کاربرد الگوریتم کاوش باکتری دینامیکی تطبیقی برای پخش بار بهینه با در نظر گرفتن تأثیر نقطه‌ی شیر و توان بادی

نوع مقاله: مقاله علمی فارسی

نویسندگان

1 - کارشناس ارشد مهندسی برق قدرت-

2 استاد، دانشکده فنی و مهندسی- دانشگاه شهید چمران- اهواز- ایران

چکیده

این مطالعه به ارائه الگوریتم کاوش باکتری دینامیکی تطبیقی (DABFA) برای حل مسأله پخش بار اقتصادی (ED) با در نظر گرفتن تأثیر نقطه شیر و تلفات توان می‌پردازد. به علاوه توان باد نیز در فرمول‌سازی مسأله در نظر گرفته شده است. منابع انرژی تجدید پذیر و به خصوص انرژی بادی، اخیراً به علت ملاحظات محیطی و اقتصادی گوناگون جلب توجه زیادی نموده‌اند. الگوریتم (BFA) اولیه، روش بهینه سازی تکاملی اخیراً پیشرفت یافته‌ای است که با الگوگیری از رفتار کاوشی باکتری Escherichia coli به دست آمده است. روش BFA ابتدایی به طرز موفقیت آمیزی برای حل مسائل بهینه سازی کوچک اجرا شده است، با این وصف، این روش مشخصه همگرایی ضعیفی برای مسائل مقید بزرگتر نشان می‌دهد. برای حل مشکل پیچیدگی و بعد زیاد فضای جستجوی مسأله، اصلاحاتی لازم برای بهبود عملکرد الگوریتم معرفی شده‌اند. گام پایه‌ای به گونه‌ای تنظیم شده که رفتار دینامیکی غیر خطی داشته باشد تا بین جستجوی عمومی و محلی تعادل برقرار شود. معیار توقف روش BFA ابتدایی نیز اصلاح شده تا به صورت تطبیقی وابسته به پیشرفت حل مسأله باشد، به جای این که توقف مسأله وابسته به ماکزیمم تعیین شده تعداد تکرارها باشد. الگوریتم پیشنهادی با استفاده از تعدادی سیستم تست صحه‌گذاری شده است. نتایج به دست آمده با نتایج سایر الگوریتم‌های اعمال شده برای حل مسأله با در نظر گرفتن اثر نقطه شیر و تلفات توان همراه با توان بادی مقایسه شده‌اند.

کلیدواژه‌ها


عنوان مقاله [English]

Application of Dynamic adaptive bacterial foraging algorithm for optimum economic dispatch with valve-point effects and wind power

نویسندگان [English]

  • Ehsan afzalan 1
  • mahmood Joorabian 2
1 -Department of electrical engineering, Faculty of Engineering, Shahid chamran University, Ahvaz, Iran
2 Department of electrical engineering, Faculty of Engineering, Shahid chamran University, Ahvaz, Iran
چکیده [English]

This study presents a dynamically adapted bacterial foraging algorithm (BFA) to solve the economic dispatch (ED) problem considering valve-point effects and power losses. In addition, wind power is included in the problem formulation. Renewable sources and wind energy in particular have recently been getting more interest because of various environmental and economical considerations. The original BFA is a recently developed evolutionary optimisation technique inspired by the foraging behaviour of the Escherichia coli bacteria. The basic BFA has been successfully implemented to solve small optimisation problems however, it shows poor convergence characteristics for larger constrained problems. To deal with the complexity and highdimensioned search space of the ED problem, essential modifications are introduced to enhance the performance of the algorithm. The basic chemotactic step is adjusted to have a dynamic non-linear behavior in order to improve balancing the global and local search. The stopping criterion of the original BFA is also modified to be adaptive depending on the solution improvement instead of the preset maximum number of iterations. The proposed algorithm is validated using several test systems. The results are compared with those obtained by other algorithms previously applied to solve the problem considering valve-point effects and power losses in addition to wind power.

کلیدواژه‌ها [English]

  • dynamically adapted bacterial foraging algorithm (DABFA)
  • economic dispatch (ED)

بهینه سازی پخش بار اقتصادی دهه‌ها به عنوان یک مسأله بهره‌برداری اقتصادی سیستم قدرت موضوع مطالعات تحقیقاتی وسیعی بوده است. هدف مسأله­، کمینه­سازی تابع هزینه سوخت واحدهای تولیدی به روش تخصیص بار کل مابین این واحدهاست. تابع هزینه کمینه­سازی شده دارای تعدادی قیود است که شامل تعادل بار، حدود بالا و پایین واحدهای تولیدی و نرخ شیب‌هاست [1]. در روش‌های بهینه­سازی کلاسیک، مسأله توسط یک تابع هدف مسطح مشتق­پذیر مربعی یا تکه‌تکه مربعی تخمین زده می‌شود. با وجود این به علت اثرات نقطه شیر، ‌مشخصه‌های بالاتر و ناپیوستگی هستند که به یک تابع هزینه سوخت غیر محدب و غیر مسطح منجر می­شود، اثرات نقطه شیر با استفاده از دو رویکرد مختلف ارائه شده­اند [2]: در اولین رویکرد این اثرات به صورت قیود نامساوی که آنها را به صورت نقاط عملکرد ممنوعه نشان می­دهند، فرمول بندی شده­اند [3،4]. رویکرد دوم که در این مقاله استفاده می‌شود، حاوی یک جمله سینوسی یکسو شده در تابع هدف اولیه است تا این اثرات را مدل کند [5].

به علت افزایش شدید نگرانی­های محیطی و اقتصادی، انرژی بادی به عنوان یک انرژی تجدید پذیر مطمئن جلب توجه زیادی نموده است [6]. در نظر گرفتن انرژی بادی در شبکه­های قدرت چالش­های زیادی را در استراتژی­های بهره­برداری و برنامه­ریزی ایجاد می­کند. این حقیقت که توان بادی نه به سادگی قابل پیش­بینی است و نه قابلیت توزیع دارد، علت اصلی نگرانی­های امنیت و قابلیت اطمینان در سیستم­های قدرت دارای انرژی بادی است. انرژی بادی اخیراً موضوع تحقیقاتی در حال تکاملی بوده است [7]. بسته به مشخصه­های بادی محلی و پروفایل بار، سهم توان بادی تولید شده می­تواند 10 تا 40% از تقاضای بار باشد. برخی مطالعات سهم توان بادی را تا سال 2030 حدود 20 تا 30% پیش­بینی کرده­اند [6-7].

روش­های بهینه­سازی قطعی گوناگونی برای حل مسأله کلاسیک استفاده شده­اند، از جمله روش تکراری لامدا [1](LIM)، جستجوی گرادیان، برنامه‌ریزی خطی، برنامه‌ریزی مربعی، برنامه‌ریزی دینامیکی و روش­های بر پایه نیوتون [1، 8]. با اینکه این روش‌های سنتی بر پایه حسابان عملکرد مناسبی برای حل مسأله ED کلاسیک از خود نشان می‌دهند، ولی در حل مسائل ED با در نظر گرفتن اثرات نقطه­ی شیر موفقیت قابل قبولی به دست نمی‌آورند [9]. اخیراً روش­های مکاشفه­ای غیر کلاسیک برای حل این مسأله پیشنهاد شده­اند. آنها شامل برنامه­ریزی تکاملی [10]، الگوریتم ژنتیک [11]، جستجوی Tabu [12] و بهینه سازی جستجوی ذرات[2](PSO) [13] هستند. این روش­های غیر وابسته به مشتق، عملکرد خوبی در حل مسأله­ی ED صرف­نظر از شکل غیر خطی و غیر مسطح مشخصه­های ورودی- خروجی واحد تولیدی حرارتی از خود نشان می‌دهند [9].

روش الگوریتم کاوش باکتری (BFA) تکنیک بهینه‌سازی اخیراً معرفی شده­ای است که از رفتار کاوشی باکتری Escherichia coli الگو گرفته است [14]. روش BFA به طرز موفقیت­آمیزی برای حل مسایل بهینه­سازی مختلف، از جمله بهینه­سازی و کنترل توزیع شده [14]، پخش بار بهینه [15،16]، طراحی پایدارسازهای بهینه سیستم قدرت [17] و تخمین هارمونیک [18] اعمال شده است. مشخصاً یک روش BFA ترکیبی اخیراً برای حل مسأله ED اعمال شده و به نتایج خوبی منجر شده است [19]. با وجود این، نتایج شبیه­سازی نشان دادند که روش BFA دچار ویژگی­های همگرایی ضعیف بوده، به زمان طولانی نیاز دارد. این رفتار ضعیف در محیط‌های دینامیکی و فضاهای جستجوی با ابعاد بالا مرتبط با مسائل پیچیده بدتر نیز می‌شود [20،21].

در این مقاله الگوریتم کاوش باکتری تطبیقی دینامیکی (DABFA) ارائه شده و برای حل مسأله ED با در نظر گرفتن اثرات نقطه شیر و تلفات توان اعمال شده است. مسأله ED به گونه­ای فرمول­بندی شده که در معادله تعادل توان خود توان بادی را نیز در نظر بگیرد. در شبیه‌سازی­ها نفوذ انرژی بادی به اندازه 10% کل تقاضای بار در نظر گرفته شده است. چهار حالت سیستم­های تست برای صحه­سنجی عملکرد روش DABFA پیشنهادی و مقایسه آن با تکنیک­های معروف دیگر بهینه­سازی استفاده شده­اند. نتایج بیانگر دقت، سرعت و توانایی بالای الگوریتم پیشنهادی در یافتن پاسخ­های بهینه نسبت به سایر روش­های مقایسه شده است. در ادامه این مقاله به این صورت ترتیب‌بندی شده است: بخش2 فرمول­بندی مسأله ED را ارائه می­کند، در بخش3 الگوریتم DABFA توضیح داده شده است، نتایج شبیه‌سازی در بخش4 نشان داده شده و نتیجه­گیری­ها در بخش5 آمده­اند.

 

1- فرمول‌بندی مسأله پخش بار

مسأله ED برای تعیین بارگیری بهینه تمامی واحدهای در مدار به‌منظور کمینه‌سازی تابع هزینه مشروط به قیود سیستم طراحی شده است [1].

 

2-1- تابع هدف

هزینه سوخت هر واحد تولیدی معمولاً به صورت تقریبی به صورت یک تابع مربعی مرتبه دوم تقریب زده می­شود [22].

(1)

 

 

که در آن Fi(Pgi) تابع هزینه سوخت واحد i، Pgi توان تولیدی واحدi،ai  ، bi و ci ضرایب هزینه سوخت واحد i هستند.

برای به­دست آوردن یک مدل دقیق تابع هزینه، اثرات نقطه شیر به صورت زیر در تابع سوخت مدل می­شوند [23].

(2)

 

 

که در آن ei وfi ضرایب ثابت هزینه سوخت واحد i با در نظر گرفتن اثرات نقطه شیر بوده و Pgimin مینیمم توان تولیدی واحد i است.

تابع هزینه کل مورد کمینه­سازی می­تواند به صورت برداری زیر نوشته شود [24]:

(3)

 

 

که در آن FT تابع هزینه کل، Pg بردار ستونی توان خروجی واحد تولیدی، a مجموع بردار ضریب ثابت، b بردار ستونی ضریب خطی، c ماتریس قطری ضریب مربعی و Ng تعداد واحدهای تولیدی است.

 

2-2- قیود

تابع هزینه نشان داده شده با رابطه (3) دارای تعدادی قید شامل موارد زیر است:

  • تعادل بار

(4)

 

 

که در آن PL کل تلفات توان حقیقی سیستم و PD تقاضای بار کل سیستم است.

  • حدود ظرفیت خط تولید

(5)

 

 

که در آن Pgimax بیشینه­ی توان تولیدی واحد i است.

  • تلفات سیستم شبکه

تلفات خط انتقال به صورت تابعی از توان حقیقی و ماتریس ضرایب B بیان می­شوند [25].

(6)

 

 

که در آن پارامترهای Bij ضرایب اتلاف نامیده می­شوند. عبارت (6) که به عنوان فرمول تلفات Korn شناخته می‌شود [23] را می­توان به صورت برداری زیر بیان کرد [24].

(7)

 

 

که در آن B ماتریس متقارن ضرایب اتلاف، B0 بردار ستونی ضرایب اتلاف و B00 ثابت اسکالر ضریب اتلاف است.

2-3- نفوذ توان بادی

تعادل توان با در نظر گرفتن توان باد: رابطه­ی (4) به گونه­ای اصلاح می­شود که توان تولید شده توسط منابع بادی PW از تقاضای کل بار کم شود.

(8)

 

 

در دسترس بودن توان بادی: توان باد  PWدر رابطه (8) توسط مقدار توان در دسترس از پارک بادی Pav محدود می‌شود.

(9)

 

 

 

3- روش الگوریتم کاوش باکتری دینامیکی تطبیقی پیشنهادی

روش DABFA پیشنهادی بر اساس روش BFA اولیه بنا شده است. در قسمت زیر روش BFA اصلی توضیح داده شده است.

 

3-1- الگوریتم کاوش باکتری

روش BFA یک تکنیک بهینه سازی تکاملی است که از رفتار کاوشی باکتری E.coli الهام گرفته شده است. جنبه‌های بیولوژیک روش­های کاوش باکتری و رفتار حرکتی آنها، علاوه بر مکانیزم­های تصمیم­گیری آنها را می‌توان در [14] یافت. به عنوان روشی مکاشفه­ای ، روش BFA به منظور غلبه بر مشکلات بهینه­سازی بدون گرادیان و سر و کار داشتن با توابع هدف پیچیده و مشتق ناپذیر طراحی شده است. جستجوی ابرفضا از طریق سه عملکرد اصلی اجرا می­شود: chemotaxis ، تولید مثل و فعالیت­های حذف- پراکندگی [14]. فرایند chemotaxis از طریق شنا کردن و غلت خوردن صورت می­گیرد. باکتری طول عمر خود را با گذار از یکی از این مودهای حرکتی به مود دیگر طی می­کند. در روش BFA، غلت خوردن با یک طول واحد در جهتی تصادفی ، نمایانده می­شود، که جهت حرکت پس از غلت خوردن را مشخص می­کند. اندازه گام برداشته شده در جهت تصادفی با ثابت واحد طول حرکت  نشان داده می­شود. برای جمعیتی از باکتری­ها، مکان i امین باکتری در j امین گام، k امین گام تولید مثل و l امین رخداد حذف/ پراکندگی با  نشان داده می­شود. در این مکان تابع هزینه با  نشان داده می­شود که به نام تابع مواد غذایی نیز شناخته می‌شود. پس از یک غلت خوردن، مکان i امین باکتری توسط رابطه زیر نشان داده می­شود:

(10)

 

 

وقتی در  تابع هزینه  بهتر (پایین‌تر) از باشد، گام دیگری به اندازه  در همان جهت طی می­شود. عمل شنا کردن تا زمانی که هزینه کمتری به دست آید و به تعداد بیشینه گام از قبل معین شده  برسیم تکرار می­شود.

تابع هزینه هر باکتری در جمعیت متأثر است از نوع ایجاد ازدحام اجرا شده توسط ارتباط سلول به سلول آزاد شده توسط باکتری­ها. برای شکل دادن به الگوهای ازدحامی عملیات هجوم آوردن به صورت زیر بیان  می­شود:

(11)

 

 

که در آن  و  و  و  ضرایب نمایانگر مشخصه‌های سیگنال‌های جذبی و دفعی آزاد شده توسط سلول بوده و  مؤلفه m ام باکتری i ام است. مکان هر عضو جمعیت S باکتری بوده، به این صورت تعریف می­شود:

(12)

 

 

که S اندازه جمعیت باکتری‌هاست.

تابع (11) که نمایانگر تأثیر ارتباط سلول به سلول است، با تابع هزینه جمع می­شود:

(13)

 

 

فرایند تولید مثل پس از طی ماکزیمم تعداد گام­های chemotactic، ، اجرا می­شود، جمعیت به دو نیمه می‌شود به گونه‌ای که نیمه کمتر سالم می­میرد و هر باکتری در آن نیمه دیگر سالم­تر به دو باکتری تقسیم می­شود که همان مکان را اختیار می­کنند.

(14)

 

 

پس از طی گام تولید مثل فرایند حذف/ پراکندگی به تعداد بار اجرا می­شود. در این عملیات، هر باکتری می­تواند برای کاوش قسمت­های دیگر فضای جستجو حرکت کند. احتمال این که هر باکتری اتفاق حذف/ پراکندگی را تجربه کند، با نسبت از پیش تعیین شده  تعیین می­شود.

 

3-2- الگوریتم کاوش باکتری دینامیکی تطبیقی

در مورد روش BFA ابتدایی طول واحد گام، پارامتری ثابت است که می­تواند در مورد مسائل بهینه سازی کوچک جستجوی مناسبی را تضمین نماید، اما در مورد مسایل پیچیده مقیاس بالا با ابعاد زیاد عملکرد ضعیفی از خود نشان می­دهد. پارامتر طول حرکت عامل کلیدی در کنترل قابلیت جستجوی الگوریتم BFA است. از این دیدگاه توازن بین اکتشاف و بهره برداری جستجو می­تواند با تنظیم واحد طول حرکت به دست آید. به خاطر داشته باشید که در سایر الگوریتم­های تکاملی برای کنترل قابلیت جستجوی محلی و کلی الگوریتم چند تابع دینامیکی اجرا می­شوند [26-27]. در این مقاله به جای تابع ثابت پله یک تابع دینامیکی غیر خطی کاهشی برای اجرای حرکت شنا پیشنهاد داده می­شود. این تابع به صورت زیر بیان می­شود:

(15)

 

 

که در آن j طول و بیشینه تعداد گام­های chemotactic بوده و پارامتری از قبل تعیین شده است.

معیار توقف اجرای الگوریتم BFA اصلی بیشینه گام‌های chemotactic، تعداد گام­های تولید مثل و تعداد وقایع حذف/ پراکندگی است. این معیار موجب افزایش نیازمندی محاسباتی الگوریتم در برخی موارد می­شود. در این مقاله یک معیار توقف تطبیقی اعمال شده تا الگوریتم بیشینه تعداد تکرارها را بسته به پیشرفت تابع هزینه تنظیم نماید. عملیات chemotaxis هنگامی متوقف می­شود که یا پیشرفتی در حل مسأله حاصل نشود یا هنگامی که به بیشینه تعداد گام­های chemotactic برسیم.

تکنیک الگوریتم پیشنهادی به صورت زیر است:

گام 1) مقداردهی اولیه پارامترهای زیر:

 : بعد فضای جستجو

  : تعداد باکتری­ها در جمعیت

: تعداد گام­های chemotactic

: طول شنا وقتی روی شیب (مماس) باشد

: عداد گام­های تولید مثل

: تعداد وقایع حذف/ پراکندگی

: احتمال این که هر باکتری حذف یا پراکنده شود.

: واحد اولیه طول حرکت

: واحد طول حرکت در پایان گام­های chemotactic (j=Nc )

: مکان تصادفی اولیه هر باکتری

گام 2) حلقه حذف/ پراکندگی،

گام 3) حلقه تولید مثل،

گام 4) حلقه chemotaxis، .

به ازای  گام chemotactic را برای هر باکتری به صورت زیر اجرا کن:

  • تابع هزینه  را با استفاده از(11)و(13) برآورد کن.
  • قرار بده  طوری که هزینه کمتری بتواند به دست آید.
  • غلت خوردن: یک بردار تصادفی  تولید کن که و  عددی تصادفی در بازه  است.
  • مقدار  را محاسبه کن.

(16)

 

 

  • با استفاده از رابطه (10) حرکت کن.
  • مقدار  را محاسبه کن و مقدار  را با استفاده از (11) محاسبه کن. سپس با استفاده از آن مقدار جدید را بیاب.
  • شنا کردن: قرار بده  (شمارنده برای طول شنا)

تا زمانی که  (تا مقدار بسیار طولانی مسیر طی نشود).

قرار بده: .

اگر  باشد، آنگاه قرار بده  سپس گامی دیگر را در همان جهت برداشته، مقدار   جدید را محاسبه کن.

  • به سراغ باکتری بعدی برو (  if ).
  •  با استفاده از (15) واحد طول حرکت را به روز کن.
  • بهترین (کمترین) هزینه به دست آمده را محاسبه کن .
  •  تفاوت در هزینه به دست آمده در گام chemotactic  کنونی   را محاسبه کن:

 

  • اگر  (مثلاً n=2) ودر صورتی که:

آنگاه  (یعنی عملیات chemotactic را پایان بده).

گام 5) اگر  به گام چهارم برو ( ).

گام 6) تولید مثل.

برای k و l داده شده سلامتی هر باکتری i را به صورت زیر برآورد کن:

(17)

 

 

سلامتی باکتری i معیار این است که این باکتری در ظول زندگی خود چقدر مواد غذایی به دست آورده است.

  • باکتری­ها را بر حسب سلامتی خود  به ترتیب صعودی مرتب کن.
  • باکتری­هایی که بالاترین مقادیر  را دارند، با محاسبه توسط رابطه (14) می­میرند و بقیه Sr باکتری با کمترین مقادیر تکه شده و همان جهت والدین خود را اختیار می­کنند.

گام 7) اگر  به گام 3 برو( ).

گام 8) حذف/ پراکندگی: با احتمال  به صورت تصادفی هر باکتری i را حذف و پراکنده کن؛ به گونه‌ای که اندازه جمعیت ثابت بماند.

گام 9) اگر  به گام 2برو( )،در غیر این صورت متوقف شو.

فلوچارت الگوریتم پیشنهادی در شکل(1) ارائه شده است.

 

شکل(1): فلوچارت الگوریتم پیشنهادی

 

3-3- کارباقیود

در مسأله پخش بار اقتصادی قیود تساوی و نامساوی به ترتیب با روابط (4) و (5) بیان می­شوند. نوع دوم قیود (قیود نامساوی) بیانگر حدود مرزی تولید توان است. وقتی یک باکتری خارج از مرزهای فضای جستجوی خود شنا کند، قید نامساوی نقض شده است. در این حالت  مدخل متناظر در بردار موقعیت باکتری دوباره در آخرین موقعیت مورد تحقق خود مکانیابی می­شود. این در واقع اصل رد حل­های غیر قابل تحقق و نگهداری حل­های قابل تحقق است [29]. این روال به منظور حفظ ویژگی­های تصادفی الگوریتم و نگهداشتن هر باکتری در حالت فعال به جای اعمال جریمه مرگ، حتی اگر خارج از مرزها حرکت کند، اجرا می­شود.

قیود تساوی یعنی معادلات توازن بار از طریق فاکتور جریمه با تابع هدف تعمیم داده می­شوند. معادله به دست آمده به نام تابع ارزیابی خوانده می­شود. در الگوریتم پیشنهادی تابع جریمه به کار گرفته شده به صورت یک تابع دینامیکی غیر خطی افزایشی فرمول بندی می­شود [30]. تابع ارزیابی پیشنهادی در روش DABFA که در هر تکرار محاسبه خواهد شد، به صورت ریاضی زیر بیان می‌شود:

(18)

 

 

جایی که  ،  و  مقادیری ثابت بوده و j اندیسی برای گام chemotactic است. فرمول بندی نشان می­دهد که قسمت اول تابع جریمه  با افزایش تکرار بزرگتر می­شود. یک انتخاب معقول برای ثوابت ،  و  می­تواند به ترتیب 5/0 ، 2 و 2 باشد [30]. در بسیاری از شرایط عملی انتخاب پارامترها وابسته به مسأله است.

 

4- نتایج شبیه‌سازی

الگوریتم DABFA پیشنهادی با استفاده از چهار مطالعه موردی تست شده است. برخی از این موارد نمایانگر مسأله پخش بار اقتصادی با در نظر گرفتن تلفات سیستم بوده و سایر آنها در تابع هدف خود شامل اثر نقطه شیر هستند. توان بادی نیز در هر مطالعه موردی در نظر گرفته شده است. الگوریتم در نرم­افزار  MATLAB 7.8و روی یک کامپیوتر شخصی  Intel Core 2 Duo 1.66 GHzاجرا شده است. در هر تست به تعداد 30 اجرای برنامه به صورت مستقل با مقادیر متفاوت و تصادفی حل اولیه برای هر اجرا انجام شده است. نتایج به دست آمده در هر مورد با نتایج روش‌های دیگر مقایسه شده‌اند. مقایسه انجام شده با رویکردهای مختلفی همانند روش­های قطعی و مکاشفه­ای اجرا شده است. در همگی موارد، الگوریتم DABFA پیشنهادی یا عملکرد بهتری از سایر روش­ها دارد یا نتایج قابل مقایسه­ای به دست می­دهد. مسأله پخش بار اقتصادی در هر مورد برای هر سیستم یک بار بدون در نظر گرفتن توان بادی و سپس با در نظر گرفتن یک ژنراتور بادی معادل حل شده است. در هریک از چهار مطالعه موردی سهم توان بادی تولید شده به میزان 10 درصد از کل تقاضای بار فرض شده است.

 

4-1- سیستم تست اول

این مطالعه موردی سیستم 30 باسه IEEE با 6 ژنراتور و تقاضای کل بار MW1800 است [24،32]. تلفات سیستم با استفاده از فرمول تلفات (6) و (7) با ماتریس ضرایب تلفات زیر در نظر گرفته شده­اند [41].

(19)

 

 

الگوریتم DABFA پیشنهادی ابتدا بدون در نظر گرفتن توان تولیدی بادی اعمال می­شود و سپس یک واحد معادل بادی با سهم 10 درصد از بار در نظر گرفته می­شود. نتایج به دست آمده در هر دو زیر بخش در جدول­های1 و2 نشان داده شده­اند. نتایج به دست آمده در زیر بخش اول با نتایج الگوریتم(SWT-NR)[3]  که در مرجع [31] مطرح شده، روش برنامه­ریزی مربعی متوالی [4](SQP) و بهینه­سازی با جستجوی الگو مطرح شده [5](PS) در [24]  مقایسه شده­اند. نتایج و مقایسه آنها در جدول 1 ارائه شده­اند.

 

جدول (1): مقایسه و نتایج شبیه­سازی سیستم تست اول

Power plants (MW)

Without wind power

With wind power

SWT-NR [31]

SQP [24]

PS [24]

DABFA

DABFA

P1

690/251

690/251

240/252

314/252

3201/269

P2

786/303

790/303

700/306

320/303

4433/270

P3

480/503

480/503

380/505

094/503

2460/435

P4

320/372

320/372

130/365

341/372

0709/329

P5

470/301

470/301

320/302

329/301

0364/261

P6

400/197

400/197

530/198

318/197

5697/158

Ploss (MW)

150/130

150/130

310/130

116/130

6863/103

cost($/h)

39/18721

39/18721

5/18721

39/18721

4982/16853

 

جدول (2): نتایج شبیه­سازی سیستم تست اول برای 30 بار اجرای برنامه

DABFA

cost($/h)

Average time(s)

Best

Mean

Worse

Without wind power

3956/18721

8324/18721

4236/18727

5629/0

With wind power

4982/16853

5962/16862

5732/16866

6132/0

 

 

4-2- سیستم تست دوم

در این حالت سیستم متشکل از 20 واحد تولیدی و تقاضای کل بار MW2500 است. داده­های سیستم شامل ماتریس ضرایب B را می­توان در [32] یافت. دو زیر بخش در نظر گرفته شده­اند: در اولی هیچ توان بادی وجود ندارد و در دومی یک ژنراتور بادی معادل که 10 درصد بار را تأمین می­کند، در نظر گرفته شده است. نتایج به دست آمده در زیر بخش اول با نتایج روش  Hopfield[32]، روش LIM و رویکرد  PS[24] مقایسه شده­اند. جدول‌های 3 و 4 نتایج اعمال الگوریتم پیشنهادی را برای هر دو زیر بخش به همراه مقایسه­ها برای زیر بخش اول نشان می‌دهند. در مقایسه با روش­های دیگر برای سیستم بدون توان بادی تابع هزینه به دست آمده با روش DABFA بسیار بهتر از توابع هزینه‌ به دست آمده با مدل LIM و Hopfield بوده، مقداری کمتر از تابع هزینه به دست آمده از رویکرد PS است.

 

4-3- سیستم تست سوم

این سیستم تست شامل 13 واحد تولیدی با تقاضای بار MW1800 و با در نظر گرفتن اثرات نقطه شیر است. داده‌های سیستم در [10] ارائه شده و در جدول 5 نیز نشان داده شده­اند. این جدول همچنین پخش بار بهینه را در هر دو حالت سیستم با و بدون در نظر گرفتن توان بادی نشان می­دهد. آمارهای همگرایی برای هر دو زیر بخش در جدول 6 نشان داده شده­اند.

نتایج الگوریتم پیشنهادی برای تولید بدون توان بادی با نتایج روش­های دیگر مقایسه شده­اند. سایر روش­ها شامل برنامه­ریزی تکاملی [6](EP)[32]، بهینه سازی جستجوی ذرات[7](PSO)، برنامه‌ریزی تکاملی ترکیبی با روش برنامه‌ریزی مربعی متوالی(HEP-SQP)، روش ترکیبی جستجوی ذرات با روش برنامه‌ریزی مربعی متوالی (HPSO-SQP) [9] و روش ترکیبی تکامل دیفرانسیلی آشوبی[8](CED) با روش برنامه‌ریزی مربعی متوالی (CED-SQP) [33] هستند. جدول 7 این مقایسه را نشان می‌دهد. الگوریتم DABFA پیشنهادی به مقدار زیادی عملکرد بهتری از سایر روش­ها دارد، زیرا به مینیمم هزینه ($/h) 82/17845 منتج شده که به معنی صرفه‌جویی سالانه ($) 816000 در مقایسه با کمترین هزینه به دست آمده از سایر روش­های جدول 7 است.

 

جدول (3): نتایج مدل­های  Hopfield، LIM، PSو DABFA برای سیستم تست دوم

Power plants (MW)

Without wind power

With wind power

LIM[24]

Hopfield[32]

PS[24]

DABFA

DABFA

P1

7805/512

7804/512

7882/501

1087/501

7335/501

P2

1033/169

1035/169

1035/169

8707/169

9125/114

P3

8898/126

8897/126

8889/126

7146/126

2970/86

P4

8657/102

8656/102

8684/102

5186/102

6477/75

P5

6836/113

6836/113

6836/113

1788/113

4195/85

P6

5710/73

5709/73

1564/72

3594/72

3228/87

P7

2878/115

2876/115

7870/116

2285/116

0318/97

P8

3994/116

3994/116

3992/116

7992/116

4235/147

P9

4062/100

4063/100

4063/100

4807/100

0994/104

P10

0267/106

0267/106

0242/106

4783/106

1343/72

P11

2394/150

2395/150

2360/150

6603/150

1057/137

P12

7648/292

7647/292

0784/304

0278/304

0619/187

P 13

1154/119

1155/119

1147/119

8005/119

1877/126

P14

8340/30

8342/30

8356/30

8067/30

4305/72

P15

8057/115

8056/115

8056/115

8279/114

1704/54

P16

2545/36

2545/115

4883/36

4071/36

8409/36

P17

8590/66

8590/66

8589/66

9225/65

1680/81

P18

9720/87

9720/87

9704/87

9900/88

9707/104

P19

8033/100

8033/100

8033/100

4793/100

5948/103

P20

3050/54

3050/54

3043/54

9011/54

1559/48

Ploss (MW)

9671/91

9670/91

6012/92

5608/92

7048/73

Cost ($/h)

639/62456

634/62456

661/62136

650/62136

8411/57057

Mean time (S)

7570/33

3550/6

-

8233/0

7432/0

 

جدول (4): نتایج شبیه­سازی سیستم تست دوم برای 30 بار اجرای برنامه

DABFA

cost($/h)

Average time(s)

Best

Mean

Worse

Without wind power

6502/62136

9999/62139

0755/62230

8233/0

With wind power

8411/57057

9363/57106

6443/57142

7432/0

 

جدول (5): اطلاعات سیستم شامل 13 واحد تولیدی درسیستم تست سوم

Unit

Pmin (MW)

Pmax (MW)

a

b

c

e

f

Generation without

wind power (MW)

Generation with

wind power (MW)

P1

0

680

00028/0

10/8

550

300

035/0

6301/525

3250/275

P2

0

360

00056/0

10/8

309

200

042/0

9432/252

8494/176

P3

0

360

00056/0

10/8

307

150

420/0

6818/257

3572/238

P4

60

180

00324/0

74/7

240

150

063/0

3424/78

4402/133

P5

60

180

00324/0

74/7

240

150

063/0

4016/83

3562/110

P6

60

180

00324/0

74/7

240

150

063/0

9476/89

6036/60

P7

60

180

00324/0

74/7

240

150

063/0

3523/87

4568/119

P8

60

180

00324/0

74/7

240

150

063/0

9071/100

3211/80

P9

60

180

00324/0

74/7

240

150

063/0

1229/131

9278/156

P10

40

120

00284/0

60/8

126

100

084/0

4181/40

7689/43

P11

40

120

00284/0

60/8

126

100

084/0

7795/40

0794/94

P12

55

120

00284/0

60/8

126

100

084/0

8075/55

3770/57

P 13

55

120

00284/0

60/8

126

100

084/0

6661/55

1375/73

 

جدول (6): نتایج شبیه‌سازی سیستم تست سوم برای 30 بار اجرای برنامه

DABFA

cost($/h)

Average time(s)

Best

Mean

Worse

Without wind power

8180/17845

4267/17865

0182/17901

6361/0

With wind power

4187/17262

4089/17297

2960/17361

5253/0

 

جدول (7): مقایسه و نتایج شبیه‌سازی برای سیستم تست سوم

Method

Total cost($/h)

Mean time(s)

EP[10]

07/17994

4300/157

PSO[9]

72/18030

3700/77

HEP-SQP[9]

03/17991

9300/121

HPSO-SQP[9]

93/17969

9700/33

DE[33]

61/17959

6900/2

DEC[33]

11/17960

7400/2

CDE-SQP[33]

95/17938

5000/0

DABFA

82/17845

6361/0

 

 

4-4- سیستم تست چهارم

در این مطالعه موردی تعداد واحدهای تولیدی 40 و تقاضای کل بار MW10500 بوده و اثرات نقطه شیر هم در نظر گرفته شده است. داده‌های سیستم در[10] قابل دسترسی هستند. الگوریتم DABFA در این سیستم یک بار بدون توان بادی و بار دیگر با در نظر گرفتن توان بادی آزمایش شده است. تولید بهینه هر واحد برای هر دو زیر بخش در جدول 8 نشان داده شده است.

خلاصه‌ای از رفتار همگرایی 30 اجرای الگوریتم برای دو زیر بخش در جدول 9 نشان داده شده است. نتایج برای حالت بدون توان بادی با روش‌های فهرست شده در مورد تست سوم به علاوه روش PSO اصلاح شده (MPSO) ارائه شده در [34] مقایسه شده‌اند. نتایج مقایسه در جدول 10 نشان داده شده‌اند. کمترین هزینه به دست آمده با الگوریتم DABFA پیشنهادی ($/h) 1970/119898 بوده که کمتر از هزینه­های به دست آمده با سایر روش­های جدول 10 است. مقدار سالانه کاهش هزینه با استفاده از روش پیشنهادی ($) 320/16151530 است. این مقدار با مقایسه نمودن هزینه روش پیشنهادی و کمترین هزینه به دست آمده از سایر روش­های جدول 10 محاسبه شده است.

 

 

جدول (8): حل بهینه سیستم آزمون چهارم با 40 واحد تولیدی

Unit

Pmin (MW)

Pmax (MW)

POPT no wind

(MW)

POPT with wind

(MW)

Unit

Pmin (MW)

Pmax (MW)

POPT no wind

(MW)

POPT with wind

(MW)

P1

36

114

4415/106

5378/84

P21

254

550

9079/542

3979/460

P2

36

114

2997/112

1215/86

P22

254

550

1754/521

0840/464

P3

60

120

3844/91

6488/103

P23

254

550

7296/528

0405/456

P4

80

190

7806/164

9455/150

P24

254

550

4591/548

7586/432

P5

47

97

0000/97

3867/93

P25

254

550

8029/512

8268/433

P6

68

140

0000/140

7409/99

P26

254

550

5020/532

5737/352

P7

110

300

9833/297

8196/243

P27

10

150

0000/10

5175/80

P8

135

300

7559/298

5381/241

P28

10

150

0000/10

4168/22

P9

135

300

7681/298

2172/198

P29

10

150

0000/10

0411/46

P10

130

300

0000/130

8356/211

P30

47

97

4172/84

6353/83

P11

94

375

8044/154

2793/242

P31

60

190

2997/180

4842/140

P12

94

376

6298/94

0131/356

P32

60

190

3172/189

7482/189

P13

125

500

0148/219

6244/255

P33

60

190

2538/181

9392/97

P14

125

500

8003/392

7791/219

P34

90

200

3303/178

6052/164

P15

125

500

2984/307

8705/361

P35

90

200

1330/196

2575/144

P16

125

500

1605/301

3641/154

P36

90

200

0000/200

1269/172

P17

220

500

4072/491

0018/422

P37

25

110

0000/110

4426/83

P18

220

500

3393/498

6233/474

P38

25

110

0000/110

5045/75

P19

242

550

7271/511

8888/398

P39

25

110

0000/110

5721/84

P20

242

550

2939/520

7899/528

P40

242

550

7826/514

0016/537

 

جدول (9): نتایج شبیه‌سازی سیستم آزمون چهارم برای 30 بار اجرای برنامه

DABFA

cost($/h)

Average time(s)

Best

Mean

Worse

Without wind power

1970/119898

3725/120294

1255/121368

4163/6

With wind power

6976/117416

2959/117685

1244/117949

8094/7

 

جدول (10): مقایسه و نتایج شبیه‌سازی برای سیستم آزمون چهارم

Method

Total cost($/h)

Mean time(s)

EP[10]

350/122624

35/1167

PSO[9]

450/122930

39/933

MPSO[34]

265/122252

-

HEP-SQP[9]

970/122323

73/997

HPSO-SQP[9]

670/122094

97/733

DE[33]

879/121900

12/5

DEC[33]

801/121815

01/5

CDE-SQP[33]

979/121741

26/14

DABFA

197/119898

42/6

 

 

این حالت (سیستم تست با 40 واحد تولیدی) نشان می­دهد که الگوریتم DABFA پیشنهادی با وجود ابعاد بالای ابر فضای جستجو و ناهمواری تابع هدف مربعی ناشی از اثرات نقطه شیر، عملکرد مناسبی در مسأله پخش بار اقتصادی دارد.

 

5- نتیجه‌گیری

در این مقاله یک الگوریتم DABFA برای پخش بار اقتصادی بهینه معرفی شد. تأثیر در نظر گرفتن توان بادی در سیستم­های تولیدی و روی پخش بار اقتصادی مطالعه گردید. فرمول­بندی مسأله پخش بار اقتصادی با در نظر گرفتن اثرات نقطه شیر و تلفات توان ارائه شد. به علاوه، فرمول­بندی مسأله توان بادی را نیز به منظور نشان دادن و بررسی مزایای اقتصادی قرار دادن توان بادی در شبکه­های سیستم قدرت مورد نظر قرار داد. الگوریتم پیشنهادی یک تکنیک کاوش باکتری اصلاح شده است که یک روش دینامیکی غیر خطی را برای به روز کردن بردار جستجو و بهبود همگرایی الگوریتم اعمال می­کند. همچنین، از یک معیار توقف تطبیقی برای کاهش بار محاسباتی الگوریتم استفاده می­کند. نتایج شبیه­سازی موثر و مقاوم بودن الگوریتم پیشنهادی را نشان داده­اند. مقایسه با سایر روش‌های قطعی و مکاشفه­ای نشان می­دهد که الگوریتم پیشنهادی در اکثر حالات به نتایج بسیار بهتری رسیده و در سایر حالات هم نتایج حاصله از روش پیشنهادی چندان بدتر نبوده است.



[1] - Lambda Iteration Method

[2] - Particle Swarm Optimisation

6 - surrogate worth trade-off with Newton–Raphson

7 - sequential quadratic programming

8 - pattern search

[6] - evolutionary programming

[7] - particle swarm optimisation

[8] - chaotic differential evolution

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[1] WOOD, A.J., WOLLENBERG, B.F., ‘Power generation operation and control’ (Wiley, New York, USA, 1996, 2nd edn.)

 [2] VICTOIRE, T.A.A., JEYAKUMAR, A.E., ‘Reserve constrained dynamic dispatch of units with valve-point effects’, IEEE Trans. Power Syst, Vol. 20, No. 3, pp. 1273-1282, 2005.

[3] LEE, F.N., BREIPOHL, A.M., ‘Reserve constrained economic dispatch with prohibited operating zones’, IEEE Trans.Power Syst, Vol. 8, No. 1, pp. 246-254, 1993.

[4] GAING, Z., ‘Particle swarm optimization to solving the economic dispatch considering the generator constraints’, IEEE Trans. Power Syst, Vol. 18, No. 3, pp. 1187–1195, 2003.

[5] ATTAVIRIYANUPAP, P., KITA, H., TANAKA, E., HASEGAWA, J., ‘A hybrid EP and SQP for dynamic economic dispatch with nonsmooth fuel cost function’, IEEE Power Eng. Rev, Vol. 22, No. 4, pp. 77-77, 2002.

[6] SMITH, J., THRESHER, R., ZAVADIL, R., ET, A.L., ‘A mighty wind’, IEEE Power Energy Mag, Vol. 7, No. 2, pp. 41-51, 2009.

[7] DEMEO, E.A., GRANT, W., MILLIGAN, M.R., SCHUERGER, M.J., ‘Wind plant integration’, IEEE Power Energy Mag, Vol. 3, No. 6 , pp. 38-46, 2005.

 [8] ARAVINDHABABU, P., NAYAR, K.R., ‘Economic dispatch based on optimal lambda using radial basis function network’, Int. J. Electr.Power Energy Syst, Vol. 24, No. 7, pp. 551-556, 2002.

 [9] VICTOIRE, T.A.A., JEYAKUMAR, A.E., ‘Hybrid PSO-SQP for economic dispatch with valve-point effect’, Electr.Power Syst. Res, Vol. 71, No. 1, pp. 51-59, 2004.

[10] SINHA, N., CHAKRABARTI, R., CHATTOPADHYAY, P.K., ‘Evolutionary programming techniques for economic load dispatch’, IEEE Trans. Evol. Comput, Vol. 7, No. 1, pp. 83–94, 2003.

[11] TIPPAYACHAI, J., ONGSAKUL, W., NGAMROO, I., ‘Parallel micro genetic algorithm for constrained economic dispatch’, IEEE Trans. Power Syst, Vol. 17, No. 3, pp. 790–797, 2002.

[12] LIN, W., CHENG, F., TSAY, M., ‘An improved Tabu search for economic dispatch with multiple minima’, IEEE Trans.Power Syst, Vol. 17, No. 1, pp. 108-112, 2002.

[13] SELVAKUMAR, A.I., THANUSHKODI, K., ‘A new particle swarm optimization solution to nonconvex economic dispatch problems’, IEEE Trans. Power Syst, Vol. 22, No. 1, pp. 42-51, 2007.

[14] PASSINO, K.M., ‘Biomimicry of bacterial foraging for distributed optimization and control’, IEEE Control Syst.Mag, Vol. 22, No. 3, pp. 52-67, 2002.

[15] TANG, W.J., WU, Q.H., SAUNDERS, J.R., ‘Bacterial foraging algorithm for dynamic environments’.IEEE Congress Evolutionary Computation (CEC 2006), pp. 1324-1330, 2006.

[16] TANG, W.J., LI, M.S., HE, S., WU, Q.H., SAUNDERS, J.R., ‘Optimal power flow with dynamic loads using bacterial foraging algorithm’.Int. Conf. on Power System Technology (PowerCon 2006), pp.1-5, 2006.

[17] DAS, T.K., VENAYAGAMOORTHY, G.K., ALIYU, U.O., ‘Bio-inspired algorithms for the design of multiple optimal power system stabilizers: SPPSO and BFA’, IEEE Trans. Ind. Appl, Vol. 44, No. 5, pp. 1445-1457, 2008.

[18] MISHRA, S., ‘A hybrid least square-fuzzy bacterial foraging strategy for harmonic estimation’, IEEE Trans. Evol. Comput, Vol. 9, No. 1, pp. 61-73, 2005.

[19] PANIGRAHI, B.K., PANDI, V.R., ‘Bacterial foraging optimisation: Nelder-Mead hybrid algorithm for economic load dispatch’, IET Gener.Transm. Distrib, Vol. 2, No. 4, pp. 556-565, 2008.

[20] CHEN, H., ZHU, Y., HU, K., ‘Self-adaptation in bacterial foraging optimization algorithm’.Third Int. Conf. on Intelligent System and Knowledge Engineering (ISKE 2008), Vol. 1, pp. 1026-1031, 2008.

[21] CHU, Y., MI, H., LIAO, H., JI, Z., WU, Q.H., ‘A fast bacterial swarming algorithm for high-dimensional function optimization’. IEEE Congress Evolutionary Computation (IEEE World Congress on Computational Intelligence)(CEC2008), pp.3135-3140,2008.

[22] EL-HAWARY, M.E., CHRISTENSEN, G.S., ‘Optimal economic operation of electric power systems’ (Academic Press, New York, USA, 1979).

[23] FLETCHER, R., ‘Practical methods of optimization’ (Wiley, New York, USA, 2002, 2nd edn.).

[24] ALHAJRI, M.F., EL-HAWARY, M.E., ‘Pattern search optimization applied to convex and non-convex economic dispatch’.IEEE Int. Conf. on Systems, Man and Cybernetics (ISIC 2007), pp. 2674-2678, 2007.

[25] BERGEN, R., VITTAL, V., ‘Power systems analysis’ (Prentice-Hall, Upper Saddle River, NJ, USA, 1999, 2nd edn.).

[26] SHI, Y., EBERHART, R., ‘A modified particle swarm optimizer’.Proc. IEEE Int. Conf. on Evolutionary Computation, 1998(IEEE World Congress on Computational Intelligence), pp. 69-73, 1998.

[27] NAKA, S., GENJI, T., YURA, T., FUKUYAMA, Y., ‘Practical distribution state estimation using hybrid particle swarm optimization’.2001 IEEE Power Eng. Society Winter Meeting, Vol. 2,pp. 815-820, 2001.

[28] PERAM, T., VEERAMACHANENIM, K.,