ارائه یک الگوریتم جستجوی گرانشی چند هدفه در حل مسائل عددی استاندارد و جایابی بهینه جبران کننده توان راکتیو

نوع مقاله: مقاله علمی فارسی

نویسندگان

1 دانشگاه آزاد اسلامی واحد نجف آباد- باشگاه پژوهشگران جوان

2 دانشیار، گروه برق، دانشگاه شهید باهنر کرمان

چکیده

در این مقاله،بهینه یاب جدیدی مبتنی بر الگوریتم جستجوی گرانشی برای حل مسائل چند هدفه ارائه شده است. در بهینه یاب طراحی شده، از مفاهیم اساسی بهینه سازی چند هدفه، برای هدایت عامل‌های جستجوگر در فضای جستجو به سمت منطقه بهینه استفاده شده است. برای ارائه رویکرد مناسب مبتنی بر پرتو در حل مسائل چند هدفه با الگوریتم گرانشی به گونه­ای شایسته، موضوع های تخصیص شایستگی، حفظ تنوع و نخبه­گرایی رابطه­مند شده‌اند. الگوریتم پیشنهادی با الگوریتم‌های مطرح در این زمینه در مسائل عددی استاندارد مقایسه و نتایج ارائه شده است. سپس از این الگوریتم برای حل مساله جایابی بهینه جبران کننده توان راکتیو استاتیکی (SVC) با در نظر گرفتن اهداف سه گانه استفاده شده است. کارایی استفاده از SVC در سیستم‌های قدرت، بستگی زیادی به مکان قرارگیری آن‌ها دارد. در نتیجه، هنگام استفاده از این ادوات، جایابی بهینه آن‌ها (پیدا کردن مکان و ظرفیت بهینه) باید مورد توجه قرار گیرد.  در این مقاله، جایابی بهینه SVC  بر مبنای اهداف چندگانه همچون پایداری ولتاژ، کاهش تلفات و هزینه خرید ادوات انجام می گیرد.  نتایج آزمایشها کارایی روش پیشنهادی را تایید می کند.

کلیدواژه‌ها


عنوان مقاله [English]

A multiobjctive Solution of Gravitational Search Algorithm for Benchmark Functions and Placement of SVC

نویسندگان [English]

  • Zenab Baniassadi 1
  • Hossin Nezamabadi 2
  • Malihe Maghfoori Farsangi 2
1 1 Faculty of Engineering, Islamic Azad University, Najafabad Bracnch, Najafabad, Iran
2 2 Department of electrical engineering, Faculty of Engineering, Shahid Bahonar University, Kerman, Iran
چکیده [English]

In this paper, a multi-objective version of  Gravitational search algorithm (GSA) is proposed which is based on optimal Pareto concepts for solving the multi objective problems . To show the effectiveness of the proposed algorithm, it is tested on different benchmark functions and an engineering problem known as placement of Static Var Compensators (SVC) for VAr planning in a large-scale power system.  Taking advantages of the SVCs depends greatly on how these devices are placed in the power system, namely on their location and size. The VAr planning problem is formulated as a multi-objective optimization problem, which represent minimizing voltage deviation, losses and the cost of installation resulting in the maximum system VAr margin. The results obtained show the effectiveness of the proposed algorithm.
 

کلیدواژه‌ها [English]

  • placement of SVC
  • VAr planning
  • Multiobjective optimization
  • Gravitational Search Algorithm

با بزرگ شدن مسائل و اهمیت یافتن سرعت رسیدن به پاسخ و عدم پاسخگویی روش‌های کلاسیک، امروزه از الگوریتم های جستجوی تصادفی به جای جستجوی همه جانبه فضای مسأله، بیشتر استقبال می‌شود. در علوم مهندسی اکثر مسائل، دارای تابع هدف غیر خطی به صورت گسسته یا پیوسته هستند. از سوی دیگر، با بزرگتر شدن پیچیدگی و ابعاد مسائل، روش‌های مستقیم برنامه‌ریزی غیرخطی و جستجوی همه جانبه، نیازمند صرف زمان و هزینه بیشتری برای حل این مسائل هستند. به همین دلیل، استفاده از الگوریتم‌های جستجوی ابتکاری4، روز به روز بیشتر می‌شود] 6-1[. الگوریتم های ابتکاری، به دسته‌ای از روش های بهینه‌سازی تصادفی اطلاق می شود که فرایندهای طبیعی را شبیه سازی می‌کنند. در الگوریتم های تکاملی5، جستجو به صورت موازی انجام می‌شود؛ به این معنا که مجموعه ای از عامل‌ها، فضای مساله را جستجو می‌کنند. به همین دلیل، آنها پتانسیل یافتن راه حل‌های بهینه پرتو چندگانه را با یک بار اجرای الگوریتم دارند. اکثر این روش ها به صورت جمعیتی عمل کرده و برای هدایت جستجو از تابع برازندگی استفاده می‌کنند. این الگوریتم ها می توانند هم در زمان صرفه جویی کنند و هم با استفاده از تدابیری خاص از بهینه‌های محلی بگریزند و به بهینه سراسری همگرا شوند. از آنجا که الگوریتم‌های ابتکاری با رویکرد موازی به حل مسائل پرداخته، همواره مجموعه‌ای از پاسخ‌ها را ایجاد می‌کنند، ابزاری مناسب برای حل مسائل چند هدفه به شمار می‌آیند. مهمترین مزیت استفاده از جستجوی ابتکاری، انعطاف پذیری و سازگاری بالا، سرعت و کارایی زیاد و ویژگی جستجوی سراسری آنهاست.
در سال های اخیر، استفاده از الگوریتم‌های جستجوی ابتکاری رشد چشمگیری داشته است: ازجمله این روش‌ها، می‌توان به الگوریتم وراثتی3]2[، الگوریتم ایمنی4]3[، الگوریتم جستجوی جمعیت مورچگان5]4[، بهینه سازی جمعیت ذرات6]5[ و الگوریتم جدید جستجو گرانشی7 با الهام از نیروی گرانش و قوانین نیوتن]6[ اشاره کرد.
کنترل توان راکتیو یکی از مسائل عملی در مهندسی برق است که شاید بتوان آن را مهمترین هدف در بحث انتقال توان در شبکه‌های قدرت به شمار آورد؛ زیرا بی توجهی به این امر مهم و ضروری، باعث ایجاد مشکلاتی در پایداری شبکه و تغییرات شدید ولتاژ می‌شود. مسائل مربوط به پایداری ولتاژ، از زمان پیدایش شبکه‌های قدرت تاکنون مورد توجه بوده است. اهمیت این مسأله ناشی از آن است که پدیده فروپاشی ولتاژ باعث از دست دادن تمام یا قسمتی از شبکه و ایجاد خاموشی‌های وسیع می‌شود.
به توانایی یک سیستم قدرت در حفظ ولتاژ مناسب، ماشین‌ها در شرایط عادی عملکرد و نیز هنگامی که تحت تأثیر اغتشاش قرار گیرد، پایداری ولتاژ گفته می‌شود. وقوع خطا و افزایش شدید تقاضای بار، باعث افت فزاینده و غیرقابل کنترل در ولتاژ شده، سیستم را وارد حالت ناپایداری ولتاژ می‌کند. در این شرایط، دلیل اصلی ناپایداری، عدم توانایی سیستم قدرت در تأمین توان راکتیو مورد تقاضاست.
بهره‌گیری از جبران سازهای توان راکتیو، از جمله ادوات FACTS، یکی از مناسبترین راه‌ها برای دور نگه داشتن سیستم قدرت از این معضل است. یکی از پرکاربردترین انواع ادوات FACTS برای بهبود پایداری ولتاژ SVC است که یک جبران‌گر استاتیکی محسوب می‌شود.
کارایی استفاده از ادوات FACTS در سیستم‌های قدرت، به مقدار زیادی به مکان قرارگیری آن‌ها بستگی دارد. عدم قرارگیری این ادوات در مکان مناسب، موجب ضعف در عملکرد آن‌ها خواهد شد. در نتیجه، هنگام استفاده از این ادوات، جایابی بهینه آن‌ها (پیدا کردن مکان و ظرفیت بهینه) باید مورد توجه قرار گیرد. استفاده از الگوریتم‌های ابتکاری برای جایابی بهینه انواع ادوات FACTS راه حل مؤثری در این زمینه است. جایابی SVC به منظور فراهم کردن توان راکتیو سیستم می‌تواند براساس اهداف متفاوتی به صورت تک هدفه و چند هدفه صورت پذیرد.
در بهینه سازی تک هدفه، راه حل بهینه معمولاً به خوبی و وضوح، قابل تعریف است، اما در بهینه سازی چند هدفه نمی توان تنها یک راه حل را به عنوان بهترین جواب مساله معرفی کرد. در این گونه مسائل باید مجموعه ای از راه حل ها را که هر یک از اهداف را در سطح قابل قبولی برآورده می سازند، به عنوان مجموعه جواب بهینه معرفی کرد. به طور کلی، در بهینه سازی چند هدفه باید نکات زیر مد نظر قرار گیرد [7]:
•فاصله جبهه مغلوب نشده تا جبهه بهینه پرتو، باید به حداقل برسد.
•راه حل های پیدا شده باید دارای توزیع مناسبی باشند.
•گستردگی جبهه مغلوب نشده نهایی، باید به حداکثر برسد؛ یعنی برای هر هدف، دامنه گسترده ای از مقادیر، باید تحت پوشش راه حل های مغلوب نشده قرار بگیرد.
با توجه به این نکات، در بهینه سازی چند هدفه باید به سه مسأله اساسی توجه کرد[1]:
الف: چگونگی تخصیص شایستگی و انتخاب11، به منظور هدایت الگوریتم به طرف مجموعه بهینه پرتو؛
ب: چگونگی حفظ تنوع12، به منظور جلوگیری از همگرایی زود هنگام و رسیدن به یک مجموعه مغلوب نشده با توزیع مناسب؛
ج: نخبه گرایی13؛ یعنی چگونگی جلوگیری از نابودی راه حل های مغلوب نشده.
الگوریتم جستجوی گرانشی یکی از الگوریتم های نوظهور است که بر مبنای هوش جمعی کار می‌کند. این الگوریتم برای حل مسائل تک هدفه با متغیرهای پیوسته طراحی شده است. در این مقاله، نسخه‌ای از این الگوریتم برای حل مسائل چند هدفی طراحی و ارائه شده است. در الگوریتم پیشنهادی برای برآورده کردن اهداف فوق از روش‌های زیر استفاده شده است:
•استفاده از مفهوم پرتو برای تخصیص شایستگی؛
•استفاده از نزدیکترین همسایه kام برای حفظ تنوع جبهه بهینه پرتو؛
•استفاده از آرشیو برای حفظ راه حل های مغلوب نشده.
تا کنون از روش های مجموع وزنی اهداف که کلیه هدفهای موجود را در قالب یک جمع وزندار به یک هدف تبدیل می‌کند، برای حل مساله جایابی بهینه SVC استفاده شده است. البته روش‌هایی هم از سیستم های فازی برای ترکیب و تجمیع چندین هدف به تبدیل آن یک هدف و سپس بهینه کردن آن توسط یک الگوریتم ابتکاری استفاده کرده‌اند. در این مقاله، روش پیشنهادی گرانشی چند هدفه مبتنی بر مفاهیم پرتو برای حل مساله جایابی بهینه SVC با اهداف سه گانه پایداری ولتاژ، کاهش تلفات و کاهش هزینه ادوات مصرفی به کار گرفته می‌شود.
سازماندهی مقاله به این طریق است که در بخش دوم مروری بر بهینه سازی چند هدفه صورت می گیرد. در بخش سوم، الگوریتم جستجوی گرانشی توضیح داده می شود. در بخش چهارم، نسخه پیشنهادی الگوریتم جستجوی گرانشی چند هدفه معرفی و توانایی آن در حل توابع استاندارد بررسی می‌شود. بخش پنجم به چگونگی حل مساله جایابی بهینه SVC (بعنوان یک مسأله نمونه مهندسی) با استفاده از الگوریتم پیشنهادی می‌پردازد. بخش ششم به تحلیل نتایج می‌پردازد و در نهایت در بخش هفتم، جمع بندی و نتیجه گیری آورده می شود.

2- بهینه سازی چند هدفه
یک مسأله بهینه سازی چند هدفه، شامل یک مجموعه n پارامتری از متغیرهای تصمیم‌گیری و مجموعه ای از k تابع هدف است. اهداف توابعی از متغیرهای تصمیم گیری هستند. هدف از بهینه سازی عبارت است از:
(1)

در رابطه بالا، بردار تصمیم گیری، بردار هدف، فضای تصمیم گیری و فضای هدف را مشخص می کنند.
برای دو بردار هدف و با فرض اینکه هدف از بهینه سازی، بیشینه سازی است، برای بیان مفاهیم بهینه پرتو تعاریف ریاضی قابل بیان است:
(2)
(3)
(4)
رابطه 2 نشان دهنده آن است که دو بردار هدف ارزش یکسانی دارند در حالی که رابطه 4 بیانگر برتری کامل بردار هدفu بر بردار هدف v است؛ به عبارت دیگر، این بردار را مغلوب می‌کند. از سوی دیگر رابطه 3 بیانگر برتری ضعیف بردار هدفu بر بردار هدف v است.
در مسائل چند هدفه، دو بردار تصمیم x1,x2 x می‌توانند سه حالت نسبت به یکدیگر داشته باشند:
(5)
این رابطه بیانگر آن است که بردار تصمیم x1، بردارتصمیم x2 را مغلوب می‌کند؛ اگر و تنها اگر بردار هدف ، بردار هدف را مغلوب کند.
(6)
این رابطه بیانگر آن است که بردار تصمیم x1، بردارتصمیم x2 را بطور ضعیف مغلوب می‌کند؛ اگر و تنها اگر بردار هدف ، به طور ضعیف بردار هدف را مغلوب کند.
(7)
رابطه 7 بیانگر آن است که بردارهای تصمیم x1 و x2 نسبت به یکدیگر بی تفاوت بوده؛ رابطه مغلوب شوندگی یا مغلوب کنندگی نسبت به یکدیگر ندارند.
بر عکس بهینه‌سازی تک هدفه که تابع هدف و تابع شایستگی، اغلب برابر هستند، در مسائل بهینه‌سازی چند هدفه، تخصیص شایستگی و انتخاب باید برای چندین هدف در نظر گرفته شود.
روشی که براساس روش های سنتی، برای ساخت راه حل های نهایی وجود دارد، جمع کردن اهداف در یک تابع هدف پارامتری شده واحد است. پارامترهای این تابع به طور سیستماتیک، در طول اجرای بهینه سازی، تغییر می‌کنند تا یک مجموعه از راه حل های مغلوب نشده را به جای یک راه حل واحد در فضای هدف پیدا کنند. برای مثال، برخی 14MOEA ها از مجموع وزنی، استفاده می کنند که وزن ها، پارامترهایی را نشان می‌دهند که در طول فرآیند تکامل، تغییر می‌کنند [8].
روش‌های مبتنی بر معیار، اهداف را در طول مرحله انتخاب، تعویض می‌کنند؛. به این نحو که هر بار، بر اساس یکی از اهداف عمل انتخاب انجام می‌شود[9و 10]. احتمالات برای سویچ میان اهداف می‌تواند توسط کاربر تعریف شود یا اینکه به طور تصادفی باشد.
نظریه محاسبه شایستگی فرد، براساس غلبه پرتو را می‌توان به گلدبرگ(1989)، نسبت داد[11]. روش‌های مختلفی برای استفاده از ترتیب جزئی15پیشنهاد شده است. برخی شیوه‌ها، از رتبه پرتو16، استفاده می‌کنند؛ مانند تعداد افرادی که بر یک فرد غلبه دارند و مقادیر شایستگی را تعیین می‌کنند [12]. روش های دیگر، از عمق تسلط17 استفاده می‌کنند که در این روش ها، جمعیت به چندین جبهه تقسیم شده، عمق به جبهه‌ای منعکس می‌شود که فرد به آن تعلق دارد [13]. همچنین، بعضی روش‌ها از تعداد تسلط18؛ یعنی تعداد افرادی که تحت تسلط فرد خاصی قرار می‌گیرند، استفاده کرده‌اند[7و14].
بهترین روش برای حل مسائل چند هدفه، پیشنهاد دادن مجموعه ای از راه حل های مغلوب نشده است که هر یک از آنها اهداف را در سطح قابل قبولی برآورده می‌سازد که اصطلاحاً مجموعه بهینه پرتو نامیده می شوند. طبق تعریف بهینگی پرتو، x یک بهینه پرتو19 است؛ اگر و تنها اگر، در دامنه x، مغلوب نشود. راه حل های بهینه پرتو را مجموعه بهینه پرتو20 و بردارهای هدف متناظر را جبهه بهینه پرتو21یا سطح بهینه پرتو22 می نامند.
اکثر الگوریتم های بهینه سازی چندهدفه، سعی می کنند با وارد کردن اطلاعات تراکم23 به فرآیند انتخاب؛ تنوع جبهه پرتو را حفظ کنند. بدین نحو که شانس فردی که انتخاب می شود، با افزایش تراکم افراد در همسایگی اش، کاهش می یابد. چندین روش برای حفظ تنوع از این روش استفاده کرده‌اند.
روش کرنل24 همسایگی یک نقطه را بر حسب تابع کرنل k ، تعریف می‌کند و فاصله تا نقطه دیگر را به عنوان یک آرگومان، محاسبه می‌کند [15]. برای هر فرد، فواصلdi، نسبت به همه افراد دیگرi ، محاسبه می‌شود و پس از استفاده از تابع k، مقادیر به دست آمده k(di) جمع زده می شوند. مجموع مقادیر تابع k برآورد تراکم برای فرد مورد نظر را نشان می‌دهد. تسهیم شایستگی25، رایجترین روش از این نوع در زمینه محاسبه تکاملی است. که در الگوریتم‌هایNSGA [13].، MOGA [12] و NPGA [16] استفاده شده است. روش دیگر، روش نزدیکترین همسایه26 است که برای برآورد تراکم در همسایگی هر نقطه، فاصله نقطه داده شده تا نزدیکترین همسایه k امش را محاسبه می‌کند. هر چه این فاصله کمتر باشد، تراکم در اطراف نقطه، بیشتر است.
SPEA2 برای هر فرد، فاصله را نسبت به نزدیکترین فرد k ام، محاسبه می‌کند و عکس این فاصله را به عنوان مقدار شایستگی ناخالص27، در نظر می گیرد [14]. هیستوگرام ها28 ، دسته سوم ارزیاب-های تراکم را تعریف می کنند. در این روش، تراکم اطراف یک فرد به سادگی با تعداد افرادی که در بازه مربوط به فرد، قرار دارند محاسبه می شود.
در الگوریتم پیشنهادی برای حفظ تنوع، به منظور جلوگیری از همگرایی زود هنگام و رسیدن به یک مجموعه مغلوب نشده با توزیع مناسب از مفهوم نزدیکترین همسایه Kام استفاده می شود.
نخبه گرایی، مشکل از دست رفتن راه حل های خوب را در طول فرآیند بهینه سازی، مطرح می سازد. برای غلبه بر این مشکل، راه حل های خوب در هر نسل در یک آرشیو ذخیره و به نسل بعد منتقل می شود. اندازه آرشیو ثابت نیست و با توجه به تعداد راه حل های مغلوب نشده تعیین می شود. الگوریتم پیشنهادی از یک جمعیت منظم و یک آرشیو، برای نگهداری بهترین راه حل ها استفاده می کند.

3- الگوریتم جستجوی گرانشی
الگوریتم بهینه سازی گرانشی، با الهام از قانون جاذبه و نیروی گرانش در طبیعت معرفی و پارامتر های آن به صورت شهودی تنظیم شده اند. کارامدی این الگوریتم در بهینه سازی توابع محک استاندارد، برای مسائل تک هدفه به اثبات رسیده است[16].
برای توضیح بیشتر این الگوریتم، سیستمی را به صورت مجموعه ای از m جرم در یک فضای n بعدی تصور کنید. موقعیت بعد d از جرم i، با xid ، نشان داده می شود.
(8)
موقعیت جرم، نقطه ای در فضاست که جوابی از مساله است. در ابتدای تشکیل سیستم، هر جرم به صورت تصادفی در یک نقطه از فضای جستجو قرار می گیرد. جرم هر عامل با توجه به تابع هدف تعیین می شود:
(9) (10)
که در این رابطه میزان برازندگی جرم i را در زمان t نشان می دهد و به ترتیب نشان دهنده بدترین و بهترین مقدار برازندگی در کل جمعیت، در زمانt هستند.
در این سیستم در زمان t به هر جرمi ، از سوی جرم j، در جهت بعد d ، نیرویی به اندازه وارد می شود.
(11)
که در آن:
(12)
در رابطه 11، به ترتیب جرم جسم i و جرم جسم j در زمان t هستند. ثابت گرانش در زمان t است، فاصله اقلیدسی بین دو جرم i وj و یک عدد بسیار کوچک است. نیروی وارد بر جرم در جهت بعد d در زمان t برابر مجموع ضریب های تصادفی از تمام نیروهایی است که سایر اجرام سیستم بر جرم وارد می کنند.
(13)
طبق قانون دوم نیوتن، هر جرم در جهت بعد شتابی می گیرد که متناسب است با نیروی وارد بر جرم در جهت بعد ، تقسیم بر جرم اینرسی آن:
(14)
در رابطه فوق، شتاب جرم در جهت بعدd در زمانt است. سرعت هر جرم برابر مجموع ضریبی از سرعت فعلی جرم و شتاب جرم است که طبق رابطه (15) تعریف می شود. مکان جدید هر جرم از مجموع مکان فعلی جرم و سرعت جرم به دست می‌آید (رابطه 16).
(15) (16)
که در این روابط و ، اعداد تصادفی با توزیع یکنواخت در بازه [0,1] هستند که برای حفظ خاصیت تصادفی بودن جستجو استفاده شده اند. برای تنظیم ضریب گرانش از رابطه 18 استفاده می شود که در این رابطه ضریب گرانش بصورت نمایی کاهش می‌یابد.
(17)
که در آن GOو a پارامترهایی هستند که با توجه به مساله توسط کاربر تعیین می‌شوند. پس از تشکیل سیستم در هر تکرار، اجرام ارزیابی و سپس تغییر مکان هر جرم پس از محاسبه روابط 17-9 محاسبه می شود. پارامتر های سیستم شامل جرم اینرسی وثابت گرانش نیوتن است، که در هر مرحله به روز رسانی می‌شوند.

4- الگوریتم جستجوی گرانشی چند هدفه پیشنهادی
در این بخش شیوه جدیدی با نام الگوریتم جستجوی گرانشی چند هدفه)29(MOGSA برای بهینه سازی چند هدفه پیشنهاد می‌شود. برای برآورده کردن اهداف اساسی بهینه سازی چند هدفه، روش پیشنهادی با الهام از سایر روش‌های ارائه شده در این زمینه که در بخش دوم به تعدادی از آنها پرداخته شد، از سه راهبرد استفاده می‌کند. انتخاب راهبردهای مناسب با توجه به ماهیت الگوریتم گرانشی بوده است.
• استفاده از مفهوم پرتو برای تخصیص شایستگی و جرم به منظور راهنمایی جستجو به طرف مجموعه بهینه پرتو؛
• استفاده از روش نزدیکترین همسایه Kام برای حذف تنوع و جلوگیری از همگرایی زود هنگام و رسیدن به یک مجموعه مغلوب نشده با توزیع مناسب؛
• استفاده از آرشیو خارجی برای جلوگیری از نابودی راه حل‌های مغلوب نشده و انتقال بهترین راه حل ها به نسل بعد.
شبه کد الگوریتم پیشنهادی در شکل 1 نشان داده شده است. ویژگی‌های کلی الگوریتم پیشنهادی عبارتند از:
الف- برنامه تخصیص برازندگی: تخصیص شایستگی برای هر فرد بر این اساس است که چه تعداد از اجرام را مغلوب می کند و خودش توسط چه تعدادی از افراد مغلوب می شود.
ب- برآورد تراکم نزدیکترین همسایه. این روش، اجازه راهنمایی دقیقتر فرایند جستجو را می دهد.
ج- روش برش آرشیو که نگهداری راه حل های حدی را تضمین می کند.

1- تعیین پارامترهای سیستم و مقدار دهی اولیه پارامترها (آرشیو اولیه خالی است )؛
2- تولید جمعیت اولیه به صورت اتفاقی و قرار بده .؛
3- انتخاب تصادفی چندین عضو از آرشیو، برای تاثیر گذاری روی سایر اجرام جمعیت؛
4- محاسبه شتاب، سرعت و مکان جدید هر جرم؛
5- ترکیب جمعیت و آرشیو؛
6- ارزیابی جمعیت ترکیبی؛
7- تولید آرشیو نسل بعد ؛
8- ساخت جمعیت جدید با انتخاب تصادفی N جرم از
میان جمعیت ؛
9- جهش تمام اجرام جمعیت و ؛
10- در صورتی که شرط توقف برآورده نشده، برو به مرحله 3 در غیر این صورت آرشیو به خروجی منتقل شده و توقف الگوریتم.
شکل(1): شبه کد مربوط به الگوریتم گرانشی چند هدفه پیشنهادی


مراحل الگوریتم پیشنهادی به شرح زیر است:
الف- تولید جمعیت و آرشیو اولیه: در این مرحله، جمعیت، ، به صورت تصادفی تولید می شود. آرشیو اولیه، ، معادل جمعیت اولیه در نظر گرفته می شود.
ب: برای جابه جایی هر عضو جمعیت یا به عبارتی، تعیین موقعیت بعدی هر عامل، تعداد best عضو از آرشیو به طور تصادفی انتخاب می‌شود. در زمان شروع الگوریتم همه اجرام آرشیو روی عاملهای جمعیت اثر می گذارند و با گذشت زمان مقدار kbest به صورت یک نسبت خطی کم می شود تا اینکه در انتها تنها 2 درصد جمعیت بر سایر اعضا نیرو وارد می کنند.
ج: محاسبه برازندگی هر یک از اعضا جمعیت ترکیبی . جمعیت را در نسل t، نشان می دهد. نشان دهنده آرشیو در نسل ، است. مراحل تخصیص برازندگی برای هر یک از اجرام به صورت زیر است:
• محاسبه برای هر عضو جمعیت و آرشیو. معرف تعداد اجرامی است که توسط عضو i مغلوب می شود (رابطه 18).
(18)
محاسبه برازندگی خام ، بر اساس مقادیر ، برای هر عضو جمعیت و آرشیو (رابطه 19).
(19)
در رابطه بالا، اگر شود، به این معنی است که جرم توسط هیچ کدام از اعضا مغلوب نشده است.
• استفاده از روش فاصله نزدیکترین همسایه kام، برای متمایز کردن افرادی که دارای مقادیر برازندگی مساوی هستند. معمولا k، برابر با یک در نظر گرفته می‌شود. فاصله هر نقطه تا نزدیکترین همسایه اش با ، نشان داده می‌شود. در رابطه 20، همواره کوچکتر از یک است.
(20)
محاسبه برازندگی هر جرم با افزودن به برازندگی خام آن، که طبق رابطه 22، انجام می شود.
(21)
د: محاسبه جرم، شتاب و سرعت و مکان جدید هر راه حل طبق روابط بخش دوم.
ذ: ترکیب جمعیت و آرشیو.
ه: به روز رسانی آرشیو. در این مرحله بهترین اعضای جمعیت و آرشیو در یک آرشیو، نگهداری می شوند:
• کپی کردن همة اجرام مغلوب نشده از آرشیو و جمعیت در آرشیو نسل بعد (رابطه 22).
(22)
ط: ساخت جمعیت جدید با انتخاب تصادفی N جرم از میان جمعیت .
ی: جهش جمعیت. عملگر جهش برای جلوگیری از همگرایی زود هنگام الگوریتم به سمت جبهه بهینه پرتو محلی استفاده می‌شود. در این مرحله تعدادی از اجرام آرشیو به طور تصادفی انتخاب و عملگر جهش روی آن ها اعمال می شود. در صورت مغلوب شدن راه حل قبلی توسط راه حل جدید، راه حل جدید عضو آرشیو می شود.
و: اگر به شرط توقف رسیده ایم، الگوریتم پایان می یابد؛ در غیر اینصورت به مرحله "ب" بر می گردیم.

4-1- ارزیابی الگوریتم چند هدفه پیشنهادی
در این بخش نتایج پیاده سازی الگوریتم وراثتی SPEA2 [14] الگوریتم بهینه سازی جمعیت ذرات TVPSO [17] و نسخه اولیه الگوریتم پیشنهادی روی توابع جدول 1، آورده می‌شود. در کلیه روش های فوق تعداد اعضای جمعیت و آرشیو برابر 100 عضو در نظر گرفته شده است. تعداد تکرارها برای مسائل با بعد 30 برابر 1500 تکرار در نظر گرفته شده است. در ابعاد کمتر، الگوریتم ها با 500 تکرار اجرا شده اند. جزئیات الگوریتم های پیاده‌سازی شده SPEA2 [14] و TVPSO [17] مطابق چیزی بوده که در مراجع مربوطه گزارش شده است.در مورد الگوریتم چند هدفه گرانشی پیشنهادی آزمون شد تا مقادیر بهینه مشخص شود. بنابراین پارامترهای الگوریتم پیشنهادی بدین ترتیب تنظیم شدند که و a به ترتیب برابر 100 و 8 و نرخ جهش برابر 1/0 درنظر گرفته شد. در نمودار های ارائه شده در شکل2 منحنی‌های جبهه مغلوب نشده تولید شده توسط الگوریتم پیشنهادی و الگوریتم‌های SPEA2 و TVPSO برای توابع محک استاندارد جدول 1، نشان داده شده است.

جدول(1): توابع محک استاندارد مینیمم شونده
توابع هدف و پارامترهای مساله
نام تابع: KUR, n=3,Range: [-5,5], Non-convex,
Non-connected

..
نام تابع: FON, n=3, Range: [-5,5], Non-convex, Connected,

نام تابع: POL, n=2, Range: [-π,π],
Non-convex, Non-connected
…..
...
. ..
.. ..

نام تابع: ZDT2, n=30, Rang: [0,1], Non-convex, Connected

 

 


نتایج حاصل از آزمایشهای انجام شده روی توابع استاندارد، بیانگر آن است که الگوریتم چند هدفه پیشنهادی با آخرین دستاوردهای موجود در این زمینه قابل رقابت و مقایسه است. به عبارت دیگر، این آزمایشها کارایی الگوریتم پیشنهادی را تایید می‌کند. در ادامه از الگوریتم مذکور برای حل جایابی جبران کننده های استاتیک توان راکتیو در شبکه‌های قدرت استفاده خواهد شد.


(الف) (ب)


(ج) (د)
شکل (2): مقایسه کارایی الگوریتم پیشنهادی ، SPEA2 و TVPSO روی توابع الف) KUR ب) FON ج) POL د) ZDT2


5- جایابی جبران کننده های استاتیک توان راکتیو) (SVC در شبکه های قدرت
در هر سیستم قدرت مهمترین هدف، تامین توان مورد نیاز مصرف کننده، تحت ولتاژ ثابت، بدون هارمونیک و با فرکانس معین است. بنابراین، پایداری ولتاژ از موارد مهم در شبکه های قدرت است. پایداری ولتاژ قابلیتی از سیستم است که در شرایط کار عادی و نیز در حالت بروز خطا در شبکه، ولتاژ آن در محدوده مجاز باقی می ماند.
مبحث پایداری ولتاژ به دو دسته پایداری ولتاژ در برابر اغتشاشات کوچک و پایداری ولتاژ در برابر اغتشاشات بزرگ تقسیم می‌شود. پایداری ولتاژ در برابر اغتشاشات کوچک مربوط به قابلیت سیستم برای کنترل ولتاژ در اغتشاشات کوچک، همچون تغییرات در بار سیستم است؛ در حالی که پایداری ولتاژ در برابر اغتشاشات بزرگ مربوط به قابلیت سیستم برای کنترل ولتاژ در حضور اغتشاشات بزرگ، مانند از دست دادن ژنراتور مفهوم می‌‌یابد. در هنگام بروز خطا با تدابیری مثل وارد کردن یک سری عناصر جبران کننده همانند2SVC ، می توان از بسیاری حوادث ناخواسته که باعث به وجود آمدن خاموشی در شبکه خواهند شد، مانند فروپاشی ولتاژ جلوگیری کرد. این عناصر اگر در محل مناسب و به مقدار معین اعمال شوند، تاثیر مناسبی در عملکرد سیستم می گذارند. تاکنون تلاش هایی در جهت کشف روش هایی برای اطمینان از امنیت سیستم در خصوص پایداری ولتاژ صورت گرفته است] 23-18[. قابلیت تحلیل مدال32 جهت جایابی SVC در ]19 [بررسی شده است که با این روش مساله جایابی SVC با مشکلاتی مواجه می شود؛ از جمله نمی توان ظرفیت بهینه را برای SVC پیدا کرد. از آنجایی که به کارگیری SVC در شبکه هزینه‌بر است، بنابراین، بهینه کردن هزینه SVC از طریق استفاده آن در بهترین مکان و با بهترین ظرفیت در شبکه بسیار مفید است. از این‌رو، لزوم بکارگیری الگوریتم های بهینه ساز نمود بیشتری خواهد یافت. در این راستا قابلیت استفاده از الگوریتم های بهینه ساز متفاوتی در ] 23-18[ارزیابی شده است.

5-1- فرمول بندی مساله
جایابی SVC بر اساس ویژگی کنترلی ابتدایی آن که کنترل ولتاژ است انجام می شود. از طرفی، بهره-گیری از ویژگی‌های کنترلی این ادوات ارتباط نزدیکی با جایابی بهینه (محل و ظرفیت مناسب) این ادوات دارد. اگر SVC در مکان مناسب و با ظرفیت بهینه در سیستم قدرت جایگذاری شود، می‌تواند تاثیر فراوانی بر عملکرد سیستم و کم کردن هزینه‌ها بگذارد. در این مورد، دو پارامتر مورد جستجو، باس مناسب و اندازه SVC هستند.
مساله جایابی SVC می تواند با در نظر گرفتن تعداد توابع هدف متفاوت طراحی شود[18-23]. در این مقاله SVC به طور بهینه بر اساس سه هدف جایابی می‌شود. این اهداف شامل: الف) حداقل کردن تلفات توان اکتیو؛ ب) کاهش هزینه نصب SVC و ج) حداقل کردن انحراف ولتاژ هستند:

الف) حداقل شدن تلفات توان اکتیو: طبق این هدف، تلفات کل توان اکتیو سیستم بایدحداقل باشد:
(23)
که در آن و دامنه و زاویه ولتاژ باس است و و دامنه و زاویه ادمیتانس خط بین باس و است.

ب) بیشترین انحراف ولتاژ: انحراف ولتاژ در هر باسبار باید در حداقل مقدار ممکن باشد.
(24)
Ω مجموعه تمام باس‌های سیستم بوده، Vk دامنه ولتاژ در باسبارk ام و Vrefk ولتاژ مرجع در باسبار k ام است.
ج) تابع هزینه SVC: تابع هزینه برای SVC در واحد (US$ / k-VAr) بوده و با معادله زیر بدست می آید. ظرفیت مگاواری SVC است.
(25)
در ادامه ، به چگونگی حل چند هدفه مسأله جایابی SVC با الگوریتم جستجوی گرانشی چند هدفه(MOGSA) پرداخته می‌شود.

5-2- حل چند هدفه مسأله جایابی SVC با الگوریتم پیشنهادی
برای یافتن مکان و میزان ظرفیت خازنی بهینه SVC ،ابتدا، تمام بارها را به تدریج افزایش می‌دهیم تا سیستم به نقطه فروپاشی ولتاژ برسد.
در اعمال الگوریتم های ابتکاری، ابتدا لازم است عاملها (کروموزوم‌ها/ ذرات/ اجرام به ترتیب در الگوریتم‌های وراثتی/ جمعیت ذرات/ گرانشی) تعریف شوند. با توجه به این که جایابی بهینه شامل دو متغیر مکان SVC و ظرفیت آن است که باید بهینه شوند، در هر کروموزوم/ ذره/ جرم دو ژن (بعد) تعریف می‌شود.
به عبارت دیگر، موقعیت عامل ام در الگوریتم‌ گرانشی چند هدفه پیشنهادی به صورت نشان داده می‌شود که در آن به مکان پیشنهادی توسط عاملi ام برای مکان SVCو به ظرفیت پیشنهادی توسط این عامل اشاره دارد. از سوی دیگر، از آنجا که در این مساله سه هدف موجود است که باید کمینه شوند، تابع هدف به صورت برداری از اهداف سه گانه ذکر شده در بخش 5-1 ارائه می‌شود. به عبارت دیگر:

که در آن:
، و
به این ترتیب، با حل چند هدفه مساله جایابی بهینه SVC به دنبال یافتن مجموعه‌ای از جوابهای بهینه پرتو بر مبنای اهداف سه گانه فوق هستیم. به عبارت دیگر، در الگوریتم ابتکاری چند هدفه باید مقادیری را برای مکان و ظرفیت SVC در یک سیستم قدرت جستجو کند که مصالحه‌ای میان اهداف سه گانه فوق باشند که همان بهینه‌های پرتو هستند. ارائه مجموعه‌ای از بهینه های پرتو به کاربر این امکان را می‌دهد تا با توجه به دانشی که در خصوص مساله مذکور دارد، یک یا چند راه حل را که عملی‌تر و منطقی‌تر به نظر می‌رسند، انتخاب کند.
اکنون با توجه به تعریف فضای تصمیم و فضای اهداف به راحتی می‌توان عاملها را برای یک مساله خاص تعریف و روند اجرای الگوریتم را برای یافتن بهینه دنبال کرد.

6- آزمایش ها و نتایج
سیستم مورد مطالعه، مدل فشرده شده اتصال شبکه نیویورک و نیوانگلند است که در شکل (3) آورده شده است[24]. سیستم فوق از 16 ماشین و 68 باس تشکیل شده است. 9 ماشین اول مربوط به سیستم مولد نیوانگلند است. ماشین‌های 10 تا 13 مربوط به سیستم قدرت نیویورک و 3 ژنراتور بعدی مربوط به سه همسایه بزرگ متصل به سیستم قدرت نیویورک مربوط هستند.
برای اثبات کارایی الگوریتم MOGSA در جایابی SVC نتایج حاصل با نتایج الگوریتم تکاملی SPEA2 مقایسه می شود. در هر دو الگوریتم مورد بررسی، تعداد اعضای جمعیت برابر 100 عضو در نظر گرفته شده است. جزئیات الگوریتم‌های بررسی شده به شرح زیر آورده شده است.


شکل(3): دیاگرام تک خطی سیستم مورد مطالعه[24]


• الگوریتم وراثتی SPEA2
جمعیت اولیه با 100 عضو به صورت تصادفی در فضای جستجو تولید می شود. اندازه آرشیو در این روش 100در نظر گرفته می‌شود. تخصیص شایستگی، محدود سازی آرشیو و انتخاب بر مبنای مرجع [14] انجام می‌شود. در این روش فرزندان با عملگر همبری و جهش تولید می شوند. نرخ جهش برابر 0.1 و نرخ همبری 0.9 در نظر گرفته شده است. همچنین تعداد تکرارها برابر با 70 است.

• الگوریتم گرانشی MOGSA
برای حل مساله جایابی SVC با استفاده از MOGSA جمعیت اولیه با 100 عضو بصورت تصادفی در فضای جستجو تولید می شود. اندازه حافظه آرشیو 100جرم در نظر گرفته شده است. هر جرم شامل 2 پارامتر محل SVC و ظرفیت آن است. همچنین تعداد تکرارها برابر با 70 است. الگوریتم بر طبق مراحل دهگانه شبه کد شکل 1، اجرا می شود. بخشی از جواب‌های پرتو حاصل از حل مساله توسط الگوریتم های MOGSA و SPEA2 در جداول (2) و (3) آورده شده است. اگر چه جواب‌های ارائه شده از نظر مفاهیم پرتو بر یکدیگر برتری ندارند، اما با رجوع به دانش موجود در مهندسی برق به نظر می‌رسد جواب ارائه شده در باس شماره 1 با مقدار ظرفیت SVC برابر 546 یا 540 مگاوار منطقی‌تر از سایر جواب‌ها باشد. علت انتخاب این است که اگر SVC در باس 1 با ظرفیت 540 یا 546 مگاوار جایابی شود، سیستم از مشخصه مناسبی برخوردار می شود. به عبارت دیگر، طبق جدول 2 ، بیشترین انحراف ولتاژ و تلفات مینیمم و هزینه با توجه به دو هدف دیگر قابل قبول است. اما اگر SVC در باس 1 با ظرفیت 596 مگاوار جایابی شود (آخرین ردیف جدول2) در این حالت تلفات کمتر می شود، اما دو هدف دیگر افزایش می یابد.
در این مقاله، SVC در باس شماره 1 با ظرفیت 546 مگاوار قرار داده می شود. تصویر پاسخ های بهینه پرتو ذخیره شده در آرشیو توسط الگوریتم پیشنهادی در شکل(4) آمده است.

 

جدول(2): دسته پرتو ذخیره شده در آرشیو توسط الگوریتم MOGSA
هزینه تلفات بیشترین انحراف ظرفیت محل SVC
107*1.68 435 0.0516 230 47
107*1.60 441 0.0517 208 48
107*1.62 440 0.0517 213 48
107*1.71 433 0.0515 240 47
107*1.59 442 0.0517 206 48
107*2.70 397 0.0506 540 1
107*1.73 432 0.0515 247 47
107*1.98 414 0.0515 341 47
107*2.22 411 0.0622 430 1
107*1.83 425 0.0514 279 47
107*1.91 420 0.0512 310 47
107*2.85 394 0.0533 563 1
107*2.73 396 0.0506 546 1
107*1.61 441 0.0517 211 48
107*2.65 398 0.0506 530 1
107*2.69 397 0.0506 537 1
107*1.50 446 0.0653 185 47
107*2.29 408 0.0599 450 1
107*3.11 391 0.0601 596 1

 


جدول (3): دسته پرتو ذخیره شده در آرشیو توسط الگوریتم SPEA2
هزینه تلفات بیشترین انحراف ظرفیت محل SVC
107*3.97 383 0.0778 679 1
107*3.65 385 0.0721 652 1
107*1.070 435 0.0517 237 48
107*2.66 398 0.0506 533 1
107*1.95 416 0.0512 327 47
107*1.61 440 0.0517 212 48
107*1.53 450 0.0993 193 1
107*1.83 434 0.0857 280 1
107*1.87 422 0.0513 294 47
107*1.45 455 0.0522 175 40
107*1.42 457 0.0522 168 40
107*2.78 395 0.0513 552 1
107*1.39 452 0.0541 163 48
107*1.38 459 0.0522 160 40
107*2.75 396 0.0509 548 1
107*2.73 396 0.0506 546 1
107*2.09 407 0.0746 385 47
107*3.28 389 0.0642 615 1


شکل (4): تصویر پرتو پاسخ های ذخیره شده در آرشیو روش پیشنهادی



شکل (5) و (6) دامنه ولتاژ باس های سیستم را پیش و پس از جای‌گذاری SVC نشان می دهد. همان طور که مشاهده می کنید، پس از جای‌گذاری SVC در این باس، ولتاژهای هر باس بهتر شده، بیشتر از 1.05 هم ولتاژی نخواهیم داشت.


شکل (5): دامنه ولتاژ باس های سیستم قبل از جایگذاری SVC

شکل (6): دامنه ولتاژ باس های سیستم پس از جایگذاری SVC


برای اثبات کارایی الگوریتم MOGSA در جایابی SVC نتایج به دست آمده با نتایج حاصل از الگوریتم وراثتی SPEA2 مقایسه می شود.
جواب بهینه یافته شده توسط هر دو الگوریتم MOGSA و SPEA2 یکسان است. باس بهینه در باس شماره 1 و مقدار SVC برابر 546 مگاوار تشخیص داده شد. تاکنون مساله جایابی SVC در شبکه های قدرت، توسط الگوریتم هایی، چون GCPSO، PSO و GA و الگوریتم ایمنی در[23-22] ارزیابی شده است، اما این الگوریتم ها برای انتخاب بهترین جواب بهینه از روش وزنی استفاده می کنند. در نتیجه این الگوریتم ها تنها قادر به یافتن راه حلّی به عنوان جواب بهینه هستند، در حالی که الگوریتم MOGSA با استفاده از مفهوم پرتو، توانست مجموعه ای از جواب های بهینه را در یک آرشیو قرار دهد. در واقع، حل این مساله با استفاده از الگوریتم MOGSA این قابلیت را دارد که آزادی عمل ما را در انتخاب بهترین جواب بهینه بالا می برد و ما علاوه بر انتخاب بهترین جواب، حق انتخاب جواب های بهینه دیگری را نیز خواهیم داشت.

7- نتیجه‌گیری
الگوریتم جستجوی گرانشی الگوریتم شهودی جدیدی است که با بهره گیری از قانون جاذبه در طبیعت برای حل مسائل تک هدفه پایه ریزی شده است. این الگوریتم با الهام از قانون جاذبه و نیروی گرانش معرفی و پارامترهای آن به صورت شهودی تنظیم شده است. عامل های جستجو کننده مجموعه ای از اجرام هستند که می توانند به صورت سیاره های یک منظومه تصور شوند. اطلاعات مربوط به برازندگی هر جرم در قالب جرم های گرانشی و اینرسی ذخیره می شود. تبادل اطلاعات و اثر گذاری اجرام روی یکدیگر تحت تاثیر نیروی گرانش انجام می‌ شود.
بسیاری از مسائل دنیای واقعی با چندین هدف متضاد سرو کار دارند که باتوجه به بدیع بودن الگوریتم جستجوی گرانشی، تا کنون روشی برای حل مسائل چند هدفه با استفاده از این الگوریتم ارائه نشده است. در این مقاله با استفاده از مفاهیم اساسی بهینه سازی چند هدفه، روش جدیدی مبتنی بر این الگوریتم، با نام الگوریتم جستجوی گرانشی چند هدفه (MOGSA) برای حل مسائل چند هدفه ارائه شد. برای مقایسه کارایی الگوریتم گرانشی چند هدفه با الگوریتم های وراثتی و جمعیت ذرات از چندین تابع محک استاندارد استفاده شد. با توجه به نتایج آزمایشها، الگوریتم جستجوی گرانشی چند هدفه در اکثر توابع استاندارد عملکرد مناسبی از نظر همگرایی و توزیع مناسب راه حل ها، ارائه می دهد؛ به خصوص روش پیشنهادی از همگرایی خوبی برخوردار است و قادر به یافتن راه حل های حدی است. همچنین، در این مقاله توانایی الگوریتم جستجوی گرانشی چند هدفه در جایابی جبران کننده های استاتیک توان راکتیو در شبکه های قدرت به اثبات رسید. شایان ذکر است جاِیابِی ادوات FACTS بر اساس ویژگی کنترلی ابتدایی آنها انجام می شود و سپس توانایی آنها در میرا کردن نوسان‌ها بررسی می گردد. مثلا برای SVC جایابی بر اساس کنترل ولتاژ صورت مِی پذِیرد و سپس قابلِیت آن را در میرا کردن نوسان ها با استفاده از کنترل کننده مکمل مورد بررسِی قرار می گیرد. طراحی کنترل کننده مکمل بر اساس اهدافی دیگر، متفاوت از اهداف جایابی؛ مثلا میزان جابجایی بدترین مقدار ویژه و انتقال آن به نیمه چپ صفحه s صورت می پذیرد. از آنجایی که طراحی کنترل کننده مکمل از حوصله این مقاله خارج است، علاقه‌مندان می توانند به مرجع[25] مراجعه کنند که مساله پایداری را در شبکه مورد نظر بررسی کرده، به بیان جزییات می‌پردازد.

 

منابع:

[1]       Zitzler, E. and  Thiele, L., "Multiobjective Evolutionary Algorithms: A Comparative Case Study and the Strength pareto approach", IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 1999, vol.3 , no.4, pp. 257-271, 1999.

[2]       Holland, J.H., " adaptation in natural and Artifical System",University of Michigan press,  Ann Arbor, MI, 1975.

[3]       Farmer, J.D., Packard, N.H. and  Perelson, A.S., " The immune system, adaptation, and machine learning", Physica D 22,   pp. 187–204. 1986.

[4]       Dorigo, M., Maniezzo, V. and Colorni, A., "The Ant System: optimization by a colony of cooperating agents", IEEE Transaction on systems, Man, and Cybernetics-part B, vol. 26, no.1, pp. 1-13, 1996.

[5]       Kennedy, J. and Eberhart, R.C., "Particle swarm optimization", Proceedings of IEEE International Conference on Neural Networks, vol. 4, pp. 1942–1948,  1995.

[6]       Rashedi, E. and Nezamabadi, H. and Saryazdi, S., "A Gravitational Search Algorithm", Information Sciences, pp. 2232-2248,vol. 179, no. 13, 2009.

[7]       Zitzler, E., "Evolutionary Algorithms for Multiobjective Optimization: methods and aplications", Ph.D. thesis, Shaker Verlag, Aachen, Germany, 1999.

[8]       Hajela, E. P. and lin, C.Y., "Genetic Search Strategies in Multicriterion Optimal Design", Structural Optimization,  vol.4,  pp.  99-107 , 1992.

[9]       Shaffer, J.D., "Multiple Objective Optimization with vector evaluated genetic algorithms", International Conference on Genetic Algorithm and their application, pp. 93-100, Pittsburgh, PA, 1985.

[10]    Kursawe, F., "A variant of evolution strategies for vector optimization", In H.-p. Schawefel and R. Manner, editors, Parallel Problem Solving fro Nature, pp. 193-197,Berlin, Springer , 1991.

[11]    Goldberg, D., "Genetic Algorithm in Search, Optimization, and Machine Learning". Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1989.

[12]    Fonseca, C.M. and Fleming, P.J., ""Genetic Algorithms for Multi-objective Optimization: Formulation, discussion and generalization", In S. Forest (Editor( Proc. of the fifth International  Conference on Genetic Algorithms, pp. 416-423, 1993.

[13]    Sirinivas, N. and Deb, K., "Multi-objective optimization using non dominated sorting in genetic algorithms", Evolutionary Computation, pp. 221-248 , 1994.

[14]    Zitzler, E., Thiele, L., Laumanns, C., Fonseca, C.M.,  "performance assessment of multi-objective optimization: An analysis and review", Technical Report 139, Computer Engineering and Networks Laboratory(TIK) , 2002.

[15]    Silverman, B.W. (1986), "Density estimation for statistics and data analysis", Chapman and Hall, London, 1986.

[16]    Horn, J., Nafpliotis, N., Goldberg, D.E., "A niched pareto genetic algorithm for multi-objective optimization", In proceeding of the first conference on evolutionary computation, IEEE world congress on computational computation, vol. 1, pp. 82-87. Piscataway, Nj, 1994.

[17]    Tripathi, P.K., Bandyopadhyay, S., Pal, S.K., "Multi- Objective Particle Swarm Optimization with time variant inertia and acceleration coefficients", Information Science 177, pp. 5033-5049, 2007.

[18]    Gerbex, S., Cherkaoui, R. and Germond, A.J., “Optimal location of Multi-type FACTS devices in a power system by means of genetic Algorithms”, IEEE Trans. Power Syst., vol. 16, No. 3, pp.537-544, 2001.

[19]    Ebrahimi, S., Farsangi, M. M., Nezamabadi-Pour, H. and lee, K. Y., “Optimal Allocation of STATIC VAR COMPENSATORS using modal analysis, simulated annealing and Tabu search”, in Proc. 2006 IFAC Symposium on Power Plants and Power Systems, Calgary, Canada, July, 2006.

[20]    Farsangi, M M., Nezamabadi-Pour, H. and Lee, K. Y., "Multi-objective VAr planning with SVC for a large power system using PSO and GA," in Proc. 2006 IEEE PES power systems conference and Wxposition (PSE), Atlanta, USA, 2006.

[21]    Saravanan, M., Slochanal, S., Venkatesh, P. and Abraham, A., “Application of particle swarm optimization technique for optimal location of FACTS devices considering cost of installation and system loadability” , Electric Power system research, vol. 77, pp. 276-283, 2007.

[22]    Farsangi, M.M., Nezamabadi-pour, H. and lee, K. Y., "Implementation of GCPSO for Multi-objective VAr Planning with SVC and Its comparison with GA and PSO", in Proc. of 14th international conference on intelligence systems application to power systems (ISAP 2007) Taiwan 2007.

[23]    Farsangi, M. M., Nezamabadi-pour, H. and Lee, K. Y., “Multi-objective VAr planning with SVC using immune algorithm and guaranteed convergence particle swarm optimization,” in Proc. of IFAC Symposium on Power Plants and Power System Control , Korea , Seoul,  2007.

[24]    Chow J. H. “Power system toolbox: A set of coordinated m-files for use with MATLAB” Cherry Tree Scientific Software, 1997.

[25]    Khaleghi, M., Farsangi, M.M., Nezamabadi-pour, H.  and Lee, K.Y.,  “Pareto optimal design of damping controllers using modified artificial immune network algorithm” IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics--Part C, vol. 41, no. 2, pp. 240-250, 2010.

 

پانوشت ها

1-Flexible AC Transmission System (FACTS)

2-Static Var Compensator (SVC)

3-Voltage collapse

4-Heuristic algorithm

5-Evolutionary algorithm

6-Genetic algorithm

7-Simulated algorithm

8-Ant colony search algorithm

9-Particle swarm optimization

10-Gravitational search algorithm(GSA)

11-Fitness assignment and selection

12-Diversity preservation

13-Elitism

14-Multi Objective Evolutionary Algorithm

15-Partial order

16-Pareto order

17-Dominance depth

18-Dominance number

19-Pareto optimal

20- Pareto optimal set

21- Pareto optimal front

22- Pareto optimal surface

23-Density

24-Kernel

25-Fitness sharing

26- Nearest neighbor technique

27-Raw fitness

28-Histograms

29- Multi-objective Gravitational Search Algorithm

30-Modal Analysis