 poles and 48 slots. Results from simulations indicate a considerable reduction of the peak to peak value of cogging torque.

کلیدواژه‌ها [English]

  • Permanent Magnet motor؛ Permanent Magnet motor
  • cogging torque
  • Finite Element Method
  • Taguchi Experiment Design Method؛ cogging torque؛ Finite Element Method؛ Taguchi Experiment Design Method

گشتاور دندانه­ای[1] از تداخل بین شار مغناطیسی تولیدی روتور توسط آهنربا و تغییر زاویه­ای مقاومت مغناطیسی استاتور در موتورهای آهنربای دائم به وجود می­آید. در این نوع موتورها به علت وجود قطب‌های مغناطیس دائم روتور و استاتور آهنی، به طور طبیعی بین رتور و استاتور جاذبه وجود دارد که این جاذبه به دلیل وجود شیارهای استاتور، در زوایای مختلف متفاوت است. در قسمت‌هایی که حجم بیشتری از آهن وجود دارد، مقدار این جاذبه بیشتر و تمایل رتور برای هم خط شدن بیشتر است. در صورت بی‌توجهی به میزان دامنه این گشتاور مزاحم در هنگام طراحی، ممکن است راه­اندازی موتور به دشواری انجام شود و در صورت راه­اندازی، حرکت موتور با ارتعاش و نویز همراه باشد[1].

از جمع مؤلفه‌های گشتاور دندانه‌ای، ریپل گشتاور الکترومغناطیس و ریپل گشتاور رلوکتانسی، گشتاور ضربانی[2] به وجود می‌آید. با توجه به تولید این عوامل مزاحم، شکل روتور و استاتور نقش تعیین کننده‌ای در دستیابی به گشتاور خروجی مورد نظر در موتورهای الکتریکی آهنربای دائم بدون جاروبک دارد. از طرف دیگر، تعداد زیاد متغیرهای طراحی مورد نیاز برای طراحی شکل موتور و نیز زمان طولانی مورد نیاز برای محاسبات، اغلب الگوریتم­های بهینه سازی را محدود و یا غیر عملی می‌کند[2-4].

کوشش‌های بسیاری در زمینه بهینه‌سازی شکل روتور، آهنرباهای دائم و شکل استاتور با اهداف مختلف، نظیر کاهش گشتاور دندانه­ای موتور توسط پژوهشگران انجام شده است. امروزه نیز با استفاده از رایانه‌های پر سرعت، فنون بهینه سازی شکل به صورت بسیار توانمند و کارآمدتری توسعه یافته­اند و در اغلب صنایع به طور گسترده استفاده ‌می‌شوند[1-5]. بهینه سازی‌های انجام شده بیشتر بر روی ساختار استاتور، روتور و آهنربا انجام شده است.

خاطر نشان می کند مقالات زیادی در خصوص استفاده از روش تاگوچی در طراحی ماشین های الکتریکی تا کنون ارائه شده است. از بین روش‌های پیسنهاد شده به مقاله‌هایی که تمرکز آنها صرفا برروی گشتاور دندانه ای است، در این قسمت اشاره خواهد شد.

از روش‌های متداول بهینه‌سازی طراحی استاتور می­توان به انتخاب سر دندانه‌های ضخیم[2]، مورب کردن ورقه‌های استاتور [18و 9-7و 3-1]، استفاده از شیارهای مجازی روی دندانه‌های استاتور[18و13-10 و 6-4و1]، زوج کردن دندانه‌ها[14-17]،  نسبت بهینه پهنای دهانه شیار به گام شیار [18 و2]، تقسیم‌بندی دندانه استاتور به چند قسمت وجابه‌جایی شیار و دهانه شیار استاتور[4] اشاره کرد.

برخی از پرکاربردترین روش‌های بهینه‌سازی مرتبط با ساختمان آهنرباهای دائم در موتورهای الکتریکی به اختصار مورب کردن قطب‌های مغناطیس دائم، زوج کردن قطب های مغناطیس دائم ]4[، نسبت بهینه پهنای آهنربا به گام آهنربا [24-19 و 4-1]، تغییر شکل قطب[25]، تغییر در چیدمان آهنرباهای دائم[26]، طرح قطب خارج از مرکز]27[، تقسیم قطب‌های مغناطیسی به چند تکه]35[،تغییر نوع مواد مغناطیسی به‌کار رفته در قطب‌های مغناطیسی]29[ است.

همچنین، از متداولترین روش‌های بهینه‌سازی مرتبط به طراحی روتور می توان به ایجاد شیار به عنوان مانع شار (داکت) در روتور[30و31]، قرار دادن شکاف روی سطح روتور[32]، تقسیم‌بندی روتور به چند قسمت و تعیین زاویه و شعاع انحناء بهینه[33]، افزایش طول فاصله هوایی[2]و [3] و انتخاب نسبت تعداد شیار به تعداد قطب [5-2] اشاره نمود.

 

2ـ روش طراحی آزمایش‌های تاگوچی

روش طراحی آزمایش‌ها یک روش آماری است که توسط آقای فیشر در انگلستان به سال 1920 معرفی شد. هدف اولیه فیشر تعیین ترکیب بهینه‌ای از آب، باران، نور آفتاب، کود و خاک برای تولید بهترین محصول بود. فیشر در ابتدا کلیه ترکیبات ممکن بین فاکتورهای مختلف را با استفاده از یک ماتریس طرح‌ریزی نمود. آزمایش‌های مختلف صورت گرفت و روش‌هایی برای تحلیل نتایج به‌دست آمده ارایه شد. با افزایش تعداد ترکیبات ممکن بین فاکتورها، فیشر روش‌هایی را برای کاهش تعداد آزمایش‌های مورد نیاز تبیین کرد. در این آزمایش‌ها کلیه فاکتورها به طور متناسب وارد شدند. بنابراین، فیشر برای اولین بار توانست اثر چند فاکتور مختلف را به طور همزمان بررسی و تحلیل کند[37].

از مزایای این روش می توان به‌کاهش تعداد آزمایش‌ها، هزینه ها و زمان رسیدن به نقطه بهینه، امکان بررسی فاکتورهای گسسته (مانند نوع ماده به‌کار رفته و ...)، امکان تخمین نتایج در شرایط بهینه، امکان تخمین نتایج در سطوح دلخواه، امکان به‌دست آوردن همزمان شرایط بهینه برای چندین پاسخ و امکان بررسی فاکتورها با سطوح مختلف اشاره کرد.

روش طراحی آزمایش تاگوچی شامل چهار مرحله است که اجرای کلیه مراحل در پروژه‌های صنعتی از اهمیت ویژه‌ای برخوردار است. این مراحل به ترتیب برنامه‌ریزی، طراحی آزمایش­ها، تجزیه و تحلیل نتایج و تائید نتایج هستند.

 

2-1- برنامه‌ریزی

برنامه‌ریزی مهمترین بخش یک طرح است که شامل مراحل زیر است:

  • تعریف و شرح کامل مسأله
  • شرح هدف یا اهداف آزمایش (مشخص کردن پاسخ هایی که اندازه­گیری آنها مد نظر است)
  • انتخاب متغیرهای سیستم (فاکتورها)
  • انتخاب سطوح فاکتورها

 

2-2- طراحی آزمایش‌ها

پس از تهیه اطلاعات اولیه در مرحله برنامه‌ریزی، مرحله طراحی آزمایش‌ها اجرا می‌شود. در این مرحله با توجه به تعداد فاکتورها و مقادیر سطوح هر فاکتور، تعداد آزمایش‌های لازم و چگونگی ترکیب سطوح فاکتورها در هر آزمایش مشخص می‌شود. به این منظور، تعدادی آرایه متعامد توسط تاگوچی ارائه شده‌اند. یک آرایه متعامد، ماتریسی است که سطرهای آن، سطوح فاکتورها در هر آزمایش و ستون­های آن، تعداد فاکتورها را نشان می­دهند. جدول (1) تعدادی از این آرایه‌ها را به همراه موارد استفاده آنها نشان می‌دهد. آرایه‌های متعامد را به صورتLn(Xy) نشان می­دهند.

nنشان‌دهنده تعداد سطرها یا تعداد آزمایش‌ها بوده، هر سطر بیانگر چگونگی ترکیب سطوح فاکتورهای مختلف در هر آزمایش است.

در انتهای مشخصه هر آرایه، یک عدد به شکل نمایی وجود دارد که نشان‌دهنده کلیه ترکیبات ممکن بین فاکتورها است. X نشان دهنده تعداد سطوح فاکتور و Y بیانگر حداکثر تعداد فاکتورهایی است که می توان توسط آرایه مورد نظر بررسی کرد. برای مثال، در جدول (2) آرایه متعامد  دارای 8 آزمایش است و با این آرایه حداکثر می‌توان 7 فاکتور دو سطحی را بررسی کرد. تعداد کل ترکیبات ممکن بین فاکتورها نیز برابر با 128=27 است.

در نهایت، طراحی آزمایش‌ها به سه مرحله تقسیم‌بندی می‌شود:

مرحله اول: انتخاب آرایه متعامد بر مبنای تعداد فاکتورها و مقادیر آنها که در مرحله برنامه‌ریزی تعیین می‌شوند.

مرحله دوم: اختصاص فاکتورها به ستون‌های آرایه انتخاب شده.

مرحله سوم: مشخص نمودن ترکیب سطوح فاکتورها در هر آزمایش.

 

2-3            تجزیه و تحلیل آزمایش

در این مرحله تجزیه و تحلیل نتایج به‌دست آمده بررسی می‌گردد. که هدف از آن تعیین شرایط بهینه و محاسبه میزان تأثیر فاکتورها روی تابع هدف است. در گام اول باید مقدار کلی میانگین محاسبه شود. نتایج تحلیل شامل تأثیرات متوسط فاکتورهای مختلف، ترکیب بهینه فاکتورها و مقدار پیش‌بینی شده در ترکیب بهینه است.

 

2-3-1- میانگین کلی نتایج (Yavg)

میانگین کلی نتایج از فرمول (1) به‌دست می­آید:

(1)

 

که Yiنتایج آزمایشها 1 تا 8، است.

 

جدول (1): آرایه‌های متعامد رایج در رهیافت تاگوچی[34]

پنج سطحی

چهار سطحی

سه سطحی

دو سطحی

L25(56)

L16(45)

L9(34)

L4(23)

 

L32(49)

L27(313)

L8(27)

 

L64(421)

L81(340)

L12(211)

 

 

 

L16(215)

 

 

 

L32(231)

 

 

 

L64(263)

 

 

 

L128(2127)

 

جدول (2): آرایه متعامد

فاکتورها

G

F

E

D

C

B

A

 

آزمایش‌ها

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

1

2

2

1

3

1

1

2

2

2

2

1

4

2

1

2

1

2

1

2

5

1

2

1

2

2

1

2

6

1

2

2

1

1

2

2

7

2

1

1

2

1

2

2

8

2-3-2 تأثیرات متوسط فاکتورهای مختلف

برای نمونه، تأثیرات متوسط فاکتورهایAو B و C مربوط به آرایه متعامد  با توجه به جدول (1) به صورت رابطه (2) محاسبه می شوند.

که  نتایج آزمایش‌های 1 تا 8 هستند. پس از به‌دست آوردن تأثیرات متوسط همه فاکتورها، می توان ترکیب بهینه فاکتورها را با در نظر گرفتن مشخصه کیفیت (Quality Characteristic-Q.C.) تعیین کرد. به طور کلی، سه نوع مشخصه کیفیت با توجه به نوع پاسخ با عناوین بزرگتر بهتر است، کوچکتر بهتر است و مقداری اسمی بهترین است، معرفی شده‌اند. برای نمونه، در صورتی که مشخصه کیفیت، بزرگتر بهتر است باشد، انتخابی بزرگترین مقدار بین و  A2است و انتخابی بزرگترین مقدار بین و است.

 

(2)

 
 
 
 
 
 

 

2-3-3 تحلیل واریانس

در صورتی‌که یک پاسخ مد نظر باشد، به راحتی ترکیب بهینه با توجه به تأثیرات متوسط فاکتورها و نوع مشخصه کیفیت، تعیین می­شود. اگر هدف بهینه کردن دو یا چند پاسخ به طور همزمان باشد، باید از تحلیل واریانس هم برای انتخاب سطوح بهینه استفاده شود.

هدف از تحلیل واریانس تعیین سهم تغییرات هر فاکتور در پراکندگی کل پاسخ‌ها است. اولین مرحله در تحلیل واریانس، به‌دست آوردن مجموع مربعات هر کدام از فاکتورها‌ست. مقادیر به‌دست آمده نمایانگر انحراف نتایج شبیه سازی از مقدار میانگین است. برای محاسبه مجموع مربعات فاکتورA از فرمول (3) استفاده می­شود.

 

(3)

 

که  اثر متوسط فاکتورA است. مجموع مربعات بقیه فاکتورها نیز به همین طریق به‌دست می­آید.

 

2-3-4 محاسبه پاسخ () در نقطه بهینه

پس از تعیین شرایط بهینه، باید پاسخ در این شرایط محاسبه شود. اگر شرایط بهینه جزو آزمایش‌ها نباشد، باید آزمایشی در شرایط بهینه پیش بینی شده انجام و نتایج آن با  مقایسه شود.

 

+  +

+  +

+  +

(4)

 

3ـ مطالعه موردی برای اعتبار سنجی

در این بخش به ارزیابی عملکرد روش پیشنهادی در بهینه­سازی شکل طراحی موتور پرداخته می شود. ابتدا به بررسی عملکرد روش فوق روی یک موتور مغناطیس دائم با آهنربای دائم سطحی می­پردازیم. پارامترهای طراحی این موتور مربوط به قطب‌های آهنربای دائم و شیارهای استاتور و طول فاصله هوایی است. نتایج شبیه­سازی شامل گشتاور دندانه­ای، میانگین گشتاور خروجی موتور و ریپل گشتاور خروجی موتور ارائه شده است. در قسمت دوم نیز به بررسی یک موتور مغناطیس دائم با آهنربای دائم داخلی می‌پردازیم. بر خلاف نمونه اول، ابعاد آهنربای نمونه دوم ثابت مانده و تغییرات تنها روی محل قرارگیری آهنرباهای دائم و ابعاد شیارهای مانع شار (داکت) صورت می گیرد. از روش طراحی آزمایش‌های تاگوچی برای تعیین چگونگی ترکیب پارامترها و ترتیب شبیه­سازی­ها استفاده شده است. شبیه­سازی‌ها نیز در نرم افزارMaxwell 2D انجام شده است. به منظور تایید صحت نتایج، شبیه‌سازی پس از تعیین مقادیر بهینه پارامترها و اعمال تغییرات روی طراحی موتور، انجام و نتایج شبیه‌سازی با نتایج محاسبه شده از روش تاگوچی و حالت اولیه موتور مقایسه می­شود.

 

3-1- موتور مغناطیس دائم با آهنربای دائم سطحی

در این نوع موتور گشتاور ضربانی موتور شامل دو مؤلفه گشتاور دندانه‌ای و ریپل گشتاور الکترو­مغناطیس است. همچنین، این نوع موتور مغناطیس دائم، امروزه کاربرد وسیعی در کمپرسور­های تهویه هوا به دلیل کاهش مس مصرفی و ساخت آسان دارد]27[.

 

3-1-1 مدل موتور

شماتیک موتور SPM مورد نظر در شکل (1) نشان داده شده است.در این نوع موتور به دلیل وجود 6 شیار، نیروی محرکه مغناطیسی تولیدی نامتقارن بوده که موجب تولید هارمونیک­های زیادی در فاصله هوایی می­گردد. مشخصات موتور مورد نظر نیز در جدول (3) آمده است.

 

 

شکل (1): شماتیک موتور SPM با 4 قطب و 6 شیار

 

جدول (3): مشخصات موتور  SPM[27]

KW20

توان نامی

mm120

قطر خارجی استاتور

mm61

قطر داخلی استاتور

mm70

طول محوری استاتور

4

تعداد قطب‌ها

6

تعداد شیارها

mm7/1

ضخامت قطب آهنربا

mm 5/0

طول فاصله هوایی

NdfeB30

نوع مغناطیس های دائم

 

3-1-2- فاکتورهای طراحی

در جدول(4)، پارامترهای طراحی که به عنوان فاکتورهای شبیه سازی در طراحی آزمایش استفاده شده اند، نشان داده شده است. محدوده تغییرات هرکدام از فاکتورها نیز در این جدول نشان داده شده است.

 

جدول (4): فاکتورهای طراحی و سطوح تغییرات آنها

سطح4

سطح3

سطح2

سطح 1

فاکتورها

9/0

86/0

82/0

78/0

A

45/0

3/0

15/0

0

B

1/1

1

9/0

8/0

C

2

9/1

8/1

7/1

D

6/0

5/0

4/0

3/0

E

 

فاکتورها و مقادیر مربوط به آنها عبارتند از:

A- نسبت طول کمان قطب مغناطیسی به گام قطب

این پارامتر در طراحی موتورهای سنکرون مغناطیس دائم با عبارتpole embrace شناخته می­شود. این پارامتر در پژوهش­های [34-28 و 11و 6 و 4-2] نیز بررسی شده است. مقدار این پارامتر در حالت اولیه، 82/0 است.

B- اختلاف بین مراکز کمان خارجی و داخلی قطب‌های مغناطیس دائم

این پارامتر در طراحی موتورهای سنکرون مغناطیس دائم با عبارت offset شناخته می­شود و در طراحی اولیه مقدارش صفر است. با افزایش مقدار آن، شکل قطب تغییر کرده و ضخامت لبه­های آن کمتر می شود.

C- ارتفاع دهانه شیار با اندازه اولیه 1 میلیمتر

D- پهنای دهانه شیار با اندازه اولیه 9/1 میلیمتر

E- طول فاصله هوایی با اندازه اولیه 5/0 میلیمتر

 

3-1-3 چیدمان آزمایش‌ها

در جدول (5) با توجه به تعداد فاکتور­ها و سطوح هر کدام از فاکتورها و با استفاده از جداول آرایه های متعامد تاگوچی، تعداد آزمایش‌های لازم و چگونگی ترکیب سطوح فاکتورها در هر آزمایش مشخص شده است.

 

جدول (5): جدول آرایه های متعامد

E

D

C

B

A

آزمایش

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

1

2

3

3

3

3

1

3

4

4

4

4

1

4

4

3

2

1

2

5

3

4

1

2

2

6

2

1

4

3

2

7

1

2

3

4

2

8

2

4

3

1

3

9

1

3

4

2

3

10

4

2

1

3

3

11

3

1

2

4

3

12

3

2

4

1

4

13

4

1

3

2

4

14

1

4

2

3

4

15

2

3

1

4

4

16

 

همان طور که مشاهده می­کنید، روش تاگوچی باعث کاهش قابل توجه تعداد آزمایش‌های مورد نیاز از تعداد کل 1024=45 به تعداد 16 آزمایش شده است. با توجه به طولانی بودن زمان شبیه‌سازی‌ها در روش اجزای محدود، این کاهش تعداد آزمایش‌ها موجب صرفه‌جویی قابل توجه زمان تا رسیدن به نقطه بهینه است. روش تاگوچی با توجه به نتایج حاصل از این تعداد محدود آزمایش‌ها و با استفاده از محاسبات آماری، بهینه‌ترین نقطه را تعیین می­کند.

 

3-1-4 تحلیل عملکرد موتور با روش اجزای محدود

به منظور تحلیل عملکرد موتور میانگین گشتاور خروجی موتور، گشتاور دندانه ای موتور و ریپل گشتاور خروج، از نرم افزار تحلیل اجزای محدود Maxwell 2D استفاده می‌شود. در شکل (2) نیز توزیع شار مغناطیسی در موتور طراحی شده نشان داده شده است.

 

3-1-5 تحلیل نتایج شبیه سازی

با استفاده از نتایج آزمایش‌های طراحی شده توسط روش تاگوچی (جدول6) و پس از تحلیل‌های انجام شده روی نتایج آزمایش‌ها، ترکیب بهینه سطوح فاکتور‌ها و مقادیر گشتاور میانگین و دندانه‌ای در نقطه بهینه محاسبه می­شود. با توجه به نقطه بهینه به‌دست آمده، اصلاحات مورد نیاز برای رسیدن به نقطه بهینه، اعمال و نتایج پس از شبیه‌سازی، با مقادیر به‌دست آمده از روش تاگوچی مقایسه می‌شود.

 

 

شکل(2): توزیع شارمغناطیسی موتور SPM

 

جدول(6): نتایج شبیه­سازی­ها

Tavg (N.m)

Tc (N.m)

آزمایش

0747/4

7962/0

1

9830/3

7319/0

2

8827/3

6747/0

3

7778/3

6224/0

4

7331/3

6575/0

5

7976/3

7225/0

6

8723/3

6583/0

7

9454/3

7259/0

8

9486/3

8352/0

9

0242/4

8336/0

10

7297/3

5350/0

11

7985/3

5203/0

12

0220/4

6698/0

13

9133/3

5225/0

14

1448/4

8063/0

15

0304/4

6443/0

16

 

میانگین کلی نتایج محاسبه شده، در جدول (7) آمده است.

جدول(7): میانگین کلی نتایج

Tavg (N.m)

Tc (N.m)

 

9174/3

6850/0

m

 

برای محاسبه مقدار میانگین اثر سطح 3 فاکتور  Aروی مقدار Tavg از رابطه(5) بهره می گیریم. با توجه به جدول (5) مشخص است که میانگین اثر سطح 3 فاکتور A، از بین چهار آزمایش 9و10و11و12 که فاکتور A روی سطح 3 تنظیم شده بود، به‌دست آمده است. مقدار میانگین اثر سطوح بقیه فاکتور‌ها روی مقدار گشتاور میانگین نیز به همین ترتیب به‌دست می‌آیند که در جدول (8) نشان داده شده­اند.

(5)

 

 

جدول(8): مقدار میانگین اثر سطوح فاکتور­ها

Ei

Di

Ci

Bi

Ai

i

0473/4

9147/3

9081/3

9446/3

9296/3

1

9586/3

9200/3

9148/3

9296/3

8371/3

2

8752/3

9176/3

9225/3

9074/3

8753/3

3

7885/3

9172/3

9241/3

8880/3

0276/4

4

 

شکل (3) نیز تاثیر سطوح فاکتور‌های شبیه‌سازی روی مقدار گشتاور میانگین را نشان می‌دهد. همان طور که مشخص است، ترکیب (A4,B1,C4,D2,E1) به بیشترین گشتاور میانگین منجر می­شود.

 

 

 

شکل (3): تاثیر سطوح فاکتور ها روی مقدار گشتاور میانگین

 

 

با روش مشابه، به محاسبه مقدار میانگین اثر سطوح فاکتور­ها روی مقدار پیک تا پیک گشتاور دندانه­ای می‌پردازیم. نتایج حاصل در جدول (9) نشان داده شده است. شکل (4) نیز تاثیر  فاکتور­های اصلی روی مقدار پیک تا پیک گشتاور دندانه­ای را نشان می دهد. همان­طور که مشخص است ترکیب (A4,B4,C1,D1,E4) به کمترین مقدار گشتاور دندانه­ای منجر می­شود.

 

جدول(9): مقدار میانگین اثر سطوح فاکتور­ها

Ei

Di

Ci

Bi

Ai

i

7905/0

6243/0

6753/0

7396/0

7063/0

1

7174/0

6656/0

679/0

7034/0

6919/0

2

6476/0

7025/0

6895/0

6685/0

6810/0

3

5843/0

7474/0

6960/0

6282/0

6607/0

4

 

 

 

شکل (4): تاثیر فاکتور‌های اصلی روی مقدار پیک تا پیک گشتاور دندانه­ای

 

 

محاسبه مجموع مربعات فاکتورها در جدول (10) نشان داده شده است.

جدول(10): مجموع مربعات و اثر فاکتورها

Tc (N.m)

Tavg (N.m)

 

اثر فاکتور %

SSF

اثر فاکتور %

SSF

 

76/2

00443/0

15/34

0820/0

A

82/16

02700/0

08/3

00740/0

B

67/0

00108/0

27/0

00065/0

C

56/20

03300/0

02/0

00005/0

D

19/59

09500/0

48/62

15/0

E

100

16051/0

100

2401/0

مجموع

 

3-1-6 بهینه سازی طراحی

با توجه به جدول (8) و شکل (3)، ترکیب (A4,B1,C4,D2,E1) به بیشترین گشتاور میانگین منجر می‌شود. از طرفی با توجه به جدول(9) و شکل (4)، مشخص است که ترکیب (A4,B4,C1,D1,E4) به کمترین مقدار پیک تا پیک گشتاور دندانه ای منجر می شود. در نگاه اول تنها می­توان سطح چهارم فاکتور A را انتخاب کرد. برای پیدا کردن سطوح دیگر از جدول(10) کمک می­گیریم. برای به‌دست آوردن اثر فاکتورها، مقدارSSF هر کدام از فاکتورها را باید بر مجموع کل تقسیم کرد.

با توجه به اثر فاکتورها، اثر فاکتور B روی Tavg برابر با 08/3% و روی Tcبرابر با 82/16% است. بنابراین، بین دو سطح 1و4 فاکتور B، سطح 4 را انتخاب می کنیم. همچنین اثر فاکتور C روی Tavg برابر با 27/0% و رو ی Tcبرابر با 67/0% است. در نتیجه، بین دو سطح 1و4 فاکتورC، سطح 1 را انتخاب می­کنیم. اثر فاکتورهای  Dو E روی Tavgبه ترتیب برابر با 02/0% و 48/62% و روی Tc به ترتیب برابر با 56/20% و 19/59% است. در نتیجه، فاکتور‌های D و E انتخاب می شوند و در نهایت، به ترکیب(A4, B4, C1, D1 ,E1) می رسیم.

پس از تعیین ترکیب بهینه، باید پاسخ روش تاگوچی در این شرایط جدید محاسبه و با نتایج حاصل از شبیه‌سازی مقایسه شود. در جدول (11) نیز نتایج حاصل از شبیه سازی قبل و بعد از بهینه سازی و نتایج حاصل از روش تاگوچی برای مقایسه آورده شده اند. با مقایسه نتایج حاصل از شبیه‌سازی شاهد کاهش 16/13% برای گشتاور دندانه­ای و افزایش 32/8% گشتاور میانگین خروجی هستیم.

 

جدول(11): مقایسه نتایج

Tc (N.m)

Tavg (N.m)

 

7311/0

8276/3

اولیه

6391/0

1118/4

پاسخ روش تاگوچی

6349/0

1460/4

نتایج بهینه سازی

 

در شکل (5)، گشتاور دندانه ای موتور قبل و بعد از اعمال اصلاحات نشان داده شده است. کاهش مقدار پیک تا پیک گشتاور دندانه ای قابل مشاهده است.

 

 

شکل (5): گشتاور دندانه­ای موتور در حالت اولیه (خط تیره) و بعد از بهینه­سازی(خط کامل)

 

 

در شکل(6)، گشتاور خروجی موتور قبل و بعد از اعمال اصلاحات نشان داده شده که کاهش اعوجاج و افزایش گشتاور خروجی موتور به وضوح قابل مشاهده است.

برای مقایسه بهتر نتایج، ریپل گشتاور خروجی موتور قبل و پس از بهینه­سازی نیز محاسبه می‌گردد. ریپل گشتاور خروجی موتور از تقسیم مقدار مؤثر مؤلفه AC گشتاور، بر میانگین گشتاور خروجی به‌دست می­آید. مقادیر ریپل گشتاور خروجی نیز در جدول(12) مقایسه شده است. با مقایسه ریپل گشتاور خروجی قبل و پس از بهینه­سازی شاهد کاهش قابل توجه 68/38% آن هستیم.

 

 

 

شکل (6): میانگین گشتاور خروجی موتور در حالت اولیه (خط تیره) و پس از بهینه­سازی(خط کامل)

 

جدول (12): مقایسه ریپل قبل و پس از بهینه­سازی

ریپل گشتاور

خروجی موتور(%)

مقدار مؤثر مؤلفه AC

گشتاور (N.m)

 

0931/11

4246/0

اولیه

8017/6

2820/0

پس از

بهینه­سازی

 

3-2 موتور مغناطیس دائم با آهنربای داخلی

در این بخش با هدف کاهش گشتاور دندانه‌ای و ریپل گشتاور خروجی، به اصلاح طراحی یک موتور با آهنربای دائم داخلی نوعV شکل پرداخته‌ایم. موتورهای آهنربای دائم داخلی[3] به علت تولید توام گشتاور مغناطیسی و رلوکتانسی، دارای توان تولیدی بیشتری نسبت به حجم موتور، در مقایسه با سایر انواع موتورهای آهنربای دائم هستند]36[. نحوه چیدمان قطب‌های آهنربای دائم در داخل رتور و شکل شیارها در این موتورها از عوامل اصلی تولید این گشتاور‌های مزاحم محسوب می‌شوند.به علت تقارن و با هدف کاهش زمان شبیه‌سازی‌ها، تنها یک هشتم موتور طراحی و تحلیل می­شود. شماتیک کلی موتور آهنربای دائم با قطب‌های داخلی و چیدمان قطب‌های  vشکل، با 8 قطب و 48 شیار، در شکل(7) نشان داده شده است. مقادیر پارامتر‌های اصلی این موتور نیز در جدول(13) آمده­اند.

 

 

 

شکل (7): شماتیک موتور 8 قطب و 48 شیار مغناطیس دائم با آهنربای داخلی

 

جدول (13): پارامترهای اصلی ماشین

mm 270

قطر خارجی استاتور

mm162

قطر داخلی استاتور

mm5/161

قطر خارجی رتور

mm 5/110

قطر خارجی شافت

mm 5/0

طول فاصله هوایی

48

تعداد شیار

8

تعداد قطب

DW360-50

هسته رتور و استاتور

NdfeB 30SH

نوع مغناطیس­های دائم

 

نحوه سیم پیچی استاتور نیز در شکل(8) نشان داده شده است.

 

شکل(8): سیم پیچی موتور IPM

 

3-2-1 فاکتورهای طراحی

در شکل(9) پارامترهای مورد استفاده برای بهینه سازی طراحی موتور نشان داده شده­اند که در ادامه به معرفی مختصر این فاکتورها و مقادیر آنها در حالت اولیه می‌پردازیم:

A- ضخامت شیار های مانع شار (duct) با مقدار اولیه 7/4؛

B- فاصله ابتدای duct تا مرکز شافت با مقدار اولیه 72/78 میلی متر؛

C- ارتفاع دندانه duct با مقدار اولیه 3 میلی متر؛

D- کمترین فاصله بین دو آهنربا با مقدار اولیه 5/4میلی متر.

 

 

شکل(9): پارامترهای بهینه سازی طراحی موتور IPM

 

در جدول(14)، فاکتورهای طراحی موتور نشان داده شده است. سطوح تغییرات هرکدام از فاکتورها نیز در این جدول نشان داده شده است.

 

جدول(14): فاکتورهای طراحی و سطوح تغییرات آنها

سطح3

سطح2

سطح 1

فاکتورها

2/5

7/4

2/4

A

22/79

72/78

22/78

B

5/3

3

5/2

C

5/5

5/4

5/3

D

 

3-2-2 چیدمان آزمایش‌ها

در جدول(15) با توجه به تعداد فاکتور‌ها و سطوح هر کدام از فاکتورها و با استفاده از جداول آرایه‌های متعامد تاگوچی، تعداد آزمایش‌های لازم و چگونگی ترکیب سطوح فاکتورها در هر آزمایش مشخص شده است. به وضوح مشخص است که روش تاگوچی باعث کاهش تعداد آزمایش‌های مورد نیاز از تعداد کل 81=34 به تعداد 9 آزمایش شده است. روش تاگوچی با توجه به نتایج حاصل از این تعداد آزمایش‌های محدود و با استفاده از محاسبات آماری، بهینه‌ترین نقطه را تعیین می­کند.

جدول(15): جدول آرایه­های متعامد

D

C

B

A

آزمایش

1

1

1

1

1

2

2

2

1

2

3

3

3

1

3

3

2

1

2

4

1

3

2

2

5

2

1

3

2

6

2

3

1

3

7

3

1

2

3

8

1

2

3

3

9

 

3-2-3 تحلیل عملکرد موتور با روش اجزای محدود

در این مرحله همانند روند بهینه‌سازی موتور SPM، به منظور به‌دست‌ آوردن میانگین گشتاور خروجی موتور، گشتاور دندانه‌ای موتور و ریپل گشتاور خروج، از نرم افزار تحلیل اجزای محدود Maxwell 2D استفاده می‌شود. در شکل(10) نیز توزیع شار مغناطیسی در موتور طراحی شده نشان داده شده است.

 

 

شکل(10): توزیع شار مغناطیسی در موتور IPM

 

3-2-4 تحلیل نتایج شبیه سازی

با استفاده از نتایج آزمایش‌های طراحی شده توسط روش تاگوچی که در جدول(16) آمده، در ادامه به تحلیل متوسط تأثیرات فاکتور ها و تحلیل واریانس می‌پردازیم. مانند نمونه موتور قبل، پس از تحلیل‌های انجام شده روی نتایج آزمایش‌ها، ترکب بهینه سطوح فاکتور‌ها و مقادیر گشتاور میانگین و دندانه‌ای در نقطه بهینه محاسبه می‌شود. با توجه به نقطه بهینه به‌دست آمده، اصلاحات مورد نیاز برای رسیدن به نقطه بهینه، اعمال و نتایج پس از شبیه­سازی، با مقادیر به‌دست آمده از روش تاگوچی مقایسه می­شود.

میانگین کلی نتایج محاسبه شده، در جدول(17) آمده است.

 

جدول(16): نتایج شبیه­سازی­ها

Tavg (N.m)

Tc (N.m)

آزمایش

8295/212

5851/2

1

8210/216

3727/1

2

5210/219

1563/2

3

0970/215

9850/2

4

1016/225

3393/2

5

9437/236

9690/4

6

7802/222

2042/3

7

1338/234

9355/4

8

0300/245

2520/5

9

 

جدول(17): میانگین کلی نتایج

Tavg (N.m)

Tc (N.m)

 

362/225

3110/3

m

 

با توجه به جدول(14) مشخص است که میانگین اثر سطح 3 فاکتور A، از بین چهار آزمایش 9و10و11و12 که فاکتور A روی سطح 3 تنظیم شده بود، به‌دست آمده است. مقدار میانگین اثر سطوح بقیه فاکتورها روی مقدار گشتاور میانگین نیز به همین ترتیب به‌دست می­آیند که در جدول(18) نشان داده شده اند. شکل(11) نیز تاثیر سطوح فاکتورهای شبیه­سازی روی مقدار گشتاور میانگین را نشان می‌دهد. همان طور که مشخص است، ترکیب (A3,B3,C1,D1) به بیشترین گشتاور میانگین منجر می‌شود.

 

جدول(18): مقدار میانگین اثر سطوح فاکتور­ها

Di

Ci

Bi

Ai

i

6537/225

9690/227

9022/216

3905/216

1

5150/225

6469/225

3521/225

7141/225

2

9173/222

4676/222

8316/233

9813/233

3

 

 

 

 

شکل(11): تاثیر سطوح فاکتور­ها روی مقدار گشتاور میانگین

 

 

با روش مشابه، به محاسبه مقدار میانگین اثر سطوح فاکتورها روی مقدار پیک تا پیک گشتاور دندانه‌ای می‌پردازیم. نتایج حاصل در جدول(19) نشان داده شده است. شکل(12) نیز تاثیر فاکتور­های اصلی روی مقدار پیک تا پیک گشتاور دندانه­ای را نشان می­دهد. همان طور که مشخص است، ترکیب (A1,B2,C3,D2) به کمترین مقدار گشتاور دندانه‌ای منجر می‌شود.

جدول(19): مقدار میانگین اثر سطوح فاکتورها

Di

Ci

Bi

Ai

i

3921/3

1632/4

9247/2

0380/2

1

1820/3

2032/3

8825/2

4310/3

2

3590/3

5666/2

1258/4

4640/4

3

 

 

 

شکل(12): تاثیر فاکتور­های اصلی روی مقدار پیک تا پیک گشتاور دندانه­ای

 

 

همانند نمونه موتور SPM در این قسمت به تحلیل واریانس و تعیین سهم تغییرات هر فاکتور در پراکندگی کل پاسخ­ها می­پردازیم. مجموع مربعات فاکتورها در جدول(20) نشان داده شده است.

 

3-2-5- بهینه سازی طراحی

با توجه به جدول(17) و شکل(11)، ترکیب (A3,B3,C1,D1) به بیشترین گشتاور میانگین منجر می‌شود. از طرفی، با توجه به جدول(18) و شکل(12)، مشخص است که ترکیب (A1,B2,C3,D2) به کمترین مقدار پیک تا پیک گشتاور دندانه­ای منجر می شود. در نگاه اول سطوح ترکیبهای به‌دست آمده کاملا متفاوت بوده، برای تعیین ترکیب بهینه باید از نتایج تحلیل واریانس در جدول(20) استفاده شود.

 

جدول(20): مجموع مربعات و اثر فاکتورها

Tc (N.m)

Tavg (N.m)

 

اثر فاکتور %

SSF

اثر فاکتور %

SSF

 

1563/56

892/8

7047/47

713/464

A

8830/18

990/2

1316/44

906/429

B

477/24

876/3

6984/4

7700/45

C

4836/0

076/0

4651/3

7555/33

D

100

834/15

100

144/974

مجموع

با توجه به اثر فاکتورها، اثر فاکتور A روی Tavg برابر با 713/47% و رو ی Tcبرابر با 156/56% است. بنابراین بین دو سطح 1و3 فاکتور A، سطح 1 را انتخاب می­کنیم. اثر فاکتور B روی Tavg برابر با 132/44% و روی Tc برابر با 883/18% است. بنابراین، بین دو سطح 2و3 فاکتور B، سطح 3 را انتخاب می کنیم. اثر فاکتور C روی Tavg برابر با 6984/4% و رو ی Tcبرابر با 477/24% است. در نتیجه سطح 3 برای فاکتور C انتخاب می شود. اثر فاکتور D روی Tavg برابر با 4651/3% وروی Tcبرابر با 4836/0% است و در نتیجه، برای فاکتور D، سطح 1 انتخاب می‌شود که در نهایت به ترکیب (A1,B3,C3,D1) می‌رسیم.

در جدول(21) نیز نتایج حاصل از شبیه‌سازی قبل و بعد از بهینه­سازی و نتایج حاصل از روش تاگوچی برای مقایسه آورده شده­اند. با مقایسه نتایج حاصل از شبیه­سازی شاهد کاهش 18/39% برای گشتاور دندانه­ای و کاهش تنها 16/1% گشتاور میانگین خروجی هستیم.

 

جدول(21):  مقایسه نتایج

Tc (N.m)

Tavg (N.m)

 

5290/3

9689/225

اولیه

1896/2

2574/224

پاسخ روش تاگوچی

1463/2

3301/223

نتایج پس از بهینه­سازی

در شکل(13)، گشتاور دندانه­ای موتور قبل و بعد از اعمال اصلاحات نشان داده شده است. کاهش مقدار پیک تا پیک گشتاور دندانه­ای قابل مشاهده است. در شکل(14)، گشتاور خروجی موتور قبل و بعد از اعمال اصلاحات نشان داده شده است. کاهش اعوجاج و افزایش گشتاور خروجی موتور به وضوح قابل مشاهده است.

 

 

 

شکل (13): گشتاور دندانه­ای موتور در حالت اولیه (خط تیره) و بعد از بهینه­سازی(خط کامل)

 

 

شکل (14): میانگین گشتاور خروجی موتور در حالت اولیه (خط تیره) و بعد از بهینه­سازی(خط کامل)

 

 

برای مقایسه بهتر نتایج، همانند نمونه موتور SPM، ریپل گشتاور خروجی موتور قبل و بعد از بهینه­سازی نیز محاسبه شده است. مقادیر ریپل گشتاور خروجی نیز در جدول(22) مقایسه شده است. با مقایسه ریپل گشتاور خروجی قبل و پس از بهینه­سازی شاهد کاهش قابل توجه 73/22% آن هستیم.

 

جدول(22): مقایسه ریپل قبل و پس از بهینه­سازی

ریپل گشتاور

خروجی موتور(%)

مقدار مؤثر مؤلفه AC

گشتاور (N.m)

 

4657/3

8314/7

اولیه

6777/2

9801/5

پس از بهینه‌سازی

4ـ نتیجه‌گیری و پیشنهادات

در این مقاله روش طراحی آزمایش‌های تاگوچی ارائه گردید. برای ارزیابی مؤثر بودن عملکرد این روش با بهره گیری از روش طراحی آزمایش‌های تاگوچی، بهینه‌سازی طراحی روی دو نمونه موتور مغناطیس دائم با هدف کاهش گشتاور دندانه‌ای و عدم کاهش قابل توجه گشتاور میانگین خروجی، انجام شده است.

در نمونه اول، بهینه‌سازی به طور همزمان روی طراحی شکل مغناطیس‌های دائم، شکل شیارهای استاتور و طول فاصله هوایی یک موتور SPM صورت گرفت. نتایج نشان‌دهنده کاهش 16/13% مقدار پیک تا پیک گشتاور دندانه‌ای، افزایش 32/8% مقدار میانگین گشتاور خروجی و کاهش 68/38% ریپل گشتاور خروجی موتور است.

در نمونه دوم نیز بهینه­سازی به طور همزمان روی ابعاد داکت­ها و محل قرارگیری مغناطیس­های دائم یک موتور IPM صورت گرفته است. نتایج نشان دهنده کاهش قابل توجه 18/39% مقدار پیک تا پیک گشتاور دندانه­ای و کاهش 73/22% ریپل گشتاور خروجی موتور است. مقدار میانگین گشتاور خروجی نیز تنها به میزان 16/1% کاهش یافته است.

پشنهادهای زیر برای ادامه بهینه‌سازی طراحی شکل به روش تاگوچی، ارائه می شود:

v         استفاده از روش تاگوچی برای بهینه­سازی انواع دیگر موتورهای آهنربای دائم

v         استفاده از روش تاگوچی برای بهینه­سازی مشخصه­های دیگر موتورها مانند راندمان، تلفات و ...

v         بررسی عملکرد روش پیشنهادی بر رفتار موتور در مقایسه با سایر روشهای بهینه­سازی نظیر الگوریتم ژنتیک و ....

 



[1] Cogging Torque

[2] Pulsating Torque

[3] Interior Permanent Magnet Motors –IPM

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[1]  Thomas M. Jahns, Wen L. Soong, “Pulsting torque minimization techniques for permantent magnet AC motor drives-a review,” IEEE Trans. Indus. Electronics, Vol. 43, No. 2, pp. 321-330, 1996.

[2]  Li Zhu, S.Z. Jiang, Z. Q. Zhu and C. C. Chan, “Analytical method for minimizng cogging torque in permanent magnet machines,” IEEE Trans. Magn, Vol. 45, No. 4, pp. 2020-2031, April 2009.

[3]  D.C. Hanselman, “Effect of skew, pole count and slot count on brushless motor radial force, coggind torque and back EMF,” in Inst Elect. Eng. Proc. Elect. Power Appl., Vol. 44,No.5 Sep. 1997, pp. 325-330.

[4]  Z.Q. Zhu and D. Howe, “Influence of design parameters on cogging torque in permanent magnet machines,” IEEE Trans. Energy Conversion, Vol. 15,No.4, pp. 407-412, Dec. 2000.

[5]  Mini Dai, Ali Keyhani, and Tomy Sebastian, “Torque ripple analysis of a pm brushless dc motor using finite element method,” IEEE Trans. Energy Cove., Vol. 19, No.1, pp. 40-45 Mar. 2004.

[6]  Nicola Bianchi, SilverioBolognani, “Design techniques for reducing the cogging torque in surface mounted PM motors”, IEEE Trans. Ind. Applicat., Vol. 38, No.5, pp. 1259-1265, Sep./ Oct. 2004

[7]  K. J. Binns, F. B. Chaaban, and A. A. K..Hameed, “ Major design parameters of a solid canned motor with skewed magnets,” in IEEE Proc., Vol. 140, No. 3, May 1993, pp. 161-165.

[8]  M. Jug, B. Hribemik, A. Hamler, M. Trlep, and B. Kreca, “Investigation of reluctance torque of brushless DC motor,” in Proc. Int. Conf. Elec. Machines, 1990, pp. 132-137.

[9]  T. Sebastian and V. Gangla, “Analysis of induced EMF and torque waveforms in a bruchlessper,anent magnet machne,” in Rec. IEEE Ind. Applicat. Soc. Annu. Meet. 1994, pp. 240-246.

[10]             E.R. Braga Filho, A.M.N. Lima and T.S. Araujo, “Reducing cogging toque in interior permanent magnet machines without skewing,” IEEE Transaction on magneticsm Vol. 34, No. 5, pp. 3652 - 3655 1998.

[11]             N. Matumoto, S. Nishimura, M. Sanada, S. Mori,oto and Y. Takeda, “Torque performances iand arrangement of permanent magnet for IPMSM”, The Papers of Technical Meeting on Rotating Machinery, EE Japan, RM-04-52, 2004.

[12]             T. Kobayshi, M. Sanada, S. Morimoto and Y. Takeda, “Perfomanceinprovement of IPMAM with concenterated windings using rare-earth magnets by making holes” (in Japanese), The Paper of Technical Meeting on Semicconductor Power Converter, EE Japan, SOC-03-4, 2003.

[13]             Y. Kawaguchi, T. Sato, I. Miki, and M. Nakamura, “A reduction method of cogging torque for IPMSM,” The Eighth International Conference on Electrical Machine and System, 2005, (ICEMS 2005), pp. 248-250, 2005.

[14]             Sang- Moon Hwang, jae Boo Eom, ect, “various design techniques to reduce cogging torque by controlling energy variation in permanent magnet motors,” IEEE Trans. Magn., Vol. 37, No. 4. pp. 2806-2909, 2001.

[15]             Sang- Moon Hwang, jae Boo Eom, ect, “Cogging toeque and acoustic noise reduction in permanent magnet motors by teeth pairing,” IEEE Trans. Magn., Vol. 36, No. 5, pp. 3144-3146, 2000.

[16]             Y. Lin, Y. Hu, T. Lin, “ A method to reduce the cogging torque of spindle motors,” Journal of Magnetism and Magnetic Materials, Vol. 209, No.1-3, pp. 180-182, 2000.

[17]             Liang-Yi Hsu and Mi-Ching Tsai, “Tooth shape optimization of brushless permanent magnet motors for reducing torque ripples,” Journal of Magnetism and Magnetic Materials, Vol. 282, No.2, pp. 193-197., November 2004.

[18]             Mohammad S. Islam, Sayeedmir, and Tomy Sebastian, “Issues in reducing the cogging torque o mass produced permanent magnet brushless dc motor,” IEEE Trans. On Magntics, Vol. 43, No. 9, pp. 813-820 2007.

[19]             M. Aydin, Z. Q. Zhu, T. A. Lipo, “Minimization of Cogging Torque in Axial-Flux Permanent-Magnet Machines Design Concepts,” IEEE Trans. Indus. Applications., Vol. 40, No. 3, pp. 813-820, 2004.

[20]             Yang, X. Wang, R. Zhang, T. Ding, and R. Tang, “The optimization of pole arc coefficient to reduce cogging torque in surface-mounted permanent magnet motors,” IEEE Trans. On Magntics, Vol. 42, No. 4, pp. 1135-1138, 2006.

[21]             A. Q. Zhu, and S. Ruangsinchaiqanich, N. Schofield and D. Howe, “reduction of cogging torque in interior magnet brushless machines,” IEEETrans. Magnetics, Vol. 39, No. 5, pp. 3238-3240, 2003.

[22]             C. C. Hwang, S. B. John, and S. S. Wu, “Reduction of cogging torque in spindle motors,” IEEE Trans. on Magnetics, Vol. 34, No. 2, pp. 468-470, 1998.

[23]             A. keyhani, C. Studer, T. Sebastian, and S. K. Murth, “Study of cogging torque in permanent magnet motors,” Electric Machines and Power Systems, Vol. 27, No. 7, pp. 665-678, July 1999.

[24]             A. Q. Zhu, and S. Ruangsinchaiqanich, D. Ishak and D. Howe, “Analysis of cogging torque in brushless machines having nonuniformly distributed stator slots and stepped rotor magnets,” IEEE Trans. Magnetics, Vol. 41, No. 10, pp. 3910-3912, 2005.

[25]             R. Islam, I. Husain, A. Fardoun, “Permanent-Magnet Synchronous Motor Magnet Designs With Skewing for Torque Ripple and Cogging Torque Reduction,” IEEE Trans. On Industry Application, Vol. 45, No. 1,pp. 152-160 June 2009.

[26]             T. Jahns, “Motion control with permanent- magnet AC machines,” in IEEE Proc., Vol. 82, No. 8, pp. 1241-1252, Aug. 1994.

[27]             P. Zheng, J.  Zhao, J.  Han, “Optimization of the Magnetic Pole Shape of a Permanent-Magnet Synchronous Motor,” IEEE Trans. On Magnetics, Vol. 43, No. 6, pp. 2531-2533 June 2007.

[28]             T. Ishikawa, and G. R. Slemon, “A method of reducing ripple torque in permanent magnet motors without skewing,” IEEE Trans. On Magnetics, Vol. 29, No. 2, pp. 2028-2031, 1993.

[29]             A, Hassanpour, S. Vaez-Zadeh, “Using Modular Poles for Shape Optimization of Flux Density Distribution in Permanent-Magnet Machines,” IEEE Trans. On Magnetics, Vol. 44, No. 8, pp. 2009-2015 August 2008.

[30]             Gyu-Hong Kang and Jin Hur, “Analytical prediction and reduction of the cogging torque in interior permanent magnet motor” IEEE Trans. magn., pp. 1420-1624, 2005.

[31]             Y. Kawaguchi, T. Sato, I. Miki, and M. Nakamura, “A reduction method of cogging torque for IPMSM”, IEEE.

[32]             Nicola Bianchi, Silverio Bolognani, Diego Bon, and Michele Dai Pré, "Torque Harmonic Compensation in a Synchronous Reluctance Motor", in IEEE Trans. on Energy Conversion, Vol. 23, No. 2, June 2008, pp. 466-473.

[33]             K. Hwang, S. Rhee, B. Yang,” Rotor Pole Design in Spoke-Type Brushless DC Motor by Response Surface Method,” in IEEE Trans. Magn., Vol. 43, No. 4, pp. 1833-1836, April 2007.

[34]             Der-Ray Huang, Tai-Fa Ying, Shyh-Jier Wang, Chi-mou Zhou, Yin Kwang Lin, Kai-Wen Su, and Hsu, C.-I.-G., “Cogging torque reduction of a single-phase brushless DC motor” IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 34, No. 4, pp. 2075-2977, 1998.

[35]             R. Lateb, N. Takorabet, F. Meibody-Tabar, “Effect of Magnet Segmentation on the Cogging Torque in Surface-Mounted Permanent-Magnet Motors,” in IEEE Trans. Magn., Vol. 42, No. 3, pp. 442-445 March 2006.

[36]             C. Jin, D. Jung, K. Kim, “A Study on Improvement Magnetic Torque Characteristics of IPMSM for Direct Drive Washing Machine”, in IEEE Trans. Magn., Vol. 45, No. 6, pp. 2811-2814 June 2005.

[37]              Elham Zeinali; "Taguchi method of experimental design using software Qualitek", Research and Innovative Technology Company, summer 2008. [in persion]