حل مسأله توزیع اقتصادی بار نامحدب با استفاده از الگوریتم ترکیبی جدید جهش قورباغه‌ها

نوع مقاله: مقاله علمی فارسی

نویسندگان

1 دانشجوی کارشناسی ارشد، دانشکده مهندسی برق و کامپیوتر- دانشگاه صنعتی اصفهان- اصفهان- ایران

2 - استادیار، دانشکده مهندسی برق و کامپیوتر- دانشگاه صنعتی اصفهان - اصفهان- ایران

چکیده

در این مقاله روش مؤثری برای حل مسأله توزیع اقتصادی بار نامحدب بر اساس نسخه جدیدی از الگوریتم جهش قورباغه های به هم آمیخته (SFL) ارائه شده است. مسأله توزیع اقتصادی بار در شرایط واقعی، محدود به قیود مساوی و نامساوی مختلفی است که معمولا آن را به مسأله‌ای ناهموار و نامحدب تبدیل و یافتن بهینه فرامحلی با استفاده از روش‌های ریاضی کلاسیک را دچار مشکل می‌کند. در الگوریتم پیشنهادی مقاله، به منظور بهبود جستجوی محلی در ممپلکسها و نیز تسریع همگرایی الگوریتم، روش جدیدی برای پرش راه ‌حل‌های بدتر به سمت راه‌ حل‌های بهتر پیشنهاد شده ‌است. همچنین به جای تولید تصادفی قورباغه‌ها، از عملگر ژنتیکی جهش برای تولید قورباغه های جدید استفاده شده است. به منظور ارزیابی روش پیشنهادی، مسأله توزیع اقتصادی بار واقعی با استفاده از الگوریتم پیشنهادی، روش SFL مرسوم و نیز یک نسخه بهبود یافته آن، پیشنهادشده توسط محققان دیگر، شبیه سازی و در سه سیستم قدرت نمونه متفاوت اجرا و نتایج آنها مقایسه و بررسی شده است. همچنین، این نتایج با جواب های چند روش دیگر مانند الگوریتم ژنتیک و برخی الگوریتم‌های ممتیک مشابه، گزارش شده در چند مرجع دیگر، مقایسه شده است. آزمایش ها نشان می دهد که در مقایسه با روش های مذکور، روش پیشنهادی مقاله از عملکرد بهتری برخوردار است.

کلیدواژه‌ها


عنوان مقاله [English]

A New Hybrid Shuffled Frog Leaping Algorithm to Solve Non-convex Economic Load Dispatch Problem

نویسندگان [English]

  • Ehsan Bijami 1
  • Akbar Ebrahimi 2
  • Javad Askari 2
1 Department of electrical engineering, Faculty of Engineering, Isfahan University of Technology, Isfahan, Iran
2 Department of electrical engineering, Faculty of Engineering, Isfahan University of Technology, Isfahan, Iran
چکیده [English]

This paper presents a New Hybrid Shuffled Frog Leaping (NHSFL) algorithm applied to solve Economic Load Dispatch (ELD) problem. Practical ELD has non-convex cost function and various equality and inequality constraints that convert the ELD problem as a nonlinear, non-convex and non-smooth optimization problem. In this paper, a new frog leaping rule is proposed to improve the local exploration and the performance of the conventional SFL algorithm. Also a genetic mutation operator is used for the creation of new frogs instead of random frog creation that improves the convergence. To show the efficiency of the proposed approach, the non-convex ELD problem is solved using conventional SFL and an improved SFL method proposed by other researchers. Then the results of SFL methods are compared to the results obtained by the proposed NHSFL algorithm. Simulation studies show that the results obtained by NHSFL are more effective and better compared with these algorithms.

کلیدواژه‌ها [English]

  • Shuffled Frog Leaping Algorithm؛ Shuffled frog leaping algorithm, non-convex economic dispatch؛ non؛ non-convex cost functions؛ convex economic dispatch
  • non؛ convex cost functions

برای رسیدن به جواب ‌های با شایستگی بیشتر وجود دارد، مورد کاوش قرار نگیرند. این مسأله باعث محدود شدن فضای جستجو در جستجوی محلی شده، علاوه بر کند شدن روند همگرایی الگوریتم، می‌تواند گیرافتادن الگوریتم در بهینه‌های محلی را نیز موجب شود. تاکنون روش‌های مختلفی برای بهبود الگوریتم SFL مرسوم و رفع معایب فوق در مقالات گوناگون [18،23،25،27] ارائه شده است.

 

خیر

 

خیر

 

خیر

 

خیر

 

بلی

 

بلی

 

بلی

 

بلی

 

پایان

 

اعمال معادلات (5) و (6) با جایگزینی  بجای

 

آیا  ؟

 

تکرار بعدی :

 

آیا از بهتر شد؟

 

تولید قورباغه به شکل تصادفی

 

جایگزین کردن به جای

 

آیا  ؟

 

ممپلکس بعدی :

 

آیا از بهتر شد؟

 

اعمال معادلات (5) و (6)

 

نخستین ممپلکس :

 

نخستین تکرار :

 

مشخص کردن ،  و

 

شکل (3): فلوچارت جستجوی محلی الگوریتم SFL [18].

 

1-1- الگوریتم پیشنهادی NHSFL

در الگوریتم پیشنهادی روش جدیدی برای انجام جستجوی محلی در ممپلکس‌ها ارائه شده است. همچنین برای بهبود جستجوی محلی و تسریع همگرایی الگوریتم، به جای تولید تصادفی قورباغه‌ها، از عملگر ژنتیکی جهش برای تولید قورباغه‌های جدید استفاده شده است.

در روش ارائه شده قانون پرش قورباغه و فرآیند یادگیری قورباغه بدتر از قورباغه بهتر در یک ممپلکس، با استفاده از  فاصله مینکوفسکی[1]  تک تک اعضای آن ممپلکس از بدترین عضو همان ممپلکس، بعلاوه اختلاف بدترین عضو هر ممپلکس، از بهترین عضو کل جمعیت بیان می شود. قانون پرش پیشنهادی به صورت زیر تعریف می‌شود:

(3)

 

 

که در آن  و  به ترتیب، عضو ام  و بدترین عضو جمعیت در هر ممپلکس هستند. همچنین  عددی تصادفی با توزیع یکنواخت در بازه 0 و 1 است. پارامتر  ضریب یادگیری بدترین راه حل  در یک ممپلکس از بقیه راه حل‌های همان ممپلکس  نام دارد که مقداری بین 1 و 2 دارد.  پارامتر  نیز، ضریب یادگیری بدترین راه حل از بهترین راه حل در کل جمعیت  است که یک عدد تصادفی در بازه 0 و 2 است. همچنین  بیانگر فاصله مینکوفسکی بین راه حل ام از بدترین راه حل است. فاصله مینکوفسکی برای دو متغیر  و  به صورت رابطه زیر تعریف می‌شود:

(4)

 

 

که در آن  و  هستند. همچنین  در رابطه (3) به صورت زیر تعریف می‌شود [19].

(5)

 

 

که  یک عدد تصادفی بین 1- و 1 است.  بیشترین درک اجازه داده شده و عدم قطعیت در امین پس از فضای جستجوست که با توجه به رابطه (6) تعریف می شود‌:

(6)

 

 

همان طور که از رابطه (3) پیداست، یادگیری راه حل بدتر فقط نسبت به راه حل بهتر در یک ممپلکس انجام نمی‌شود، بلکه فرآیند یادگیری قورباغه بدتر نسبت به همه قورباغه‌های ممپلکس و نیز نسبت به بهترین قورباغه در کل جمعیت انجام می شود. قانون پرش جدید به علت استفاده از ایده همه قورباغه‌های یک ممپلکس و جستجوی محلی در جهات مختلف، از افتادن الگوریتم در بهینه‌های محلی، خصوصا در مسائل پیچیده با ابعاد بالا، جلوگیری می کند. همچنین، به علت استفاده از ایده بهترین قورباغه جمعیت در تکامل و یادگیری بدترین قورباغه در یک ممپلکس، سرعت همگرایی الگوریتم و رسیدن آن به پاسخ بهینه افزایش چشمگیری می یابد. از طرفی، استفاده از فاصله مینکوفسکی دو قورباغه، به جای اختلاف دو قورباغه در قانون پرش ارائه شده، موجب قویتر شدن و افزایش دقت جستجوی محلی حول قورباغه بدتر شده است. اکنون با توجه به قانون پرش جدید، موقعیت جدید قورباغه به صورت زیر به دست می‌آید:

(7)

 

چنانچه این تغییر موقعیت، قورباغه ای با شایستگی بیشتر تولید کرد، قورباغه به دست آمده جایگزین قورباغه بدتر می شود. در غیر این صورت  جایگزین در رابطه (3) می شود. مجددا اگر این تغییر موقعیت قورباغه  بهتری تولید کرد، قورباغه به دست آمده جایگزین قورباغه بدتر می شود و اگر باز هم بهبودی در میزان شایستگی قورباغه بدتر دیده نشد، لازم است قورباغه ای تولید و جایگزین این قورباغه شود. در الگوریتم مرسوم SFL این قورباغه به صورت تصادفی تولید می شود.

حذف برخی جواب ها (قورباغه‌ها) و جایگزینی آنها با جواب ‌های تصادفی (به ویژه در تکرارهای نهایی الگوریتم) باعث می‌شود تا پتانسیل بالقوه آن جواب‌ها برای رسیدن به بهینه مطلق از بین برود و نیز کیفیت جمعیت از نظر میزان شایستگی عناصر جمعیت کاهش یابد. برای جلوگیری از این اتفاق، از عملگر ژنتیکی جهش برای تولید راه حل (قورباغه) جدید و جایگزینی آن به جای بدترین راه حل استفاده می‌کنیم. برای اعمال جهش روی راه حل بدتر از توزیع کوشی[2] استفاده می کنیم؛ بدین صورت که هر بعد در راه حل با احتمال (که  تعداد ابعاد است) با تابع زیر جهش می‌یابد و به طور متوسط یک بعد از بردار جواب تغییر می کند:

(8)

 

 

از آنجا که محدوده جواب‌ها به  محدود است (که در هر بعد می‌تواند متفاوت باشد) در صورتی که عددی بزرگتر از بدست آید، به  و اگر کوچکتر از باشد، به  برگردانده می‌شود که یک عدد تصادفی بین 0 و 1 است.

با توجه به روند الگوریتم، می توان مشاهده کرد که الگوریتم پس از مدتی دچار رکود می گردد، چون یادگیری قورباغه بدتر از بهترین ها متوقف می شود. بنابراین، به حرکت دوباره قورباغه‌ها در جهت دیگر در فضای جستجو نیاز است. برای این منظور، پس از آنکه یادگیری قورباغه بدتر از بهترین قورباغه در کل فضای جستجو پایان یافت، از رابطه (9) برای پرش قورباغه ها استفاده می کنیم:

(9)

 

 

استفاده از رابطه (9) موجب حرکت جواب ها در سایر نقاط و جهات فضای جستجو و افزایش بهره وری الگوریتم می شود. اکنون این پرش به  اضافه و راه حل جدید با استفاده از رابطه (10) محاسبه می شود. اگر جواب تولیدی جدید  دارای شایستگی بیشتری نسبت به جواب ام  بود، راه حل تولید شده جایگزین راه حلی که دچار رکود شده است، می‌شود [18].

(10)

 

این روند تا رسیدن به معیارهمگرایی مورد نظر ادامه پیدا می کند.

 

2- مدل ریاضی مسأله توزیع اقتصادی بار

2-1- مسأله توزیع اقتصادی بار با توابع هزینه محدب

در مسأله ELD ساده، تابع هزینه هر ژنراتور به صورت تقریبی با استفاده از یک تابع درجه دو مدل سازی می شود. هدف اولیه در مسأله ELD مشخص کردن ترکیب بهینه خروجی توان تمام واحدهای تولیدی است؛ به طوری که ضمن حفظ توانایی شبکه در تأمین تقاضای بار پیش‌بینی شده با کمترین هزینه، سایر اهداف و قیود مورد نظر نیز برآورده گردند. بنابراین، می‌توان مسأله ELD را به صورت یک مسأله مینیمم سازی با تابع هدف رابطه (11) بیان نمود [28]:

(11)

 

که در آن  کل هزینه تولید بر حسب ،  تابع هزینه سوخت ژنراتور ام،  تعداد کل ژنراتورهای متصل به شبکه،  خروجی توان حقیقی ژنراتور ام و ،  و  ضرایب هزینه سوخت ژنراتور ام هستند. از طرفی، قید تساوی برای برآورده کردن تقاضای بار مورد نیاز، به صورت زیر داده می­شود.

(12)

 

 

که  بار کل مورد نیاز مصرف کننده‌ها بر حسب  و  تلفات کل شبکه است که می‌تواند با رابطه تلفات ماتریس  و به صورت زیر محاسبه گردد:

(13)

 

ضرایب ، و ، ضرایب فرمول تلفات هستند که ثابت در نظر گرفته می­شوند. همچنین، محدودیت نامساوی مسأله هم محدودیت تولید ژنراتورها است که با رابطه زیر بیان می­شود:

(14)

 

 

که در آن  و  به ترتیب مینیمم و ماکزیمم محدودیت های توان تولیدی ژنراتور ام هستند.

2-2- مسأله توزیع اقتصادی بار با توابع هزینه نامحدب

در عمل به علت وجود قیودی همچون نرخ تغییر توان تولیدی ژنراتورها (تغییرات شیب ژنراتورها)، وجود مناطق اجرایی ممنوعه برای واحدهای تولیدی، تأثیر بارگذاری شیرها و تنوع سوخت مورد استفاده در نیروگاه ها، مسأله ELD واقعی تبدیل به یک مسأله بهینه سازی مقید با توابع هزینه ناهموار، فضای جستجوی گسترده نامحدب و دارای چندین مینیمم می شود که یافتن مینیمم محلی برای آن کار ساده ای نیست. محدودیت ها در مسأله ELD واقعی به صورت زیر هستند.

الف) محدودیت تغییرات شیب ژنراتور: در عمل به علت وجود محدودیت های ترمودینامیک و مکانیکی بویلر و توربین، هر ژنراتور می تواند در یک زمان مشخص میزان خاصی افزایش یا کاهش تولید داشته باشد. این مطلب با استفاده از روابط زیر بیان می شود [7،8]:

چنانچه افزایش تولید مورد نیاز باشد:

(15)

 

چنانچه کاهش تولید مورد نیاز باشد:

(16)

 

در روابط فوق، و  به ترتیب، محدوده بالایی ژنراتور ام و  محدوده پایینی ژنراتور ام هستند. با اعمال روابط فوق در رابطه (14)، قید محدودیت های اجرایی توان حقیقی ژنراتورها  به صورت معادله (17) در می­آید.

(17)

 

همان طور که مشاهده می شود، برای تولید توان در زمان ام نیاز به تولید زمان ام است. این مقدار معمولاً با  نشان داده می شود. در نتیجه رابطه (17) به صورت زیر بازنویسی می شود:

(18)

 

 

که در آن  نقطه اجرایی قبلی ژنراتور ام است.

ب) مناطق اجرایی ممنوعه: برخی از ژنراتورها مناطق اجرایی خاصی دارند که ناشی از محدودیت های فیزیکی مؤلفه­های ژنراتور هستند [7،13،29] . این مناطق موجب ایجاد ناپیوستگی در منحنی سوخت ژنراتورها (شکل (4)) می شوند. وجود این ناپیوستگی ها در منحنی سوخت ژنراتورها به صورت قیود رابطه (19) در مسأله ELD در نظر گرفته می شود.

(19)

 

که و  به ترتیب کران های پایین و بالای منطقه اجرایی ممنوعه ام از ژنراتور ام (MW)،  تعداد مناطق ممنوعه ژنراتور ام و  تعداد ژنراتورها با مناطق اجرایی ممنوعه است.

مناطق اجرایی ممنوعه

 

توان خروجی (MW)

 

شکل (4): منحنی ورودی خروجی با مناطق اجرایی ممنوعه[13].

ج) اثر بارگذاری شیر: معمولا در واحدهای حرارتی از چندین شیر بخار در توربین برای کنترل توان خروجی ژنراتورها استفاده می شود [3]. باز شدن شیر بخار موجب افزایش غیرمنتظره در تلفات و  به وجود آمدن ریپل در منحنی ورودی-خروجی و در نتیجه ناهمواری تابع هزینه می شود. شکل (5) تأثیر بارگذاری شیر بر منحنی ورودی-خروجی را نشان می دهد. با در نظر گرفتن اثر بارگذاری شیر، تابع هزینه هر ژنراتور به شکل رابطه (20) در می‌آید[7،13،30].

(20)

 

که  و  ضرایب ژنراتور ام برای نشان دادن تأثیر بارگذاری شیر هستند. مفهوم اولیه  اثر بارگذاری شیر و توابع هزینه مربوط به آن در [30] ارائه شده است.

 

با در نظر گرفتن اثر بارگذاری شیر     - - - -

بدون در نظر گرفتن اثر بارگذاری شیر 

 

توان خروجی (MW)

 

شکل (5): منحنی ورودی-خروجی تحت تأثیر بارگذاری شیر[13]

 

د) چندگانگی سوخت: استفاده از چندین سوخت متفاوت در واحدهای تولیدی باعث به وجود آمدن منحنی‌های هزینه چندگانه می‌شود که لزوماً موازی یا پیوسته نیستند. در این صورت، از یک تابع هزینه مرتبه دوم تکه‌ای برای مدل سازی منحنی ورودی – خروجی ژنراتور با چندین سوخت متفاوت استفاده می شود. برای یک سیستم قدرت با  ژنراتور و  سوخت متفاوت برای هر واحد تولیدی، تابع هزینه هر ژنراتور به صورت رابطه (21) است. همچنین، شکل (6) منحنی توابع هزینه سوخت آن را نشان می دهد [2،13،31].

(21)

 

 

بنابراین، برای یک سیستم قدرت با  ژنراتور و  سوخت متفاوت برای هر واحد تولیدی، تابع هزینه هر ژنراتور با در نظر گرفتن تأثیر بارگذاری شیر به صورت رابطه (22) بیان می شود:

 

(22)

 

 

 

سوخت 3

 

سوخت 1

 

سوخت 2

 

$

 

هزینه افزایشی ($/MW)

 

توان (MW)

 

Max

 

P2

 

P1

 

Min

شکل (6): تابع هزینه سوخت از واحد تولید حرارتی که چندین سوخت متفاوت استفاده می­کند[13]

 

3- سیستم های مورد مطالعه

 

به ‌منظور ارزیابی الگوریتم NHSFL پیشنهادی و همچنین مقایسه با الگوریتم SFL معمولی و الگوریتم SFL بهبود یافته ارائه شده با عنوان MSFL در [18]، از سه سیستم تست نمونه استفاده شده‌است. مشخصات سیستم های تست مورد استفاده از [6،14،15]  گرفته ‌شده است.مراجع دیگری همچون [3،13] نیز از آنها برای آزمایش روش پیشنهادی خود بهره گرفته‌اند.

سیستم شش ژنراتوری: این سیستم شامل شش ژنراتور حرارتی با محدودیت های تغییرات شیب و مناطق اجرایی ممنوعه است. تمامی ژنراتورها دارای محدودیت تغییرات شیب و مناطق اجرایی ممنوعه هستند. اطلاعات ورودی این سیستم، شامل مینیمم و ماکزیمم مقدار تولید، ضرایب هزینه و ضرایب مربوط به محدودیت شیب مربوط به هر ژنراتور و نیز میزان تولید در ساعت قبلی که مربوط به محدودیت شیب می‌شود، در [14] ارائه شده است. همچنین، تلفات شبکه با استفاده از رابطه ماتریس  محاسبه شده است. در مرجع [12]، نحوه محاسبه ضرائب B توضیح داده شده است. تقاضای بار مورد نیاز این سیستم MW 1263 است و بهترین هزینه ای که تاکنون برای این سیستم گزارش شده است $/h 0925/15443 است[13].

سیستم پانزده ژنراتوری: این سیستم شامل پانزده ژنراتور حرارتی با محدودیت­های تغیرات شیب و مناطق اجرایی ممنوعه می باشد. تمامی ژنراتورها دارای محدودیت تغییرات شیب می باشند. در این سیستم فقط چهار واحد تولیدی دارای مناطق اجرایی ممنوعه می‌باشند، واحدهای حرارتی 2، 5 و 6 هر کدام دارای سه منطقه ممنوعه و واحد حرارتی دوازدهم دارای دو منطقه ممنوعه می‌باشد. اطلاعات ورودی این سیستم، شامل مینیمم و ماکزیمم مقدار تولید، ضرائب هزینه و ضرایب مربوط به محدودیت شیب مربوط به هر ژنراتور و نیز میزان تولید در ساعت قبلی که مربوط به محدودیت شیب می‌شود در [15] ارائه شده است. همانند سیستم قبل، تلفات شبکه با استفاده از رابطه ماتریس  محاسبه شده است. تقاضای بار مورد نیاز این سیستم MW2630است و بهترین هزینه ای که تاکنون برای این سیستم گزارش شده است $/h  41/32738  می باشد [13]. این سیستم نسبت به سیستم 6 ژنراتوری فضای جستجوی گسترده تر و مینیمم های محلی بیشتری دارد. لذا با استفاده از این سیستم، توانایی الگوریتم‌ پیشنهاد شده در سیستم های بزرگتر که پیچیدگی بیشتری دارند، مورد بررسی قرار می‌گیرد.

سیستم 10 ژنراتوری: این سیستم شامل 10 ژنراتور حرارتی است که بر خلاف دو سیستم قبل محدودیت‌های شیب ژنراتورها و مناطق اجرایی ممنوعه را ندارد ولی در عوض دارای محدودیت‌های چندگانگی سوخت و اثر بارگذاری شیر بخار می باشد [14]. تقاضای بار مورد نیاز این سیستم MW2700 است و بهترین نتیجه­ای که تاکنون برای آن گزارش شده $/h 624.1273 است. ضرایب هزینه و میزان تولید هر ژنراتور و مقادیر مورد نیاز در توزیع اقتصادی بار مربوط به این سیستم در [6] داده شده است.

 

4- اجرای الگوریتم پیشنهادی و نتایج شبیه سازی

 

به ‌منظور ارزیابی عملکرد و کارایی الگوریتم پیشنهادی NHSFL، نتایج به دست آمده از آن، با نتایج حاصل از اعمال الگوریتم SFL مرسوم و الگوریتم بهبود یافته MSFL به مسأله، مقایسه شده است. همچنین، نتایج فوق با نتایج بدست آمده از الگوریتم های GA و PSO [14،15]، الگوریتم های ممتیک SVMA، FVMA [3] و روش های MPSO و GCPSO گزارش شده در [13] مقایسه شده اند. کلیه شبیه سازی ها در محیط برنامه ‌نویسی نرم ‌افزار MATLAB و با استفاده از یک رایانه با پردازشگر Core2Duo 2.53MHz و حافظه 4GB انجام شده است. شایان ذکر است که، تعداد اعضای جمعیت و تعداد تکرار الگوریتم های اعمال شده به مسأله، با آنچه در مقالات قبلی گزارش شده است، یکسان در نظر گرفته شده‌اند تا بتوان نتایج را در شرایطی برابر با یکدیگر مقایسه کرد. پیاده سازی روش های SFL، MSFL و NHSFL برای حل مسأله ELD در سیستم های مورد مطالعه به صورت زیر است:

همان طور که اشاره شد، هدف از بهینه سازی، یافتن بهترین تولید برای ژنراتورهاست. بنابراین، در سیستم تست شش ژنراتوری، هر عضو از جمعیت در پیاده سازی هر یک از الگوریتم های فوق به صورت بردار  در نظر گرفته می­شود. تعداد اعضای جمعیت، مشابه مراجع [3] و [13،15] ،20 عضو و نیز تعداد تکرارها که شرط توقف الگوریتم است، 50 در نظر گرفته شده است. در الگوریتم‌های SFL، ابتدا قورباغه‌ها به شکل تصادفی تولید و سپس با تابع هدف تعریف شده در (11) و با در نظر گرفتن قیود مساوی و نامساوی (12)- (19) ارزیابی می شوند. باید توجه داشت، از آنجا که سیستم شش ژنراتوری دارای محدودیت‌های تغییرات شیب ژنراتورها و نواحی اجرایی ممنوعه است، قیود (18) و (19) لحاظ شده اند.

از آنجایی که انتخاب پارامترهای الگوریتم‌های SFL، MSFL و NHSFL تأثیر درخور توجهی بر کیفیت جواب به ‌دست آمده دارد، قبل از حل مسأله آزمایش‌های متعددی بر روی سیستم های گوناگون انجام گرفته و با توجه به نتایج به‌دست آمده مقادیر مناسب برای تعداد ممپلکس‌ها، تعداد تکرارهای محلی  و مقادیر  و Dmax به‌دست آمده است. مقادیر انتخاب شده برای الگوریتم‌های SFL و NHSFL در جدول (1) نشان داده شده‌اند.

 

جدول (1): پارامترهای انتخابی برای الگوریتم‌های SFL و NHSFL

پارامترها

الگوریتم

SFL

MSFL

NHSFL

تعداد ممپلکس‌ها (m)

10

10

10

 

5

5

5

Dmax

inf.

inf.

inf.

C1

-

-

3/1

 

به ‌علت خاصیت تصادفی الگوریتم ‌های اعمال شده و به ‌منظور انجام مقایسه بهتر، هر کدام از این الگوریتم‌ها 50 مرتبه به صورت مستقل اجرا و بهترین جواب از میان جواب‌‌های به ‌دست آمده انتخاب شده ‌است. جواب های بدست آمده از روش های مطرح شده و نیز نتایج گزارش شده در سایر مراجع در جدول (2) آورده شده است. مقایسه نتایج به دست آمده نشان می‌دهد که عمکرد و دقت الگوریتم NHSFL بهتر از SFL مرسوم و MSFL است.

همچنین، جدول (3) مناطق اجرایی ممنوعه، محدودیت‌های تولید و نتایج به دست آمده با روش های فوق را نشان می دهد. همان گونه که پیداست، نتایج به دست آمده محدودیت‌های مسأله را ارضا می کنند و در مناطق مجاز تولید قرار دارند. به‌منظور مقایسه عملکرد و نحوه همگرایی الگوریتم‌ها، مشخصه همگرایی الگوریتم‌ها در یافتن مینیمم هزینه، در شکل (7) رسم شده‌است. این مشخصه برای میانگین 50 مرتبه اجرای مستقل الگوریتم‌ها ترسیم شده‌است. همان طور که از مشخصه های همگرایی پیداست، روش پیشنهادی NHSFL روند همگرایی بهتر و سریعتری نسبت به MSFL و به ویژه SFL مرسوم داشته ‌است.

 

0

 

5

 

10

 

15

 

20

 

25

 

30

 

35

 

40

 

45

 

50

 

1.545

 

1.546

 

1.547

 

1.548

 

1.549

 

1.55

 

1.551

 

1.552

 

x 10

 

4

 

Iteration

 

 

 

 

 

NHSFL

 

SFL

 

MSFL

شکل (7): مشخصه های همگرایی الگوریتم ها در سیستم تست اول.

 

تعداد اعضای جمعیت در سیستم مورد مطالعه دوم، 100 عضو و تعداد تکرار الگوریتم‌ها برابر 200  در نظر گرفته شده است. همچنین، پارامترهای الگوریتم‌های SFL، MSFL و NHSFL مطابق با جدول (1) است؛ با این تفاوت که تعداد تکرارهای الگوریتم در جستجوی محلی در آن 10 است. در این سیستم نیز مشابه سیستم شش ژنراتوری از تابع هزینه (11) و قیود (12)-(19) استفاده شده است. جداول (4) و (5) به ترتیب نتایج حاصل از الگوریتم های اعمال شده و گزارش شده در سایر مقالات و مناطق اجرایی ممنوعه و محدودیت های تولید را نشان می‌دهند. این جداول  نشان می دهند که بهترین نتایج به دست آمده مربوط به NHSFL است و نتایج بدست آمده محدودیت‌های مسأله را ارضا کرده، در مناطق مجاز تولید قرار دارند. همچنین، نمودار همگرایی الگوریتم‌ها در 50 بار اجرای مستقل در یافتن مینیمم هزینه در شکل (8) نشان داده شده است.

 

 

0

 

20

 

40

 

60

 

80

 

100

 

120

 

140

 

160

 

180

 

200

 

3.28

 

3.285

 

3.29

 

3.295

 

3.3

 

3.305

 

3.31

 

x 10

 

4

 

Iteration

 

 

 

 

 

NHSFL

 

MSFL

 

SFL

 

شکل (8): مشخصه های همگرایی الگوریتم ها در سیستم تست دوم.

 

 

همان طور که قبلا بیان شد، سیستم تست سوم دارای محدودیت‌های چندگانگی سوخت و اثر بارگذاری شیر بخار است. لذا تابع هدف به فرم رابطه (22) و با در نظر گرفتن قیود تساوی و نامساوی (12)-(14) استفاده می شود. همچنین، تعداد اعضای جمعیت و تعداد تکرارها به ترتیب 30 عضو و 200 تکرار در نظر گرفته شده که برابر تعداد اعضای جمعیت و تعداد تکرارها در سایر روش های گزارش شده است. برای سیستم مورد مطالعه سوم با 10 ژنراتور، بهترین توان های خروجی که از الگوریتم های SFL،MSFL  و NHSFL نتیجه شده، در جدول (6) آورده شده اند. شایان ذکر است که نتایج بدست آمده قیود بهره برداری را ارضا کرده‌اند.

 

 

جدول (2): مقایسه نتایج به دست آمده از الگوریتم ها برای سیستم تست شش ژنراتوری.

GA

[14]

PSO

[14]

SVMA

[3]

FVMA

[3]

RGA

[3]

MPSO

[13]

GCPSO

[13]

SFL

MSFL

NHSFL

unit

474.8066

447.497

441.10864

450.81859

437.4048

446.4869

444.8881

432.3946

442.1044

446.7210

P1(MW)

178.6363

173.3221

173.2927

175.91856

167.8328

168.6612

168.1455

186.4657

180.5380

175.7774

P2(MW)

262.2089

263.4745

260.01194

257.53434

261.1205

265

265

262.7626

261.4552

264.6118

P3(MW)

134.2826

139.0594

141.374874

143.25173

139.7865

139.4927

129.4751

137.9290

136.1621

140.1857

P4(MW)

151.9039

165.4761

167.07667

161.65728

174.7644

164.0036

173.0299

170.8141

169.9192

160.9343

P5(MW)

74.1812

87.128

92.47441

86.12589

94.5536

91.746

95.0435

85.0671

85.3231

87.1002

P6(MW)

1276.03

1276.01

1275.33924

1275.3064

1275.4625

1275.391

1275.5823

1275.4333

1275.5023

1275.3307

Total generation (MW)

13.0217

12.9584

12.34867

12.27508

12.47183

12.3736

12.6411

12.4334

12.4750

12.3320

Loss(MW)

15459

15450

15443.0277

15443.6025

15444.772

15443.0925

15443.97

15445.8525

15443.8047

15442.6674

Cost($/h)

-

-

-

-

-

-

-

443.1332

46.5357

53.6463

Time for 50 run (sec)

 

 

جدول (3): قرار داشتن نتایج به دست آمده در بین محدودیت های تولید ومناطق مجاز در سیستم تست شش ژنراتوری.

Unit

محدودیت های تولید

مناطق ممنوعه تولید

مقادیر بدست آمده از الگوریتم ها

Pmin

Pmax

Zone 1 (MW)

Zone 2 (MW)

NHSFL

MSFL

SFL

1

100

500

]240-210[

]380-350[

446.7210

442.1044

432.3946

2

50

200

]110-90[

]160-140[

175.7774

180.5380

186.4657

3

80

300

]170-150[

]240-210[

264.6118

261.4552

262.7626

4

50

150

]90-80[

]120-110[

140.1857

136.1621

137.9290

5

50

200

]110-90[

]150-140[

160.9343

169.9192

170.8141

6

50

120

]85-75[

]105-100[

87.1002

85.3231

85.0671

 

جدول (4): مقایسه نتایج به دست آمده از الگوریتم ها برای سیستم تست پانزده ژنراتوری.

PSO

([18])

GA

[18]

SVMA

[3]

FVMA

[3]

RGA

[3]

MPSO

[13]

GCPSO

[13]

SFL

MSFL

NHSFL

units

439.1162

415.3108

451.7666

449.4167

453.4254

455

449.8925

455

455

455

P1 (MW)

407.9727

359.7206

348.4377

376.0855

366.5059

380

366.9906

380

380

380

P2 (MW)

119.6324

104.425

128.4636

128.4921

119.4675

130

130

130

130

130

P3 (MW)

129.9925

74.9853

128.9972

129.3541

118.9688

130

130

130

130

130

P4 (MW)

151.0681

380.2844

161.5901

159.1641

166.2064

170

170

150.3607

168.0785

168.3568

P5 (MW)

459.9978

426.7902

457.4644

455.0237

458.4367

460

460

460

460

460

P6 (MW)

425.5601

341.3164

425.7521

427.209

425.6331

430

430

430

429.0354

429.7804

P7 (MW)

98.5699

124.7867

137.0207

96.9708

116.279

92.7278

75.8846

60

72.2139

93.1434

P8 (MW)

113.4936

133.1445

75.0004

51.1762

89.7486

43.0282

50.2268

75.1761

87.2625

39.1649

P9 (MW)

101.1142

89.2567

130.8868

158.2878

114.9537

140.1938

160

156.2492

120.3008

158.6682

P10 (MW)

33.9116

60.0572

70.5982

67.2976

77.693

80

80

79.7021

80

79.7027

P11 (MW)

79.9583

49.9998

77.6038

70.9049

71.345

80

77.8706

80

80

80

P12 (MW)

25.0042

38.7713

30.2831

26.4766

28.1113

27.6403

25

25.2265

25

25

P13 (MW)

41.414

41.9425

20.7348

29.8071

28.7535

20.7610

15.8312

34.3374

28.1915

15

P14 (MW)

35.614

22.6445

19.5886

37.7809

26.2959

22.2724

39.6614

15

15

17.1445

P15 (MW)

2262.4

2668.4

2664.1881

2663.4471

2661.8238

2661.6235

2661.3580

2661.0521

2660.828

2660.9611

Total

Generation (MW)

32.4306

38.2782

33.5005

32.1379

31.9192

29.9870

30.8659

31.0522

29.9374

30.9611

Loss (MW)

32858

33113

32830.1929

32824.5986

32839.2661

32738.4177

32764.4616

32744.7392

32723.2233

32712.0377

Cost ($/h)

-

-

-

-

-

-

-

1498.7564

1578.8795

1365.6689

Time for

50 run (sec)

 

 

جدول (5): قرار داشتن نتایج به دست آمده در بین محدودیت های تولید ومناطق مجاز در سیستم تست پانزده ژنراتوری.

Unit

محدودیت های تولید

مناطق ممنوعه

مقادیر بهینه بدست آمده از الگوریتم ها

 

Pmin

Pmax

Zone 1 (MW)

Zone 2 (MW)

Zone 3 (MW)

NHSFL

MSFL

SFL

2

150

455

]225-185[

] 335-305[

]450-420[

380

380

380

5

150

470

]200-180[

] 335-305[

]420-390[

168.3568

168.0785

150.3607

6

135

460

]255-230[

]395-365[

]455-430[

460

460

460

12

20

80

]40-30[

]65-55[

-

79.7027

80

79.7021

 

جدول (6): مقایسه نتایج به دست آمده از الگوریتم ها برای سیستم تست ده ژنراتوری.

NPSO-LRS

[14]

IGA_MU

[14]

SVMA

[3]

FVMA

[3]

RGA

[3]

MPSO

[13]

GCPSO

[13]

SFL

MSFL

NHSFL

unit

223.3352

219.1261

225.7945

212.11297

203.93508

225.6469

219.2303

230.6446

446.7210

220.6061

P1 (MW)

212.1957

211.1645

214.56322

212.68437

220.98808

212.5351

211.9972

229.7703

214.56322

210.1741

P2 (MW)

276.2167

280.6572

280.21733

279.51381

315.57555

278.7109

266.6456

299.5059

280.21733

276.3561

P3 (MW)

239.4187

238.477

244.61552

241.65472

252.27553

244.1951

243.0324

237.3365

244.61552

241.7019

P4 (MW)

274.647

276.4179

296.09399

279.95629

289.03987

285.2029

287.7542

278.6235

296.09399

279.5784

P5 (MW)

239.7974

240.4672

233.86391

243.02527

241.2329

232.7839

235.3901

232.7646

233.86391

236.5704

P6 (MW)

285.5388

287.7399

286.20114

290.17183

274.11578

285.5217

278.9942

286.1839

286.20114

293.4357

P7 (MW)

240.6323

240.7614

242.58274

237.362

244.87138

241.0419

240.0713

239.6314

242.58274

241.1644

P8 (MW)

429.2637

429.337

416.96351

436.57441

385.66259

420.0863

433.8729

386.3507

416.96351

424.4771

P9 (MW)

278.9541

275.8518

259.12771

266.9711

273.15642

274.3454

283.0395

279.2836

259.12771

275.9255

P10 (MW)

2700

2700

2700.0236

2700.0268

2700.832

2700.0706

2700.0281

2700.0953

2700.0236

2700

Total generation (MW)

624.1273

624.5178

625.3828

624.4119

629.7698

624.1285

625.1078

628.3506

625.3828

624.0599

Cost ($/h)

-

-

-

-

-

-

-

1954.7638

2164.7658

1876.3443

Time for 50 run(sec)

 

 

 

 

 

در جدول (6)، دو ستون آخر نتایج به دست آمده با یک GA بهبود یافته با بروز رسانی افزاینده (IGA_MU) و NPSO-LRS گزارش شده در [14] را نشان می دهند. اطلاعات موجود در جدول (6) نشان می دهد که الگوریتم NHSFL در پیدا کردن پاسخ بهینه بهتر عمل کرده است.

به منظور ارزیابی بهتر عملکرد الگوریتم پیشنهادی NHSFL، میانگین مقادیر و انحراف معیار استاندارد از مقدار شایستگی برای نتایج به دست آمده در 50 بار اجرای مستقل الگوریتم ها در جدول (7) آورده شده است. همان طور که از جدول (7) مشاهده می شود، الگوریتم پیشنهادی، در هر سه سیستم تست، دارای میانگین مقادیر و انحراف معیار بهتری نسبت به دو روش SFL مرسوم و MSFL است، که این امر پایداری الگوریتم NHSFL را در رسیدن به جواب‌های نزدیک به هم در اجراهای مستقل الگوریتم نشان می دهد.

 

 

جدول (7): میانگین مقادیر و انحراف معیار استاندارد از مقدار شایستگی در 50 بار اجرای مستقل الگوریتم ها.

سیستم تست 3

سیستم تست 2

سیستم تست 1

الگوریتم

انحراف معیار

میانگین

انحراف معیار

میانگین

انحراف معیار

میانگین

4.47

636.8901

18.87

32729.32

4.61

15450.12

SFL

3.21

627.5325

15.21

32726.03

4.18

15447.90

MSFL

2.73

626.4515

12.53

32715.03

3.98

15443.60

NHSFL

 

 

 

5- نتیجه‌گیری

در این مقاله روش جدیدی برای حل مسأله توزیع اقتصادی بار با فضای جستجوی نامحدب با ارائه نسخه جدیدی از الگوریتم جهش قورباغه های به هم آمیخته پیشنهاد شد. به منظور بهبود فرآیند جستجوی محلی و تسریع همگرایی الگوریتم مرسوم SFL، قانون جدید پرش قورباغه و نیز استفاده از عملگر ژنتیکی جهش برای تولید قورباغه جدید پیشنهاد شده است. به منظور ارزیابی عملکرد روش پیشنهادی در حل مسأله توزیع اقتصادی بار واقعی، دو نوع از مسأله ELD ناهموار: ELD با محدودیت های تغییرات شیب و مناطق اجرایی ممنوعه و ELD با ترکیب تأثیر بارگذاری شیر و چندگانگی سوخت در نظر گرفته شده است. نتایج به دست آمده از روش پیشنهادی با نتایج روش‌های گزارش شده در مقالات دیگر مقایسه شده است. نتایج آزمایش ها نشان می دهد که روش پیشنهادی مقاله عملکرد بهتری در یافتن جواب‌های بهینه یا نزدیک به بهینه برای سیستم های مورد مطالعه، در مقایسه با روش‌های مذکور، دارد.



[1] Minkowsky distance

[2] Cauchy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

مراجع
[1]          Wood, J., and Wollenberg, B. F., "Power Generation, Operation, and Control", 2nd ed, Wiley, 1996.
[2]          نظام آبادی پور، حسین، الگوریتم وراثتی مفاهیم پایه ومباحث پیشرفته، ویرایش اول، انتشارات دانشگاه شهید باهنر کرمان، 1389.
[3]          نیستانی م.، مغفوری فرسنگی م.، نظام آبادی پور ح."الگوریتم ممتیک برای توزیع اقتصادی بار با توابع هزینه نامحدب"، نشریه مهندسی برق و مهندسی کامپیوتر ایران، سال 7، شش  3، 233-242، 1388.
[4]          Chen, P. H., and Chang, H. C., "Large-scale Economic Dispatch by Genetic Algorithm", IEEE Trans. Power Syst., Vol. 10, No. 4, 1995.
[5]          Orero, S. O., and Irving, M. R., "Economic Dispatch of Generators with Prohibited Operating Zones, A Genetic Algorithm Approach", Proc. Inst. Elect. Eng., Gen., Transm., Distrib., Vol. 143, No. 6, pp.1996.
[6]          Chiang, C. L., "Improved Genetic Algorithm for Power Economic Dispatch of Units with Valve-Point Effects and Multiple Fuels", IEEE Trans. Power Syst., Vol. 20, No. 4, 2005.
[7]          Wong, K. P., and Wong, Y. W., “Genetic and Genetic/Simulated –Annealing Approaches to Economic Dispatch,” Inst. Elect. Eng., Gen., Transm., Distrib., Vol. 141, No. 5, pp. 507–513, 1994.
[8]          Lin, W. M., Cheng, F. S., and Tsay, M. T., "An Improved Tabu Search For Economic Dispatch with Multiple Minima", IEEE Trans. Power Syst., Vol. 17, No. 1, 2002.
[9]          Sinha, N., Chakrabarti, R., and Chattopadhyay, P. K., “Evolutionary Programming Techniques for Economic Load Dispatch,” IEEE Trans. Evol. Comput., Vol. 7, No. 1, pp. 83–94,  2003.
[10]          Joned, A. M. A. A., Musirin, I., Titik Khawa, A. R., “Solving Dynamic Economic Dispatch Using Evolutionary Programming”, in Proc. IEEE, Power and Energy Conference, pp. 144 – 149, 2006.
[11]          Hou, Y. H., Wu, Y. W., Lu, L. J., Xiong, X. Y., “Generalized Ant Colony Optimization for Economic Dispatch of Power Systems”, Proc. IEEE PowerCon,  pp. 225 – 229, 2002.
[12]          Wang, S. K., Chiou, J. P., Liu, C. W., “Non-Smooth/Non-Convex Economic Dispatch by A Novel Hybrid Differential Evolution Algorithm”, IET Generation, Transmission & Distribution, Vol. 1, No. 5, pp. 793 – 803, 2007.
[13]          Neyestani, M., Farsangi, M. M., Nezamabadi-pour, H., “A Modified Particle Swarm Optimization for Economic Dispatch with Nonsmooth Cost Functions,” Eng. Appl. Artif. Intel., Vol. 23, No. 7, pp. 11211126, 2010.
[14]          Selvakumar, A. I., Thanushkodi, K.,”A New Particle Swarm Optimization Solution to Nonconvex Economic Dispatch Problems”, IEEE Trans. Power Syst., Vol. 22, No. 1, pp. 42–51, 2007.
[15]          Gaing, Z. L., “Particle Swarm Optimization to Solving The Economic Dispatch Considering The Generator Constraints,” IEEE Trans. Power Syst., Vol. 18, No. 3, pp. 1187–1195, 2003.
[16]          Park, J. H., Kim, Y. S., Eom, I. K., and Lee, K. Y., “Economic Load Dispatch For Piecewise Quadratic Cost Function Using Hopfield Neural Network,” IEEE Trans. Power Syst., Vol. 8, No. 3, pp. 1030–1038, 1993.
[17]          Lee, K. Y., Sode-Yome, A., and Park, J. H., “Adaptive Hopfield Neural Network for Economic Load Dispatch,” IEEE Trans. Power Syst., Vol. 13, No. 2, pp. 519–526, 1998.
[18]          Huynh, T. H., “A Modified Shuffled Frog Leaping Algorithm for Optimal Tuning of Multivariable PID Controllers”, IEEE International Conference on Industrial Technology, ICIT, 2008.
[19]          Eusuff, M., and Lansey, K., “Optimization of Water Distribution Network Design Using the Shuffled Frog Leaping Algorithm,” Journal of Water Resources Planning and Management, Vol. 129, No. 2, pp. 210–25, 2003.
[20]          Amiri, B., Fathian, M., Maroosi, A., “Application of Shuffled Frog Leaping Algorithm on Clustering”, Applied Mathematics and Computation, 2007.
[21]          Huynh, T. H., Nguyen, D. H., "Fuzzy Controller Design Using A New Shuffled Frog Leaping Algorithm, 2007.
[22]          Bijami, E., Askari, J., and Farsangi, M. M., “Power System Stabilizers Design by Using Shuffled Frog Leaping,”, Technical and Physical Problems of Power Engineering Conference, 2010.
[23] جدید الاسلام م.، بی جامی الف.، ابراهیمی الف."برنامه ریزی توسعه تولید با استفاده از الگوریتم اصلاح شده SFL"، نشریه سیستم های هوشمند در مهندسی برق، سال 2، شش 1، 27-44، 1390.
[24]          Ebrahimi, J., Hosseinian, S. H., Gharehpetian, G. B., “Unit Commitment Problem Solution Using Shuffled Frog Leaping Algorithm”, IEEE Transaction on power systems, 2010.
[25]          Zhang, X., Hu, X., Gui, G., Wang, Y., Niu Y, “An Improved Shuffled Frog Leaping Algorithm with Cognitive Behavior”, Proceeding of 7th World Congress on Intelligent Control and Automation, 2008.
[26]          Li, Y., Zhou, J., Yang, J., Liu, L., Qin, H., Yang, L.,”The Chaos-based Shuffled Frog Leaping Algorithm and Its Application”, Fourth International Conference on Natural Computation, 2008.
[27]          Zhang, X., Hu, X., Gui, G., Wang, Y., Niu Y, “An Improved Shuffled Frog Leaping Algorithm with Cognitive Behavior”, Proceeding of 7th World Congress on Intelligent Control and Automation, 2008.
[28]          Ramanathan, R., “Emission Constrained Economic Dispatch”, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 9, No.4, 1994.
[29]          Lee, F. N., Breipohl, A. M., “Reserve Constrained Economic Dispatch with Prohibited Operating Zones”, IEEE Trans. On Power Systems, Vol. 8, No. 1, pp. 246-254, 1993.
[30]          IEEE Committee Report, “Present Practices in the Economic Operation of Power Systems”, IEEE Transactions on power Apparatus and Systems, Vol. PAS-90., pp. 1768-1775, 1971.
[31]          Lin, C. E., Viviani, G. L., “Hierarchical economic Dispatch For Piecewise Quadratic Cost Function”, IEEE Trans. Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-103, No. 6, pp. 1170-1175, 1984.